四川省達(dá)州市萬源市萬源中學(xué)2024−2025學(xué)年高二下學(xué)期4月期中 數(shù)學(xué)試題（含解析）

四川省達(dá)州市萬源市萬源中學(xué)2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期4月期中數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．猜想數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為()A． B．C． D．2．已知復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則的實(shí)部是（

）A．1 B．3 C．-1 D．-33．在等比數(shù)列中，若，則（）A． B． C． D．4．若是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，且，則（）A． B． C． D．25．若斜率為1的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則弦的中點(diǎn)坐標(biāo)可能是（）A． B． C． D．6．設(shè)Sn是等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和，若S3=4，aA．32B．1910C．53D．1967．函數(shù)的大致圖象是A． B．C． D．8．已知定義域?yàn)镽的奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，當(dāng)時(shí)，.若，則的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知圓錐曲線：，若三個(gè)數(shù)1，，7成等差數(shù)列，則的離心率為（

）A． B．C． D．10．設(shè)函數(shù)，則（）A．當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增B．當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增C．當(dāng)時(shí)，直線不是的切線D．對(duì)，點(diǎn)是的對(duì)稱中心11．已知?jiǎng)狱c(diǎn)在直線上，動(dòng)點(diǎn)在圓上，過點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、，則下列描述正確的有（

）A．直線與圓相交 B．的最小值為C．存在點(diǎn)，使得 D．直線過定點(diǎn)三、填空題（本大題共3小題）12．已知函數(shù)在處有極大值，則.13．若曲線有兩條過坐標(biāo)原點(diǎn)的切線，則a的取值范圍是．14．若，則．四、解答題（本大題共5小題）15．設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若在上的最大值為，求的值．16．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，公差，且，,,成等比數(shù)列．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和．17．已知拋物線C：的焦點(diǎn)是雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)，且雙曲線過點(diǎn).(1)求雙曲線的方程；(2)過點(diǎn)的直線與雙曲線僅有1個(gè)交點(diǎn)，求直線的斜率.18．如圖，在四棱錐中，底面為正方形，平面底面，是邊長(zhǎng)為6的正三角形，，分別是線段和上的點(diǎn)，.(1)試確定點(diǎn)的位置，使得平面，并證明；(2)若直線與平面所成角的正切值為，求平面與平面夾角的余弦值.19．設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，數(shù)列滿足，數(shù)列滿足，其中．(1)證明：為等差數(shù)列，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和；(3)表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，求．

參考答案1．【答案】B【詳解】A項(xiàng)，令，則，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；B項(xiàng)，由于數(shù)列的前幾項(xiàng)可以變形為，被開方數(shù)構(gòu)成了以2為首項(xiàng)，公差為3的等差數(shù)列，故可知其通項(xiàng)公式是，故B項(xiàng)正確；C項(xiàng)，令，則，故C項(xiàng)錯(cuò)誤；D項(xiàng)，令，則，故D項(xiàng)錯(cuò)誤，故選B.2．【答案】C【詳解】因?yàn)?，則，所以的實(shí)部是.故選C.3．【答案】B【詳解】在等比數(shù)列中，若，則，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，故.故選B.4．【答案】C【詳解】.故選C.5．【答案】A【詳解】設(shè)，則，兩式相減得：（*），設(shè)弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則，因直線的斜率為1，即，分別代入上式（*），整理得：.將選項(xiàng)逐一代入檢驗(yàn)知，A，D滿足，但是，點(diǎn)在橢圓外，不合要求.故選A.6．【答案】B【分析】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，求得q3【詳解】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，若q=1，則所以，q≠1，故a4+a所以，S6=S9=因此，S9S7．【答案】A【詳解】函數(shù)y=的導(dǎo)數(shù)為，令y′=0，得x=，時(shí)，y′＜0，時(shí)，y′＞0，時(shí)，y′＜0．∴函數(shù)在（﹣），（）遞減，在（）遞增．且x=0時(shí)，y=0，排除B，x=-1時(shí)，y=0，x=-2時(shí)，y>0,排除C，故選A．8．【答案】C【解析】設(shè)，由條件可得出是偶函數(shù)且在上單調(diào)遞增，然后即可比較出的大小【詳解】設(shè)，因?yàn)槭瞧婧瘮?shù)，所以是偶函數(shù)當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增因?yàn)?，所以，即故選C.9．【答案】BC【詳解】由三個(gè)數(shù)1，，7成等差數(shù)列，得，解得．若，則圓錐曲線：即為橢圓：，可得離心率為；若，則圓錐曲線：即為雙曲線：，可得離心率為.故選BC．10．【答案】BD【詳解】,對(duì)于A：，時(shí)，，單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：恒成立，所以在上單調(diào)遞增，故B正確；對(duì)于C：，解得，所以切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線方程為，所以直線是的切線，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：，由右移一個(gè)單位，上移個(gè)單位，又為奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以關(guān)于對(duì)稱，又，所以對(duì)，點(diǎn)是的對(duì)稱中心，故D正確，故選BD．11．【答案】BCD【詳解】圓的圓心，半徑，連接，對(duì)于A，點(diǎn)到直線的距離，直線l與圓C相離，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，點(diǎn)在圓上，則，B正確；對(duì)于C，由切線長(zhǎng)定理知，，而，又是銳角，正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的最大值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此的最大值為，C正確；對(duì)于D，設(shè)，則以PC為直徑的圓的方程為即，與已知圓的方程相減可得直線的方程為，即，由可得即直線AB過定點(diǎn)，故D正確；故選BCD.12．【答案】【詳解】由已知，可得，令，解得或，由可得，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，不是極大值點(diǎn)，舍去；由可得，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以是函數(shù)的極大值點(diǎn)．綜上．13．【答案】【詳解】∵，∴，設(shè)切點(diǎn)為,則,切線斜率,切線方程為：,∵切線過原點(diǎn)，∴,整理得：,∵切線有兩條，∴,解得或,∴的取值范圍是,14．【答案】【詳解】對(duì)于函數(shù)，對(duì)任意的，，即函數(shù)的定義域?yàn)?，，所以，，因此?15．【答案】（1）的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為；（2）.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，，?）當(dāng)時(shí)，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，（2）當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，故在上的最大值為，因此．16．【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知條件利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式和通項(xiàng)公式，以及等比數(shù)列的定義，求出首項(xiàng)和公差，由此可求出；（2）根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式可得，由此利用錯(cuò)位相減法可求出數(shù)列前n項(xiàng)和．【詳解】（1）由題意可得，解得，所以，即．（2）由題意可知：，則，則，可得，兩式相減可得，所以．17．【答案】(1)；(2)或.【詳解】（1）拋物線C：的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)雙曲線：，則的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，，則，則，而，故，故雙曲線的方程為；（2）顯然直線的斜率存在，否則直線與雙曲線無交點(diǎn)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立則，故，若，解得，此時(shí)直線與雙曲線僅有1個(gè)交點(diǎn)，若，則，解得，綜上所述，直線的斜率為或.18．【答案】(1)F為三等分點(diǎn)，且，證明見解析；(2).【詳解】（1）取為三等分點(diǎn)，且，過作，則，所以為平行四邊形，所以，又因?yàn)?，，所以平?（2）由題意平面底面，平面底面，，且平面，所以，所以直線與平面所成角的平面角為，在中，由，得.設(shè)中點(diǎn)為，設(shè)中點(diǎn)為，分別以，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為m=x,y,z由，取，可得，易求平面法向量，設(shè)平面與平面夾角為，則，故平面與平