2025年中考數(shù)學總復習《圖形運動與二次函數(shù)》專項測試卷（帶答案）

第第頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年中考數(shù)學總復習《圖形運動與二次函數(shù)》專項測試卷（帶答案）學校:___________班級：___________姓名：___________考號：___________1．如圖，在矩形中，，點E是邊上的動點，連結(jié)，以為邊作矩形（點D，G在的同側(cè)），且，連結(jié)．(1)如圖1，當點E為邊的中點時，點B，E，F(xiàn)在同一直線上，求的長．(2)如圖2，若，設(shè)與交于點K．求證：．(3)在點E的運動過程中，的長是否存在最大（?。┲?？若存在，求出的最值；若不存在，請說明理由．2．如圖，中，，，，，反比例函數(shù)的圖象與交于點，與交于點E．

(1)求m，k的值；(2)點P為反比例函數(shù)圖象上一動點（點P在D，E之間運動，不與D，E重合），過點P作，交y軸于點M，過點P作軸，交于點N，連接，求面積的最大值，并求出此時點P的坐標．3．如圖，在平面直角坐標系中，菱形的邊在x軸上，，的長是一元二次方程的根，過點C作x軸的垂線，交對角線于點D，直線分別交x軸和y軸于點F和點E，動點M從點O以每秒1個單位長度的速度沿向終點D運動，動點N從點F以每秒2個單位長度的速度沿向終點E運動．兩點同時出發(fā)，設(shè)運動時間為t秒．

(1)求直線的解析式．(2)連接，求的面積S與運動時間t的函數(shù)關(guān)系式．(3)點N在運動的過程中，在坐標平面內(nèi)是否存在一點Q．使得以A，C，N，Q為項點的四邊形是矩形．若存在，直接寫出點Q的坐標，若不存在，說明理由．4．如圖1，拋物線（）與軸交于，兩點，與軸交于點．(1)求拋物線的解析式；(2)點P在拋物線上，點Q在x軸上，以B，C，P，Q為頂點的四邊形為平行四邊形，求點P的坐標；(3)如圖2，拋物線頂點為D，對稱軸與x軸交于點E，過點的直線（直線除外）與拋物線交于G，H兩點，直線，分別交x軸于點M，N．試探究是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由．5．如圖，在矩形中，，，是上一點，，是上的動點，連接，是上一點，且（為常數(shù)，），分別過點、作、的垂線相交于點，設(shè)的長為，的長為．

(1)若，，則的值為________；(2)求與之間的函數(shù)表達式；(3)在點從點到點的整個運動過程中，若線段上存在點，則的值應滿足什么條件？直接寫出的取值范圍．6．如圖1，拋物線，交軸于A、B兩點，交軸于點，為拋物線頂點，直線垂直于軸于點，當時，．(1)求拋物線的表達式；(2)點是線段上的動點（除、外），過點作軸的垂線交拋物線于點．①當點的橫坐標為2時，求四邊形的面積；②如圖2，直線，分別與拋物線對稱軸交于、兩點．試問，是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．7．如圖，平行四邊形ABCD中，DB＝，AB＝4，AD＝2，動點E，F(xiàn)同時從A點出發(fā)，點E沿著A→D→B的路線勻速運動，點F沿著A→B→D的路線勻速運動，當點E，F(xiàn)相遇時停止運動．(1)如圖1，設(shè)點E的速度為1個單位每秒，點F的速度為4個單位每秒，當運動時間為秒時，設(shè)CE與DF交于點P，求線段EP與CP長度的比值；(2)如圖2，設(shè)點E的速度為1個單位每秒，點F的速度為個單位每秒，運動時間為x秒，ΔAEF的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出當x為何值時，y的值最大，最大值為多少？(3)如圖3，H在線段AB上且AH＝HB，M為DF的中點，當點E、F分別在線段AD、AB上運動時，探究點E、F在什么位置能使EM＝HM．并說明理由．8．如圖，在中，，將繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接．點P從點B出發(fā)，沿方向勻速運動，速度為；同時，點Q從點A出發(fā)，沿方向勻速運動，速度為．交于點F，連接．設(shè)運動時間為．解答下列問題：(1)當時，求t的值；(2)設(shè)四邊形的面積為，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)是否存在某一時刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．9．如圖，在中，，，．動點從點出發(fā)，以的速度沿邊向終點勻速運動．以為一邊作，另一邊與折線相交于點，以為邊作菱形，點在線段上．設(shè)點的運動時間為，菱形與重疊部分圖形的面積為．(1)當點在邊上時，的長為；（用含的代數(shù)式表示）(2)當點落在邊上時，求的值；(3)求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍．10．如圖，在菱形紙片中，，，對角線與相交于點，點是對角線上一動點，連接，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，點是線段的中點．(1)求證：；(2)求面積的最大值；(3)當為等腰三角形時，直接寫出線段的長．11．如圖，中，，，其中，．

