專題06 線段與角的等量代換模型（原卷版）

專題06線段與角的等量代換模型等量代換是數(shù)學(xué)變形的最常見方式之一,它以處理問題步驟簡(jiǎn)捷、巧妙靈活,給人留下深刻的印象。運(yùn)用它來解決中學(xué)代數(shù)和幾何的有關(guān)問題（本專題主要涉及線段與角度的代換）,還可以避免繁雜運(yùn)算,具有計(jì)算量小的獨(dú)特優(yōu)點(diǎn),因此有著廣泛的應(yīng)用。模型1.

線段與角度的等量代換模型【模型解讀】“等量代換”是在數(shù)學(xué)幾何中常用的一種推理證明方法，應(yīng)用于角度或線段相等關(guān)系的推導(dǎo)。1）線段的等量代換條件：如圖，已知：EG=HF；結(jié)論：EH=GF.2）角度的等量代換（圖中：∠AOD=∠1，∠BOC=∠2，∠BOD=∠3，∠AOC=∠4）條件1：如圖，已知∠AOB=∠DOC；結(jié)論：∠1=∠2.條件2：如圖，已知∠AOB=∠DOC=90°；結(jié)論：∠1=∠2，∠3+∠4=180°.利用等量代換我們還可以推導(dǎo)三個(gè)重要的性質(zhì)：①同角（等角）的余角相等；②同角（等角）的補(bǔ)角相等；③對(duì)頂角相等；例1．（2023·河北石家莊·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，AB＝CD，那么AC與BD的大小關(guān)系是（

）A．AC＜BD B．AC＝BD C．AC＞BD D．不能確定例2．（2023·山東聊城·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，現(xiàn)給出下列等式：①CD=AC-DB，②CD=AB，③CD=AD-BC，④BD=2AD-AB．其中正確的等式編號(hào)是（

）A． B． C． D．例3．（2023.湖南省婁底市七年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)，分別是線段上兩點(diǎn)（，），用圓規(guī)在線段上截取，，若點(diǎn)與點(diǎn)恰好重合，，則為（

）A．4 B．4.5 C．5 D．5.5例4．（2023·湖北隨州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，D、E順次為線段AB上的兩點(diǎn)，AB＝19，BE－DE＝5，C是AD的中點(diǎn)，則AE－AC的值為．例5．（2023秋·重慶七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖所示，點(diǎn)A、O、E在一條直線上，，那么下列各式中錯(cuò)誤的是（

）A．B．C．D．例6．（2023春·天津南開·七年?？计谥校┤鐖D所示，，，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．例7．（2023浙江省紹興市七年級(jí)期末）如圖，若，則的理由是（）A．同角的余角相等B．同角的補(bǔ)角相等C．對(duì)頂角相等D．角平分線的定義例8．（2023春·浙江·七年級(jí)專題練習(xí)）試說明“若，，，則”是真命題．以下是排亂的推理過程：①因?yàn)椋ㄒ阎虎谝驗(yàn)椋ㄒ阎?；③所以，（等式的性質(zhì)）；④所以（等量代換）；⑤所以（等量代換）．正確的順序是(

)A．①→③→②→⑤→④ B．②→③→⑤→①→④C．②→③→①→⑤→④ D．②→⑤→①→③→④例9．（2023·云南昆明·七年級(jí)校考期末）如圖，和都是直角．下列結(jié)論：①；②；③若平分，則平分；④的平分線和的平分線是同一條射線．其中正確的是（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)例10．（2023.廣東省佛山市七年級(jí)期末）已知：（1）如圖1，嗎？請(qǐng)說明理由．（2）如圖2，直線平分，直線平分嗎？請(qǐng)說明理由．（3）若，，求的大?。?1．（2023.山東七年級(jí)期末）如圖，已知，平分，平分．(1)求的度數(shù)；(2)如果，那么是多少度？(3)如果，那么是多少度？是多少度？用含的式子表示)

例12．（2023浙江七年級(jí)期末）如圖，．(1)已知過直線上點(diǎn)有，條射線，，求的度數(shù)；(2)若直線與直線相交于點(diǎn)，求圖中各銳角的度數(shù)．課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·山西大同·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，線段AB上有C，D兩點(diǎn)，其中D是BC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論一定正確的是（

）A．AB－AC＝BDB．CD＋BD＝ACC．CD＝ABD．AD－AC＝DB2．（2023·福建漳州·統(tǒng)考三模）點(diǎn)C、D在線段AB上，若點(diǎn)C是線段AD的中點(diǎn)，2BD>AD，則下列結(jié)論正確的是(

).A．CD<AD－BDB．AB>2BD C．BD>AD D．BC>AD3．（2023.河南鶴壁七年級(jí)期末）如圖所示，B、C是線段AB上任意兩點(diǎn)，M是AB的中點(diǎn)，N是CD的中點(diǎn)，若，，則線段AD的長(zhǎng)是（

）A．15 B．17 C．19 D．204．（2023秋·湖南常德·七年級(jí)校聯(lián)考期末）已知，點(diǎn)C在直線AB上，ACa，BCb，且a≠b，點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，則線段MC的長(zhǎng)為（

）A． B． C．或 D．或5．（2023.湖南省婁底市七年級(jí)期末）如圖所示，已知，，則∠AOD的度數(shù)為(

)A． B． C． D．6．（2023秋·湖南婁底·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，已知∠AOB=162°，∠AOC=∠BOD=90°，則∠COD的度數(shù)是（）A．72° B．36° C．18° D．9°7．（2023春·浙江衢州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)在直線上，，若，則的大?。?/p>

）

A． B． C． D．8．（2023秋·湖南株洲·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，、為內(nèi)的兩條射線，平分，，若，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．9．（2023春·云南昭通·七年級(jí)校考期末）將一副三角板分別按圖中位置擺放，下列說法正確的是（

