初三數(shù)學(xué)圓的經(jīng)典講義

圓的對稱性：圓既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形。經(jīng)過圓心的每一條直線都是它的對稱軸。圓心是它的對稱中心。確定圓的條件；圓心和半徑①圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小；②不在同一條直線上的三點(diǎn)確定一個圓；弦：連結(jié)圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。經(jīng)過圓心的弦叫做直徑。直徑是圓中最大的弦心距：圓心到弦的距離叫做弦心距?；。簣A上任意兩點(diǎn)間的局部叫做弧。弧分為半圓，優(yōu)弧、劣弧三種。弓形：弦與它所對應(yīng)的弧所構(gòu)成的封閉圖形。弓高：弓形中弦的中點(diǎn)與弧的中點(diǎn)的連線段?！舱垊?wù)必注意在圓中一條弦將圓分割為兩個弓形，對應(yīng)兩個弓高〕求弦心距，弦長，弓高，半徑時通常要做弦心距，并連接圓心和弦的一個端點(diǎn)，得到銳角三角形的外心在，直角三角形的外心在點(diǎn)和圓的位置關(guān)系設(shè)圓的半徑為r，點(diǎn)到圓心的距離為d，那么點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有三種。①點(diǎn)在圓外今d＞r；②點(diǎn)在圓上今d=r；③點(diǎn)在圓今d＜r；例1在⊿ABC中，∠ACB=90°,AC=2,BC=4，CM是AB邊上的中線，以點(diǎn)C為圓心，以5為半徑作圓，試確定A,B,M三點(diǎn)分別與⊙C有怎樣的位置關(guān)系，并說明你的理由。例2如圖，CD是直徑，7EOD=84。，AE交⊙O于B，且AB=OC，求A的度數(shù)。EM例3⊙O平面一點(diǎn)例3⊙O平面一點(diǎn)P和⊙O上一點(diǎn)的距離最小為3cm，最大為_________cm。_________cm。B例4在半徑為5cm的圓中，弦AB∥CD，AB=6cm，DCD=8cm，那么AOB和CDAA例5如圖,⊙O的直徑AB和弦CD相交于點(diǎn)E，AE=6cm，EB=2cm,上CEA=30，求CD的長．C例6.：⊙O的半徑0A=1，弦AB、AC的長分別為，求上BAC的度數(shù)．A．三點(diǎn)確定一個圓EABAODB．任何一個三角形有且僅有一個外接圓C．任何一個四邊形都有一個外接圓D．等腰三角形的外心一定在它的外部2．如果一個三角形的外心在它的一邊上，那么這個三角形一定是〔〕A．等腰三角形B．直角三角形C．等邊三角形D．鈍角三角形3．圓的接三角形的個數(shù)為〔〕A．1個B．2C．3個D．無數(shù)個4．三角形的外接圓的個數(shù)為〔〕A．1個B．2C．3個D．無數(shù)個5．以下說法中，正確的個數(shù)為〔〕①任意一點(diǎn)可以確定一個圓；②任意兩點(diǎn)可以確定一個圓；③任意三點(diǎn)可以確定一個圓；④經(jīng)過任一點(diǎn)可以作圓；⑤經(jīng)過任意兩點(diǎn)一定有圓．A．1個B．2個C．3個D．4個7.⊙O的半徑為6cm,P為線段OA的中點(diǎn),假設(shè)點(diǎn)P在⊙O上,那么OA的長()A.等于6cmB.等于12cm；C.小于6cmD.大于12cm8.如圖,⊙O的直徑為10cm,弦AB為8cm,P是弦AB上一點(diǎn),假設(shè)OP的長為整數(shù),那么滿足10.要澆鑄一個和殘破輪片同樣大小的圓形輪片，需要知道它的半徑，用圓規(guī)和直尺在圖._。_。A過點(diǎn)P的所有的⊙OAOOEAE-BF的值.EP·O·OBFFD4.如圖,A,B,C三點(diǎn)在⊙O上,且AB是⊙O的直徑,半徑OD⊥AC,垂足為F,假設(shè)∠A=306.如圖6,⊙O中弦AB⊥AC,D,E分是AB,AC的中點(diǎn).7.如圖7，⊙O的直徑AB和弦CD相交于點(diǎn)E，AE=8cm，EB=4cm，∠CEA=30°,那垂徑定理：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條孤．①平分弦〔不是直徑〕的直徑重直于弦，并且平分弦所對的兩條孤．②弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的兩條孤．③平分弦所對的一條孤的直徑,垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條孤．推論2．圓的兩條平行弦所夾的孤相等．①經(jīng)過圓心；②垂直于弦；③平分弦(不是直徑)；④平分弦所對的優(yōu)?。虎萜椒窒宜鶎σ陨衔妩c(diǎn)其中的任意兩點(diǎn)，都可以推得其它兩點(diǎn)例1如圖AB、CD是⊙O的弦，M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，且7AMN=7CNM．AAC于C、D兩點(diǎn)，AB是⊙O的直徑，AE⊥l于E，BF⊥l于O例3如下圖，⊙O的直徑AB＝15cm，有一條定長為9cm的動弦CD在弧AmB上滑動求證：AB=CD．例2，不過圓心的直線lF。求證：CE=DF．MN交⊙O〔點(diǎn)C與點(diǎn)A，點(diǎn)D與B不重合〕，且CE⊥CD交AB于E，DF⊥CD交AB于F。