福建省莆田市仙游華僑中學(xué)2024−2025學(xué)年高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試卷（含解析）

福建省莆田市仙游華僑中學(xué)2024?2025學(xué)年高一下學(xué)期3月月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．下列說(shuō)法正確的是（）A．若兩個(gè)單位向量平行，則這兩個(gè)單位向量相等B．兩個(gè)有共同起點(diǎn)，且長(zhǎng)度相等的向量，它們的終點(diǎn)相同C．若，，則D．向量與向量的長(zhǎng)度相等2．已知向量，，，則（）A．6 B．4 C．-6 D．-43．已知向量，若，則（

）A． B． C． D．4．在中，已知，且，則的形狀為（）A．直角三角形 B．等腰直角三角形C．有一個(gè)角為的直角三角形 D．等邊三角形5．若向量，，則與的夾角等于（

）A． B． C． D．6．在邊長(zhǎng)為2的正方形中，是的中點(diǎn)，點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．如圖，在中，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)分別交于點(diǎn)，，且，則的最小值為（

）

A．1 B．2 C．4 D．8．設(shè)向量與的夾角為，定義，已知，，，則（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知向量都是單位向量，，則（

）A．= B．=C．= D．與共線(xiàn)10．下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．單位向量都相等B．，能作為平面向量的一組基底C．在邊長(zhǎng)為1的等邊中，D．兩個(gè)非零向量，若，則與共線(xiàn)且反向11．下列關(guān)于平面向量的說(shuō)法中正確的是（

）A．O為點(diǎn)A，B，C所在直線(xiàn)外一點(diǎn)，且，則B．已知非零向量，且與的夾角為銳角，則實(shí)數(shù)的取值范圍是C．已知向量，則在上的投影向量的坐標(biāo)為D．若點(diǎn)G為△的外心，則三、填空題（本大題共3小題）12．已知向量的夾角為，且，則.13．已知a、b、c分別為的三個(gè)內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，，且，則面積的最大值為．14．如圖所示，小明在D處觀測(cè)到A島嶼和B島嶼分別在D處的北偏西15°和北偏東45°方向，再往正東方向行駛20海里至C處，觀測(cè)到B島嶼在C處的正北方向，A島嶼在C處的北偏西60°方向，則A，B兩處島嶼間的距離為海里.

四、解答題（本大題共5小題）15．已知非零向量，滿(mǎn)足，且，.(1)求的值；(2)設(shè)與的夾角為，求及的值.16．已知在中，A+B=3C,2sinA-C(1)求；(2)設(shè)，求邊上的高．17．記的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，(1)求B；(2)若的面積為，求c．18．在中，，．（1）求；（2）再?gòu)臈l件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一確定，求邊上中線(xiàn)的長(zhǎng)．條件①：；條件②：的周長(zhǎng)為；條件③：的面積為；19．在銳角中，角所對(duì)的邊分別為，且.(1)求；(2)若，求周長(zhǎng)的取值范圍.

