2024年高考數(shù)學(xué)考點分析與突破性講練專題23基本不等式及不等式應(yīng)用理

PAGEPAGE1專題23基本不等式及不等式應(yīng)用考綱要求：1.了解基本不等式的證明過程.2.會用基本不等式解決簡潔的最大(小)值問題．二、概念駕馭及解題上的留意點：1.利用基本不等式求最值的方法利用基本不等式解決條件最值的關(guān)鍵是構(gòu)造和為定值或積為定值，主要有兩種思路：1)對條件運用基本不等式，建立所求目標函數(shù)的不等式求解.常用的方法有：拆項法、變系數(shù)法、湊因子法、換元法、整體代換法等.2)條件變形，進行“1”的代換求目標函數(shù)最值.2.求解含參數(shù)不等式的求解策略1)視察題目特點，利用基本不等式確定相關(guān)成立條件，從而得參數(shù)的值或取值范圍.2)在處理含參數(shù)的不等式恒成立問題時，往往將已知不等式看作關(guān)于參數(shù)的不等式，體現(xiàn)了主元與次元的轉(zhuǎn)化.三、高考考題題例分析：例1.（2024天津卷）已知a，b∈R，且a﹣3b+6=0，則2a+的最小值為．【答案】例2.（2024江蘇卷）在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分線交AC于點D，且BD=1，則4a+c的最小值為．【答案】9【解析】：由題意得acsin120°=asin60°+csin60°，即ac=a+c，得+=1，得4a+c=（4a+c）（+）=++5≥2+5=4+5=9，當且僅當=，即c=2a時，取等號，故答案為：9．例3.(2024山東卷)若，且，則下列不等式成立的是（A）（B）（C）（D）【答案】B例4.(2024天津卷)若，，則的最小值為___________.【答案】4【解析】:，（前一個等號成立條件是，后一個等號成立的條件是，兩個等號可以同時取得，則當且僅當時取等號）.例5.(2024江蘇卷)某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買噸，運費為6萬元/次，一年的總存儲費用為萬元,要使一年的總運費與總存儲之和最小,則的值是.【答案】30【解析】:總費用，當且僅當，即時等號成立.例6.(2015高考陜西卷)設(shè)，若，，，則下列關(guān)系式中正確的是（）A．B．C．D．【答案】C例7.(2015高考四川卷)假如函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則mn的最大值為（）（A）16（B）18（C）25（D）【答案】B【解析】:時，拋物線的對稱軸為.據(jù)題意，當時，即..由且得.當時，拋物線開口向下，據(jù)題意得，即..由且得，故應(yīng)舍去.要使得取得最大值，應(yīng)有.所以，所以最大值為18.選B..基本不等式練習(xí)一、選擇題1．“x≥1”是“x＋eq\f(1,x)≥2”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】:x＋eq\f(1,x)≥2?x＞0，所以“x≥1”是“x＋eq\f(1,x)≥2”的充分不必要條件，故選A．2．設(shè)x＞0，y＞0，且x＋y＝18，則xy的最大值為()A．80 B．77C．81 D．82【答案】C【解析】:∵x＞0，y＞0，∴eq\f(x＋y,2)≥eq\r(xy)，即xy≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))eq\s\up12(2)＝81，當且僅當x＝y(tǒng)＝9時，(xy)max＝81.3．已知f(x)＝x＋eq\f(1,x)－2(x＜0)，則f(x)有()A．最大值0 B．最小值0C．最大值－4 D．最小值－4【答案】C4．若函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(1,x－2)(x>2)在x＝a處取最小值，則a等于()A．1＋eq\r(2) B．1＋eq\r(3)C．3 D．4【答案】C【解析】:當x>2時，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋eq\f(1,x－2)＋2≥2eq\r(x－2×\f(1,x－2))＋2＝4，當且僅當x－2＝eq\f(1,x－2)(x>2)，即x＝3時取等號，即當f(x)取得最小值時，x＝3，即a＝3，選C．5．