〔1〕求證：AE＝BF〔2〕在動弦CD滑動的過程中，四邊形CDEF的面積是否為定值.假設(shè)是定值，請給出證明，并求出這個定值，假設(shè)不是，請說明理由。例4如圖，在⊙O，弦CD與直徑AB交成450角，假設(shè)弦CD交直徑AB于點(diǎn)，且mAmDDDC為〔CDD3．如圖1，⊙O的半徑為6cm，AB、CD為兩弦，且AB⊥CD，垂足為點(diǎn)E，假設(shè)CE=3cm，DE=7cm，那么AB的長為〔〕4.有以下判斷：①直徑是圓的對稱軸；②圓的對稱軸是一條直徑；③直徑平分弦與5．如圖2，同心圓中，大圓的弦交AB于C、D假設(shè)AB=4，CD=2，圓心O到AB的距A．2cmB.4cmC.6cmD.8cmEQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up1(的),B)9.如圖，柱形水管有積水〔陰影部〕，水面的寬度AB為800mm，10.如圖，△ADBC中，∠ACB=90°,AC=6cm，BC=8cm，以C為圓心斜邊AB于D，那么AD斜邊AB于D，那么AD的長為。ADM.試判斷四邊形OACB的形狀,并說明理由.12.如下圖，在⊙O中，弦AB⊥AC，弦BD⊥BA，AC、BD交直徑：ME=NF.DBBMMAEO為MN的中點(diǎn)，P為O1O2的中點(diǎn)，求證：PA=PC.FNDFND,那么CD=.1.⊙O的直徑AB=10cm，弦CD⊥AB，垂足為M。且OM=3cmEQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up11(O),所)4.⊙O的弦AB=2cm,圓心到AB的距離為n,那么⊙O的半徑R=，⊙O的周長為.⊙O的5．在⊙O中，弦AB=10cm，C為劣孤AB的中點(diǎn)，OC交AB于D，CD=1cm，那么⊙O6．⊙O中，AB、CD是弦，且AB∥CD，且AB=8cm，CD=6cm，⊙O的半徑為5cm，連接AD、BC，那么梯形ABCD的面積等于.7．如圖，⊙O的半徑為4cm，弦AB、CD交于E點(diǎn)，AC=BC，OF⊥CD于F，OF=2cm，∠BED=.C8．⊙O的半徑為10cm，弦MNA∥EF，且MN=12cEQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up0(m),B)，EF=16cm，那么弦MN和EF之間ED圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角，圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù)。Eg:判別以下各圖中的角是不是圓心角，并說明理由。圓周角：頂點(diǎn)在圓周上，角兩邊和圓相交的角叫圓周角。兩個條件缺一不可．Eg:判斷以下圖示中，各圖形中的角是不是圓周角，并說明理由定理：一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半．①同弧或等弧所對的圓周角相等，同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧也相等．②半圓〔或直徑〕所對的圓周角是直角，90的圓周角所對的弦是直徑．③如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形．例2：如圖，∠A是⊙O的圓周角，且∠A＝35°,那么∠OBC=______.例3：如圖，圓心角∠AOB=100°,那么∠ACB=．OOC例4：如圖1,AEAEFDEDD〔例1〕例2例6如圖，AD是⊙O的直徑，∠ABC=30°,那么∠CAD=________．C_D_C_OA_BABBA1ED2.：如圖，四邊形ABCD是⊙O的接正方形，點(diǎn)P是劣弧D上不同于點(diǎn)C的任意一點(diǎn)，那么∠BPC的度數(shù)是〔〕A．45°B．60°C．75°D．90°3.△ABC中，∠A＝30°,∠B＝60°,AC＝6，那么△ABC外接圓的半徑為〔〕A．23B．33C．3D．34.圓的弦長與它的半徑相等，那么這條弦所對的圓周角的度數(shù)是〔〕A．30°B．150°C．30°或150°D．60°5.如下圖，AB是⊙O的直徑，AD＝DE，AE與BD交于點(diǎn)C，那么圖中與∠BCE相等的EA．①②③B．③④⑤C．①②⑤D．②④⑤A7.如圖，⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，⊙O的半徑為2，那么等邊三角形ABC的邊長為〔〕OA．3B．5C．23D．25BC9.如圖9，有一圓形展廳，在其圓形邊緣上的點(diǎn)A處安裝了一臺監(jiān)視器，它的監(jiān)控角度是8.如圖，△ABC接于⊙O，∠BAC=120°,AB=AC，BD9.如圖9，有一圓形展廳，在其圓形邊緣上的點(diǎn)A處安裝了一臺監(jiān)視器，它的監(jiān)控角度是...10.如圖，量角器外沿上有10.如圖，量角器外沿上有A、B兩點(diǎn)，它們的讀數(shù)分別是0°、40°,那么∠1的度數(shù)xEQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up7(B),α)按照這種方式，小華第五次走到場地邊緣時處于弧AB上，此時∠AOE＝56°,那么α的度數(shù)是.13.