）

A． B． C． D．10．（2023秋·福建廈門·七年級(jí)校考期末）下列推理正確的是（

）A． B．C．， D．與互余，與互余與互余11．（2023秋·河北石家莊·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，，，下列說法中錯(cuò)誤的是（

）A．與相等B．與互余C．與互余D．與互余12．（2023·廣東梅州·七年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)M在線段AN的延長(zhǎng)線上，且線段MN=20，第一次操作：分別取線段AM和AN的中點(diǎn)；第二次操作：分別取線段和的中點(diǎn)；第三次操作：分別取線段和的中點(diǎn)；……連續(xù)這樣操作10次，則每次的兩個(gè)中點(diǎn)所形成的所有線段之和(

)A． B． C． D．13．（2023春·四川成都·七年級(jí)校考期中）已知的兩邊互相垂直，且，則的度數(shù)為．14．（2023秋·山東青島·七年級(jí)?？计谀┤鐖D（射線在內(nèi)部），與都是直角，則下列說法正確的是．（填序號(hào)）①若，則;②圖中共有5個(gè)角;③;

④與的和不變;⑤時(shí)，平分．15．（2023春·上海長(zhǎng)寧·七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，，比大，與互余，則．

16．（2023春·浙江七年級(jí)期中）如圖所示，與都是直角，那么，這個(gè)結(jié)論可以概括為．17．（2023春·浙江七年級(jí)期中）如圖所示，，，則．18．（2023秋·湖南婁底·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，點(diǎn)C，D在線段AB上，且，點(diǎn)E是線段AB的中點(diǎn)．若，則CE的長(zhǎng)為．19．（2023·江蘇蘇州·七年級(jí)校聯(lián)考期末）如圖，AB=24，點(diǎn)C為AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D在線段AC上，且AD：DC=1：2，則DB的長(zhǎng)度為．20．（2023.浙江七年級(jí)期末）如圖，C，D是線段AB上的兩點(diǎn)，且，已知圖中所有線段的長(zhǎng)度之和為81，則的長(zhǎng)為．

21．（2023.浙江七年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)D，E分別在線段AB上，且＝，＝2，則的值為．22．（2023.浙江省臺(tái)州市七年級(jí)期末）如圖，是線段上的一點(diǎn)，是中點(diǎn)，已知圖中所有線段長(zhǎng)度之和為23．（1）設(shè)線段的長(zhǎng)為，則線段．（用含的代數(shù)式表示）．（2）若線段，的長(zhǎng)度都是正整數(shù)，則線段的長(zhǎng)為．23．（2023·陜西西安·七年級(jí)校考期末）如圖所示，點(diǎn)C是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)D在線段上，且．若，求線段的長(zhǎng)．請(qǐng)將下面的解題過程補(bǔ)充完整：解：∵點(diǎn)C是線段的中點(diǎn)，（已知）．∴______．（理由：___________）∵（已知）∴______．∵點(diǎn)D在線段上，，（已知）∴______．∴______∴______-______=______．24．（2023秋·廣西百色·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，，C是的中點(diǎn)，D是線段上一點(diǎn)，且．(1)求線段的長(zhǎng)度；(2)請(qǐng)用尺規(guī)在線段上作點(diǎn)E，使，并求線段的長(zhǎng)度（保留痕跡，不寫作法）．25．（2023·福建廈門·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)在數(shù)軸上，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．

(1)如圖，點(diǎn)在線段上，點(diǎn)之間的距離為．若點(diǎn)是數(shù)軸的原點(diǎn)，點(diǎn)表示的數(shù)為3，當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)表示的數(shù)；若，且，求的值；(2)若點(diǎn)表示的數(shù)分別為，其中，且兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，判斷點(diǎn)為哪條線段的中點(diǎn)，并說明理由．26．（2023秋·廣西玉林·七年級(jí)統(tǒng)考期末）幾何計(jì)算：如圖，已知，，平分，求的度數(shù)．

解：因?yàn)椋訽_________°，所以__________＋_________＝__________°＋__________°＝__________°，因?yàn)槠椒?，所以__________＝__________°．27．（2023春·江西上饒·七年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，直線，相交于點(diǎn)，平分，已知：．求和的度數(shù)．29．（2023秋·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）如圖，，OD平分，，垂足為O．求的度數(shù)．（按要求填空）解：∵OD平分（已知），∴（______）．∵（______），∴______°（等量代換）．又∵（已知），∴（______）．∴______＝______°．30．（2023·重慶開州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，直線AB，CD相交于點(diǎn)О，OE平分，，．求和的度數(shù)．31．（2023春·江蘇泰州·七年級(jí)校聯(lián)考期中）已知：如圖，在中，，點(diǎn)、分別在、上，、相交于點(diǎn)．有以下三個(gè)選項(xiàng)：①，②平分，③．從中選兩個(gè)作為條件，另一個(gè)作為結(jié)論，構(gòu)成一個(gè)正確的命題，并加以證明．

條件______，結(jié)論______．（填序號(hào)）證明：32．（2023秋·山東德州·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，O為直線AB上一點(diǎn)，∠AOC=50°，OD平分∠AOC，∠DOE=90°．（1）請(qǐng)你數(shù)一數(shù)，圖中有多少小于平角的角？（2）求∠BOD的度數(shù)；（3）試判斷∠BOE和∠COE有怎樣的數(shù)量關(guān)系，說說你的理由．33．（2023浙江省紹興市七年級(jí)期末）如圖所示，∠AOB＝∠COD＝90°，OE為∠BOD的平分線，∠BOE＝22°，求∠AOC的度數(shù)．34．（2023秋·江蘇南通·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，在內(nèi)部，(1)如