2025年黑龍江齊齊哈爾高三三模高考數(shù)學(xué)試卷試題（含答案詳解）

試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages33頁(yè)數(shù)學(xué)試卷本試卷共8頁(yè)，19小題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘．注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡鋼筆或簽字筆將自己的姓名、考生號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上，將條形碼橫貼在答題卡右上角“貼條碼區(qū)域”2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上．3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液，不按以上要求作答無(wú)效．4．考生必須保持答題卡的整潔．考試結(jié)束后，將答題卡交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知復(fù)數(shù)，則z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限2．已知空間中不過(guò)同一點(diǎn)的三條直線，則“共面”的一個(gè)充分不必要條件是（

）A．，且 B．，且C．，且 D．兩兩相交3．已知全集，若，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．，且 B．，且C．，且 D．，且4．在中，角所對(duì)的邊分別為，若，，則的面積為（

）A． B． C． D．5．已知點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，設(shè)，，，則（

）A． B． C． D．6．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，在扇形中，為劣弧的中點(diǎn)，則（

）A． B． C． D．7．有一組樣本數(shù)據(jù)為，3，7，8，9，11，在其中添加一個(gè)數(shù)構(gòu)成一組新的樣本數(shù)據(jù)，若，則新舊樣本數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)相等的概率為（

）A． B． C． D．8．已知是函數(shù)的零點(diǎn)，是函數(shù)的零點(diǎn)，則的值為（

）A． B．1 C． D．e二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．在我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書(shū)里出現(xiàn)了如圖所示的數(shù)字圖形（見(jiàn)下圖），即楊輝三角，這是數(shù)學(xué)史上的一個(gè)偉大成就．在楊輝三角中，第行的所有數(shù)字之和為，若去除所有為1的項(xiàng)，依次構(gòu)成數(shù)列：2，3，3，4，6，4，5，10，10，5，?，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．C．第項(xiàng)為D．從楊輝三角的圖中抽取一斜線的數(shù)列1，3，6，10，15，…，得到其倒數(shù)和，則10．已知函數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若有兩個(gè)極值點(diǎn)B．的對(duì)稱中心為C．過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)作的切線最多有三條D．有三個(gè)不同的根，則11．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓的方程：，其左右焦點(diǎn)為，離心率為，過(guò)左焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，是的中點(diǎn)（是異于長(zhǎng)軸端點(diǎn)的點(diǎn)），在中，記，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．C．與橢圓切于點(diǎn)的切線方程為D．若直線的斜率存在，則三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知“漸升數(shù)”是指每一位數(shù)字比其左邊的數(shù)字大的正整數(shù)（如236，567），則比423大的三位“漸升數(shù)”共有個(gè)．13．已知是拋物線的焦點(diǎn)，是拋物線上的點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，則的面積為．14．已知四面體中，，則此四面體的體積為，若用平行于的平面截此四面體，得到截面四邊形，則此四邊形的對(duì)角線的最小值為．