如圖，A、B、C、D是⊙O上的四個點(diǎn)，AB＝BC，BD交AC于點(diǎn)E，連接CD、AD．〔1〕求證：DB平分∠ADC；〔2〕假設(shè)BE＝3，ED＝6，求AB的長．14.如下圖，AB為⊙O的直徑，CD是弦，且ABTCD于點(diǎn)E．連接AC、OC、BC．〔1〕求證：7ACO=7BCD．A〔2〕假設(shè)EB=8cm，CD=24cm，求⊙O的直徑．15.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°,AC＝5，CB＝12，AD是△ABC的角平分線，過A、C、D三點(diǎn)的圓與斜邊AB交于點(diǎn)E，連接DE。O〔1〕求證：AC＝AE；E〔2〕求△AB〔1〕假設(shè)AP過圓心O，如圖①,請你判斷△PDC是什么三角形.并說明理由．O在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的孤相等，所對的弦相等，所對的弦的弦心距相等例1．如下圖，點(diǎn)O是∠EPF的平分線上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心的圓和角的兩邊分別交于A、B和C、D，求證：AB=CD．E例2、：如圖，EF為⊙O的直徑，過EF上一點(diǎn)P作弦AB、CD，且∠APF=CPF。求證：PA=PC。A求∠BOC.CAD例4．如圖，⊙O的弦CB、ED的延長線交于點(diǎn)A，且BC=DE．求證：AC=AE．F例5．如下圖，在⊙O中，弦AB=CB，∠ABC=120O，OD⊥AB于DB，OE⊥BC于E．DEOBA、相等的圓心角所對的弧相等B、相等的弧所對的圓心角相等C、相等的弦所對的弦心距相等D、弦心距相等，那么弦相等B圖5.如下圖，△ABC是等邊三角形，以BC為直徑的⊙O分別交AB、AC于點(diǎn)D、E?！?〕試說明△ODE的形狀；〔2〕如圖2，假設(shè)∠A=60o,AB≠AC，那么①的結(jié)論是否仍然成立，說明你的理由。6如圖，△ABC是等邊三角形，⊙O過點(diǎn)B，C，且與BA、CA的延長線分別交于點(diǎn)D、〔1〕求證：△BEF是等邊三角形；AE=BF=CD。A【作業(yè)】日期完成時間成績EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up2147483644(·),O)FEQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up12(G),D)o3.如圖3，A、B、C、D是⊙O上四點(diǎn)，且D是AB的中點(diǎn)，CD交OB于E，5.如圖5，AB是半圓O的直徑，E是BC的中點(diǎn)，OE交弦BC于點(diǎn)D，BC=8cm,DE=2cm，那么AD的長為cm.6．如下圖，在⊙O中，AB是直徑，CO⊥AB，D是CO的中點(diǎn)，DE∥AB．求證:EC=2EACCDOBB判斷四點(diǎn)共圓的方法之一：四邊形對角互補(bǔ)即可。例1〔1〕圓接四邊形ABCD中，∠A:∠B:∠C=2:3:4，求∠D的度數(shù)．例2四邊形ABCD接于⊙O，點(diǎn)P在CD的延長線上，且A∥BD例2四邊形ABCD接于⊙O，點(diǎn)P在CD的延長線上，且A∥BDB．求證：B例B例3如下圖，ΔABC是等邊三角形，D是BC上任一點(diǎn)．求證：DB+DC=DA．DA例4AB是⊙O的直徑，弦DE⊥AB，弦AF和DE的延長線交于，連結(jié)DF·、OEF，求證：FC.FA=FD.FE例5如下圖，在ΔABC中，AB=AC，過A點(diǎn)的直線與ΔABC的外接圓交于E，與BCDBDCEC3．如右圖，四邊形ABCD接于⊙O，AE⊥CD于E，假設(shè)∠ABC=130o，那么∠DAE=．A4．圓接四邊形ABCD的∠A、∠B、∠C的外角度數(shù)比為2:3:4，B那么∠A=，∠B=．5．圓接梯形是梯形，圓接平行四邊形是．·O6．假設(shè)E是圓接四邊形ABCD的邊BA的延長線上一點(diǎn)，BD=CD，∠CEAD=5o，那么D∠BDC=．7．四邊形ABCD接于圓，∠A、∠C的度數(shù)之比是5:4，∠B比∠D大30o，那么∠A=?！螪=．8．圓接四邊形ABCD中，∠A、∠B、∠C的度數(shù)比是2：3：6,那么∠D的度數(shù)是〔〕9．如圖1所示，圓的接四邊形ABCD，DA、CB延長線交于P，AC和BD交于Q，那么A、1對B、2對C、3對D、4對10．如果圓的半徑是15，那么它的接正方形的邊長等于〔〕A、152B、153C、D、11．以下四邊形中，有外接圓的四邊形是〔〕A、有一個角為60o的平行四邊形B、菱形C、矩形D、直角梯形13．假設(shè)四邊形ABCD接于圓，且∠A:∠B:∠C:∠D=5:m:4:n，那么〔〕A、5m=4nB、4m=5nC、m+n=9D、m=n=180oDBB上任一點(diǎn)〔點(diǎn)C、D均不與弦ABA、B的長為23，點(diǎn)CA與點(diǎn)D分別是劣弧AB與優(yōu)弧ADB弦ABA、B(2)求三角形ABD最大面積．直線AD與BC交于E點(diǎn)，連結(jié)BD、DC.〔1〕求證:BD·DC=DE·DA；O,其他條件均不改變，〔2〕假設(shè)將D改為優(yōu)弧BAC上一動點(diǎn)〔不與B、A、C重合〕,其他條件均不改變，C【作業(yè)】日期完成時間成績AA1．