2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第7章立體幾何第2講空間幾何體的表面積與體積講義理含解析

PAGEPAGE16第2講空間幾何體的表面積與體積[考綱解讀]1.駕馭與三視圖相結(jié)合求解球、柱、錐、臺的表面積和體積．(重點)2.會用計算公式，會處理棱柱、棱錐與球組合體的“接”“切”問題．(難點)[考向預(yù)料]從近三年高考狀況來看，本講屬于高考必考內(nèi)容．預(yù)料2024年會一如既往的對本內(nèi)容進行考查，命題方式為：①依據(jù)三視圖，求幾何體的表面積或體積；②涉及與球有關(guān)的幾何體的外接與內(nèi)切問題．題型以客觀題為主，且試題難度不會太大，屬中檔題型.1．圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面綻開圖及側(cè)面積公式2．柱、錐、臺和球的表面積和體積1．概念辨析(1)圓柱的一個底面積為S，側(cè)面綻開圖是一個正方形，那么這個圓柱的側(cè)面積是2πS.()(2)錐體的體積等于底面面積與高之積．()(3)設(shè)長方體的長、寬、高分別為2a，a，a，其頂點都在一個球面上，則該球的表面積為3πa2.()(4)臺體的體積可轉(zhuǎn)化為兩個錐體的體積之差．()答案(1)×(2)×(3)×(4)√2．小題熱身(1)(2024·全國卷Ⅱ)下圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()A．20π B．24πC．28π D．32π答案C解析由三視圖可得圓錐的母線長為eq\r(22＋2\r(3)2)＝4，∴S圓錐側(cè)＝π×2×4＝8π.又S圓柱側(cè)＝2π×2×4＝16π，S圓柱底＝4π，∴該幾何體的表面積為8π＋16π＋4π＝28π.故選C.(2)(2024·浙江高考)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的表面積是________cm2，體積是________cm3.答案7232解析由幾何體的三視圖可得該幾何體的直觀圖如圖所示．該幾何體由兩個完全相同的長方體組合而成，其中AB＝BC＝2cm，BD＝4cm，所以該幾何體的體積V＝2×2×4×2＝32cm3，表面積S＝(2×2×3＋2×4×3)×2＝36×2＝72cm2.(3)(2024·江蘇高考)如圖，在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O，該球與圓柱的上、下底面及母線均相切，記圓柱O1O2的體積為V1，球O的體積為V2，則eq\f(V1,V2)的值是.答案eq\f(3,2)解析設(shè)球O的半徑為R，∵球O與圓柱O1O2的上、下底面及母線均相切，∴圓柱O1O2的高為2R，圓柱O1O2的底面半徑為R.∴eq\f(V1,V2)＝eq\f(πR2·2R,\f(4,3)πR3)＝eq\f(3,2).(4)已知某棱臺的上、下底面面積分別為6eq\r(3)和24eq\r(3)，高為2，則其體積為________．答案28eq\r(3)解析由已知得此棱臺的體積V＝eq\f(1,3)(6eq\r(3)＋24eq\r(3)＋eq\r(6\r(3)×24\r(3)))×2＝eq\f(1,3)×42eq\r(3)×2＝28eq\r(3).題型eq\a\vs4\al(一)空間幾何體的表面積1．(2024·全國卷Ⅰ)已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為()A．12eq\r(2)π B．12πC．8eq\r(2)π D．10π答案B解析依據(jù)題意，可得截面是邊長為2eq\r(2)的正方形，結(jié)合圓柱的特征，可知該圓柱的底面為半徑是eq\r(2)的圓，且高為2eq\r(2)，所以其表面積為S＝2π(eq\r(2))2＋2π×eq\r(2)×2eq\r(2)＝12π.故選B.2．(2024·四川南充診斷)如圖是一個幾何體的正(主)視圖和側(cè)(左)視圖，其俯視圖是面積為8eq\r(2)的矩形，則該幾何體的表面積是()A．20＋8eq\r(2) B．24＋8eq\r(2)C．8 D．16答案A解析此幾何體是一個三棱柱，且其高為eq\f(8\r(2),2\r(2))＝4，由于其底面是等腰直角三角形，直角邊長為2，所以其面積為eq\f(1,2)×2×2＝2.又此三棱柱的高為4，故其側(cè)面積為(2＋2＋2eq\r(2))×4＝16＋8eq\r(2)，表面積為2×2＋16＋8eq\r(2)＝20＋8eq\r(2).3．某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是()A．2＋eq\r(5) B．4＋eq\r(5)C．2＋2eq\r(5) D．5答案C解析依據(jù)三視圖畫出該空間幾何體的立體圖：S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2＝2；S△ABD＝eq\f(1,2)×eq\r(5)×1＝eq\f(\r(5),2)；S△CBD＝eq\f(1,2)×eq\r(5)×1＝eq\f(\r(5),2)；S△ACD＝eq\f(1,2)×2×eq\r(5)＝eq\r(5)，所以S表＝S△ABC＋S△ABD＋S△CBD＋S△ACD＝2＋eq\f(\r(5),2)＋eq\f(\r(5),2)＋eq\r(5)＝2eq\r(5)＋2.