2025年中考數(shù)學解答題系列：平面直角坐標系綜合

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁2025年中考數(shù)學解答題系列：平面直角坐標系綜合1．如圖，在平面直角坐標系xOy中，三個頂點的坐標分別為．將向右平移5個單位長度，再向下平移4個單位長度，得到，其中點D，E，F(xiàn)分別為點A，B，C的對應點．(1)在圖中畫出；(2)點F的坐標是_______；(3)求的面積；(4)已知點P在x軸上，且的面積為9，點P的坐標是_______．2．如圖，在所示的直角坐標系中，四邊形的四個頂點在格點上．(1)寫出下列兩個點的坐標______；______；(2)寫出四邊形的面積______；(3)若點為軸上動點，使得最小值，請在圖中標出點位置，并直接寫出最小值．3．已知點，請分別根據(jù)下列條件，求出點P的坐標．(1)點P在y軸上．(2)點Q的坐標為，直線軸．4．已知二次函數(shù)與x軸交于A，兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C．(1)求三點的坐標；(2)求的面積．5．如圖，菱形的四個頂點都在格點上，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點A．(1)求這個反比例函數(shù)的表達式．(2)請先描出這個反比例函數(shù)圖象上不同于點A的三個格點，再畫出反比例函數(shù)的圖象．(3)將菱形向右平移4.5個單位時，對角線的中點所在的反比例函數(shù)的解析式為______．6．長方形的位置如圖所示，點的坐標為，點從點出發(fā)向點移動，速度為每秒1個單位；點同時從點出發(fā)向點移動，速度為每秒2個單位，設運動時間用表示．(1)直接寫出點、的坐標；(2)證明在點、移動過程中，四邊形的面積一直保持不變．7．在平面直角坐標系中，O是坐標原點，過點分別作x軸和y軸的平行線，交y軸于點B，交x軸于點C，M是線段的中點，點P從M點出發(fā)沿線段向終點C運動，速度為每秒2個單位長度，設點P運動的時間為t（秒）．(1)請直接寫出點B和點C的坐標：B（_______，_______），C（________，________）．(2)求線段的長度（用含有t的代數(shù)式表示，不需要寫出t的取值范圍）．(3)作線段，當三角形的面積等于直角梯形的面積的時，求t的值，并求出此時點P的坐標．8．如圖，在平面直角坐標系中，已知，，其中a，b滿足．(1)填空：，；(2)如圖，直線軸，點M在直線l上．直線與y軸相交于點C，直線交l于點P，已知三角形的面積為6．①求點M到x軸的距離；②若三角形的面積是三角形的面積的4倍，且，求點C的坐標．9．如圖，，，點B在x軸上，且．(1)直接寫出點B的坐標；(2)求的面積；(3)在y軸上是否存在P，使以A、B、P三點為頂點的三角形的面積為4.5？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由．10．如圖1，在平面直角坐標系中，直線分別交軸、軸于點，點，且、滿足．(1)求，的值；(2)以為邊作，點在直線的右側(cè)且，求點的坐標；(3)若（2）的點在第四象限（如圖2），與交于點，與軸交于點，連接，過點作交軸于點．①求證：；②寫出點到的距離．11．如圖，平面直角坐標系中，，，A、C分別在x軸的正、負半軸上．過點C的直線繞點C旋轉(zhuǎn)，交y軸于點D，交線段于點E．(1)直接寫出A、C的坐標；(2)寫出直線的解析式；(3)若與的面積相等，求點E的坐標．12．對于平面直角坐標系中的點，若點的坐標為（其中為常數(shù)，且），則稱點為點P的“系好友點”；例如：的“系好友點”為即．閱讀上述材料，完成下列問題：(1)點的“系好友點”的坐標為______．(2)若點在軸的正半軸上，點P的“系好友點”為點，若在三角形中，，求的值．