過四邊形ABCD頂點(diǎn)A、B、C作一個圓，假設(shè)∠B+∠D>180o，那么D點(diǎn)在〔〕A、圓上B、圓、外D、不能確定2．如圖1，假設(shè)AC=AD，那么圓中相等的圓周角所有的對數(shù)共有〔〕A、5對B、6對C、7D對D、8對A、銳角三角形B、直角三角形C、鈍角三角形D、等腰三角形那么∠DAE為〔〕BA5A如下圖，四邊形ABCD接于⊙O，BD是⊙O直，假設(shè)∠DAC=6oBAAD=5．求AC的長．ODDDDDD直線與圓的位置關(guān)系切線：經(jīng)過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。符號語言∵OA⊥l于A，OA為半徑O①與圓只有一個交點(diǎn)的直線是圓的切線。②圓心到直線距離等于圓的半徑的直線是圓的切線。③經(jīng)過半徑外端，垂直于這條半徑的直線是圓的切線?！舱垊?wù)必記住證明切線方法：有交點(diǎn)就連半徑證垂直；無交點(diǎn)就做垂直證半徑〕圓的切線垂直于經(jīng)過切點(diǎn)的半徑。推論1：經(jīng)過圓心且垂直于切線的直線必經(jīng)過切點(diǎn)。推論2：經(jīng)過切點(diǎn)且垂直于切線的直線必經(jīng)過圓心。例1.如圖，△ABC接于⊙O，AB是⊙O的直徑，∠CAD=∠ABC，判斷直線AD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由。例2.如圖,OA=OB=13cm，AB=24cm，⊙O的半徑為5cm，AB與⊙O相切嗎.為什么"例3.如圖,PA、PB是⊙O的切線，切點(diǎn)為A、B，C是⊙O上一OA點(diǎn)，假設(shè)∠P＝40，ACACAO交AB于D，E為BC中點(diǎn)。求證：DE是⊙O的切線．PCAODDO·與⊙M相x-O·與⊙M相x-點(diǎn)H，交x軸于點(diǎn)E，交y軸于點(diǎn)F．CEB〔3〕如圖12，點(diǎn)K為線段EC上一動點(diǎn)〔不與E、C重合〕，連接BK交⊙M于點(diǎn)T，弦AT交x軸于點(diǎn)N．是否存在一個常數(shù)a，始終滿足MN·MK＝a，如果存在，EyBMODxAHFyQBPDxDxEAHyBKxEMxEAHF1.如圖，在以O(shè)為圓心的兩個同心圓中，AB經(jīng)過圓心O，且與小圓相交于點(diǎn)A，與大圓相交于點(diǎn)B，小圓的切線AC與大圓相交于點(diǎn)D，且CO平分∠ACB.試判斷BC所在直線與小圓的位置關(guān)系，并說明理由。2.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90。，點(diǎn)O在AB上，以O(shè)為圓心，OA長為半徑的圓與AC、AB分別交于點(diǎn)D、E，且∠CBD=∠A，判斷BD與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論。3.(2009)如圖，AB是⊙O的直徑，AB=10，DC切⊙O于點(diǎn)C，AD⊥DC，垂足為D，AD交⊙O于點(diǎn)E。〔1〕求證：AC平分∠BAD；假設(shè)求DC的長。D上，且AB＝AD=4．〔2008〕如圖，點(diǎn)D是⊙O的直徑CA延長線上一點(diǎn)，點(diǎn)上，且AB＝AD=AO．E〔1〕求證：BD是⊙O的切線．〔2〕假設(shè)點(diǎn)E是劣弧BC上一點(diǎn)，AE與BC相交于點(diǎn)F，且△BEF1的面積為8，B,求△ACFcos∠BFA=B,求△ACFcos∠BFA=①垂直于半徑的直線是圓的切線。………………〔〕②過半徑外端的直線是圓的切線?！病尝叟c圓有公共點(diǎn)的直線是圓的切線?！病尝軋A的切線垂直于半徑?！病?．如圖，AC切⊙O于點(diǎn)A，∠BAC＝37。，那么∠AOB的度數(shù)為〔〕。3.如圖，AB與⊙O相切于B，AO的延長線交⊙O于點(diǎn)C，連接BC，假設(shè)∠A＝36。．那么∠C＝______4．如圖，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上一點(diǎn)，∠ABC=30。．過點(diǎn)A作⊙O的切線交BC的延長線于點(diǎn)D，那么∠CAD＝_______5．如圖，AB是⊙O的直徑，直線CD與⊙O相切于點(diǎn)C，∠BAC＝50。，ACD=______C6．如圖，AB為⊙O的直徑，BC切⊙O于B，CO交⊙O于點(diǎn)D，AD的延長線交BC于E，假設(shè)∠C=25。．求∠A的度數(shù)．EQ\*jc3\*hps34\o\al(\s\up6(O),－)的比值是否發(fā)生變化，假設(shè)不變，求出比值；假設(shè)變化，說明變化規(guī)律.經(jīng)過圓外一點(diǎn)做圓的切線，這點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長，叫做這點(diǎn)到圓的切線長．切線長和切線的區(qū)別切線是直線，不可度量；而切線長是切線上一條線段的長，而圓外一點(diǎn)到切點(diǎn)之間的距離，可以度量．的距離，可以度量．從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角．