故選C.三類幾何體表面積的求法已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為()A.eq\f(7,3) B.eq\f(17,2)C．13 D.eq\f(17＋3\r(10),2)答案C解析由三視圖可知幾何體為三棱臺，作出直觀圖如圖所示．則CC′⊥平面ABC，上下底均為等腰直角三角形，AC⊥BC，AC＝BC＝1，A′C′＝B′C′＝C′C＝2，∴AB＝eq\r(2)，A′B′＝2eq\r(2).∴棱臺的上底面積為eq\f(1,2)×1×1＝eq\f(1,2)，下底面積為eq\f(1,2)×2×2＝2，梯形ACC′A′的面積為eq\f(1,2)×(1＋2)×2＝3，梯形BCC′B′的面積為eq\f(1,2)×(1＋2)×2＝3，過A作AD⊥A′C′于D，過D作DE⊥A′B′，則AD＝CC′＝2，DE為△A′B′C′斜邊高的eq\f(1,2)，∴DE＝eq\f(\r(2),2)，∴AE＝eq\r(AD2＋DE2)＝eq\f(3,\r(2))，∴梯形ABB′A′的面積為eq\f(1,2)×(eq\r(2)＋2eq\r(2))×eq\f(3,\r(2))＝eq\f(9,2)，∴幾何體的表面積S＝eq\f(1,2)＋2＋3＋3＋eq\f(9,2)＝13.題型eq\a\vs4\al(二)空間幾何體的體積角度1依據(jù)幾何體的三視圖計算體積1．(2024·汕頭一模)如圖，畫出的是某四棱錐的三視圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，則該幾何體的體積為()A．15 B．16C.eq\f(50,3) D.eq\f(53,3)答案C解析由三視圖可得，該幾何體是一個以俯視圖為底面，高為5的四棱錐P－A1D1FE，其體積V＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×4×4＋\f(1,2)×2×2))×5＝eq\f(50,3).角度2依據(jù)幾何體的直觀圖計算體積2.(2024·天津高考)已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為1，除面ABCD外，該正方體其余各面的中心分別為點E，F(xiàn)，G，H，M(如圖)，則四棱錐M－EFGH的體積為________．答案eq\f(1,12)解析依題意得：該四棱錐M－EFGH為正四棱錐，其高為正方體棱長的一半，即為eq\f(1,2)，正方體EFGH的邊長為eq\f(\r(2),2)，其面積為eq\f(1,2)，所以四棱錐M－EFGH的體積VM－EFGH＝eq\f(1,3)Sh＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,12).求體積的常用方法干脆法對于規(guī)則的幾何體，利用相關(guān)公式干脆計算割補法首先把不規(guī)則的幾何體分割成規(guī)則的幾何體，然后進行體積計算；或者把不規(guī)則的幾何體補成規(guī)則的幾何體，不熟識的幾何體補成熟識的幾何體，便于計算等體積法選擇合適的底面來求幾何體體積，常用于求三棱錐的體積，即利用三棱錐的任一個面可作為三棱錐的底面進行等體積變換1．(2024·浙江高考)某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的體積(單位：cm3)是()A．2 B．4C．6 D．8答案C解析由三視圖可知，該幾何體是底面為直角梯形的直四棱柱，底面面積S＝eq\f(1＋2×2,2)＝3，高h(yuǎn)＝2，所以V＝Sh＝6.2．祖暅?zhǔn)俏覈R梁時代的數(shù)學(xué)家，他提出了一條原理：“冪勢既同，則積不容異．”這句話的意思是：兩個等高的幾何體若在全部等高處的水平截面的面積相等．則這兩個幾何體的體積相等．該原理在西方直到十七世紀(jì)才由意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列利發(fā)覺，比祖暅晚一千一百多年．橢球體是橢圓繞其軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體．如圖所示，將底面直徑皆為2b，高皆為a的半橢球體及已被挖去了圓錐體的圓柱體放置于同一平面β上．以平行于平面β的平面在距平面β隨意高度d處可橫截得到S圓及S環(huán)兩截面，可以證明S圓＝S環(huán)總成立，據(jù)此，短軸長為4cm，長軸長為6cm的橢球體的體積是________cm3.答案16π解析因為總有S圓＝S環(huán)，所以半橢球體的體積為V圓柱－V圓錐＝πb2a－eq\f(1,3)πb2a＝eq\f(2,3)πb2a.又2a＝6,2b＝4，即a＝3，b＝2，所以橢球體的體積V＝eq\f(4,3)πb2a＝eq\f(4π,3)×22×3＝16π.題型eq\a\vs4\al(三)幾何體與球的切、接問題1．已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6個頂點都在球O的球面上，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，則球O的半徑為()A.eq\f(3\r(17),2) B．