(3)已知點在第四象限，且滿足；點A是點的“系好友點”，求的值．13．在平面直角坐標系中，一螞蟻從原點出發(fā)，按向上、向右、向下、向右…的方向依次不斷移動，每次移動1個單位，其行走路線如圖所示．(1)填寫下列各點的坐標：（______，______），（______，______），（______，______）；(2)寫出點的坐標（為正整數(shù)）；(3)指出螞蟻從點到點的移動方向．14．如圖，在平面直角坐標系中，直線l經(jīng)過點，且平行于y軸．給出如下定義：點先關于y軸對稱得點，再將點關于直線l對稱得點，則稱點是點P關于y軸和直線l的二次反射點．(1)已知，則它們關于y軸和直線l的二次反射點的坐標分別是______；(2)若點D的坐標是，其中，點D關于y軸和直線l的二次反射點是點，求線段的長；(3)已知點，點，以線段為直角邊在x軸上方作等腰直角三角形，若點關于y軸和直線l的二次反射點分別為，且線段與等腰直角三角形的邊有公共點，則a的取值范圍為_____________________．15．在如圖所示的平面直角坐標系中，正方形邊長為2，點C的坐標為．(1)如圖1，動點D在邊上，將沿直線折疊，點B落在點處，連接并延長，交于點E．①當時，點D的坐標是；②若點E是線段的中點，求此時點D與點的坐標；(2)如圖2，動點D，G分別在邊，上，將四邊形沿直線折疊，使點B的對應點始終落在邊上（點不與點O，A重合），點C落在點處，交于點E．設，四邊形的面積為S，直接寫出S與t的關系式．答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁參考答案1．(1)見解析(2)(3)(4)或【分析】本題考查了作圖——平移變換，平移的性質(zhì)，割補法求面積，絕對值方程，利用數(shù)形結(jié)合的思想，掌握平移的性質(zhì)是解題關鍵．（1）根據(jù)平移的性質(zhì)作出圖形，再根據(jù)圖形寫出點F的坐標即可；（2）根據(jù)圖形點F的坐標即可；（3）利用割補法求出的面積即可；（4）設點P的坐標為，根據(jù)的面積列絕對值方程求解即可．【詳解】（1）解：如圖，即為所求作，點F的坐標（2）解：由圖可知，．故答案為：；（3）解：的面積；（4）解：設點P的坐標為，，，的面積為9，，解得：或，點P的坐標為或，故答案為：或2．(1)點的坐標為，點的坐標為(2)(3)見詳解；5【分析】本題考查了坐標與圖形，考查了四邊形面積，軸對稱最短問題等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識．（1）觀察圖形直接得出點、的坐標；（2）用一個長方形的面積減去四個空白三角形的面積即可．（3）作點關于軸的對稱點，連接交軸于點，點即為所求．【詳解】（1）解：點的坐標為，點的坐標為．故答案為：，；（2）解：四邊形的面積為．故答案為：．（3）解：點關于軸的對稱點坐標為，連結(jié)交軸于點，如圖，則，此時的值最小，最小值，即的最小值為5．3．(1)；(2)．【分析】本題考查求點的坐標，熟練掌握點的坐標特征，是解題的關鍵：（1）根據(jù)y軸上的點的橫坐標為0，進行求解即可；（2）根據(jù)平行于軸的直線上的點的縱坐標相同，進行求解即可?！驹斀狻浚?）解：∵點在y軸上，∴，解得，∴，∴點P的坐標為．（2）∵點，，直線軸，∴，解得，∴，∴點P的坐標為．4．(1)，(2)的面積為3．【分析】本題主要考查了二次函數(shù)與坐標軸的交點問題，掌握二次函數(shù)的有關性質(zhì)是解題的關鍵．（1）將代入二次函數(shù)解析求解一元二次方程再結(jié)合題意即可求得點A、B的坐標；將代入二次函數(shù)解析，即可求得C點坐標；（2）由三點的坐標可得的長，然后根據(jù)三角形的面積公式可得的面積為，最后代入數(shù)據(jù)求解即可．【詳解】（1）解：將代入可得：，解得：，∵點A在點B的左側(cè)，∴．將代入可得：，∴．