要注意：此定理包含兩個結(jié)論，如圖，PA、PB切⊙O于A、B兩點(diǎn)，AAB①PA=PB②PO平分上APB．圓的外切等腰梯形的中位線等于腰長．例1PA、PB、DE分別切⊙O于A、B、C三點(diǎn)，假設(shè)PO=13㎝，ΔPED的周長為24AA例3．如圖，一圓切四形ABCD，且AB=16，CD=10，那么四邊形周長為B.EQ\*jc3\*hps35\o\al(\s\up11(3),4)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up0(B),O)〔1〕當(dāng)四邊形OBCE是矩形時，求點(diǎn)C的坐標(biāo)；〔3〕求m與n之間的函數(shù)關(guān)系式；AFD1．如圖，⊙O是ΔABC的切圓，D、E、F為切點(diǎn)，AFD2．直角三角形的兩條直角邊為5㎝、12㎝，那么此直三角形的外接圓半徑為㎝，切圓E半徑為㎝．CBAEBF3．如圖，直線AB、BC、CD分別與⊙O相切于點(diǎn)E、F、G，且AB∥CD，假設(shè)OB=6㎝，OC=8㎝，那么上BOC=，⊙O的半徑=㎝，BE+CG=㎝．FDA4．如圖，PA、PB是⊙O的切線，AB交OP于點(diǎn)M，假設(shè)AEQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up7(·),上)BO與AB相切于E，與AC相切于C，又⊙O與BC的另一個交點(diǎn)D，那么線段BD的長．2．如圖，ΔABC接于⊙O，AB為⊙O直徑，過C點(diǎn)的切線交直徑AB的延長線于P，BC4、〔XX〕PA、PB是⊙OD切線，A、B切點(diǎn)，∠APB＝780，點(diǎn)C是⊙O上異于A、B任一EEQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up3(·),O)AB點(diǎn)，那么∠ACB＝＿＿＿＿＿EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up3(·),O)AB5、〔〕假設(shè)直角三角形斜邊長為10cm，其切圓半徑為2cm，那么它的周長為_______。EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up1(⊙O),題)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up1(Rt),C)影局部的面積是〔〕7．連結(jié)圓的兩條平行切線的切點(diǎn)的線段，是這個圓的．8.如圖1，AB是⊙O的直徑，直線MN切半圓于C，AM⊥MN，BN⊥MN，假設(shè)AM=a，BN=b，那么AB=.9．如圖2，AB是⊙O的直徑，延長AB到D，使BD=OB，DC切⊙O于C，那么∠D=，∠ACD=，假設(shè)半徑為r，AC=．10．經(jīng)過圓的直徑兩端點(diǎn)的切線必互相．C54AC都相切，那么⊙O的半徑是〔54AC都相切，那么⊙O的半徑是〔DBA·DBC．12C．127D．94A．1B．BAEQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up4(·),O)B假設(shè)此圓半徑為6㎝，梯形ABCD的周長為38㎝，求梯形的上、下底AD、BC的長．DADEEB概念：和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的切圓，切圓的圓心叫做三角形的心，這個三角形叫做圓的外切三角形．概念推廣：和多邊形各邊都相切的圓叫做多邊形的切圓，這個多邊形叫做圓的外切多邊形．名稱確定方法圖形外心〔三角形外接圓的圓心〔三角形切三角形三邊點(diǎn)三角形三條〔1〕OA=OB=OC；〔2〕外心不一定在三角形的部．〔2〕OA、OB、OC分別平分∠BAC、∠ABC、∠ACB；〔3〕心在三角形部．求三角形的切圓的半徑1、直角三角形△ABC切圓⊙O的半徑為.2、一般三角形①三邊，求△ABC切圓⊙O的半徑r.AFEOECDBCD例1．閱讀材料：如圖〔1〕，△ABC的周長為L，切圓O的半徑為r，連結(jié)OA，OB，△ABC被劃分為三個小三角形，用S△ABC表示△ABC的面積．∵S△ABC=S△OAB+S△OBC+S△OCA又∵S△OAB=2AB·r，S△OBC=2BC·r，S△OCA=2AC·r〔可作為三角形切圓半徑公式〕〔2〕類比與推理：假設(shè)四邊形ABCD存在切圓〔與各邊都相切的圓，如圖〔2〕且面積為S，各邊長分別為a，b，c，d，試推導(dǎo)四邊形〔3〕拓展與延伸：假設(shè)一個n邊形〔n為不小于3的整數(shù)〕存在切圓，且面積為S，n，合理猜測其切圓半徑公式〔不需說明理由〕．例2．如圖，△ABC中，∠A=m°.〔1〕如圖〔1〕，當(dāng)O是△ABC的心時，求∠BOC的度數(shù)；〔2〕如圖〔2〕，當(dāng)O是△ABC的外心時，求∠BOC的度數(shù)；〔3〕如圖〔3〕，當(dāng)O是高線BD與CE的交點(diǎn)時，求∠BOC的度數(shù)．例3．如圖，Rt△ABC中，AC=8，BC=6，∠C=90°,⊙I分別切AC，BC，AB于D，E，F(xiàn)，求Rt△ABC的心I與外心O之間的距離．1．如圖1，⊙O切于△ABC，切點(diǎn)為D，E，F(xiàn)．∠B=50°,∠C=60°,連結(jié)OE，OF，DE，DF，那么∠EDF等于〔〕A．