湖北省楚天協(xié)作體2024−2025學(xué)年高二下學(xué)期4月期中考試 數(shù)學(xué)試卷（含解析）

湖北省楚天協(xié)作體2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知點(diǎn)關(guān)于直線對稱的點(diǎn)為，則直線的方程為（）A． B． C． D．2．若焦點(diǎn)在軸上的橢圓的離心率為，則的值為（）A． B．9 C． D．123．已知為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，若，，則的值為（）A．21 B．20 C．19 D．184．點(diǎn)P是曲線上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P處切線傾斜角的取值范圍為（）A． B． C． D．5．若雙曲線的兩漸近線的夾角為，實(shí)軸長為6且焦點(diǎn)在x軸上，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B．或C． D．或6．已知m，且，則下列結(jié)論錯誤的是（）A． B．C． D．若，則7．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，前n項(xiàng)的積為，若，當(dāng)取最小值時，（）A．10 B．11 C．12 D．12或138．設(shè)，，，則a、b、c的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知直線，圓，則下列命題正確的有（）A．直線l過定點(diǎn)B．若直線l過C點(diǎn)，則C．存在實(shí)數(shù)t，使得直線l與圓C相切D．若直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn)，則A，B兩點(diǎn)間的最短距離為10．對任意實(shí)數(shù)x，有.則下列結(jié)論正確的是（）A． B．（，1，…，9）的最大值為C． D．11．已知函數(shù)（）存在兩個極值點(diǎn)，（），且，.設(shè)的零點(diǎn)個數(shù)為m，方程的實(shí)根個數(shù)為n，則（）A． B．n的取值為2、3、4C． D．mn的取值為3、6、9三、填空題（本大題共3小題）12．已知圓和圓，則兩圓的公共弦長為.13．某高中為開展新質(zhì)課堂，豐富學(xué)生的課余生活，開設(shè)了若干個社團(tuán)，高二年級有5名同學(xué)打算參加“書法協(xié)會”、“舞動青春”、“紅袖添香”和“羽乒協(xié)會”四個社團(tuán).若每名同學(xué)必須參加且只能參加1個社團(tuán)且每個社團(tuán)至多兩人參加，則這5個同學(xué)中至多有1人參加“舞動青春”社團(tuán)的不同方法數(shù)為.（用數(shù)字作答）14．已知且，集合和集合，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為.四、解答題（本大題共5小題）15．已知的展開式中的第項(xiàng)、第項(xiàng)和第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列.(1)求的值.(2)記，求被除的余數(shù).16．已知數(shù)列滿足，（）.(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列.(2)設(shè)，求.17．已知函數(shù)，(1)當(dāng)時，求曲線在處的切線方程；(2)若函數(shù)有最小值，且的最小值大于，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.18．已知以為焦點(diǎn)的拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線C的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線PA，PB，其中A，B為切點(diǎn)，設(shè)直線PA，PB的斜率分別是和.(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程及其準(zhǔn)線方程.(2)求證：為定值.(3)求面積的最小值.19．已知函數(shù).(1)證明：當(dāng)時，.(2)設(shè)，令.（?。┯懻摰膯握{(diào)性.（ⅱ）若存在兩個極值點(diǎn)，（），證明：.

參考答案1．【答案】C【詳解】由題意可知，直線為線段的垂直平分線，且，所以直線的斜率為，又因?yàn)榫€段的中點(diǎn)為，所以直線的方程為，整理可得.故選C.2．【答案】B【詳解】由題意可知：，所以，解得：，故選B.3．【答案】A【詳解】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列的前n項(xiàng)和，設(shè)公差為，所以，，即得，所以，所以，則.故選A.4．【答案】B【詳解】由，可得：，即，結(jié)合傾斜角與斜率的變化關(guān)系可知取值范圍為，故選B.5．【答案】D【詳解】因兩漸近線的夾角為，由雙曲線漸近線的對稱性可知雙曲線的一條漸近線的傾斜角為或，即得或，解得或..故選D.6．【答案】A【詳解】，，，A錯誤；，B正確；，，C正確，由，可得，即，又，解得：，D正確；故選A.7．【答案】C【詳解】，，當(dāng)時，，兩式相減得，而，解得，因此數(shù)列是等比數(shù)列，，數(shù)列是遞增正項(xiàng)數(shù)列，，因此，所以當(dāng)取最小值時，.故選C8．【答案】D【詳解】，，，令，則，令，則，所以在單調(diào)遞減，所以，即，所以在單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以，即，所?故選D.9．【答案】AB【詳解】對于A，直線顯然經(jīng)過點(diǎn)，故A正確；對于B，直線l過點(diǎn)，則有，則，故B正確；對于C，由圓心到直線的距離，可得，顯然的值不存在，故C錯誤；對于D，由垂徑定理，要使弦長最短，需使圓心到直線的距離最長，而直線l過定點(diǎn)，當(dāng)且僅當(dāng)時，，此時，，但是，此時軸，直線的斜率不存在，顯然不合題意，故D錯誤.故選AB.10．【答案】BCD【詳解】對于A，令，得，故A錯誤；對于B，由，則展開式的通項(xiàng)公式為，所以為負(fù)，為正，當(dāng)時，計(jì)算可得，，，，，所以（，1，…，9）的最大值為，故B正確；對于C，令，可得，令，可得，所以，又，可得，故C正確；對于D，由B可知，故D正確.故選BCD.11．【答案】AD【詳解】由，可得為二次函數(shù)，（）為的零點(diǎn)，由，得或，因?yàn)?，令，解得或；令，解得，所以在和?nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，則為極大值點(diǎn)，為極小值點(diǎn)，所以，又，，即，若，則，此時，與矛盾，故A正確；因?yàn)?，所以?個解，有1個解，所以有3個解，故B錯誤；當(dāng)時，如圖所示，的零點(diǎn)個數(shù)為，所以，，故，當(dāng)時，如圖所示，的零點(diǎn)個數(shù)為，所以，，故，當(dāng)時，如圖所示，的零點(diǎn)個數(shù)為，所以，，故，故C錯誤，D正確.故選AD.12．【答案】【詳解】