四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．已知數(shù)列滿足，數(shù)列為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且滿足(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若______．下面三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面橫線中．①；②成等差數(shù)列；③成等比數(shù)列．記數(shù)列滿足求數(shù)列的前20項(xiàng)和．注：若選擇多個(gè)條件分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分．16．如圖，在四棱錐中，底面是梯形，，且，，為邊長(zhǎng)為2的等邊三角形．(1)求證：平面；(2)若，求直線與平面所成角的正弦值．17．已知函數(shù)(1)若，討論函數(shù)在的單調(diào)性；(2)若，求證：．(3)若在上有唯一的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的最小值．18．已知雙曲線過(guò)點(diǎn)，且與直線有唯一的公共點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線分別交軸，軸于兩點(diǎn)．(1)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程，并說(shuō)明軌跡是什么曲線；如果推廣到雙曲線，你能得到什么相應(yīng)的結(jié)論？（只需寫(xiě)出結(jié)論，不需要證明）(2)是雙曲線上的兩個(gè)不相同的點(diǎn)，若直線的斜率之和為0，證明：（點(diǎn)不與原點(diǎn)重合）19．泊松分布是一種離散型概率分布，常用于描述在固定時(shí)間或空間內(nèi)某事件發(fā)生的次數(shù)，廣泛應(yīng)用于通信，交通，生物學(xué)，金融和質(zhì)量控制等領(lǐng)域．若隨機(jī)變量服從參數(shù)為的泊松分布（記作），則其概率分布為．(1)當(dāng)時(shí)，泊松分布可以用正態(tài)分布來(lái)近似；當(dāng)時(shí)，泊松分布基本上就等于正態(tài)分布，此時(shí)可認(rèn)．若，估計(jì)的值；(2)某人工智能公司制造微型芯片的次品率為，各芯片是否為次品相互獨(dú)立，以記產(chǎn)品中的次品數(shù)．①若，求在1000個(gè)產(chǎn)品中至少有2個(gè)次品的概率；②若，求在1000個(gè)產(chǎn)品中至少有2個(gè)次品的概率；通過(guò)①，②的計(jì)算結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律；(3)若，且，在保留小數(shù)點(diǎn)后一位的時(shí)候，求證：的最大值為0.1．參考數(shù)據(jù)：若，則，，，，，答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)1．B【分析】計(jì)算出，則可選出答案.【詳解】，所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第二象限.故選：B2．D【分析】根據(jù)充分不必要條件得要求推出各選項(xiàng)是否能保證三條直線共面.【詳解】選項(xiàng)A：，且，三條直線可能在不同的平面.選項(xiàng)B：，且，三條直線可能分布在三個(gè)平行平面內(nèi).選項(xiàng)C：，且，垂直于但可能不在與確定得平面內(nèi).選項(xiàng)D：兩兩相交且不過(guò)同一點(diǎn)得三條直線必然共面.故選：D3．A【分析】依題意畫(huà)出Venn圖表示出集合間的基本關(guān)系，即可判斷出元素與集合間的關(guān)系.【詳解】根據(jù)題意，畫(huà)出Venn圖如下圖所示：由圖可知，且，即A正確；顯然，可得B錯(cuò)誤，，C錯(cuò)誤，，可知D錯(cuò)誤.故選：A4．B【分析】利用余弦定理求出的值，再根據(jù)面積公式求出三角形面積.【詳解】由余弦定理得，代入，整理可得，所以.故選：B5．C【分析】根據(jù)冪函數(shù)的定義可求得的值，根據(jù)可求出的值，然后利用該函數(shù)的單調(diào)性可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，則，解得，所以，可得，故，因?yàn)?，，，且函?shù)在上為增函數(shù)，又因?yàn)?，則，故.故選：C.6．B【分析】根據(jù)已知有扇形的半徑且，，再應(yīng)用二倍角余弦公式求得、，即可得坐標(biāo).【詳解】由題設(shè)，易知扇形的半徑且，又為劣弧的中點(diǎn)，則，所以，所以，則，由，則.故選：B7．C【分析】求出原始數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)為3，再重新求得新的一組數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)，求出滿足題意的所有的取值，即可求得相應(yīng)概率.【詳解】易知樣本數(shù)據(jù)共6個(gè)，，因此樣本數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)為第2個(gè)數(shù)，即3；添加一個(gè)數(shù)構(gòu)成一組新的樣本數(shù)據(jù)共有7個(gè)數(shù)，，因此新數(shù)據(jù)的下四分位數(shù)為第2個(gè)數(shù)，也得為3；所以添加的數(shù)大于等于3即可滿足題意，即可以為；在中任選一個(gè)作為共有6種選擇，因此所求概率.故選：C8．D【分析】利用導(dǎo)數(shù)分別判斷出、的單調(diào)性，求出零點(diǎn)可得答案.【詳解】令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，又當(dāng)時(shí)，，而，所以；由，得，所以在單調(diào)遞增，由，得，則.故選：D.9．AC【分析】將數(shù)列數(shù)列、、、、、、、、、、變成數(shù)陣，確定數(shù)陣第行有個(gè)數(shù)，從左向右分別為.對(duì)于A，確定分別在該數(shù)陣第行的第2個(gè)和第4個(gè)即可判斷；對(duì)于B，確定位于該數(shù)陣第行第個(gè)數(shù)即可求和；對(duì)于C，確定第項(xiàng)為第行第1個(gè)即可；對(duì)于D，根據(jù)楊輝三角得到，利用裂項(xiàng)相消求和法求和即可.【詳解】將數(shù)列、、、、、、、、、、變成以下數(shù)陣：則該數(shù)陣第行有個(gè)數(shù)，從左向右分別為，第行最后一項(xiàng)位于原數(shù)列第項(xiàng)，對(duì)于A，因?yàn)?