40°B．55°C．65°D．70°2．如圖2，⊙O是△ABC的切圓，D，E，F(xiàn)是切點(diǎn)，∠A=50°,∠C=60°,那么∠DOE=〔〕A．70°B．110°C．120°D．130°3．如圖3，△ABC中，∠A=45°,I是心，那么∠BIC=〔〕4．以下命題正確的選項(xiàng)是〔〕A．三角形的心到三角形三個頂點(diǎn)的距離相等B．三角形的心不一定在三角形的部C．等邊三角形的心，外心重合D．一個圓一定有唯一一個外切三角形5．在Rt△ABC中，∠C=90°,AC=3，AB=5，那么它的切圓與外接圓半徑分別為〔〕6．如圖，在△ABC中，AB=AC，切圓O與邊BC，AC，AB分別切于D，E，F(xiàn)．〔1〕求證：BF=CE；假設(shè)求AC的長．7．如圖，⊙I切△ABC的邊分別為D，E，F(xiàn)，∠B=70°,∠C=60°,M是弧DEF上的動點(diǎn)〔與D，E不重合〕，∠DMF的大小一定嗎.假設(shè)一定，求出∠DMF的大??；假設(shè)不一定，請說明理由．1．如圖，在半徑為R的圓作一個接正方形，然后作這個正方形的切圓，又在這個切圓中作接正方形，依此作到第n個切圓，它的半徑是〔〕A．〔〕nRB．〔〕nRC．〔〕n－1RD．〔〕2．如圖，⊙O為△ABC的切圓，∠C=90°,AO的延長線交BC于點(diǎn)D，AC=4，DC=1，那么⊙O的半徑等于〔〕A．B．C．D3．如圖，△ABC的切圓⊙O分別和邊BC，AC，AB切于D，E，F(xiàn)，如果AF=2，BD=7，CE=4．〔1〕求△ABC的三邊長；〔2〕如果P為弧DF上一點(diǎn)，過P作⊙O的切線，交AB于M，交BC于N，求△BMN4．如圖，⊙O與四邊形ABCD的各邊依次切于M，N，G，H．〔1〕猜測AB+CD與AD+BC有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜測；〔2〕假設(shè)四邊形ABCD增加條件AD∥BC而成為梯形，梯形的中位線長為m，其他條件不變，試用m表示梯形的周長．如圖，正三角形ABC的邊長為2a．〔1〕求它的切圓與外接圓組成的圓環(huán)的面積；〔2〕根據(jù)計(jì)算結(jié)果，要求圓環(huán)的面積，只需測量哪一條弦的大小就可算出圓環(huán)的面〔3〕將條件中的“正三角形〞改為“正方形〞“正六邊形〞，你能得出怎樣的結(jié)論.〔4〕正n邊形的邊長為2a，請寫出它的切圓與外接圓組成的圓環(huán)面積．弦切角等于它所夾的弧對的圓周角。圓冪定理：圓冪定理是對相交弦定理、切割線定理及割線定理〔切割線定理推論〕以及1、相交弦定理：圓兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等。2、相交弦定理的推論：如果弦與直徑相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的3、切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等。過⊙O的點(diǎn)TAB的延點(diǎn)C。ATC=∠TBC例2.：如圖，AB是⊙O的弦，P是AB上的一點(diǎn)，AB＝10cm，PA＝4cm，OP＝5cm，求⊙O的半徑。例3.AB是半圓O的直徑，C是AB延長線上一點(diǎn)，CD切半圓于D，連結(jié)AD，假設(shè)AD=15，求BC的長。例4.：如圖，AB為⊙O直徑，BC為⊙O切線，B為切點(diǎn)，AC交⊙O于D，EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up16(∩),ED)EQ\*jc3\*hps36\o\al(\s\up16(∩),BD)1.如圖1所示，⊙O的兩條弦AB、CD相交于點(diǎn)E，AC和DB的延長線交于點(diǎn)P，以下結(jié)論中成立的是〔〕A.PC·CA＝PB·BDB.CE·AE＝BE·DEC.CE·CD＝BE·BAD.PB·PD＝PC·PA2.如圖2所示，AB切⊙O于B點(diǎn)，BE是⊙O的直徑，切線AD與BE延長線交于C點(diǎn)，假設(shè)那么4.如圖3，AB為⊙O的弦，且AB⊥OP于D，PA為圓O的5.如圖4所示，AB是半圓的直徑，C是半圓上一點(diǎn)，CD⊥AB∩于D，CD＝1，E是AC上任意一點(diǎn)，且∠EDC=∠FDC，以〔4〕DE·DF＝1，〔5〕∠F=∠ECD..P點(diǎn)所引圓的切線長是___________。2.如圖5所示，AD切⊙O于D點(diǎn)，ABC為割線，AD＝24，AB=18，7A=90O，那么⊙O半徑為____________。AE＝2，AD＝1，那么S=___________。那么圓的半徑等于__________cm。1.如下圖，AD是⊙O的切線，D是切點(diǎn)，ABC是⊙O的割線，DE⊥AO于E。求證：∠AEB=∠ACO2.：如下圖，AB為半圓的直徑，C、D與BA的延長線交于P，假設(shè)AP：CP＝3：▽ADB,求AP的長。3.如下圖，AB切⊙O于A，AC經(jīng)過圓心O交圓于點(diǎn)D，BC交圓于點(diǎn)M、N，且使MB＝MN＝NC，假設(shè)AB＝2，求⊙O的半徑。4.如下圖，⊙O中弦AB//CD，BG切⊙O于B，交CD延長線于點(diǎn)G，P是CD上一點(diǎn)，PA、PB分別交CD于E、F兩點(diǎn)。