（2）解：∵，，∴，∴．答：的面積為3．5．(1)(2)見解析(3)【分析】本題考查了求反比例函數(shù)解析式，畫反比例函數(shù)解析式，平移的性質(zhì)，掌握反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)是解題關鍵．（1）由圖形可知，，再根據(jù)待定系數(shù)法求解即可；（2）根據(jù)反比例函數(shù)解析式描點畫圖即可；（3）先求出平移后的、坐標，進而得到對角線的中點坐標，再根據(jù)待定系數(shù)法求解即可．【詳解】（1）解：由圖形可知，，反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點A，，，這個反比例函數(shù)的表達式為．（2）解：當時，；當時，；當時，；描點畫圖如下：（3）解：由圖形可知，，，菱形向右平移4.5個單位，平移后的坐標，，的中點坐標為，設對角線的中點所在的反比例函數(shù)的解析式為，，解得：，對角線的中點所在的反比例函數(shù)的解析式為．6．(1)點的坐標為，點的坐標為(2)證明見解析【分析】本題考查坐標與圖形的性質(zhì)、割補法求四邊形面積，解題的關鍵在于熟練掌握相關知識．（1）根據(jù)點坐標的定義求解，即可解題；（2）根據(jù)列式計算，即可證明在點、移動過程中，四邊形的面積一直保持不變．【詳解】（1）解：∵四邊形是長方形，，∴點的坐標為，點的坐標為；（2）解：四邊形的面積不變．證明如下：∵．∴四邊形的面積不變．7．(1)點坐標，點的坐標(2)或(3)t的值為2，此時點P的坐標為【分析】本題考查了坐標與圖形性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，三角形的面積和梯形的面積等知識點的應用，能進行分類討論是解此題的關鍵．（1）由矩形的性質(zhì)以及點的坐標即可求出點，的坐標；（2）分為兩種情況：當在上時，當在上時，求出，再根據(jù)點的位置寫出的取值范圍即可；（3）分為兩種情況：當在上時，當在上時，分別求出和四邊形的面積，即可得出關于的方程，求出，即可得出答案．【詳解】（1）解：過點分別作軸和軸的平行線，交軸于點，交軸于點，∴，，四邊形是平行四邊形，，四邊形是矩形，∵，，，點坐標，點的坐標；（2）解：四邊形是矩形，，為的中點，，，，當在上時，；當在上時，；綜上，線段的長度為或．（3）解：當在上時，如圖1，當三角形的面積等于直角梯形的面積的，，解得：，當時，，此時點P與點A重合，點的坐標為；當在上時，如圖2，，，，解得：，，此時點P與點A重合，點的坐標為．綜上，當三角形的面積等于直角梯形的面積的時，t的值為2，此時點P的坐標為．8．(1)，(2)①M到x軸的距離是3；②或【分析】本題主要考查非負性和解一元一次方程、點坐標和距離的關系，解題的關鍵是熟悉分類討論思想的應用．（1）根據(jù)題意得，解得a和b即可；（2）①過點M做垂直于點N，根據(jù)點坐標求得，結(jié)合面積公式列出方程求得點M到x軸的距離即可；②設，則，和，分情況：當M在y軸左側(cè)和點M在y軸右側(cè)，根據(jù)面積公式和點與線段距離列方程求解即可．【詳解】（1）解∶∵，∴，則，；（2）解：①過點M做垂直于點N，因為，所以，因為三角形的面積為6，所以，所以，則點M到x軸的距離是3；②設，所以，，，當點M在y軸左側(cè)時，三角形的面積，三角形的面積，因為三角形的面積是三角形的面積的4倍，所以，，解得，所以，當點M在y軸右側(cè)時，三角形的面積，三角形的面積，因為三角形的面積是三角形的面積的4倍，所以，，解得，所以，綜上所述或．9．(1)或(2)6(3)存在，或【分析】本題考查了坐標與圖形性質(zhì)，主要利用了三角形的面積，難點在于要分情況討論．（1）分點在點的左邊和右邊兩種情況解答；（2）利用三角形的面積公式列式計算即可得解；（3）利用三角形的面積公式列式求出點到軸的距離，然后分兩種情況寫出點的坐標即可．