(1)直接寫出線段的中點的坐標；(2)反比例函數(shù)的圖象過點，與交于點，求的值；(3)點為（2）中反比例函數(shù)圖象上一動點(點在，之間運動，不與，重合)，過點作，交軸于點，過點作軸，交于點，連接，求面積的最大值，并求出此時點的坐標．12．如圖，四邊形為平行四邊形，，，，對角線、交于點O．動點P從點A出發(fā)，沿方向勻速運動，速度為；同時，點Q從點D出發(fā)，沿方向運動，速度為．連接交于點E；過P作，延長交于點N．設(shè)運動時間為，解答下列問題：

(1)當t為何值時，四邊形為矩形？(2)設(shè)四邊形的面積為，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；(3)是否存在某一時刻，使點N在的平分線上？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．13．如圖，是等腰直角三角形，，，點P沿折線向終點C運動，在上的速度為每秒2個單位長度，在上的速度為每秒個單位長度．過點P作于點D，以為邊向右側(cè)作矩形，且．設(shè)點P的運動時間為t秒，矩形和重疊部分圖形的面積為S．(1)當點F在上時，______．(2)當矩形和重疊部分的圖形為四邊形時，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式，并寫出t的取值范圍．14．如圖，在平面直角坐標系中，為原點，是等腰直角三角形，，頂點，點在第一象限，正方形的頂點，點在軸的正半軸上，點在第二象限．(1)填空：點的坐標為_____，點的坐標為_____；(2)將正方形沿軸向右平移，得到正方形，點、、、的對應點分別為、、、．設(shè)，正方形與重疊部分圖形的面積為．①當點與點重合時，求的值；②求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍．15．在平面直角坐標系中，為原點，點，點在軸的正半軸上，，是等邊三角形，點在第二象限．(1)填空：如圖①，點的坐標為________，點的坐標為________；(2)將沿軸向右平移得到，點的對應點分別為．①如圖②，設(shè)，與重疊部分的面積為，當與重疊部分為五邊形時，分別與相交于點，試用含有的式子表示，并直接寫出的取值范圍；②連接、，當取得最小值時，求點的坐標（直接寫出結(jié)果即可）．16．在平面直角坐標系中，O為原點，平行四邊形的頂點，矩形的頂點．(1)填空：如圖①，點B的坐標為_______，點G的坐標為______；(2)如圖②，將矩形沿水平方向向右平移t個單位長度，得到矩形，點D，E，F(xiàn)，G的對應點分別為點，，，，矩形與平行四邊形重疊部分面積為S．①若，且矩形與平行四邊形重疊部分為五邊形時，試用含有t的式子表示S，并直接寫出t的取值范圍；②當時，求S的取值范圍（直接寫出結(jié)果即可）．參考答案1．如圖，在矩形中，，點E是邊上的動點，連結(jié)，以為邊作矩形（點D，G在的同側(cè)），且，連結(jié)．(1)如圖1，當點E為邊的中點時，點B，E，F(xiàn)在同一直線上，求的長．(2)如圖2，若，設(shè)與交于點K．求證：．(3)在點E的運動過程中，的長是否存在最大（?。┲?？若存在，求出的最值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)見解析(3)存在，最小值，最大值【分析】（1）當點E在的中點時可得，則和是等腰直角三角形，分別求出和的長，然后根據(jù)線段的和差即可解答；（2）如圖：過B作交于M，由可得，即可得到得到，推出，再由得到，最后證明，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明結(jié)論；（3）如圖：過點F作的垂線，交延長線于點M，過點E作的平行線交于點N，交于點P．設(shè)．然后證明可得，根據(jù)勾股定理可得，進而得到，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：∵矩形中，∴，，∵點E在的中點∴∴，∵點B、E、F在同一直線上∴∵∴∴∴．（2）證明：如圖：過B作交于H∵∴，∵∴，∵∴∴∴∴∵∴∴．（3）解：存在，的最小值，最大值．如圖：過點F作的垂線，交延長線于點M，過點E作的平行線交于點N，交于點P．則設(shè)．∵四邊形和四邊形都是矩形∴∴∵，即∴在中，即，