如圖，由圓與圓相減，整理可得兩圓的公共弦所在直線方程為：，由圓的圓心到直線的距離為，由弦長公式，可得兩圓的公共弦長為.13．【答案】360【詳解】(1)計(jì)算0人參加“舞動青春”社團(tuán)的方法數(shù)：將名同學(xué)分配到“書法協(xié)會”、“紅袖添香”和“羽乒協(xié)會”三個社團(tuán)，且每個社團(tuán)至多兩人參加.可先將人分成，，三組，有種，再將這三組在三個社團(tuán)上全排列，可得，故方法數(shù)為種；(2)計(jì)算人參加“舞動青春”社團(tuán)的方法數(shù)：先從人中選人參加“舞動青春”社團(tuán)，有種.然后將剩下的人分配到“書法協(xié)會”、“紅袖添香”和“羽乒協(xié)會”三個社團(tuán)，且每個社團(tuán)至多兩人參加，可將人按照，或，，分組.①若按照，分組，則有種，再將分好的兩組全排列，安排到三個社團(tuán)中的兩個，則有種，故方法數(shù)為種；②若按照，，分組，則有種，再將這三組在三個社團(tuán)上全排列，則有，故方法數(shù)為種.故有人參加“舞動青春”社團(tuán)的方法數(shù)為種.

綜上(1)，(2)，這5個同學(xué)中至多有1人參加“舞動青春”社團(tuán)的不同方法數(shù)為：種.14．【答案】【詳解】或，當(dāng)，對于等價于，若，則，故此時不等式不成立，即此時一定落在的內(nèi)部，滿足，若，要滿足，需滿足對于在恒成立，即，即，構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可得：，由，可得，由，可得，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，最大值為，所以，即，綜上可知：實(shí)數(shù)a的取值范圍為15．【答案】(1)(2)【詳解】（1）的展開式的第項(xiàng)、第項(xiàng)和第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)依次為、和，由題意有，即，整理得，因?yàn)?，解?（2）因?yàn)椋?，，所以能被整除因此，被除的余?shù)為.16．【答案】(1)證明見解析(2)【詳解】（1）數(shù)列滿足，（），則，∴，又∵，∴數(shù)列是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列.（2）由（1）知，則（），∴，∴.17．【答案】(1)(2)【詳解】（1）當(dāng)時，，∴，故∴曲線在處的切線方程為：，即.（2）因的定義域?yàn)?，?dāng)時，，則在上單調(diào)遞增，無最小值；故.由得，由得，∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴當(dāng)時，有最小值，依題意，，即，∵，∴，設(shè)，（），則，因，則在上單調(diào)遞增，又，故由可得，即，解得，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是.18．【答案】(1)標(biāo)準(zhǔn)方程為，準(zhǔn)線方程為(2)證明見解析(3)16【詳解】（1）由題意知拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）且，∴，∴拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，準(zhǔn)線方程為；（2）證明：設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，，由題意知過點(diǎn)P與拋物線C相切的直線的斜率存在且不為0，設(shè)切線的斜率為k，則切線的方程為，聯(lián)立方程組，消去x，得，∴得（*），又∵、為方程（*）的兩根，由韋達(dá)定理得為定值；（3）由題知直線AB的斜率不為0，設(shè)直線AB的方程為，，，聯(lián)立方程組整理得，，∴，，∵，∴，整理得，代入有，∴，∴且，∴AB：，故直線AB過定點(diǎn).∴，，∴，點(diǎn)P到直線AB的距離為，∴，因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞增，而，∴當(dāng)時，，所以面積的最小值為.19．【答案】(1)證明見解析(2)（?。┐鸢敢娊馕?；（ⅱ）證明見解析【詳解】（1）在定義域內(nèi)是增函數(shù)∴當(dāng)時，要證，只需證