湖北省鄂東南省級(jí)示范高中教育教學(xué)改革聯(lián)盟學(xué)校2024−2025學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考 數(shù)學(xué)試卷（含解析）

湖北省鄂東南省級(jí)示范高中教育教學(xué)改革聯(lián)盟學(xué)校2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為，則（

）A． B． C． D．2．設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，，則（

）A．12 B．18 C．24 D．253．下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（

）A． B．C． D．4．當(dāng)實(shí)數(shù)變化時(shí)，方程表示的曲線不可能是（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線5．為了踐行習(xí)近平總書記“綠水青山就是金山銀山”的理念，3月12日這天高二年級(jí)1至6班共6個(gè)班級(jí)決定去3個(gè)不同林場(chǎng)植樹(shù)，若要求每組2個(gè)班，且1班2班在同一組，則符合條件的不同方法數(shù)是（

）A．48 B．36 C．18 D．126．若在上恒成立，則實(shí)數(shù)的最小值為（

）A． B．1 C． D．7．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為偶函數(shù)，函數(shù)為偶函數(shù)，，，則（

）A． B． C． D．8．已知元一次方程（，，，）的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)為，則方程滿足（）的整數(shù)解的個(gè)數(shù)為（

）A．35 B．56 C．84 D．120二、多選題（本大題共3小題）9．設(shè)數(shù)列，均為等比數(shù)列，則下列選項(xiàng)一定為等比數(shù)列的是（

）A． B． C． D．10．已知橢圓的離心率為，焦點(diǎn)為，，左右頂點(diǎn)分別為，，為橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．B．C．當(dāng)與，不重合時(shí)，D．設(shè)在軸上的射影為，且，則點(diǎn)的軌跡方程是11．已知函數(shù)，，，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．函數(shù)可能無(wú)零點(diǎn)B．若，則函數(shù)可能存在最值C．若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則且D．若是函數(shù)的極大值點(diǎn)，則三、填空題（本大題共3小題）12．二項(xiàng)式展開(kāi)式中的系數(shù)為.13．若數(shù)列滿足，，，設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，則當(dāng)取最大值時(shí)，.14．設(shè)為原點(diǎn)，雙曲線的方程是（，），離心率.

直線與雙曲線的兩條漸近線分別交于，與圓相切于點(diǎn).若，，則直線的斜率為，雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為.四、解答題（本大題共5小題）15．設(shè)等軸雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，焦距為，點(diǎn)（）在曲線上.(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)若，證明數(shù)列是等差數(shù)列.(3)在（2）的條件下，若數(shù)列為正項(xiàng)數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和.16．（1）某大型電影院在春節(jié)期間推出了《哪吒2》等6部備受矚目的大片，某天3個(gè)家庭同時(shí)來(lái)觀看電影，若每個(gè)家庭可以自由選擇一部影片觀看，共有多少種選法？（2）某市2025年初科創(chuàng)展覽會(huì)上，，，三家科技公司分別推出了2件，3件，3件機(jī)器人進(jìn)行展覽，工作人員需要把8臺(tái)不同型號(hào)的機(jī)器人排成一排，要求公司的產(chǎn)品相鄰，公司的產(chǎn)品不相鄰，共有多少種排法？（3）樹(shù)人中學(xué)組織的詩(shī)歌朗誦比賽決賽階段有五個(gè)班級(jí)參賽，賽前各班的學(xué)生代表甲、乙、丙、丁、戊分別參與抽簽決定出場(chǎng)順序.抽完簽后，甲說(shuō)：“我們班不是第一個(gè)出場(chǎng)”，乙說(shuō)：“我們班不是最后一個(gè)出場(chǎng)”，丙說(shuō)：“我們班也不是最后一個(gè)出場(chǎng)，且前面出場(chǎng)班級(jí)數(shù)不少于后面出場(chǎng)班級(jí)數(shù)”.請(qǐng)你根據(jù)這些信息推測(cè)所有可能的出場(chǎng)順序數(shù).17．已知函數(shù)，.(1)討論的單調(diào)性.(2)證明：當(dāng)時(shí)，.18．已知平面上動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，，.(1)求點(diǎn)的軌跡方程.(2)設(shè)點(diǎn)為直線上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作曲線的兩條切線，.（ⅰ）證明：直線過(guò)定點(diǎn).（ⅱ）設(shè)為原點(diǎn)，，的面積分別為，，令，當(dāng)點(diǎn)在軸下方時(shí)，求的最大值.19．“勤于思考，樂(lè)于探索，勇于創(chuàng)新”是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的必備思維品質(zhì).某同學(xué)在學(xué)習(xí)了“楊輝三角”后發(fā)現(xiàn)楊輝三角與數(shù)列緊密相關(guān)，自主構(gòu)造了下述數(shù)陣.數(shù)陣的第一行是（）個(gè)連續(xù)的自然數(shù)，從第二行起每一行的數(shù)字均等于它肩上的兩個(gè)數(shù)字之和，最后一行僅有一個(gè)數(shù)字.

請(qǐng)仔細(xì)觀察數(shù)陣，解決下列問(wèn)題：(1)求數(shù)陣中數(shù)字為奇數(shù)的項(xiàng)數(shù).(2)設(shè)數(shù)陣第行的第一個(gè)數(shù)字為，請(qǐng)直接寫出與的等量關(guān)系，并求.(3)設(shè)數(shù)陣所有行第一個(gè)數(shù)字之和為，試判斷與的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由.