2eq\r(10)C.eq\f(13,2) D．3eq\r(10)答案C解析解法一：如圖，由球心作平面ABC的垂線，則垂足為BC的中點M.又AM＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)eq\r(32＋42)＝eq\f(5,2)，OM＝eq\f(1,2)AA1＝6，所以球O的半徑R＝OA＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))2＋62)＝eq\f(13,2).解法二：將直三棱柱補形為長方體ABEC－A1B1E1C1，則球O是長方體ABEC－A1B1E1C1的外接球．所以體對角線BC1的長為球O的直徑．因此2R＝eq\r(32＋42＋122)＝13.故R＝eq\f(13,2).2．(2024·全國卷Ⅲ)設(shè)A，B，C，D是同一個半徑為4的球的球面上四點，△ABC為等邊三角形且其面積為9eq\r(3)，則三棱錐D－ABC體積的最大值為()A．12eq\r(3) B．18eq\r(3)C．24eq\r(3) D．54eq\r(3)答案B解析如圖所示，點M為三角形ABC的重心，E為AC的中點，當(dāng)DM⊥平面ABC時，三棱錐D－ABC體積最大，此時，OD＝OB＝R＝4.∵S△ABC＝eq\f(\r(3),4)AB2＝9eq\r(3)，∴AB＝6，∵點M為三角形ABC的重心，∴BM＝eq\f(2,3)BE＝2eq\r(3)，∴在Rt△OMB中，有OM＝eq\r(OB2－BM2)＝2.∴DM＝OD＋OM＝4＋2＝6，∴(V三棱錐D－ABC)max＝eq\f(1,3)×9eq\r(3)×6＝18eq\r(3).故選B.條件探究1若將舉例說明2中的三棱錐D－ABC滿意的條件改為“AB為球O的直徑，若該三棱錐的體積為eq\r(3)，BC＝3，BD＝eq\r(3)，∠CBD＝90°”，計算球O的體積．解設(shè)A到平面BCD的距離為h，∵三棱錐的體積為eq\r(3)，BC＝3，BD＝eq\r(3)，∠CBD＝90°，∴eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×3×eq\r(3)×h＝eq\r(3)，∴h＝2，∴球心O到平面BCD的距離為1.設(shè)CD的中點為E，連接OE，則由球的截面性質(zhì)可得OE⊥平面CBD，∵△BCD外接圓的直徑CD＝2eq\r(3)，∴球O的半徑OD＝2，∴球O的體積為eq\f(32π,3).條件探究2若將舉例說明1的條件變?yōu)椤罢睦忮F的頂點都在球O的球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長為2”，求該球的體積．解如圖，設(shè)球心為O，半徑為r，則在Rt△AOF中，(4－r)2＋(eq\r(2))2＝r2，解得r＝eq\f(9,4)，則球O的體積V球＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)))3＝eq\f(243π,16).1．解決與球有關(guān)的切、接問題，其通法是作截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其解題的思維流程是：2．三條側(cè)棱相互垂直的三棱錐的外接球(1)依據(jù)：長、寬、高分別為a，b，c的長方體的體對角線長等于其外接球的直徑，即eq\r(a2＋b2＋c2)＝2R.(2)方法：補形為一個長方體，長方體的外接球的球心就是三棱錐的外接球的球心．如舉例說明1解法二．1．(2024·天津高考)已知一個正方體的全部頂點在一個球面上，若這個正方體的表面積為18，則這個球的體積為________．答案eq\f(9π,2)解析設(shè)正方體的棱長為a，則6a2＝18，∴a＝eq\r(3).設(shè)球的半徑為R，則由題意知2R＝eq\r(a2＋a2＋a2)＝3，∴R＝eq\f(3,2).故球的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)))3＝eq\f(9π,2).2．某幾何體的三視圖如圖所示，正視圖為等腰三角形，俯視圖為等腰梯形，則該幾何體外接球的表面積是________．答案eq\f(13π,3)解析如圖，易知等腰梯形的外心為下底的中點M，設(shè)該幾何體的外接球的球心為O，半徑為R，OM＝h，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(R2＝h2＋1，,R2＝\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)－h(huán)))2，))整理得R2＝eq\f(13,12)，所以S球表＝eq\f(13π,3).高頻考點三視圖與空間幾何體表面積、體積的綜合問題考點分析三視圖是高考重點考查的一個學(xué)問點，主要考查由幾何體的三視圖還原幾何體的形態(tài)，進而求解表面積、體積等學(xué)問，所涉及的幾何體既包括柱、錐、臺、球等簡潔幾何體，也包括一些組合體，處理此類題目的關(guān)鍵是通過三視圖