已知x，y＞0且x＋4y＝1，則eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)的最小值為()A．8 B．9C．10 D．11【答案】B【解析】:∵x＋4y＝1(x，y＞0)，∴eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)＝eq\f(x＋4y,x)＋eq\f(x＋4y,y)＝5＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4y,x)＋\f(x,y)))≥5＋2eq\r(\f(4y,x)·\f(x,y))＝5＋4＝9eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(當且僅當x＝2y＝\f(1,3)時，取等號)).6．已知a＞0，b＞0，則eq\f(a2＋4＋4ab＋4b2,a＋2b)的最小值為()A．eq\f(1,4) B．1C．2 D．4【答案】D7．已知x＞1，y＞1，且lgx,2，lgy成等差數(shù)列，則x＋y有()A．最小值20 B．最小值200C．最大值20 D．最大值200【答案】B【解析】:由題意得2×2＝lgx＋lgy＝lg(xy)，所以xy＝10000，則x＋y≥2eq\r(xy)＝200，當且僅當x＝y(tǒng)＝100時，等號成立，所以x＋y的有最小值200，故選B.8．設(shè)a＞0，若關(guān)于x的不等式x＋eq\f(a,x－1)≥5在(1，＋∞)上恒成立，則a的最小值為()A．16 B．9C．4 D．2【答案】C【解析】:在(1，＋∞)上，x＋eq\f(a,x－1)＝(x－1)＋eq\f(a,x－1)＋1≥2eq\r(x－1×\f(a,x－1))＋1＝2eq\r(a)＋1(當且僅當x＝1＋eq\r(a)時取等號)，由題意知2eq\r(a)＋1≥5.所以2eq\r(a)≥4，eq\r(a)≥2，a≥4.9.要制作一個容積為4m3，高為1m的無蓋長方體容器．已知該容器的底面造價是每平方米20元，側(cè)面造價是每平方米10元，則該容器的最低總造價是()A．80元 B．120元C．160元 D．240元【答案】C【解析】：設(shè)底面相鄰兩邊的邊長分別為xm，ym，總造價為T元，則xy·1＝4?xy＝4.T＝4×20＋(2x＋2y)×1×10＝80＋20(x＋y)≥80＋20×2eq\r(xy)＝80＋20×4＝160(當且僅當x＝y(tǒng)時取等號)．故該容器的最低總造價是160元．10．某車間分批生產(chǎn)某種產(chǎn)品，每批的生產(chǎn)打算費用為800元．若每批生產(chǎn)x件，則平均倉儲時間為eq\f(x,8)天，且每件產(chǎn)品每天的倉儲費用為1元．為使平均到每件產(chǎn)品的生產(chǎn)打算費用與倉儲費用之和最小，每批應(yīng)生產(chǎn)產(chǎn)品()A．60件 B．80件C．100件D．120件【答案】B11.若對隨意x＞0，eq\f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，則a的取值范圍是()A．a(chǎn)≥eq\f(1,5) B．a(chǎn)＞eq\f(1,5)C．a(chǎn)＜eq\f(1,5) D．a(chǎn)≤eq\f(1,5)【答案】A【解析】:∵對隨意x＞0，eq\f(x,x2＋3x＋1)≤a恒成立，∴對x∈(0，＋∞)，a≥eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,x2＋3x＋1)))max，而對x∈(0，＋∞)，eq\f(x,x2＋3x＋1)＝eq\f(1,x＋\f(1,x)＋3)≤eq\f(1,2\r(x·\f(1,x))＋3)＝eq\f(1,5)，當且僅當x＝eq\f(1,x)時等號成立，∴a≥eq\f(1,5).12．正數(shù)a，b滿意eq\f(1,a)＋eq\f(9,b)＝1，若不等式a＋b≥－x2＋4x＋18－m對隨意實數(shù)x恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是()A．[3，＋∞) B．(－∞，3]C．(－∞，6] D．[6，＋∞)【答案】D二、填空題13．正數(shù)a，b滿意ab＝a＋b＋3，則ab的取值范圍是________．【答案】[9，＋∞)【解析】:∵a，b是正數(shù)，∴ab＝a＋b＋3≥2eq\r(ab)＋3，∴ab－2eq\r(ab)－3≥0，∴(eq\r(ab)＋1)(eq\r(ab)－3)≥0，∴eq\r(ab)≤－1(舍去)或eq\r(ab)≥3.