參考答案1．【答案】D【詳解】單位向量是指模等于的向量.若兩個(gè)單位向量平行，它們的方向可能相同或相反.當(dāng)方向相反時(shí)，這兩個(gè)單位向量并不相等.所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.兩個(gè)有共同起點(diǎn)且長(zhǎng)度相等的向量，它們的方向不一定相同.向量由大小和方向共同決定，方向不同時(shí)，終點(diǎn)也不同.比如，以原點(diǎn)為起點(diǎn)，長(zhǎng)度都為的向量，一個(gè)沿軸正方向，一個(gè)沿軸正方向，它們的終點(diǎn)顯然不同.所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.當(dāng)時(shí)，對(duì)于任意向量和，都有且，但與不一定平行.因?yàn)榱阆蛄颗c任意向量都平行.所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.向量與向量是方向相反的向量，但它們的長(zhǎng)度是相等的，因?yàn)橄蛄康拈L(zhǎng)度只與向量的大小有關(guān)，與方向無(wú)關(guān).所以D選項(xiàng)正確.故選D.2．【答案】C【詳解】因?yàn)?，，，所以，，則．故選C.3．【答案】D【詳解】由，得，解得，由，得，解得，所以，則.故選D.4．【答案】D【詳解】由可得，又，所以，由和正弦定理可得，即，所以，所以，所以的形狀為等邊三角形，故選D.5．【答案】C【詳解】因?yàn)橄蛄?，，所以，，所以，，，設(shè)與的夾角為，則，又，所以.故選C6．【答案】A【詳解】如圖所示建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，顯然，所以，由二次函數(shù)的單調(diào)性知.故選A.7．【答案】A【詳解】因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，且，所以.因?yàn)槿c(diǎn)共線(xiàn)，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故選A.8．【答案】D【詳解】，，，即，則，故，得，，，.故選D.9．【答案】AC【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，向量、、都是單位向量，，則，所以，A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，在等式兩邊平方可得，即，則，則，所以，故，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，因?yàn)椋瑒t，所以，所以，故，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，，若與共線(xiàn)，則存在，使得，即，可得，即，這與矛盾，假設(shè)不成立，D錯(cuò).故選AC.10．【答案】AC【詳解】對(duì)于A，單位向量的方向不一定相同，因此“單位向量都相等”的說(shuō)法錯(cuò)誤，即A錯(cuò)誤；對(duì)于B，顯然不存在實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，即不共線(xiàn)，所以能作為平面向量的一組基底，即B正確；對(duì)于C，在邊長(zhǎng)為1的等邊中，易知，即C錯(cuò)誤；對(duì)于D，易知若，可知與共線(xiàn)且反向，即D正確.故選AC.11．【答案】ACD【詳解】對(duì)于A，由，，三點(diǎn)共線(xiàn)，為點(diǎn)，，所在直線(xiàn)外一點(diǎn)，有，其中，即，所以，故A正確；對(duì)于B，，因?yàn)榕c的夾角為銳角，則，解得，當(dāng)與共線(xiàn)時(shí)，，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故B不正確；對(duì)于C，，，所以在上的投影向量的坐標(biāo)為，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)辄c(diǎn)為的外心，所以，故D正確.故選ACD.12．【答案】1【詳解】，故.13．【答案】【詳解】解析：因?yàn)?，根?jù)正弦定理可知，即，由余弦定理可知，又，故，又因?yàn)?，所以，（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)），即所以，即面積的最大值為.14．【答案】10【詳解】由題可知，，，在中，，，在中，，在中，，故.15．【答案】(1)(2)，.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，故，又，所以，?）因?yàn)?，所以；所以，所以，因?yàn)?，又，，，所?16．【答案】(1)(2)6【分析】（1）根據(jù)角的關(guān)系及兩角和差正弦公式，化簡(jiǎn)即可得解；（2）利用同角之間的三角函數(shù)基本關(guān)系及兩角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根據(jù)等面積法求解即可.【詳解】（1），，即，又，，，，即，所以，.（2）由（1）知，，由=sinA由正弦定理，，可得，，.17．【答案】(1)(2)【詳解】（1）由余弦定理有，對(duì)比已知，可得，因?yàn)?，所以，從而，又因?yàn)椋?，注意到，所?（2）由（1）可得，，，從而，，而，由正弦定理有，從而，由三角形面積公式可知，的面積可表示為，由已知的面積為，可得，所以.18．【答案】（1）；（2）答案不唯一，具體見(jiàn)解析．【詳解】（1），則由正弦定理可得，，，，，，解得；（2）若選擇①：由正弦定理結(jié)合（1）可得，與矛盾，故這樣的不存在；若選擇②：由（1）可得，設(shè)的外接圓半徑為，則由正弦定理可得，，則周長(zhǎng)，解得，則，由余弦定理可得邊上的中線(xiàn)的長(zhǎng)度為：；若選擇③：由（1）可得，即，則，解得，則由余弦定理可得邊上的中