陜西省安康市2023−2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中考試 數(shù)學(xué)試題（含解析）

陜西省安康市2023?2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件3．已知，，，則（

）A． B． C． D．4．已知向量滿(mǎn)足，則（

）A． B． C．0 D．15．已知，，則（

）A． B． C． D．6．已知向量，.若，則（

）A． B． C． D．7．函數(shù)的圖象，是由的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，則的圖象與直線(xiàn)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．48．已知點(diǎn)為圓錐的底面圓心，，為圓錐的母線(xiàn)，，若的面積為，的面積為，則該圓錐的體積為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下圖是函數(shù)的部分圖象，則（

）A． B． C． D．10．關(guān)于斜二測(cè)畫(huà)法，下列說(shuō)法正確的是（

）A．在原圖中平行的直線(xiàn)，在對(duì)應(yīng)的直觀圖中仍然平行B．若一個(gè)多邊形的直觀圖面積為，則原圖的面積為C．一個(gè)梯形的直觀圖仍然是梯形D．在原圖中互相垂直的兩條直線(xiàn)，在對(duì)應(yīng)的直觀圖中不再垂直11．已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)，滿(mǎn)足，則正確的有（

）A． B． C． D．三、填空題（本大題共3小題）12．若復(fù)數(shù)，為的共扼復(fù)數(shù)，則的虛部為.13．在中，，，，則的面積.14．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長(zhǎng)的比值為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，且，求外接圓的面積.16．已知，.(1)求在上的投影向量的坐標(biāo).(2)若，，求證：、、三點(diǎn)共線(xiàn).(3)若與的夾角為鈍角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.17．2023年某企業(yè)計(jì)劃引進(jìn)新能源汽車(chē)生產(chǎn)設(shè)備，通過(guò)市場(chǎng)分析，全年需投入固定成本5000萬(wàn)元，每生產(chǎn)（百輛），需另投入成本（萬(wàn)元），且已知每輛車(chē)售價(jià)15萬(wàn)元，全年內(nèi)生產(chǎn)的所有車(chē)輛都能售完.(1)求2023年的利潤(rùn)（萬(wàn)元）關(guān)于年產(chǎn)量（百輛）的函數(shù)關(guān)系式；(2)2023年產(chǎn)量為多少百輛時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大？并求出最大利潤(rùn).18．已知，，分別為內(nèi)角，，的對(duì)邊.(1)若，，，為邊上的點(diǎn).①當(dāng)平分邊時(shí)，求的長(zhǎng)度.②當(dāng)平分時(shí)，求的長(zhǎng)度.(2)若為銳角三角形，且，求的取值范圍.19．已知函數(shù)（），函數(shù)為奇函數(shù)(1)求出的值，判斷函數(shù)的單調(diào)性，并予以證明；(2)若對(duì)，不等式恒成立，求的取值范圍.

參考答案1．【答案】D【詳解】由，可得，，所以，，，，故ABC錯(cuò)誤，D正確，故選：D2．【答案】A【解析】首先解不等式，再根據(jù)集合的包含關(guān)系判斷充分必要條件.【詳解】解得：或“”“或”，但反過(guò)來(lái)不成立，“”是“”的充分不必要條件.故選：A3．【答案】C【詳解】依題意，，，，因此.故選：C4．【答案】B【分析】首先計(jì)算出，，再根據(jù)向量模的坐標(biāo)公式即可得到答案.【詳解】因?yàn)?，，兩式相加得，即，，所?故選B.5．【答案】A【詳解】，又，則，所以，，故選：A．6．【答案】D【詳解】由向量，，得，由，得，所以.故選：D7．【答案】C【詳解】由題意可得，作出y=fx與的圖象如下：由圖可知：y=fx與的圖象有3個(gè)交點(diǎn)，故選：C8．【答案】B【詳解】令圓錐底面圓半徑為，則，解得，取中點(diǎn)，連接，則，，，，解得，則，所以該圓錐的體積.故選：B

9．【答案】BC【詳解】由函數(shù)圖象知，函數(shù)的最小正周期，則，解得，A錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，解得，則，C正確；當(dāng)時(shí)，，解得，則，B正確；而，D錯(cuò)誤.故選：BC10．【答案】ABC【詳解】對(duì)于A，在原圖中平行的直線(xiàn)，在對(duì)應(yīng)的直觀圖中仍然平行，A正確；對(duì)于B，若一個(gè)多邊形的直觀圖面積為，則原圖的面積為，B正確；對(duì)于C，梯形平行的兩邊在直觀圖仍然平行，兩腰不平行，在直觀圖仍然不平行，因此一個(gè)梯形的直觀圖仍然是梯形，C正確；對(duì)于D，在原圖中互相垂直的兩條直線(xiàn)，在對(duì)應(yīng)的直觀圖中可以垂直，如正方體的直觀圖中，豎邊與橫邊垂直，D錯(cuò)誤.故選：ABC

11．【答案】BCD【分析】根據(jù)分段函數(shù)的定義作出函數(shù)的圖象，根據(jù)與函數(shù)的圖象有4個(gè)不同的交點(diǎn)可判斷A；利用函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性可判斷B；利用對(duì)數(shù)運(yùn)算可判斷C；利用基本不等式可判斷D.【詳解】由得，，當(dāng)時(shí)，，的圖象在范圍內(nèi)關(guān)于對(duì)稱(chēng)，由得，，對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象如圖所示，對(duì)于A，由圖知，若，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，關(guān)于對(duì)稱(chēng)，，故B正確；對(duì)于C，由得，，，得，即，故C正確；對(duì)于D，由，則，，故D正確.故選BCD.12．【答案】【詳解】由可得，所以，故，故虛部為，故答案為：13．【答案】【詳解】在中，由余弦定理得，則，所以的面積.故答案為：14．【答案】【詳解】設(shè)該四棱錐的高為，底面邊長(zhǎng)為，側(cè)面三角形底邊上的高為，根據(jù)題意得，該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積，該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，又因，且，所以，即，因此.故選答案為：.15．【答案】(1)，；(2).【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式及輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即得；（2）由（1）求出，利用余弦定理求出，再利用正弦定理求出外接圓半徑即得.【詳解】（1）依題意，，所以函數(shù)的最小正周期，由，得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.（2）由（1）知，，而，則，由，得，解得，由余弦定理得，則外接圓的半徑，所以外接圓的面積為.【思路導(dǎo)引】化簡(jiǎn)函數(shù)，利用正弦函數(shù)的周期公式與單調(diào)性即可計(jì)算出最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；結(jié)合與，可得，利用余弦定理可得，利用正弦定理可得外接圓的半徑為1，代入圓面積公式即可得解.16．【答案】(1)；(2)證明見(jiàn)解析；(3).【詳解】（1）依題意，在上的投影向量為.（2）依題意，不共線(xiàn)，由，，得，即向量共線(xiàn)，且與有公共點(diǎn)，所以、、三點(diǎn)共線(xiàn).（3）依題意，，，由與的夾角為鈍角，得，且與不共線(xiàn)，則且，解得，且，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.17．【答案】(1)(2)，萬(wàn)元.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上，（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，，∵，∴當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，此時(shí)，又，∴2023年產(chǎn)量為百輛時(shí)，企業(yè)所獲利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)為萬(wàn)元.18．【答案】(1)①；②；(2).【詳解】（1）①在中，由余弦定理得，則，，

在中，，解得；②由得：，即，所以.（2）在銳角中，，且，則，由正弦定理得，顯然，即有，因此，所