，所以分別在該數(shù)陣第行的第2個(gè)和第4個(gè)，故，即，選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，因?yàn)椋晕挥谠摂?shù)陣第行第個(gè)數(shù)，由題意可知，該數(shù)陣第行所有數(shù)為“楊輝三角”數(shù)陣中第行去掉首、尾兩個(gè)得到，而“楊輝三角”中第行所有數(shù)之和為，所以，該數(shù)陣第行所有數(shù)之和為，所以，選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)?，所以第?xiàng)為第行第1個(gè)，即，選項(xiàng)C正確；對(duì)于D，根據(jù)楊輝三角知，，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AC.10．BC【分析】對(duì)于A，即判斷，的不同解個(gè)數(shù)是否是2；對(duì)于B，由對(duì)稱中心定義可得，由題可得，結(jié)合賦值法可得對(duì)稱中心；對(duì)于C，設(shè)平面內(nèi)一點(diǎn)為，設(shè)其對(duì)應(yīng)切線的切點(diǎn)為，說(shuō)明存在使有三個(gè)解即可判斷選項(xiàng)正誤；對(duì)于D，通過(guò)比較與系數(shù)可判斷選項(xiàng)正誤.【詳解】對(duì)于A，，當(dāng)時(shí)，則的判別式，則有兩個(gè)不同根或有兩個(gè)相同根，則有兩個(gè)極值點(diǎn)或無(wú)極值點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，設(shè)對(duì)稱中心為：，則.即，則，則，則，令，則.故B正確；對(duì)于C，設(shè)平面內(nèi)一點(diǎn)為，設(shè)其對(duì)應(yīng)切線的切點(diǎn)為.則切線方程滿足：，即，因在切線上，則，當(dāng)，即時(shí)，，若還有，則方程有三個(gè)根，分別為：，即此時(shí)對(duì)于，存在三個(gè)不同的切點(diǎn)，即過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)作的切線最多有三條，故C正確；對(duì)于D，有三個(gè)不同的根，則，即，與相比較，可得，故D錯(cuò)誤.故選：BC11．ACD【分析】利用橢圓定義及正弦定理推理判斷A；利用橢圓定義、余弦定理、三角形面積公式及二倍角公式求解判斷B；設(shè)出切線方程并現(xiàn)橢圓方程聯(lián)立，借助判別式求出切線斜率判斷C；設(shè)出直線方程并與橢圓方程聯(lián)立推理判斷D.【詳解】令橢圓的半焦距為，則，對(duì)于A，在中，由正弦定理，得，因此，A正確；對(duì)于B，在中，由余弦定理，得，則，，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，與橢圓切于點(diǎn)的切線斜率存在，設(shè)方程為，由消去得：，，整理得，而，則，即，解得，因此切線方程為，整理得，C正確；對(duì)于D，設(shè)直線的方程為，點(diǎn)，由消去得，，，，D正確.故選：ACD12．20【分析】根據(jù)定義結(jié)合分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.【詳解】完成這件事需選出3個(gè)數(shù)，要滿足“漸升數(shù)”需分類來(lái)解.當(dāng)百位上的數(shù)字為4，十位上的數(shù)字為5時(shí)，個(gè)位上的數(shù)字有4種選法；當(dāng)百位上的數(shù)字為4，十位上的數(shù)字為6時(shí)，個(gè)位上的數(shù)字有3種選法；當(dāng)百位上的數(shù)字為4，十位上的數(shù)字為7時(shí)，個(gè)位上的數(shù)字有2種選法；當(dāng)百位上的數(shù)字為4，十位上的數(shù)字為8時(shí)，個(gè)位上的數(shù)字有1種選法；當(dāng)百位上的數(shù)字為5，十位上的數(shù)字為6時(shí)，個(gè)位上的數(shù)字有3種選法；當(dāng)百位上的數(shù)字為5，十位上的數(shù)字為7時(shí)，個(gè)位上的數(shù)字有2種選法；當(dāng)百位上的數(shù)字為5，十位上的數(shù)字為8時(shí)，個(gè)位上的數(shù)字有1種選法；當(dāng)百位上的數(shù)字為6，十位上的數(shù)字為7時(shí)，個(gè)位上的數(shù)字有2種選法；當(dāng)百位上的數(shù)字為6，十位上的數(shù)字為8時(shí)，個(gè)位上的數(shù)字有1種選法；當(dāng)百位上的數(shù)字為7，十位上的數(shù)字為8時(shí)，個(gè)位上的數(shù)字有1種選法；所以比423大的三位“漸升數(shù)”共有個(gè).故答案為：20.13．【分析】根據(jù)題意，求得拋物線的方程為，根據(jù)，不妨設(shè)直線的傾斜角為，得到直線的方程為，聯(lián)立方程組，求得，結(jié)合，即可求解.【詳解】由是拋物線的焦點(diǎn)，可得，所以，即，又由為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，如圖所示，不妨設(shè)直線的傾斜角為，則直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，即，解得或（舍去），可得所以的面積為.故答案為：.14．【分析】對(duì)于四面體體積，可將其補(bǔ)成長(zhǎng)方體，利用長(zhǎng)方體與四面體的關(guān)系求解；對(duì)于截面四邊形對(duì)角線的最小值，先根據(jù)面面平行性質(zhì)證明四邊形是平行四邊形，再通過(guò)相似三角形得到邊的關(guān)系，最后將對(duì)角線長(zhǎng)度表示為關(guān)于某一變量的函數(shù)，求函數(shù)的最小值.【詳解】(1)將四面體補(bǔ)成長(zhǎng)方體，設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為，，.根據(jù)長(zhǎng)方體面對(duì)角線的性質(zhì)可得.三式相加得，則.分別求解可得，，，即，，.因?yàn)樗拿骟w的體積等于長(zhǎng)方體體積減去四個(gè)等體積的三棱錐體積.長(zhǎng)方體體積.一個(gè)三棱錐的體積.四個(gè)三棱錐體積.所以四面體的體積.(2)因?yàn)槠矫?，平面，平面平面，平面，根?jù)面面平行的性質(zhì)可知，同理，，，所以四邊形是平行四邊形.設(shè)，則.由，可得，因?yàn)椋?由，可得，因?yàn)?，所?因?yàn)?，，補(bǔ)成的長(zhǎng)方體上下底面為正方形，可得，所以，則.將，代入可得.令，，這是一個(gè)二次函數(shù)，圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為.當(dāng)時(shí)，取得最小值，，所以.故答案為：；.

