湖北省“荊、荊、襄、宜四地七校考試聯(lián)盟”2023−2024學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考 數(shù)學(xué)試題（含解析）

湖北省“荊、荊、襄、宜四地七?？荚嚶?lián)盟”2023?2024學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知角的終邊過點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．2．已知集合，則等于（

）A． B． C． D．3．已知向量，，則下列結(jié)論正確的是（

）A． B． C． D．4．若復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．5．一船以每小時(shí)15km的速度向東航行，船在A處看到一個(gè)燈塔B在南偏東，行駛x小時(shí)后，船到達(dá)C處，看到這個(gè)燈塔在南偏西，此時(shí)測得船與燈塔的距離為，則（

）A．2 B．3 C．4 D．56．已知函數(shù)其中且.若時(shí)，恒有，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．7．已知的外接圓的圓心為，且，，則向量在向量上的投影向量為（

）A． B． C． D．8．已知，，且，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．若是平面內(nèi)的一個(gè)基底，則下列四組向量中不能作為平面向量的基底的是（

）A． B．C． D．10．已知的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，則下列說法正確的是（

）A．若，則一定為銳角三角形B．若，則是銳角三角形C．若，則D．若，，，則有兩解11．在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個(gè)非常重要的不動(dòng)點(diǎn)定理，它可應(yīng)用到有限維空間，并構(gòu)成一般不動(dòng)點(diǎn)定理的基石，布勞威爾不動(dòng)點(diǎn)定理得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲布勞威爾，簡單的講就是對于滿足一定條件的圖象不間斷的函數(shù)，存在點(diǎn)，使，那么我們稱該函數(shù)為“不動(dòng)點(diǎn)函數(shù)”，為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的（

）A．函數(shù)，為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)B．函數(shù)恰好有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)C．若函數(shù)恰好有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，則正數(shù)的取值范圍是D．若定義在R上僅有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)的函數(shù)滿足，則三、填空題（本大題共3小題）12．已知正六邊形ABCDEF的邊長為2，則.13．已知復(fù)數(shù)，為虛數(shù)單位，則的最小值為.14．函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和等于.四、解答題（本大題共5小題）15．（1）計(jì)算：；（2）已知，求的值.16．已知函數(shù)的圖象相鄰兩條對稱軸之間的距離為，(1)求函數(shù)的解析式及在上的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在中，為的一個(gè)內(nèi)角，若滿足，，求周長的最大值.17．已知，，分別為三個(gè)內(nèi)角A，，的對邊，，，且.(1)求；(2)若，的面積為，求，.18．已知函數(shù).(1)設(shè)，若為偶函數(shù)，且不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)，設(shè)，若對任意的，，都有，求實(shí)數(shù)的取值范圍.19．在銳角中，點(diǎn)為的外心，.(1)當(dāng)時(shí)，若，求的最大值；(2)當(dāng)時(shí)，求的值；(3)在（2）的條件下，求的取值范圍.

參考答案1．【答案】C【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊過點(diǎn)，所以，所以.故選：C.2．【答案】A【詳解】因?yàn)槭巧系膯握{(diào)遞增函數(shù)，故時(shí)，，故，是R上的減函數(shù)，故時(shí)，，即，故，故選：A3．【答案】D【詳解】對于A選項(xiàng)，因?yàn)椋耘c不共線，故A錯(cuò)誤；對于B選項(xiàng)，因?yàn)?，，所以，故B錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)，因?yàn)?，，所以，所以與不垂直，故C錯(cuò)誤；對于D選項(xiàng)，因?yàn)?，，所以，，所以，故D正確；故選：D.4．【答案】B【詳解】,所以.故選：B.5．【答案】C【詳解】由題意知，在中，，，，又，根據(jù)正弦定理得，故故選：

