《高等數(shù)學(xué)（上）》課件-2.1 數(shù)列及其極限

第2章極限與連續(xù)2.1數(shù)列及其極限2.1.1數(shù)列當函數(shù)f(x)的定義域為全體正整數(shù)時,記作稱此函數(shù)為數(shù)列,

f(n)又可記作

an

或xn等

,其中第

n項

an稱為該數(shù)列的通項.{ann為正整數(shù)}數(shù)列的值域或簡記成{an},

中的數(shù)也可依順序排列成定義

具體數(shù)列

可以用平面上的一列點來表示.

也常用數(shù)軸上的一列點來表示數(shù)列.

在幾何上

,

《莊子·天下篇》中有這樣一句話:這個“棰”的剩下部分的長度用數(shù)學(xué)符號表示為數(shù)列

當時間(日數(shù))不斷增加并趨向于無窮大時,

最后的歸宿(極限)就是0.考察當n無限增大時數(shù)列

“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”

2.1.2數(shù)列極限會無限地接近0,定義數(shù)列中的通項an隨著n的無限增大而無限地接近于某個常數(shù)a,

a稱為數(shù)列{an}的極限.當n無限增大時,其通項都不能無限地這兩個數(shù)列都不是收斂數(shù)列.

這種數(shù)列{an}稱為收斂數(shù)列,

接近某一個固定的常數(shù).為了進一步理解“無限地接近”的意義

,

這就是說,只要n充分大時,對應(yīng)的an與3之差的絕對值

可以小于預(yù)先給定的任意小的正數(shù).例如,

只要n>10就行,即從第11項起的一切項

一般說來,由此可見

,

“數(shù)列{an

}無限接近于a”的精確含義是:當n充分大以后,

這樣,就可以給出數(shù)列極限的如下定義.定義2.1.1

(數(shù)列極限的ε-N定義)設(shè){an}是一個數(shù)列,a是一個定數(shù).總存在某個正整數(shù)N,若對于任意給定的正數(shù)ε,使得當

n>N時,則稱數(shù)列{an}當n→∞時的極限為a,

也可簡單地稱數(shù)列{an}的極限為a

;又稱數(shù)列{an}為收斂數(shù)列(收斂于a),

記作或

an→a(n→∞).若數(shù)列{an}不收斂于任何實數(shù)(即沒有極限),則稱數(shù)列{an}為發(fā)散數(shù)列.

數(shù)列{an}以a為極限的幾何意義是:對于任意給定的ε>0,總存在某個正整數(shù)N,

使得下標都落在

a的

ε鄰域(a-ε,a+ε)內(nèi),

(有限項)落在這個鄰域之外(如圖).例如,

偶數(shù)項均為1,它的項不可能都聚集在某個實數(shù)附近,不論

n取多大,即

它不收斂于任何實數(shù),又如,數(shù)列{2n}、

隨著n的增大而無限增大,所以也不能聚集在某個實數(shù)附近,因此這些數(shù)列都是發(fā)散數(shù)列.它們通項的絕對值再如,對于任意給定的ε>0,

則當n>N時,

因此,由數(shù)列極限的ε-N定義可知

例2-1-1

對于任意給定的正數(shù)ε證

(不妨設(shè)

ε<1),

則當n>N時,

就有由數(shù)列極限的

ε-N定義即知

類似地,

可以證明:若α>0,

例2-1-2

對于任意給定的正數(shù)ε證

解此不等式,

得

因此,由數(shù)列極限的

ε-N定義即知

類似地,

可以證明:若0<|q|<1,

對常數(shù)數(shù)列{C},

例2-1-3

對于任意給定的正數(shù)ε,證因為

所以

因此,

當n>N時,

<ε,

由數(shù)列極限的

ε-N定義即知

注意從例2-1-3看出,只需要指出N在用

ε-N定義證明極限時,存在即可,要找出最小的

N很困難.并不需要找出最小的N,

使之既能小于任意正數(shù)ε(分母要有n的因子),有些發(fā)散數(shù)列,如{2n},還能夠容易解出N.