【點(diǎn)睛】15．(1)(2)520【分析】（1）根據(jù)題意求得等比數(shù)列的公比，結(jié)合等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可得解；（2）先選擇條件，然后根據(jù)所選的條件求得的值，然后求得數(shù)列的通項(xiàng)公式，即可得出數(shù)列的通項(xiàng)公式，最后利用分組求和即可得解.【詳解】（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，，又，，，是等差數(shù)列，且公差為3，數(shù)列的通項(xiàng)公式為（2）選①：，，選②：成等差數(shù)列，，選③：成等比數(shù)列，，，16．(1)證明見(jiàn)解析(2)【分析】（1）根據(jù)題給條件找垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線即可得證;（2）找兩兩垂直建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間向量的線面成角公式即可求解.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連，取中點(diǎn)，連，且，四邊形為平行四邊形，.，，又，平面（2）由（1）知.取的中點(diǎn)，連，，，.，，又，.因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)椋瑒t四邊形為正方形.故在正方形中，，，又，即兩兩互相垂直.以為原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.則，∴,,.設(shè)平面的一個(gè)法向量為，，得，令.計(jì)算得，∴直線與平面所成角的正弦值為.17．(1)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；(2)證明見(jiàn)解析；(3)1．【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可；（2）構(gòu)造，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性求其最小值得到，即可證；（3）問(wèn)題化為與有唯一的交點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)求的最值，即可得參數(shù)范圍.【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，，由，，令，則，所以，或，令，則，所以，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，（2）令，則，可得，令，則，，在上單調(diào)遞減，，在上單調(diào)遞增，所以時(shí)，即，所以