當時，y有最小值為．

∴當時，y有最大值為∴在點E的運動過程中，的長存在最小值，最大值．【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理、相似三角形的判定與性質(zhì)、二次函數(shù)的應用等知識點，正確添加恰當輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．2．如圖，中，，，，，反比例函數(shù)的圖象與交于點，與交于點E．

(1)求m，k的值；(2)點P為反比例函數(shù)圖象上一動點（點P在D，E之間運動，不與D，E重合），過點P作，交y軸于點M，過點P作軸，交于點N，連接，求面積的最大值，并求出此時點P的坐標．【答案】(1)，(2)最大值是，此時【分析】本題考查了二次函數(shù)，反比例函數(shù)，等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是：（1）先求出B的坐標，然后利用待定系數(shù)法求出直線的函數(shù)表達式，把D的坐標代入直線的函數(shù)表達式求出m，再把D的坐標代入反比例函數(shù)表達式求出k即可；（2）延長交y軸于點Q，交于點L．利用等腰三角形的判定與性質(zhì)可得出，設(shè)點P的坐標為，，則可求出，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：，．又．點．設(shè)直線的函數(shù)表達式為將，代入，得解得∴直線的函數(shù)表達式為．將點代入，得．．將代入，得．（2）解：延長交y軸于點Q，交于點L．

，．軸，．．設(shè)點P的坐標為，，則，．．．當時，有最大值，此時．3．如圖，在平面直角坐標系中，菱形的邊在x軸上，，的長是一元二次方程的根，過點C作x軸的垂線，交對角線于點D，直線分別交x軸和y軸于點F和點E，動點M從點O以每秒1個單位長度的速度沿向終點D運動，動點N從點F以每秒2個單位長度的速度沿向終點E運動．兩點同時出發(fā)，設(shè)運動時間為t秒．

(1)求直線的解析式．(2)連接，求的面積S與運動時間t的函數(shù)關(guān)系式．(3)點N在運動的過程中，在坐標平面內(nèi)是否存在一點Q．使得以A，C，N，Q為項點的四邊形是矩形．若存在，直接寫出點Q的坐標，若不存在，說明理由．【答案】(1)；(2)；(3)存在，點Q的坐標是或．【分析】（1）過點A作于H，解方程可得，然后解直角三角形求出、和的長，得到點A、D的坐標，再利用待定系數(shù)法求出解析式即可；（2）首先證明是等邊三角形，求出，然后分情況討論：①當點N在上，即時，過點N作于P，②當點N在上，即時，過點N作于T，分別解直角三角形求出和，再利用三角形面積公式列式即可；（3）分情況討論：①當是直角邊時，則，過點N作于K，首先求出，然后解直角三角形求出和，再利用平移的性質(zhì)得出點Q的坐標；②當是對角線時，則，過點N作于L，證明，可得，然后解直角三角形求出，再利用平移的性質(zhì)得出點Q的坐標．【詳解】（1）解：解方程得：，∴∵四邊形是菱形，∴，∴∴過點A作于H∵∴，∴設(shè)直線的解析式為代入，得：解得：∴直線的解析式為；

（2）解：由（1）知在中，，∴，∵直線與y軸交于點E∴∴∴是等邊三角形∴，∴∴①當點N在上，即時由題意得：，過點N作于P則∴；

②當點N在上，即時由題意得：，過點N作于T則∴；綜上，；

（3）解：存在，分情況討論：①如圖，當是直角邊時，則，過點N作于K∵，∴，∴∴∴，∴將點N向左平移個單位長度，再向下平移個單位長度得到點C∴將點A向左平移個單位長度，再向下平移個單位長度得到點Q∵∴；

②如圖，當是對角線時，則，過點N作于L∵，∴是等邊三角形∴∴∴∴∴將點C向右平移3個單位長度，再向上平移個單位長度得到點N∴將點A向右平移3個單位長度，再向上平移個單位長度得到點Q∵∴；∴存在一點Q，使得以A，C，N，Q為頂點的四邊形是矩形，點Q的坐標是或．

