山東省菏澤市單縣第一中學(xué)2024−2025學(xué)年高一下學(xué)期第二次階段性考試數(shù)學(xué)試題（含解析）

山東省菏澤市單縣第一中學(xué)2024?2025學(xué)年高一下學(xué)期第二次階段性考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知向量，則（

）A．2 B．3 C．4 D．52．若復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，則的值為（）A． B．0 C．1 D．3．直三棱柱中，若，，則異面直線與所成的角等于A．30° B．45° C．60° D．90°4．已知在四邊形中，，，，則四邊形為（

）A．梯形 B．正方形 C．平行四邊形 D．矩形5．已知是空間中兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，且，有下列命題：①若，則；②若，則；③若，且，，則；④若，且，，則，其中真命題的個(gè)數(shù)是A．0 B．1 C．2 D．36．已知復(fù)數(shù)和，滿足，則（）A． B．3 C． D．17．勒洛三角形是一種典型的定寬曲線，分別以等邊三角形每個(gè)頂點(diǎn)為圓心，以邊長(zhǎng)為半徑，在另兩個(gè)頂點(diǎn)間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形就是勒洛三角形．在如圖所示的勒洛三角形中，已知，點(diǎn)在弧AC上，且，則（

）

A． B． C． D．8．在中,內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，若，，則（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知向量，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則的值為B．若，則的值為C．若，則與的夾角為銳角D．若，則10．已知中，其內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，下列命題正確的有（）A．若，則為等腰三角形B．若，，則外接圓半徑為4C．若，則為直角三角形D．若，是鈍角三角形11．折扇是我國(guó)古老文化的延續(xù)，在我國(guó)已有四千年左右的歷史，“扇”與“善”諧音，折扇也寓意“善良”“善行”、它常以字畫的形式體現(xiàn)我國(guó)的傳統(tǒng)文化，也是運(yùn)籌帷幄、決勝千里、大智大勇的象征（如圖甲），圖乙是一個(gè)圓臺(tái)的側(cè)面展開圖（扇形的一部分），若兩個(gè)圓弧，所在圓的半徑分別是和，且，則該圓臺(tái)的（

）A．高為 B．體積為C．表面積為 D．內(nèi)切球的表面積為三、填空題（本大題共3小題）12．如圖，在圓柱內(nèi)有一個(gè)球，該球與圓柱的上下底面及母線均相切，已知圓柱的底面半徑為3，則圓柱的體積為．13．已知復(fù)數(shù)，，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為、、，若是鈍角，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.14．如圖，透明塑料制成的長(zhǎng)方體容器內(nèi)灌進(jìn)一些水，固定容器一邊于地面上，再將容器傾斜，隨著傾斜度的不同，有下面五個(gè)命題：（1）沒(méi)有水的部分始終呈棱柱形（2）水面所在四邊形的面積為定值（3）當(dāng)容器傾斜如圖②所示時(shí)，為定值（4）當(dāng)容器傾斜如圖③所示時(shí)，為定值其中所有正確命題的序號(hào)是四、解答題（本大題共5小題）15．如圖，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，底面，，點(diǎn)在棱上，平面．(1)試確定點(diǎn)的位置，并說(shuō)明理由；(2)求四棱錐的表面積．16．如圖，平面，分別為的中點(diǎn).(1)證明：平面；(2)求與平面所成角的正弦值.17．已知，，是同一平面內(nèi)的三個(gè)不同向量，其中.(1)若，且，求；(2)若，且，求的最小值，并求出此時(shí)與夾角的余弦值.18．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，點(diǎn)E在棱上，底面，．(1)若，證明：；(2)若點(diǎn)D到平面的距離為，求的長(zhǎng)．19．記的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．

參考答案1．【答案】D【詳解】因?yàn)椋?故選D.2．【答案】B【詳解】由題，，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，則，可得，又為整數(shù)，所以．故選B．3．【答案】C【詳解】本試題主要考查異面直線所成的角問(wèn)題，考查空間想象與計(jì)算能力．延長(zhǎng)B1A1到E，使A1E=A1B1，連結(jié)AE，EC1，則AE∥A1B，∠EAC1或其補(bǔ)角即為所求，由已知條件可得△AEC1為正三角形，∴∠EC1B為，故選C．4．【答案】A【詳解】因?yàn)?，，，所?所以.所以且，所以四邊形為梯形..故選A.5．【答案】B【詳解】①若，則或異面，故①不正確；②若，根據(jù)平面與平面平行的性質(zhì)，可得，故②正確；③若，且，，則與可能相交，故③不正確；④若，且，，與相交則不正確；故選B.6．【答案】C【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)和，滿足，則，所以，所以.故選C.7．【答案】A【詳解】以為原點(diǎn)，為軸，點(diǎn)在第一象限，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，

