2025年中考數(shù)學總復習《圖形變化之旋轉》專項測試卷（帶答案）

第第頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁2025年中考數(shù)學總復習《圖形變化之旋轉》專項測試卷（帶答案）學校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________1．如圖，在中，，，D是的中點，E是線段上的動點（不與點B，D重合），連接．F是的中點，線段繞點F逆時針旋轉α得到線段，連接．(1)求的大??；(2)連接，判斷與的位置關系，并證明．2．如圖，在平面直角坐標系中，點，，，的坐標分別為，，，

(1)以點為旋轉中心，將旋轉后得到，請在圖中畫出．(2)求的面積．(3)在軸上求一點，使得最小，在圖中作出點，點的坐標為______．3．如圖，在中，，，，將順時針旋轉一定角度后與重合，且點D恰好為的中點．(1)旋轉中心是點___________；旋轉角=___________°；(2)求出線段的長．4．如圖①是某型號家用轎車后備箱開啟側面示意圖，將其簡化成如圖②所示模型，其中，，箱蓋開啟過程中，點B，E繞點A沿逆時針方向轉動相同角度，分別至點，的位置，且點在線段的延長線上，．(1)求旋轉角的度數(shù)；(2)若，求的長度．5．如圖，在中，，，正方形的邊長為2，將正方形繞點旋轉一周，連接、、．(1)猜想：的值是，直線與直線相交所成的銳角度數(shù)是；(2)探究：直線與垂直時，求線段的長；(3)拓展：取的中點，連接，直接寫出線段長的取值范圍．6．一副三角板如圖1擺放，，，，點在上，點在上，且平分，現(xiàn)將三角板繞點以每秒的速度順時針旋轉（當點落在射線上時停止旋轉），設旋轉時間為秒．(1)當秒時，；當秒時，；(2)在旋轉過程中，與的交點記為，若有兩個內(nèi)角相等，求的值；(3)當邊與邊、分別交于點、時，如圖2，連接，設，，，請求出的值．7．在中，，，是邊上一點，連接．(1)如圖1，是延長線上一點，與垂直，求證：；(2)如圖2，過點作，為垂足，連接并延長交于點，求證：；(3)如圖3，將（1）中的以點為中心逆時針旋轉得，，對應點分別是，為上任意一點，為的中點，連接，若，，最大值為，最小值為，求的值．8．如圖，在中，于點D，E為上一點，連接并延長交線段于點F，．(1)如圖1，若，求的長；(2)如圖2，過點B作交延長線于點H，連接，若．求證：．9．如圖，在和中，，且點A在上，連接．(1)求證：；(2)已知，將繞點C按逆時針方向旋轉一周，當以為頂點的四邊形是平行四邊形時，寫出旋轉角的度數(shù)．10．四邊形，是完全相同的兩個矩形，按照如圖1所示，放置在平面直角坐標系中，，將矩形繞著點O順時針旋轉．(1)如圖2，當與相交于點G，若時，求的度數(shù)；(2)當點D恰好落在上時，與y軸交于點K，求的值；(3)當所在的直線恰好經(jīng)過的中點M，連接，，，請直接寫出的面積．11．【問題探究】（1）如圖1，在正方形中，連接、，點E在對角線上，點F在邊上，且滿足，求證：；（2）如圖2，在中，，作于點D，將線段繞著點B逆時針旋轉后得到線段，連接．若，，求的長；【問?解決】（3）如圖3，某貨運場為一個矩形場地，其中米，米，對角線為該場地內(nèi)的一條小路，頂點A，B為兩個入口，頂點D為出口．管理人員計劃對該場地進行改造，根據(jù)設計要求，準備在線段上找一點E（分撥場），將繞點A須時針旋轉得到，旋轉角等于，F(xiàn)為貨物中轉站，沿修建專用車道，為了控制成本，管理人員要求專用車道的長度盡可能的短，若不考慮其他因素，求專用車道的最短長度．12．已知如圖，在等邊中，點，分別是邊，上兩點（不與端點重合），且，與相交于點．(1)如圖1，求的度數(shù)；(2)如圖2，將線段繞點逆時針旋轉后得到，連接交于點，猜想、、三者的數(shù)量關系，并說明理由；(3)如圖3，在（2）的條件下，連接，當最小時，請直接寫出的值．13．綜合與實踐：在學習特殊四邊形的過程中，我們積累了一定的研究經(jīng)驗，請運用已有的經(jīng)驗對“對等垂美四邊形”進行研究．定義：對角線相等且垂直的四邊形叫作對等垂美四邊形．