【點睛】本題考查了解一元二次方程，菱形的性質(zhì)，解直角三角形，待定系數(shù)法的應用，等邊三角形的判定和性質(zhì)，含直角三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的應用，矩形的判定和性質(zhì)以及平移的性質(zhì)等知識，靈活運用各知識點，作出合適的輔助線，熟練掌握數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應用是解題的關(guān)鍵．4．如圖1，拋物線（）與軸交于，兩點，與軸交于點．(1)求拋物線的解析式；(2)點P在拋物線上，點Q在x軸上，以B，C，P，Q為頂點的四邊形為平行四邊形，求點P的坐標；(3)如圖2，拋物線頂點為D，對稱軸與x軸交于點E，過點的直線（直線除外）與拋物線交于G，H兩點，直線，分別交x軸于點M，N．試探究是否為定值，若是，求出該定值；若不是，說明理由．【答案】(1)(2)或或(3)定值，理由見詳解【分析】（1）將兩點代入拋物線的解析式即可求解；（2）根據(jù)P，Q的不確定性，進行分類討論：①過作軸，交拋物線于，過作，交軸于，可得，由，可求解；②在軸的負半軸上取點，過作，交拋物線于，同時使，連接、，過作軸，交軸于，，即可求解；③當為平行四邊形的對角線時，在①中，只要點Q在點B的左邊，且滿足，也滿足條件，只是點P的坐標仍是①中的坐標；（3）可設(shè)直線的解析式為，，，可求，再求直線的解析式為，從而可求，同理可求，即可求解．【詳解】（1）解：拋物線與x軸交于兩點解得故拋物線的解析式為．（2）解：①如圖，過作軸，交拋物線于，過作，交軸于四邊形是平行四邊形解得：，；②如圖，在軸的負半軸上取點，過作，交拋物線于，同時使，連接、，過作軸，交軸于四邊形是平行四邊形在和中()解得：，；如上圖，根據(jù)對稱性：③當為平行四邊形的對角線時，由①知，點Q在點B的左邊，且時，也滿足條件，此時點P的坐標仍為；綜上所述：的坐標為或或．（3）解：是定值理由：如圖，直線經(jīng)過可設(shè)直線的解析式為、在拋物線上可設(shè)，整理得：，當時，設(shè)直線的解析式為，則有解得直線的解析式為當時，解得：同理可求：；當與對調(diào)位置后，同理可求；故的定值為．【點睛】本題考查了二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問題，待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，求函數(shù)圖象與坐標軸交點坐標，動點產(chǎn)生的平行四邊形判定，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，理解一次函數(shù)與二次函數(shù)圖象的交點，與對應一元二次方程根的關(guān)系，掌握具體的解法，并會根據(jù)題意設(shè)合適的輔助未知數(shù)是解題的關(guān)鍵．5．如圖，在矩形中，，，是上一點，，是上的動點，連接，是上一點，且（為常數(shù)，），分別過點、作、的垂線相交于點，設(shè)的長為，的長為．