【詳解】（1）解：點在點的右邊時，，點在點的左邊時，，所以，的坐標為或；（2）解：的面積；（3）解：存在，設點到軸的距離為，則，解得，點在軸正半軸時，，點在軸負半軸時，，綜上所述，點的坐標為或．10．(1)，(2)點的坐標為或(3)①見解析；②點到的距離為【分析】（1）根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)可得出答案；（2）分兩種情況：或，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)及全等三角形的性質(zhì)可求出點的坐標；（3）①由（2）知點，過點作軸于點，則，證明，得出，證明，得出，則結(jié)論得證；②過點作于點，過點作軸于點，則，證明，可得，由角平分線的性質(zhì)可得．【詳解】（1）解：、滿足，，，解得：，；（2）由（1）知，，，，，，，是直角三角形，且，只有或，①如圖1，當時，過點作軸于，，，，，，在和中，，，，，，；②如圖2，當時，過點作軸于點，則，，，，，，在和中，，，，，，；綜上所述，點的坐標為或；（3）①如圖3，由（2）知點，過點作軸于點，則，在和中，，，，，，，，，在和中，，，，；②如圖4，過點作于點，過點作軸于點，則，由①知，，，，，，，，，，，，，即點到的距離為．【點睛】本題是三角形綜合題，考查了非負數(shù)的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，坐標與圖形，等腰三角形的性質(zhì)，點到直線的距離，角平分線的性質(zhì)等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．11．(1)、(2)(3)【分析】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式，坐標與圖形的性質(zhì)，三角形的面積等知識點，數(shù)形結(jié)合是解此題的關鍵．（1）根據(jù)，求解即可；（2）用待定系數(shù)法即可求出直線的解析式；（3）推出和的面積相等，根據(jù)面積公式求出E的縱坐標．【詳解】（1）解：∵，，∴，∴，；（2）解：設直線的解析式為．∴解得∴直線的解析式為；（3）解：∵，∴，即，∵點E在線段上，∴點E在第一象限，且，∴∴把代入直線的解析式得：

∴∴．12．(1)(2)；(3)【分析】本題主要考查坐標與圖形的性質(zhì)，熟練掌握新定義并列出相關的方程和方程組是解題的關鍵．（1）根據(jù)“系好友點”的定義列式計算即可求解；（2）設，根據(jù)定義得到點，則，即可求解；（3）點是點的“系好友點”，可得點，由得到，即可求解．【詳解】（1）解：

的坐標為．故答案為：；（2）解：設其中，，軸，，又，，，；（3）解：點是點的“系好友點”．，，又，，即，點在第四象限，，即．13．(1)；；；(2)點的坐標為；(3)向右．【分析】本題考查了規(guī)律型-點的坐標，找到規(guī)律是解題的關鍵．（1）由題意和圖得出（為整數(shù)）在軸上，橫坐標為，縱坐標為；在軸上，橫坐標為，縱坐標為；與的橫坐標相同為，縱坐標為，即可求解；（2）根據(jù)（1）可得出答案；（3）由，知道螞蟻從點到點的移動方向與點到的移動方向一致，即可得出答案．【詳解】（1）解：由題意和圖可知，，∴（為整數(shù)）在軸上，橫坐標為，縱坐標為，在軸上，橫坐標為，縱坐標為，與的橫坐標相同為，縱坐標為，∴，當時，即的橫坐標相同為，縱坐標為，∴，故答案為：；；；（2）解：由（1）可知，點的坐標為；（3）解：∵，∴螞蟻從點到點的移動方向與點到的移動方向一致為：向右．14．(1)、、；(2)；(3)或．【分析】（1）根據(jù)二次反射點的定義直接得出答案；（2）根據(jù)二次反射點的定義得出，則可得出答案；（3）根據(jù)二次反射點的定義得出，，由題意分兩種情況列出不等