都有明顯的變化趨勢,即其通項的絕對值隨著n的增大而無限增大.一般說來,對于給定的數(shù)列{an},若當n無限增大時,|an|也無限增大(也就是說,當n充分大以后,|an|可以大于預(yù)先給定的任意大的正數(shù)G),則稱{an}為無窮大數(shù)列.定義2.1.2(無窮大數(shù)列的

G-N定義)設(shè){an}是一個數(shù)列,若對于任意給定的正數(shù)G,使得當n>N時,總存在某個正整數(shù)N,都有

|an|>G,則稱數(shù)列{an}是無窮大數(shù)列,記作

并稱{an}為無窮大量,或an→∞(n→∞).必須注意,無窮大數(shù)列是沒有極限的.但為方便起見,也常說這種數(shù)列的極限為無窮大,

或

an→∞(n→∞).在定義2.1.2中,若當

n>N時都有an>G

(或負無窮大數(shù)列),則稱{an}為正無窮大數(shù)列并稱之為正無窮大量(或負無窮大量),

或

an→+∞(n→∞)

不難證明,{2n}是正無窮大量,

也就是說

但只要它收斂于a,一個數(shù)列{an}有無窮多項,則從數(shù)列收斂的ε-N定義及其幾何意義可知:

在這個鄰域外至多只有這個數(shù)列的前面有限項(N項),而后面的所有項都聚集在

a的

ε鄰域內(nèi).利用數(shù)列極限的這個本質(zhì)特性,可以通過數(shù)列的極限值

a來研究收斂數(shù)列{an}本身的特性.2.1.3

收斂數(shù)列的性質(zhì)與運算法則定理2.1.1(唯一性)若數(shù)列{an}收斂,則其極限是唯一的.用反證法,證設(shè)數(shù)列{an}收斂于兩個不同的極限

a和

b,不妨設(shè)

a>b,

存在正整數(shù)N1,當n>N1時,

即

存在正整數(shù)

N2,當

n>N2時,有

令

N=

max{N1,N2},

當

n>N時,①②式同時成立,導(dǎo)致出現(xiàn)矛盾,所以收斂數(shù)列的極限是唯一的.數(shù)列{an}有界是指存在實數(shù)M>0,使得對所有的an,有|an|≤

M.(有界性)

定理2.1.2若數(shù)列{an}收斂,證

則{an}必有界.取

ε

=1,由數(shù)列收斂的

ε–N定義可知:必存在正整數(shù)N,使數(shù)列{an}中第N+1項開始的所有項

因此,若取

則對一切n都有|an|≤M,

從而{an}有界.由定理2.1.2可知:若數(shù)列{an}無界,則它一定發(fā)散.但必須注意:而不是充分條件,數(shù)列的有界性只是數(shù)列收斂的必要條件,即有界數(shù)列不一定收斂.

但不收斂.例如,有界,定理2.1.3

且a>b,則存在正整數(shù)

N,證使得當

n>N時,有

an>bn.

除有限多項外,當n充分大以后,數(shù)列{an}的無窮多項聚集在

a的附近,而{bn}的無窮多項聚集在b附近,

故存在正整數(shù)N1,當n>N1時,

故存在正整數(shù)N2,當n>N2時,

取N=max{N1,N2},則當

n>N時,

推論1(保號性)

a>0,則存在正整數(shù)

N,推論2使得當

n>N時,有

an>0

.

且存在正整數(shù)N,當

n>N時,有

an≥

bn,則

a≥

b.定理2.1.4

(迫斂性)設(shè)數(shù)列{an}和{bn}極限都是

a,存在正整數(shù)N,若數(shù)列{cn}滿足:當

n>N時,有

an≤

cn≤

bn,

例2-1-4

解

>1(n>1),n=(1+hn)n有

從而有

或顯然

所以根據(jù)定理2.1.4,得

定理2.1.5(單調(diào)有界準則)

單調(diào)有界數(shù)列必有極限.單調(diào)增加(或減少)是指:數(shù)列{an}單調(diào),是單調(diào)增加和單調(diào)減少的總稱.即數(shù)列的后一項不小于(或不大于)前一項,對一切的正整數(shù)n,有xn≤

xn+1(或xn≥

xn+1).遞增且上有界(或遞減且下有界)的數(shù)列必有極限.

*證

應(yīng)用二項式公式,有

<3,由單調(diào)有界準則,

≈2.718281828459.定理2.1.6

(數(shù)列極限的四則運算法則)

(1)加減法則

則

(2)乘法法則

(3)除法法則

從乘法法則還可以得到:當b≠0時,

(4)如果

k是常數(shù),

(5)如果

l是正整數(shù),

例2-1-5

因為解

所以

=0+0=0.例2-1-6

用n2同除分子與分母后,解再應(yīng)用極限四則運算法則得

例2-1-7

解

例2-1-8

解可知于是

例2-1-9

解

例2-1-10

解

例2-1-11

證

故數(shù)列{an}是單調(diào)增加的.

設(shè)an<2,

則

有an<2,即數(shù)列{an}是有界的.根據(jù)定理2.1.5,數(shù)列{an}收斂,設(shè)其極限為a,

對