(1)若，，則的值為________；(2)求與之間的函數(shù)表達式；(3)在點從點到點的整個運動過程中，若線段上存在點，則的值應滿足什么條件？直接寫出的取值范圍．【答案】(1)5(2)(3)【分析】（1）根據(jù)，得，則，代入計算即可；（2）利用，得，再由，得，即可證明結(jié)論；（3）根據(jù)點P在上，可得，再由點G在上，可得，進而解決問題．【詳解】（1）解：∵∴∵四邊形是矩形∴∴∴∴∵∴∵∴∵∴∴∴故答案為：5；（2）解：∵，∴又∵∴∴，在中，，∴又∵∴∴即；（3）解：若點在上，則由（2）得∴∵點從點到點運動∴∴∴即又∵是上一點∴∴．【點睛】本題是相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角函數(shù)等知識，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．如圖1，拋物線，交軸于A、B兩點，交軸于點，為拋物線頂點，直線垂直于軸于點，當時，．(1)求拋物線的表達式；(2)點是線段上的動點（除、外），過點作軸的垂線交拋物線于點．①當點的橫坐標為2時，求四邊形的面積；②如圖2，直線，分別與拋物線對稱軸交于、兩點．試問，是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．【答案】(1)(2)①；②是，定值為，理由見解析【分析】（1）由當時，，可知，是的兩根，代入方程可得從而得解；（2）①把代入拋物線解析式可得D點坐標，再代入拋物線解析式可得C點坐標從而得知線段軸，利用配方法可知點F坐標，從而利用求面積；②設(shè)，用待定系數(shù)法求出直線與直線的解析式，再令得，，從而得出，的長，從而得到是定值8．【詳解】（1）解：∵當時，∴，是的兩根，∴解得：拋物線的表達式為：；（2）①把代入得：．又當，線段軸．；②設(shè)直線，因此可得：或解得：或直線．令得，，．【點睛】本題考查二次函數(shù)與一次函數(shù)綜合，涉及四邊形的面積求法，待定系數(shù)法等知識，掌握待定系數(shù)法和面積求法是解題的關(guān)鍵．7．如圖，平行四邊形ABCD中，DB＝，AB＝4，AD＝2，動點E，F(xiàn)同時從A點出發(fā)，點E沿著A→D→B的路線勻速運動，點F沿著A→B→D的路線勻速運動，當點E，F(xiàn)相遇時停止運動．(1)如圖1，設(shè)點E的速度為1個單位每秒，點F的速度為4個單位每秒，當運動時間為秒時，設(shè)CE與DF交于點P，求線段EP與CP長度的比值；(2)如圖2，設(shè)點E的速度為1個單位每秒，點F的速度為個單位每秒，運動時間為x秒，ΔAEF的面積為y，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并指出當x為何值時，y的值最大，最大值為多少？(3)如圖3，H在線段AB上且AH＝HB，M為DF的中點，當點E、F分別在線段AD、AB上運動時，探究點E、F在什么位置能使EM＝HM．并說明理由．【答案】(1)；(2)y關(guān)于x的函數(shù)解析式為；當時，y的最大值為；(3)當EF∥BD時，能使EM＝HM．理由見解析【分析】（1）延長DF交CB的延長線于點G，先證得，可得，根據(jù)題意可得AF=，AE=，可得到CG=3，再證明△PDE∽△PGC，即可求解；（2）分三種情況討論：當0≤x≤2時，E點在AD上，F(xiàn)點在AB上；當時，E點在BD上，F(xiàn)點在AB上；當時，點E、F均在BD上，即可求解；（3）當EF∥BD時，能使EM＝HM．理由：連接DH，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】（1）解：如圖，延長DF交CB的延長線于點G∵四邊形ABCD是平行四邊形∴∴∴∵點E的速度為1個單位每秒，點F的速度為4個單位每秒，運動時間為秒∴AF=，AE=∵AB=4，AD=2∴BF=，ED=∴∴BG=1∴CG=3∵∴△PDE∽△PGC∴∴；（2）解：根據(jù)題意得：當0≤x≤2時，E點在AD上，F(xiàn)點在AB上，此時AE=x，∵，AB=4，AD=2∴∴△ABD是直角三角形∵∴∠ABD=30°∴∠A=60°如圖，過點E作交于H∴∴；∴當x＞0時，y隨x的增大而增大此時當x=2時，y有最大值3；當時，E點在BD上，F(xiàn)點在AB上如圖，過點E作交于N，過點D作交于M，則EN∥DM根據(jù)題意得：DE=x-2∴在Rt△ABD中，，AM=1∵EN∥DM∴△BEN∽△BDM∴∴∴∴此時該函數(shù)圖象的對稱軸為直線∴當時，y隨x的增大而增大此時當時，y有最大值；當時，點E、F均在BD上過點E作交于Q，過點F作交于P，過點D作DM⊥AB于點M∴，DA+DE=x∵AB=4，AD=2∴，∵PF∥DM∴△BFP∽△BDM∴，即∴∵∴△BEQ∽△BDM∴，即∴∴此時y隨x的增大而減小此時當時，y有最大值；綜上所述：y關(guān)于x的函數(shù)解析式為當時，y最大值為；（3）解：當EF∥BD時，能使EM＝HM．理由如下：連接DH，如圖∵，AB=4∴．AH=1由（2）得：此時∵M是DF的中點∴HM=DM=MF∵EF∥BD，BD⊥AD∴EF⊥AD∴EM=DM=FM∴EM=HM．【點睛】本題是四邊形的綜合題，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，分類討論，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．8．如圖，在中，，將繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到，連接．點P從點B出發(fā)，沿方向勻速運動，速度為；同時，點Q從點A出發(fā)，沿方向勻速運動，速度為．交于點F，連接．設(shè)運動時間為．解答下列問題：(1)當時，求t的值；(2)設(shè)四邊形的面積為，求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)是否存在某一時刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，【分析】（1）利用得，即，進而求解；（2）分別過點C，P作，垂足分別為M，N，證得，，求得，再證得，得出，根據(jù)即可求出表達式；（3）當時，易證，得出，則，進而求出t值．【詳解】（1）解：在中，由勾股定理得，∵繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到∴∵∴又∴∴∴∴答：當時，t的值為．（2）解：分別過點C，P作，垂足分別為M，N∵∴又∴∴∴∴∵∴∴∴∴∴∴∴（3）解：假設(shè)存在某一時刻t，使∵∴∵∴又∴∴∴∴∴存在時刻，使．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)與相似，利用勾股定理求線段長，平行線的性質(zhì)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，找到相似圖形是解決問題的關(guān)鍵，是中考中的?？