(1)定義理解圖中，、、三點均在格點上，請在格點上確定點，使四邊形為對等垂美四邊形．(2)深入探究如圖2，在對等垂美四邊形中，對角線與交于點，且，，將繞點逆時針旋轉（旋轉角），、的對應點分別為、，如圖3，請判斷四邊形是否為對等垂美四邊形，并說明理由．（僅就圖的情況證明即可）(3)拓展運用在（2）的條件下，若，，當為直角三角形時，直接寫出四邊形的面積．14．已知為等邊三角形，D，E分別為線段，上一點，，與交于點F．(1)如圖1，求證；(2)如圖1，若，，求的長；(3)如圖2，H為射線BC上一點，連接，將線段繞點F逆時針旋轉得，連接，若，求證：．15．如圖，在中，，，，點P沿折線向終點C運動（點P不與點A、C重合），把線段繞點P逆時針旋轉得線段，連接．(1)______；(2)當點Q落在邊上時，求線段的長；(3)當點P在邊上運動時，在不添加輔助線的情況下，當圖中線段圍成的三角形中，存在兩個相似三角形的相似比為時，求的長；(4)當時，直接寫出與重疊部分的面積．參考答案1．(1)(2)，證明見解析【分析】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊上中線等于斜邊一半，圓周角定理，正確作出輔助線是解題的關鍵．（1）利用等腰三角形的定義即可解答；（2）連接，連接，可得點在以點為圓心，以為半徑的圓上，再連接并延長交于點，證明即可解答．【詳解】（1）解：F是的中點，線段繞點F逆時針旋轉α得到線段，，；（2）解：，理由如下：如圖，連接，連接，D是的中點F是的中點點在以點為圓心，以為半徑的圓上，如圖，連接并延長交于點∵，，D是的中點，即．2．(1)見解析(2)(3)圖見解析，【分析】本題主要考查了坐標與圖形變化—軸對稱和旋轉，坐標與圖形，等腰三角形的性質(zhì)與判定，熟知相關知識是解題的關鍵．（1）連接并延長到使得，同理作出，再順次連接即可；（2）根據(jù)三角形面積計算公式求解即可；（3）作點A關于y軸的對稱點E，連接交y軸于P，則點P即為所求；可證明垂直平分，得到，再證明，得到，則，據(jù)此根據(jù)兩點中點坐標計算公式求出點P的坐標即可．【詳解】（1）解：如圖所示，即為所求；