求證：EF·FG＝FD·FC5.如下圖，AB是⊙O的直徑，M是AB上一點(diǎn)，MP⊥AB交⊙O于N，PD是⊙O的割線交⊙O于C、D。求證：PC·PD＋MA·MB＝PM2點(diǎn)22切22含R的關(guān)系線〔1〕連心線：通過兩圓圓心的直線。如果兩個圓相切，那么切點(diǎn)一定在連心線上?！?〕公共弦：相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦?！?〕公切線：和兩個圓都相切的直線，叫做兩圓的公切線。兩個圓在公切線同旁兩個圓在公切線兩旁3．相交兩圓的性質(zhì)定理：相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。4．相切兩圓的性質(zhì)定理：相切兩圓的連心線經(jīng)過切點(diǎn)例1、如圖，⊙O1與⊙O2相交于A、B兩點(diǎn)，P是⊙O1上一點(diǎn)，PB的延長線交⊙O2于點(diǎn)C，PA交⊙O2于點(diǎn)D，CD的延長線交⊙O1于為N.〔1〕過點(diǎn)A作AE//交⊙O1于點(diǎn)E.求證：PA=PE.〔2〕連接PN，假設(shè)PB=4，BC=2，求PN的長.PEQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up0(的),O)2〔1〕求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值圍；AE〔2〕以點(diǎn)O為圓心，BO長為半徑作⊙O，當(dāng)圓⊙O與⊙A相切時，求ΔAOC的面積.經(jīng)典得不能再經(jīng)典的練習(xí)A一．選擇1.⊙O1與⊙O2的半徑分別為5cm和3cm，圓心距020=7cm，那么兩圓的位置關(guān)系為A．外離B．外切C．相交D．切2.兩圓半徑分別為2和3，圓心距為d，假設(shè)兩圓沒有公共點(diǎn)，那么以下結(jié)論正確的選項(xiàng)A．外離B．外切C.相交D．含A．相交B．外離C．切D．含5.假設(shè)兩圓的半徑分別是1cm和5cm，圓心距為6cm，那么這兩圓A．切B．相交C．外切D．外離是A．11B．7C．4D．37.⊙O1和⊙O2的半徑分別為1和4，如果兩圓的位置關(guān)系為相交，那么圓心距O1O2的取值圍在數(shù)軸上表示正確的選項(xiàng)是EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up4(的),1)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up4(徑分),34)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up4(m),0)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up4(3cm),23)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up4(心),5)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up4(m),0)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up4(么),3)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up4(位置關(guān)),012)EQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up4(是),4)rA．3B．5C．7D．3或7A．O1O2=1B．O1O2＝5C．1<O1O2<5D．O1O2＞511.兩圓的半徑分別為3cm和2cm，圓心距為5cm，那么兩圓的位置關(guān)系是A．外離B．外切C．相交D．切12.如圖，把⊙O1向右平移8個單位長度得⊙O2，兩圓相交于A.B，且O1A⊥O2A，那么圖中陰影局部的面積是13．假設(shè)兩圓的直徑分別是2cm和10cm，圓心距為8cm，那么這兩個圓的位置關(guān)系是14.如圖，兩個同心圓的半徑分別為3cm和5cm，弦AB與小圓相切于點(diǎn)C，那么AB的長為〔〕A．4cmB．5cmC．6cmD．8cmO15.如圖，兩同心圓的圓心為O，大圓的弦AB切小圓于P，兩圓ACBA．93A．93πB．63πBD．632πABP16．假設(shè)相交兩圓的半徑分別為1和2，那么此兩圓的圓心距可A．1B．2C．3D．4A．2種B．3種C．4種D．5種二．填空.______________的位置關(guān)系是．為5cm．如果⊙A由圖示位置沿直線AB向右平移3cm，那么此時該圓與⊙B的位置關(guān)系是_____________．1和⊙O2的位置關(guān)系兩個圓的位置關(guān)系是．y2CDDEABx軸交于A，B兩點(diǎn)，過A作直線l與x軸負(fù)方向相交成60°的角，且交y軸于C點(diǎn)，21．兩個同心圓如下圖，其圓的半徑為7，小圓半徑為5，大圓的弦AD與小圓交于點(diǎn)B、C，那么AB·BD的值是。2．如圖，兩個同心圓，點(diǎn)A在大圓A．4πB．8πC．12πD．16π3．假設(shè)兩圓的半徑分別為R和r，EOADBADABBDCAA5．