碱}．9．如圖，在中，，，．動點從點出發(fā)，以的速度沿邊向終點勻速運動．以為一邊作，另一邊與折線相交于點，以為邊作菱形，點在線段上．設(shè)點的運動時間為，菱形與重疊部分圖形的面積為．(1)當點在邊上時，的長為；（用含的代數(shù)式表示）(2)當點落在邊上時，求的值；(3)求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出自變量的取值范圍．【答案】(1)2x(2)1(3)【分析】（1）先證明∠A=∠AQP=30°，即AP=PQ，根據(jù)題意有AP=2x，即PQ=2x；（2）當M點在BC上，Q點在AC上，在（1）中已求得AP=PQ=2x，再證明△MNB是等邊三角形，即有BN=MN，根據(jù)AB=6x=6cm，即有x=1（s）；（3）分類討論：當時，此時菱形PQMN在△ABC的內(nèi)部，此時菱形PQMN與△ABC重疊的面積即是菱形PQMN的面積，過Q點作QG⊥AB于G點，求出菱形的面積即可；當x＞1，且Q點在線段AC上時，過Q點作QG⊥AB于G點，設(shè)QM交BC于F點，MN交BC于E點，過M點作NH⊥EF于H點，先證明△ENB是等邊三角形、△MEF是等邊三角形，重疊部分是菱形PQMN的面積減去等邊△MEF的面積，求出菱形PQMN的面積和等邊△MEF的面積即可，此時需要求出當Q點在C點時的臨界條件；當時，此時Q點在線段BC上，此時N點始終與B點重合，過Q點作QG⊥AB于G點，重疊部分的面積就是△PBQ的面積，求出等邊△PBQ的面積即可．【詳解】（1）當Q點在AC上時∵∠A=30°，∠APQ=120°∴∠AQP=30°∴∠A=∠AQP∴AP=PQ∵運動速度為每秒2cm，運動時間為x秒∴AP=2x∴PQ=2x；（2）當M點在BC上，Q點在AC上，如圖在（1）中已求得AP=PQ=2x∵四邊形QPMN是菱形∴PQ=PN=MN=2x，∵∠APQ=120°∴∠QPB=60°∵∴∠MNB=∠QPB=60°∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°∴∠B=60°∴△MNB是等邊三角形∴BN=MN∴AB=AP+PN+BN=2x×3=6x=6cm∴x=1（s）；（3）當P點運動到B點時，用時6÷2=3（s）即x的取值范圍為：當M點剛好在BC上時在（2）中已求得此時x=1分情況討論即當時，此時菱形PQMN在△ABC的內(nèi)部∴此時菱形PQMN與△ABC重疊的面積即是菱形PQMN的面積過Q點作QG⊥AB于G點，如圖∵∠APQ=120°∴∠QPN=60°，即菱形PQMN的內(nèi)角∠QPN=∠QMN=60°∴QG=PQ×sin∠QPN=2x×sin60°=∴重疊的面積等于菱形PQMN的面積為，即為：；當x＞1，且Q點在線段AC上時過Q點作QG⊥AB于G點，設(shè)QM交BC于F點，MN交BC于E點，過M點作NH⊥EF于H點，如圖∵∴∠MNB=∠QPN=60∵∠B=60°∴△ENB是等邊三角形同理可證明△MEF是等邊三角形∴BN=NE，∠MEF=60°，ME=EF∵AP=PQ=PN=MN=2x，AB=6∴BN=6-AN=6-4x∴ME=MN-NE=2x-BN=6x-6∵MH⊥EF∴MH=ME×sin∠MEH=(6x-6)×sin60°=∴△MEF的面積為：QG=PQ×sin∠QPN=2x×sin60°=∵菱形PQMN的面積為∴重疊部分的面積為當Q點與C點重合時，可知此時N點與B點重合，如圖∵∠CPB=∠CBA=60°∴△PBC是等邊三角形∴PC=PB∵AP=PQ=2x∴AP=PB=2x∴AB=AP+PB=4x=6則x=即此時重合部分的面積為：，；當時，此時Q點在線段BC上，此時N點始終與B點重合，過Q點作QG⊥AB于G點，如圖∵AP=2x∴PB=AB-AP=6-2x∵∠QPB=∠ABC=60°∴△PQB是等邊三角形∴PQ=PB，同時印證菱形PQMN的頂點N始終與B點重合∴QG=PQ×sin∠QPN=(6-2x)×sin60°=∴∴此時重疊部分的面積綜上所述：．【點睛】本題考查了一次函數(shù)的應用、菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、解直角三角形等知識，理清運動過程中Q點的位置以及菱形PQMN的位置是解答本題的關(guān)鍵．解答本題需要注意分類討論的思想．10．如圖，在菱形紙片中，，，對角線與相交于點，點是對角線上一動點，連接，將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)得到，連接，，點是線段的中點．(1)求證：；(2)求面積的最大值；(3)當為等腰三角形時，直接寫出線段的長．【答案】(1)見解析(2)(3)或【分析】（1）利用菱形的性質(zhì)結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，易證，即可得出結(jié)論；（2）過點F作于點H，由題意得，則當面積最大時，面積最大，利用菱形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理求出，設(shè)，則，，求出，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解答；（3）解：連接，設(shè)，則，求出，；分時，過點D作于點P，過點E作于點M，時，過點E作于點M，，三種情況討論，利用等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合勾股定理建立方程求解即可．【詳解】（1）證明：∵四邊形是菱形，∴由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：∴∴∴∴；（2）解：過點F作于點H∵點是線段的中點∴，則當面積最大時，面積最大∵四邊形是菱形，∴∴由（1）知∴，∴∵∴∴∵四邊形是菱形，∴∴∵∴∴∴設(shè)，則，∴∴當，即點重合時，面積最大，最大值為∴面積的最大值為：；（3）解：連接由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：，∴是等腰三角形∴∵點是線段的中點∴平分，∴設(shè)，則∴∴；如圖，當時，過點D作于點P，過點E作于點M則，設(shè)，則，∵∴整理得：∴∴∵∴∴∴，即令，則解得：或∴或當時，當時，（舍去）；如圖，當時，過點E作于點M則∵∴∴∴在中，∴，即解得：（負值舍去）∴；當時∵點是線段的中點∴∴∵∴∵∴，顯然矛盾，故不存在；綜上，當為等腰三角形時，線段的長為或．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形等，二次函數(shù)的性質(zhì)熟練掌握和應用相關(guān)的性質(zhì)與定理是解題的關(guān)鍵．11．如圖，中，，，其中，．