（2）解：由題意得，（3）解：如圖所示，作點A關于y軸的對稱點E，連接交y軸于P，則點P即為所求；

∵垂直平分∴∴∵∴∴∴∴∴點P為的中點∵∴∵∴，即．3．(1)A；130(2)6【分析】本題考查了旋轉的相關知識點．熟記相關結論進行幾何推理是解題關鍵．（1）由“順時針旋轉一定角度后與重合”可得旋轉中心點，求出即可得旋轉角；（2）根據(jù)旋轉的性質(zhì)得出，，根據(jù)線段中點的定義求出，即可求解．【詳解】（1）解：在中，，∴即∵順時針旋轉一定角度后與重合∴旋轉中心為點A，旋轉的度數(shù)為；故答案為：A；130；（2）解：∵順時針旋轉一定角度后與重合∴，∵點D恰好成為的中點∴∴．4．(1)；(2)的長度為．【分析】本題考查了解直角三角形的應用，根據(jù)題意作出輔助線，構造直角三角形是解題的關鍵．（1）由旋轉得，，再利用四邊形內(nèi)角和定理求解即可；（2）過點A作于點P，過點作于點H．在中，利用三角函數(shù)的定義求得，，證明，求得，進一步計算即可求解．【詳解】（1）解：由旋轉得，∵∴．∵∴在四邊形中，；（2）解：如圖，過點A作于點P，過點作于點H．∵∴．在中，∴．∴．∴．由（1）知，，即∵∴由旋轉，得∴∴∵∴∴四邊形是矩形．∴∴．所以，的長度為．5．(1)，(2)或(3)【分析】（1）證明，相似比為，可以看做繞點B逆時針旋轉后放大得到，故直線與直線相交所成的銳角度數(shù)是；（2）證明，得到，分點在線段上和點在線段延長線上兩類討論，分別求出長，即可求出；（3）延長到G使得，連接，，則為等腰直角三角形，求出，證明，根據(jù)三角形三邊關系求出取值范圍，問題得解．【詳解】（1）解：由題意得，，都是等腰直角三角形∴，∴∴∴，可以看作繞點B逆時針旋轉后放大得到，故直線與直線相交所成的銳角度數(shù)是；（2）解：∵是腰長為4的等腰直角三角形，四邊形的邊長為2的正方形∴，，∴，∴．∴∴．∵∴當時，、、三點在一直線上時在中，∵∴如圖2，當點在線段上時∴；如圖3，當點在線段延長線上時∴．綜上所述，當時，線段的長為或；（3）解：延長到G使得，連接，則為等腰直角三角形，∴∵M為中點，F(xiàn)為中點∴為的中位線∴在中，∵∴∴．【點睛】本題考查了四邊形綜合題，考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理，正確的作出輔助線是解題的關鍵．6．(1)5，35(2)10或25或40(3)105【分析】（1）由平行和垂直求出旋轉角，結合旋轉速度求出旋轉時間；（2）畫出圖形，分類討論，①；②；③，求出旋轉角，再求出值；（3）找出與，，有關的數(shù)量關系，再把無關的角消去，得出結論．【詳解】（1）解：如圖（1），當時，平分，又為的一個外角；如圖（2），當時，．故答案為：5，35．（2）解：①如圖（3），當時；②如圖（4），當時，；③如圖（5），當時綜上所述：當為10或25或40時，有兩個內(nèi)角相等．（3）解：是的一個外角，是的一個外角，又，．【點睛】本題以求三角形旋轉時間為背景，考查了學生對圖形的旋轉變換、平行的性質(zhì)、垂直的性質(zhì)和求等腰三角形內(nèi)角的掌握情況，第（2）問分情況討論是解決問題的關鍵，第（3）問找到三個角之間的關系是解題的關鍵．7．(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）證明，從而得出結論；（2）作交的延長線于，證明及，二者結合可證明結論；（3）點運動軌跡是以為圓心，為半徑的圓，設上的高是，垂足為，則的軌跡是以為圓心，為半徑的圓，運動的軌跡是大圓和小圓圍成的圓環(huán)，結合圖形找出點的最大值，然后根據(jù)垂線段最短可求出的最小值，從而確定和的比值，進一步得出結果．【詳解】（1）證明：如圖1，設的延長線交于，在和中；（2）證明：如圖2作交的延長線于在和中；（3）解：如圖3點運動軌跡是以為圓心，為半徑的圓設上的高是，垂足為，則的軌跡是以為圓心，為半徑的圓運動的軌跡是大圓和小圓圍成的圓環(huán)當在的延長線上時，最大，，為的中點，根據(jù)三角形面積可得．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，一點到圓上的距離的最值問題，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形，解決問題的關鍵是作輔助線，構造全等三角形和相似三角形．8．(1)1(2)見解析【分析】（1）先判斷出為等腰直角三角形，進而證明，即可求解；（2）由（1）可知求證的實質(zhì)是求證，而等腰直角三角形中會存在此種邊的關系，考慮構造以為直角邊的等腰直角三角形，進而可求證．【詳解】（1）解：∵于點D∴∵∴是等腰直角三角形∴在中，由勾股定理得∵，又∵∴∴；（2）證明：將繞點D順時針旋轉，得到，連接交于點，連接，如圖2由旋轉的性質(zhì)得，，∴是等腰直角三角形∴由（1）知，，∵，∴∴∴，又∵∴點即點F∵又∵∴∵∴∴∴∴∴．【點睛】本題屬于幾何變換綜合題，主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、旋轉的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)等知識，明確題意，添加合適的輔助線，構造全等三角形是解題的關鍵．9．(1)見解析(2)或或【分析】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，旋轉的性質(zhì)，利用分類討論思想是解題的關鍵．（1）根據(jù)，可得三角形全等，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得對應角相等；（2）分類討論，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)即可解答，可得答案．【詳解】（1）證明：在和中；（2）解：分情況討論，設旋轉后，的對應點為當為邊時有兩種情況當在上方時，以為頂點的四邊形是平行四邊形時如圖四邊形為平行四邊形，即旋轉；當在下方時，以為頂點的四邊形是平行四邊形時如圖旋轉的角度為；當為對角線時，以為頂點的四邊形是平行四邊形時如圖，四邊形為正方形旋轉的角度為．綜上，旋轉角度為或或，以為頂點的四邊形是平行四邊形．10．(1)(2)(3)或【分析】（1）根據(jù)題意，得，，于是得到，過點O作于點G，得到，于是，得到，即得到；（2）證明，得到，故，解得，故．（3）當直線經(jīng)過點M時，設與x軸的交點為N，則，過點F作于點Q，過點D作于點P，則，，計算一次面積；當點M在線段上時，延長與x軸的交點為T，則，過點F作于點W，過點A作于點R，再證明，得，于是計算即可．【詳解】（1）解：∵四邊形，是完全相同的兩個矩形，∴，根據(jù)題意，得，∴過點O作于點G∵∴∵∴∴．（2）解：∵∴∴∴解得故．（3）解：如圖，當直線經(jīng)過點M時∵四邊形，是完全相同的兩個矩形，∴，，設與x軸的交點為N則∴∵的中點M∴∴∵∴∴∵∴過點F作于點Q，過點D作于點P∴，∴；如圖，當點M在線段上時∵四邊形，是完全相同的兩個矩形，∴，，延長與x軸的交點為T則∴∵的中點M∴∴，∵，∴∴∵∴過點F作于點W，過點A作于點R∴，∴，∵∴∴∴；綜上所述，的面積為或．【點睛】本題考查了旋轉的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，三角形相似的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)的應用，平行線分線段成比例定理，三角形中位線定理，熟練掌握性質(zhì)是解題的關鍵．11．（1）見解析；（2）；（3）220米【分析】（1）證明，又由即可得到結論；（2）證明，則，．進一步求出，在Rt中，由勾股定理得，即可求出答案；（3）證明，得到，即的最小值即為的最小值．當時，的值最?。M一步求解即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形是正方形∴∵∴∴．