如圖，⊙O1與相交于點(diǎn)A、B，且AO1，AO2分別是12兩圓的切線，A是切點(diǎn)。假設(shè)⊙O1的半徑EQ\*jc3\*hps32\o\al(\s\up2147483647(r),1)=3㎝，⊙12BBO2的半徑r2=4㎝，那么弦AB=㎝。長為5，那么⊙O1與⊙O2的位置關(guān)系為。7．如圖，兩圓相交于A、B兩點(diǎn)，AC、AD分別為兩圓的直A徑，假設(shè)連結(jié)BC、BD，那么∠CBD是〔〕。A．鈍角B．平角C．銳角D．直角D8．兩圓切，一個圓的半徑是3，圓心距是2，那么另一個圓DA．1B．5C．2或3D．1或59．⊙O和⊙O′外切于點(diǎn)C，它們的半徑分別為R、r，AB為兩圓的外公切線，切點(diǎn)為A、B那么公切線的長AB等于〔〕。A．4RrB．RrC．2RrD．2Rr，－A．相交B．外離C．外切D．切有關(guān)弧長公式的應(yīng)用例1如圖，Rt△ABC的斜邊AB=35，AC=21，點(diǎn)O在AB邊上，OB=20，一個以O(shè)為圓心的圓，分別切兩直角邊邊BC、AC于D、E兩點(diǎn)，求弧DE的長度．有關(guān)陰影局部面積的求法例2如下圖，等腰直角三角形ABC的斜邊AB=4，O是AB的中點(diǎn)，以O(shè)為圓半圓分別與兩腰相切于半圓分別與兩腰相切于D、E．求圓中陰影局部的一只小螞蟻假設(shè)從A點(diǎn)出發(fā)，繞側(cè)面一周又回到A點(diǎn)，它爬行的最短路線長是〔〕CCDEEQ\*jc3\*hps31\o\al(\s\up2(·),O)BAA．2πB．42C．43D．5例4如圖10，這是一個由圓柱體材料加工而成的零件，它是以圓柱體的上底面為底面，在其部“掏取〞一個與圓柱體等高的圓錐體而得到的，其底面直徑AB=12cm，高BC=8cm，求這個零件的外表積．〔結(jié)果保存根號〕例5.在一次數(shù)學(xué)探究性學(xué)習(xí)活動中，某學(xué)習(xí)小組要制作一個圓錐體模型，操作規(guī)那么是：在一塊邊長為16cm的正方形紙片上剪出一個扇形和一個圓，使得扇形圍成圓錐的側(cè)面圓恰好是該圓錐的底面．他們首先設(shè)計(jì)了如下圖的方案一，發(fā)現(xiàn)這種方案不可行，于是他們調(diào)整了扇形和圓的半徑，設(shè)計(jì)了如下圖的方案二．〔兩個方案的圖中，圓與正方形相鄰兩邊及扇形的弧均相切．方案一中扇形的弧與正方形的兩邊相切〕請說明理由．1．扇形的圓心角為120°,半徑為2cm，那么扇形的弧長是 cm，扇形的面積是 22．如圖1，兩個同心圓中，大圓半徑OA=4cm，∠ADOB=∠CBOC=60°,那么圖D中陰影局部的面積是______cm2．3．如圖2，圓錐的底面半徑為6cm，高為8cm，那么這個圓錐的側(cè)面積是 cm2．4．如圖3，在紙上剪下一個圓形和一個扇形的紙片，使之恰好能圍成一個圓錐模型，假設(shè)圓的半徑為r，扇形的半徑為R，扇形的圓心角等于120°,那么r與R之間的關(guān)系A(chǔ)．R=2rB．R=rC．R=3rD．R=4r5．如圖4，圓錐的底面半徑為3cm，母線長為5cm，那么它的側(cè)面積是〔〕A．60πcm2B．45πcm2C．30πcm2D．15πcm26．圓錐側(cè)面展開圖的圓心角為90°,那么該圓錐的底面半徑與母線長的比為〔〕A．1：2B．2：1C．1：4D．4：17．用半徑為30cm，圓心角為120°的扇形圍成一個圓錐的側(cè)面，那么圓錐的底面半徑為A．10cmB．30cmC．45cmD．300cm8．將直徑為64cm的圓形鐵皮，做成四個一樣圓錐容器的側(cè)面〔不浪費(fèi)材料，不計(jì)接縫A．815cmB．817cmC．163cmD．16cm9．如圖5，圓心角都是90°的扇形OAB與扇形OCD疊放在一起，OA=3，OC=1，分別連結(jié)AC、BC，那么圓中陰影局部的面積為〔〕1A．2πB．πC．2πD．4π10．如圖6，PA切圓O于A，OP交圓O于B，且PB=1那么陰曩局部的面積S=______．11．如圖7，在邊長為4cm的正方形ABCD中，分別以各邊為直徑向正方形依次作弧AB,BC,CD,DA，點(diǎn)E是四段弧的交點(diǎn)．一只螞蟻由點(diǎn)A出發(fā)沿弧AB,BC,CD,DA,AB路徑順序不斷地爬行，當(dāng)它行走了2006πcm時，停頓爬行，此時，螞蟻所處的位置是點(diǎn)_______．〔填A(yù)，B，C，D，E之一〕12．如圖8，這是一個供滑板愛好者使用的U形池，該U型池可以看作是一個長方體去掉一個“半圓柱〞而成，中間可供滑行局部的截面是半徑為4m的半圓，其邊緣AB=CD=20m，點(diǎn)E在CD上，CE=2m，一滑板愛好者從A點(diǎn)滑到E點(diǎn)，那么他滑行的最短距離約為______m；〔邊緣局部的厚度忽略不計(jì)，結(jié)果保存整數(shù)〕13．如圖9，將圓桶中的水倒入一個直徑為40cm，高為55cm的圓口容器中，圓桶放置的角度與水平線的夾角為45°,假設(shè)使容器中的水面與圓桶相接觸，那么容器中水的A．10cmB．20cmC．30cmD．35cm1．如下圖，A是半徑為1的⊙O外一點(diǎn)，OA=2，AB是⊙O的切線，B為切點(diǎn)，弦BC∥OA，連結(jié)AC，求陰影局部的面積．BAC求AD:DB．DFEFEv〔1〕被剪掉后陰影局部的面積．【作業(yè)】日期完成時間成績