(1)直接寫出線段的中點的坐標；(2)反比例函數(shù)的圖象過點，與交于點，求的值；(3)點為（2）中反比例函數(shù)圖象上一動點(點在，之間運動，不與，重合)，過點作，交軸于點，過點作軸，交于點，連接，求面積的最大值，并求出此時點的坐標．【答案】(1)(2)(3)最大值是，此時【分析】本題考查了二次函數(shù)，反比例函數(shù)，等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是運用數(shù)形結(jié)合思想解題．（1）先求出B的坐標，再用中點坐標公式求解即可；（2）將代入即可的解；（3）延長交y軸于點Q，交于點L．利用等腰三角形的判定與性質(zhì)可得出，設(shè)點P的坐標為，，則可求出，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】（1）解：，．又．點．又∵線段的中點是點，∴；（2）解：將代入，得．（3）解：延長交y軸于點Q，交于點L．

，．軸，．．設(shè)點P的坐標為，，則，．．．當時，有最大值，此時．12．如圖，四邊形為平行四邊形，，，，對角線、交于點O．動點P從點A出發(fā)，沿方向勻速運動，速度為；同時，點Q從點D出發(fā)，沿方向運動，速度為．連接交于點E；過P作，延長交于點N．設(shè)運動時間為，解答下列問題：

(1)當t為何值時，四邊形為矩形？(2)設(shè)四邊形的面積為，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；(3)是否存在某一時刻，使點N在的平分線上？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，【分析】（1）首先證明出，然后證明出當時，此時四邊形為矩形，得到，，表示出，，然后代入求解即可；（2）如圖所示，連接，過點P作交于點H，證明出，得到，表示出，，同理表示出，然后根據(jù)代入表示即可；（3）如圖所示，過點N作交于點G，過點C作交于點F，勾股定理求出，表示出，由角平分線的性質(zhì)得到，然后根據(jù)等面積得到，代數(shù)求出，得到，然后證明出，得到，代數(shù)求解即可．【詳解】（1）∵，，∴∴∵∴∵四邊形為平行四邊形∴∴當時，四邊形四邊形為平行四邊形又∵∴此時四邊形為矩形∴此時∴∵四邊形為平行四邊形∴，∵動點P從點A出發(fā)，沿方向勻速運動，速度為；同時，點Q從點D出發(fā)，沿方向運動，速度為，設(shè)運動時間為∴，∴∴代入得，解得∴當時，四邊形為矩形；（2）如圖所示，連接，過點P作交于點H