∵∴．

（2）解：∵線段繞點B逆時針旋轉角α得到線段∴∴．在與中，，，∴．

∴，．∵∴∵，∴．

在Rt中，由勾股定理得∴即．

（3）解：在矩形中，，∴．如圖，當點E在邊上時，將線段繞點A逆時針旋轉，旋轉角等于，得到，連接，，則，∴，

∵繞點A順時針旋轉得到∴在和中，，，∴∴，即的最小值即為的最小值．當時，的值最?。?/p>

過點T作于．延長，交于點H，則．∵，∴，

∴，即∴∴，即此時的最小值為220.綜上，專用車道的最短長度為220米．【點睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、旋轉的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關鍵．12．(1)(2)(3)【分析】（1）先證明，得到，結合，求得，再根據(jù)，解答即可．（2）延長到點H，使得，延長到點R，使得，連接，，先證明，判定，再證明，，代換后解答即可．（3）以為邊在的左側作等邊三角形,作的外接圓，利用四點共圓可以證明點G也在上，連接，取的中點I，連接設，則，過點O作于點Q確定，從而確定點在以點I為圓心，以為半徑的圓上，連接，交于點，根據(jù)題意，當點與點重合時，取得最小值，延長交于點V，取的中點W，，，由，則，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理等計算即可．【詳解】（1）解：∵為等邊三角形∴∵∴∴∵∴∴．（2）解：．理由如下：延長到點H，使得，延長到點R，使得，連接，∵等邊∴，∴，∵，∴∵∴∴，∵，∴∴∴∴∴，∴∵∴∴，∵∴∴∴∵∴∴∵∴．（3）解：根據(jù)（2）的證明，得∴，以為邊在的左側作等邊三角形,作的外接圓∴∴∴四點共圓∴點G在上連接，取的中點I，連接，由（2）證明得∴設則∵∴過點O作于點Q∵∴，∴∴∴點在以點I為圓心，以為半徑的圓上連接，交于點，根據(jù)題意，當點與點重合時，取得最小值延長交于點V，取的中點W，，由則∴，連接，則∴∴，，∵，∴∴∴故．【點睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角形中位線定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，四點共圓的判定，圓的基本性質(zhì)，平行線的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理，熟練掌握性質(zhì)和定理是解題的關鍵．13．(1)見詳解(2)證明見解析(3)或【分析】本題主要考查復雜作圖，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及勾股定理的應用，正確理解“對等垂美四邊形”的定義是解答本題的關鍵．（1）根據(jù)“對等垂美四邊形”的定義作圖即可；（2）連接，交于點，設與交于點，證明得，，再證明即可得出結論；（3）當是直角時，當為直角時，分別求解即可；【詳解】（1）解：如圖，四邊形即為所作的對等垂美四邊形；

（2）解：四邊形是對等垂美四邊形，理由如下：連接，交于點，設與交于點

由題意知，，，，即在和中，又∴在四邊形中，，∴四邊形是對等垂美四邊形；（3）解：①當是直角時，如圖

，；；當為直角時，如圖，過點作的垂線，垂足為

，，，則；；綜上所述，四邊形的面積或14．(1)見解析(2)2(3)見解析【分析】（1）結合等邊三角形的性質(zhì)，利用即可證明結論；（2）過點作，如圖所示，由（1）可知，設，則，由，解得，由等腰直角三角形及含的直角三角形性質(zhì)，設，則，，列方程求解即可得到答案；（3）延長交于，在上取，如圖所示，根據(jù)等邊三角形性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)，通過構造的、將線段轉化到一條線上即可得證；【詳解】（1）證明：在等邊三角形中，，在和中；（2）解：過點作，如圖所示：由（1）可知設，則，解得在中，，，則在中，設，則，由勾股定理可得，解得，則；（3）證明：延長交于，在上取，如圖所示：由（1）是的一個外角，，即又∵，則將線段繞點逆時針旋轉得，在和中由知，，則，即是的一個外角是的一個外角是等邊三角形，則，在和中；【點睛】本題考查了，等邊三角形的性質(zhì)，含的直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，旋轉的性質(zhì)，勾股定理解三角形，解題的關鍵是構造輔助線，構造全等三角