即ab≥9.14.已知正數(shù)x，y滿意x＋2eq\r(2xy)≤λ(x＋y)恒成立，則實數(shù)λ的最小值為________.【答案】2【解析】:依題意得x＋2eq\r(2xy)≤x＋(x＋2y)＝2(x＋y)，即eq\f(x＋2\r(2xy),x＋y)≤2(當且僅當x＝2y時取等號)，即eq\f(x＋2\r(2xy),x＋y)的最大值為2.又λ≥eq\f(x＋2\r(2xy),x＋y)，因此有λ≥2，即λ的最小值為2.15．某公司購買一批機器投入生產(chǎn)，據(jù)市場分析，每臺機器生產(chǎn)的產(chǎn)品可獲得的總利潤y(單位：萬元)與機器運轉(zhuǎn)時間x(單位：年)的關(guān)系為y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，則每臺機器為該公司創(chuàng)建的年平均利潤的最大值是________萬元.【答案】8【解析】:年平均利潤為eq\f(y,x)＝－x－eq\f(25,x)＋18＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(25,x)))＋18，∵x＋eq\f(25,x)≥2eq\r(x·\f(25,x))＝10，∴eq\f(y,x)＝18－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(25,x)))≤18－10＝8，當且僅當x＝eq\f(25,x)，即x＝5時，取等號．16．已知點P(a，b)在函數(shù)y＝eq\f(e2,x)上，且a＞1，b＞1，則alnb的最大值為________．【答案】e【解析】:由點P(a，b)在函數(shù)y＝eq\f(e2,x)上，得ab＝e2，則lna＋lnb＝2，又a＞1，b＞1，則lna＞0，lnb＞0.令alnb＝t，t＞1，則lnt＝lnalnb≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lna＋lnb,2)))eq\s\up7(2)＝1，當且僅當a＝b＝e時，取等號，所以1＜t≤e，所以alnb的最大值為e.三、解答題17．(1)當x<eq\f(3,2)時，求函數(shù)y＝x＋eq\f(8,2x－3)的最大值；(2)設(shè)0<x<2，求函數(shù)y＝eq\r(x4－2x)的最大值．【答案】(1)－eq\f(5,2)，(2)eq\r(2)(2)∵0<x<2，∴2－x>0，∴y＝eq\r(x4－2x)＝eq\r(2)·eq\r(x2－x)≤eq\r(2)·eq\f(x＋2－x,2)＝eq\r(2)，當且僅當x＝2－x，即x＝1時取等號，∴當x＝1時，函數(shù)y＝eq\r(x4－2x)的最大值為eq\r(2).18．已知x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求：(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．【答案】(1)64，(2)18【解析】:(1)由2x＋8y－xy＝0，得eq\f(8,x)＋eq\f(2,y)＝1，又x>0，y>0，則1＝eq\f(8,x)＋eq\f(2,y)≥2eq\r(\f(8,x)·\f(2,y))＝eq\f(8,\r(xy))，得xy≥64，當且僅當x＝16且y＝4時，等號成立．所以xy的最小值為64.19．經(jīng)市場調(diào)查，某旅游城市在過去的一個月內(nèi)(以30天計)，第t天(1≤t≤30，t∈N*)的旅游人數(shù)f(t)(萬人)近似地滿意f(t)＝4＋eq\f(1,t)，而人均消費g(t)(元)近似地滿意g(t)＝120－|t－20|.(1)求該城市的旅游日收益W(t)(萬元)與時間t(1≤t≤30，t∈N*)的函數(shù)關(guān)系式；(2)求該城市旅游日收益的最小值.【答案】(1)W(t)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(401＋4t＋\f(100,t)，1≤t≤20，,559＋\f(140,t)－4t，20<t≤30.))(2)W(t)的最小值為441萬元．【解析】:(1)W(t)＝f(t)g(t)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\