6．【答案】C【詳解】因?yàn)楫?dāng)時(shí)，恒有，所以當(dāng)時(shí)，恒有，不妨設(shè)，則，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故選：C.7．【答案】D【詳解】因?yàn)椋蕿榈闹悬c(diǎn)，而為外心，故為直角三角形，且，因?yàn)椋?，而向量在向量上的投影向量?故選：D.8．【答案】B【詳解】由，得，設(shè)，則，解得，因?yàn)?，，，所以，解得或，又因?yàn)?，所以，整理得，解得，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立.因此，即，所以的取值范圍是.故選：B.9．【答案】ABC【詳解】對于A，，則為共線向量，不能作為平面向量的基底；對于B，，則為共線向量，不能作為平面向量的基底；對于C，，則為共線向量，不能作為平面向量的基底；對于D，明顯不存在實(shí)數(shù)使，則不共線，可以作為平面向量的基底.故選ABC.【易錯(cuò)警示】對平面向量基本定理的理解應(yīng)注意以下三點(diǎn)：①e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量；②該平面內(nèi)任意向量a都可以用e1，e2線性表示，且這種表示是唯一的；③基不唯一，只要是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量都可作為基．10．【答案】AC【詳解】對于A選項(xiàng)，在中，，則，所以，因?yàn)槿切沃凶疃嘀挥幸粋€(gè)鈍角，所以，即三個(gè)角都為銳角，故A正確；對于B選項(xiàng)，因?yàn)?，所以，所以為銳角，但無法判斷角和角，故B錯(cuò)誤；對于C選項(xiàng)，在中，由及正弦定理，得，根據(jù)三角形大邊對大角的性質(zhì)知，故C正確；對于D選項(xiàng)，由正弦定理得，又由得，因此有一解，故D錯(cuò)誤．故選：AC.11．【答案】ACD【詳解】對于，令，，解得或舍，則函數(shù)，為“不動(dòng)點(diǎn)”函數(shù)，故A正確；對于B，當(dāng)時(shí)，令，解得舍或；當(dāng)時(shí)，，令，解得，不滿足；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方程無解；綜上可得，函數(shù)只有一個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；對于C，函數(shù)的定義域?yàn)椋艉瘮?shù)恰好有兩個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，則方程在上恰好有兩個(gè)不等實(shí)根，即在上恰好有兩個(gè)不等實(shí)根，當(dāng)且時(shí)，，而，則方程在上無實(shí)根，在同一坐標(biāo)系中作出函數(shù)和的圖象，結(jié)合圖象可知，當(dāng)即時(shí)，函數(shù)與函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，不滿足題意；考慮的情況，在上，，則轉(zhuǎn)化為方程在上恰好有兩個(gè)不等實(shí)根，由可得，即，則有，解得，故C正確；對于D，由題可知，僅有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得，因?yàn)楹瘮?shù)滿足，則有，令，可得，即，可得，解得或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方程有兩個(gè)根，，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)方程只有一個(gè)根，滿足題意；則，故D正確．故選：ACD.12．【答案】【詳解】如圖：根據(jù)正六邊形的結(jié)構(gòu)特征，可知，而與的夾角為，，則故答案為：13．【答案】4【詳解】解:復(fù)數(shù)z滿足，為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z表示：復(fù)平面上的點(diǎn)到(0，0)的距離為1的圓.的幾何意義是圓上的點(diǎn)與的距離，所以其最小值為：.故答案為：4.14．【答案】2025【詳解】設(shè)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，顯然，所以關(guān)于中心對稱，設(shè)，則的周期為，且，所以關(guān)于中心對稱，在同一平面直角坐標(biāo)系中，畫出函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象，如圖所示：

觀察圖象可知兩函數(shù)的一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，除此以外，這兩函數(shù)圖象如下區(qū)間：內(nèi)，各有兩個(gè)交點(diǎn)，且注意到這些區(qū)間均關(guān)于對稱，故所求為.故答案為：2025.15．【答案】（1）1（2）18【詳解】（1）原式.（2），，展開，，又.16．【答案】(1)，，(2)【詳解】（1）由題意知周期，則，且，所以，故；由，，整理，，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：，；，則當(dāng)時(shí)，有；當(dāng)時(shí)，有；單調(diào)遞增區(qū)間為：，.（2），.，，，.方法1：設(shè)三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，由余弦定理，又，有，即，整理，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.故周長的最大值為.方法2：設(shè)三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，由正弦定理，有，，，，，，，，故，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.故周長的最大值為.17．【答案】(1);(2)，或，【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即，即，由正弦定理得，又，所以，，，所以，所以，，所以，所以；?）因?yàn)?，，又，即，，?lián)立解得或．18．【答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)閒(x)=sin(2x+φ)(0<φ<π)為偶函數(shù)，所以，，所以，所以.又因?yàn)樵谏虾愠闪?，即在上恒成立，所以在上恒成立，所以且，因?yàn)?，所以，所以，則，所以的取值范圍為；（2）因?yàn)檫^點(diǎn)，所以，，所以，又因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)閷θ我獾?，，都有成立，所以?，因?yàn)?，所以，設(shè)，則令，，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，所以，所以，解得，所以；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，，所以，解得，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，所以，解得，此時(shí).綜上所述：.即實(shí)數(shù)的取值范圍為.19．【答案】(1)(2)1(3)【詳解】（1）因?yàn)?，所以，即，因?yàn)闉槿切蔚耐饨訄A的圓心，所以，由，得，，所以，即，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以，即，解得或.因?yàn)槿切螢?/p>