∵∴∵∴∴∴，即∴∵，∴∵∴∴，即∴∴∴S與t的函數(shù)關(guān)系式為；（3）存在，，理由如下：如圖所示，過點N作交于點G，過點C作交于點F

∵四邊形為平行四邊形，，，∴∴∴當點N在的平分線上時∵，∴∴又∵∴，即∴∴∵∴∴，即∴．∴當時，點N在的平分線上．【點睛】此題考查了二次函數(shù)和幾何動點問題，平行四邊形的性質(zhì)，動點問題函數(shù)圖象，勾股定理，相似三角形的性質(zhì)和判定等知識，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點．13．如圖，是等腰直角三角形，，，點P沿折線向終點C運動，在上的速度為每秒2個單位長度，在上的速度為每秒個單位長度．過點P作于點D，以為邊向右側(cè)作矩形，且．設(shè)點P的運動時間為t秒，矩形和重疊部分圖形的面積為S．(1)當點F在上時，______．(2)當矩形和重疊部分的圖形為四邊形時，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式，并寫出t的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】本題考查動點問題的函數(shù)解析式，矩形的性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的判定與性質(zhì)；（1）由是等腰直角三角形，得到，，，當點F在上時，由題意得，，則，由矩形，得到，則，據(jù)此列方程求解即可；（2）當在上，到之前時；當在上，到之后時；當在上時，三種情況分類討論，分別畫出圖形，表示出對應線段的長度，求出當矩形和重疊部分的圖形為四邊形時，求S關(guān)于t的函數(shù)解析式即可，注意證明等腰直角三角形．【詳解】（1）解：∵是等腰直角三角形，，∴，，當點F在上時，由題意得，，則∵矩形∴∴∴∴∴解得故答案為：；（2）解：當在上，到之前時，，如圖此時矩形和重疊部分的圖形為矩形，；當在上，到之后時，，如圖此時矩形和重疊部分的圖形為五邊形，不合題意；當在上時，如圖，設(shè)與交點此時矩形和重疊部分的圖形為梯形此時由題意可得：，∵∴，解得∵矩形∴，，∴∴∴，，∴∴∵∴∴∴矩形和重疊部分的圖形面積；綜上所述，．14．如圖，在平面直角坐標系中，為原點，是等腰直角三角形，，頂點，點在第一象限，正方形的頂點，點在軸的正半軸上，點在第二象限．(1)填空：點的坐標為_____，點的坐標為_____；(2)將正方形沿軸向右平移，得到正方形，點、、、的對應點分別為、、、．設(shè)，正方形與重疊部分圖形的面積為．①當點與點重合時，求的值；②求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出的取值范圍．【答案】(1)，；(2)；．【分析】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、二次函數(shù)與幾何的綜合．解決要本題的關(guān)鍵是利用分類討論的思想，分情況求解．過點作，因為，，根據(jù)點的坐標是，可得，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得：，從而可得點的坐標是；根據(jù)正方形的頂點的坐標可得，可得點的坐標是；當點與點重合時，正方形向右平移了個單位長度，從而可知；正方形向右平移時：當時，重疊部分是等腰直角三角形；當時，重疊部分是五邊形；當時，重疊部分是等腰直角三角形；當時，正方形與等腰直角三角形沒有重疊部分．分情況根據(jù)三角形的面積公式求出與的函數(shù)關(guān)系式即可．【詳解】（1）解：如下圖所示，過點作是等腰直角三角形，點的坐標是點的坐標是；正方形的頂點點的坐標是故答案為：，；（2）解：當點與點重合時，如下圖所示此時；當時正方形與重疊部分為等腰直角三角形如圖①所示由題意，得；當時正方形與重疊部分為五邊形如圖②所示由圖可知：由可知；當時正方形與重疊部分為等腰直角三角形如圖③所示由題意，得整理得：．綜上所述，15．在平面直角坐標系中，為原點，點，點在軸的正半軸上，