則有，，,為弧上的點(diǎn)且，則，，.故選A.8．【答案】C【詳解】因?yàn)椋瑒t由正弦定理得.由余弦定理可得:，即:，根據(jù)正弦定理得，所以，因?yàn)闉槿切蝺?nèi)角，則，則.故選C.9．【答案】AB【詳解】對(duì)于A：若，則，解得，故A正確；對(duì)于B：若，則，解得，故B正確；對(duì)于C：當(dāng)時(shí)，與同向，此時(shí)與的夾角為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：若，則，即，即，解得，當(dāng)時(shí)，，，，，顯然，當(dāng)時(shí)，，，，，此時(shí)，故D錯(cuò)誤．故選AB．10．【答案】BD【詳解】對(duì)于A，因?yàn)?，，所以?當(dāng)時(shí)，即，此時(shí)為等腰三角形；當(dāng)時(shí)，即，則，此時(shí)為直角三角形.所以僅由不能得出一定為等腰三角形，選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于B，已知，，則由正弦定理，所以，即外接圓半徑為，選項(xiàng)正確.對(duì)于C，已知，由正弦定理可得.因?yàn)?，所?則，根據(jù)兩角和的正弦公式展開可得：，即.因?yàn)椤⑹侨切蝺?nèi)角，所以，所以，即，所以為等腰三角形，選項(xiàng)錯(cuò)誤.已知，由正弦定理可得，，.將其代入可得.所以.因?yàn)椋?，即為鈍角，所以是鈍角三角形，選項(xiàng)正確.故選BD.11．【答案】AC【詳解】設(shè)圓臺(tái)的上底面半徑為，下底面半徑為，則，即；，即；又圓臺(tái)的母線長(zhǎng)，所以圓臺(tái)的高，A正確；圓臺(tái)的體積，B錯(cuò)誤；圓臺(tái)的表面積，C正確；因?yàn)椋磮A臺(tái)的母線長(zhǎng)等于上下底面半徑和，所以圓臺(tái)的高即為內(nèi)切球的直徑，所以內(nèi)切球的半徑為，所以內(nèi)切球的表面積為，D錯(cuò)誤.故選AC.12．【答案】【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，球的半徑為．由條件有：，圓柱的高為，所以圓柱的體積為．13．【答案】【解析】求出、、三點(diǎn)的坐標(biāo)，由為鈍角可得出且與不共線，由此可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的不等式組，進(jìn)而可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意，可得，，.因?yàn)槭氢g角，所以，且與不共線.由，得.由與不共線可得，解得.故實(shí)數(shù)的取值范圍為.14．【答案】（1）（3）（4）【詳解】對(duì)于（1），由于固定，所以在傾斜的過(guò)程中，始終有，且平面平面，故沒(méi)有水的部分始終呈棱柱形（四棱柱或三棱柱、五棱柱），故（1）正確；對(duì)于（2），由于固定，易知，且平面，所以平面，又平面，所以,故為矩形，則，的長(zhǎng)隨著傾斜度的變化而變化，故的面積是變化的，故（2）錯(cuò)誤；對(duì)于（3），當(dāng)容器傾斜如圖②所示時(shí)，四棱柱的體積保持不變，即，又均為定值，故為定值，故（3）正確；對(duì)于（4），當(dāng)容器傾斜如圖③所示時(shí)，三棱柱的體積保持不變，即，又是定值，則為定值，故（4）正確．15．【答案】(1)點(diǎn)為的中點(diǎn)，理由見解析；(2)【詳解】（1）點(diǎn)為的中點(diǎn)．理由如下：如圖，連接．設(shè)，則點(diǎn)O為的中點(diǎn)，連接．∵平面，平面，平面平面，∴．在中，∵O為的中點(diǎn)，∴為的中位線，∴點(diǎn)為的中點(diǎn)．（2）⊥底面，又底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，∴，因?yàn)榈酌妫制矫?，則，即直角三角形，又，則，則，又，則為直角三角形，則.綜上四棱錐的表面積為.16．【答案】(1)證明見解析(2)．【詳解】（1）∵分別為的中點(diǎn)，∴．又∵，∴．又不在平面內(nèi)，在平面內(nèi)，∴平面．（2）連接.為的中點(diǎn)，且.平面平面，∴，∵，∴，∵，平面，平面，∵平面，由（1）有，又四邊形為平行四邊形，∴，∵，平面.平面.為和平面所成的角.由得，在Rt中，，和平面所成角的正弦值為.17．【答案】(1)或(2)，此時(shí)【詳解】（1）因?yàn)?，且，所以設(shè)，所以，解得，所以或.（2）由，得，所以，因?yàn)?，，可得，因?yàn)椋?，?dāng)且僅當(dāng)，時(shí)取等號(hào).所以.設(shè)與夾角為，則此時(shí).18．【答案】(1)證明見解析；(2).【詳解】（1）連接，交于點(diǎn)F，因?yàn)榈酌?，底面，?/p>