參考答案1．【答案】D【詳解】，故選D.2．【答案】B【詳解】因?yàn)闉榈炔顢?shù)列的前項(xiàng)和，所以，，成等差數(shù)列，所以，解得.故選B.3．【答案】C【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，，B錯(cuò)；對(duì)于C選項(xiàng)，，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，，D錯(cuò).故選C.4．【答案】D【詳解】當(dāng)，即時(shí)，方程表示的曲線為圓；當(dāng)，，，即時(shí)，方程表示的曲線為橢圓；當(dāng)，即時(shí)，方程表示的曲線為雙曲線；方程無(wú)論如何不會(huì)出現(xiàn)一次項(xiàng)，故不能表示拋物線.故選D.5．【答案】C【詳解】由題意需將6個(gè)班級(jí)先平均分為3組，且1班2班在同一組，有，再分配到3個(gè)林場(chǎng)，共種方法，故選C.6．【答案】D【詳解】由得，所以在上恒成立，構(gòu)造，求得可得：，由可得：，由，可得，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，所以在處取得最大值為，所以，故的最小值為，故選D.7．【答案】A【詳解】由函數(shù)為偶函數(shù)知圖象關(guān)于直線對(duì)稱，由為偶函數(shù)知，（為常數(shù)）為奇函數(shù)，由得，即為奇函數(shù)，則圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，所以是函數(shù)的一個(gè)周期，又，，，，所以.故選A.8．【答案】B【詳解】由得，，令，.則原問(wèn)題等價(jià)于方程的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)，由題意知符合條件的個(gè)數(shù)為，故選B.9．【答案】BC【詳解】設(shè)等比數(shù)列，的公比分別為，，則對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，不合題意；對(duì)于B，，數(shù)列一定是等比數(shù)列；對(duì)于C，，數(shù)列一定是等比數(shù)列；對(duì)于D，取，則，不合題意.故選擇：BC.10．【答案】ACD【詳解】由題意知：，由，可得，所以橢圓的方程為，所以，A正確；，B錯(cuò)誤；設(shè)，，，則，C正確；設(shè)，則，由，可得：，解得：，則，所以，即，D正確.故選ACD.11．【答案】ACD【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)椋?當(dāng)時(shí)，在上無(wú)零點(diǎn)，A選項(xiàng)正確；當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以在單調(diào)遞增，函數(shù)無(wú)最值，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，則在上存在兩個(gè)變號(hào)零點(diǎn)，令，則需，，，整理得且，C選項(xiàng)正確；若是函數(shù)的極大值點(diǎn)，則由可得，所以，所以，所以，D選項(xiàng)正確；故選ACD.12．【答案】112【詳解】通項(xiàng)公式，令得，，所以展開(kāi)式中的系數(shù)為112.13．【答案】5或6【詳解】因?yàn)椋詳?shù)列為等差數(shù)列，設(shè)公差為d因，，則公差，法一：所以，因函數(shù)的對(duì)稱軸為，所以當(dāng)取最大值時(shí)，或6法二：，則時(shí)，；時(shí)，；時(shí)，所以當(dāng)取最大值時(shí)，或6.14．【答案】14【詳解】如圖：設(shè)點(diǎn)，，漸近線方程為，則，，相減得，，所以.設(shè)與軸交于，，，則，，，在直角中，，，，所以，解得，實(shí)軸長(zhǎng)為14.15．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)【詳解】（1）由題意可設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（，），則，解得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）因?yàn)辄c(diǎn)（）在曲線上，所以所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，1為公差的等差數(shù)列.（3）由（2）可知，由于，所以所以所以16．【答案】（1）216；（2）2880；（3）28【詳解】（1）3個(gè)家庭依次選擇，均有6種方法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，所有不同的方法數(shù)為.（2）由題意知，先可以使用“捆綁法”將家公司的產(chǎn)品排在一起，再與公司的3件產(chǎn)品一起組成4個(gè)不同的元素的全排列，最后讓公司產(chǎn)品插空.所以符合條件的排法數(shù)為.（3）若甲所在班級(jí)第5個(gè)出場(chǎng)，丙所在班級(jí)可以第3或第4個(gè)出場(chǎng)，乙、丁、戊所在班級(jí)可以在其他場(chǎng)次出場(chǎng)，符合條件的出場(chǎng)順序數(shù)為，若甲所在班級(jí)不是第5個(gè)出場(chǎng)，則丁或戊所在班級(jí)第5個(gè)出場(chǎng)，丙所在班級(jí)可以第3或第4個(gè)出場(chǎng)，甲在剩余的中間2場(chǎng)中選擇一場(chǎng)，符合條件的出場(chǎng)順序數(shù)為，所以所有可能的出場(chǎng)順序數(shù)為.17．【答案】(1)答案見(jiàn)解析(2)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?dāng)時(shí)，在上恒成立，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由得，由得所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（2）當(dāng)時(shí)，由（1）知要證，只需證，即證令即證，因?yàn)?，再?因?yàn)?，由，可得，，可得所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以.所以，所以當(dāng)時(shí)，.18．【答案】(1)(2)（?。┳C明見(jiàn)解析；（ⅱ）【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，，由得，，所以，即點(diǎn)的軌跡方程為（）（2）

（ⅰ）設(shè)，，，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，整理得，同理曲線在點(diǎn)處的切線方程為由于是兩切線的交點(diǎn)，所以所以直線的方程為，整理得，令得所以直線過(guò)定點(diǎn).（ⅱ）由（ⅰ）知直線的方程為，當(dāng)點(diǎn)在軸下方時(shí)，.因?yàn)橐驗(yàn)?，，所以令（），則當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)等號(hào)