天津市軍糧城中學(xué)2024−2025學(xué)年高二下學(xué)期4月月考 數(shù)學(xué)試題（含解析）

天津市軍糧城中學(xué)2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共9小題）1．已知的定義域?yàn)镽，的導(dǎo)函數(shù)的圖象如所示，則（

）A．在處取得極小值B．在處取得極大值C．是上的增函數(shù)D．是上的減函數(shù)，上的增函數(shù)2．函數(shù)在上的最小值和最大值分別是A． B． C． D．3．設(shè)是上的可導(dǎo)函數(shù)，且滿足，則在點(diǎn)處的切線的斜率為（

）A． B． C． D．4．若是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，則（

）A． B． C． D．5．下列各式正確的是（

）A． B．C． D．6．學(xué)校夏季運(yùn)動會需要從4名男生和3名女生中選取4名志愿者，則選出的志愿者中至少有2名女生的不同選法種數(shù)為（

）A．20 B．30 C．22 D．407．在由數(shù)字0，1，2，3，4，5所組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)中，其中偶數(shù)的個數(shù)有（

）A．512 B．192 C．180 D．1568．3個男生2個女生站成一排，其中女生相鄰的排法個數(shù)是（

）A．24 B．48 C．96 D．1209．某班組織文藝晚會,準(zhǔn)備從等個節(jié)目中選出個節(jié)目演出,要求兩個節(jié)目至少有一個被選中,且同時被選中時,它們的演出順序不能相鄰,那么不同的演出順序種數(shù)為（）A． B． C． D．二、填空題（本大題共6小題）10．函數(shù)在上的最小值為.11．若關(guān)于的不等式在區(qū)間上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為.12．有3個不同的零點(diǎn)，則的取值范圍是．13．甲、乙、丙、丁等6名同學(xué)站成一排照相，若要求甲與乙、丙均相鄰，丁不站在兩端，則不同的站法種數(shù)為．（用數(shù)字作答）14．若，則正整數(shù).15．如圖，用4種不同的顏色給矩形，，，涂色，要求相鄰的矩形涂不同的顏色，則不同的涂色方法共有種．（填數(shù)字）三、解答題（本大題共5小題）16．（1）計(jì)算：；

（2）解不等式：.17．某學(xué)習(xí)小組共6人，其中男生3名，女生3名.(1)將6人排成一排，3名男生從左到右的順序一定（不一定相鄰），不同排法有多少種？(2)從6人中選出4人，女生甲和女生乙至少1人在內(nèi)的不同選法共有多少種？18．已知函數(shù)（1）求的圖象在點(diǎn)處的切線方程；（2）求在上的最大值與最小值.19．已知函數(shù)，．(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值；(2)若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．20．已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)在處取得極值，不等式對恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(3)若函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

參考答案1．【答案】C【詳解】由圖可得,在上恒成立,即在上單調(diào)遞增,故C正確、D錯誤；所以沒有極值,故A、B錯誤；故選C.2．【答案】A【詳解】函數(shù)，cosx，令＞0，解得：x，令＜0，解得：0≤x，∴f（x）在[0，）遞減，在（，]遞增，∴f（x）min＝f（），而f（0）＝0，f（）1，故f（x）在區(qū)間[0，]上的最小值和最大值分別是：．故選A．3．【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以在點(diǎn)處的切線的斜率為，故選A.4．【答案】A【詳解】根據(jù)題意，，所以，令，得，解得，所以，則.故選A.5．【答案】B【詳解】A選項(xiàng)：，A選項(xiàng)錯誤；B選項(xiàng)：，B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)：，C選項(xiàng)錯誤；D選項(xiàng)：，D選項(xiàng)錯誤；故選B.6．【答案】C【詳解】選出的志愿者中，有2個女生2個男生時，選法種數(shù)為種，有3個女生1個男生時，選法種數(shù)為種，所以不同選法有種.故選C7．【答案】D【詳解】當(dāng)0在個位時，有個四位偶數(shù)，當(dāng)2或4在個位時，先安排個位有種，再安排千位有種，最后安排中間兩位有種方法，由分步乘法原理知共有個不同四位偶數(shù)，再由分類加法計(jì)數(shù)原理知，共有個四位偶數(shù).故選D8．【答案】B【詳解】根據(jù)捆綁法，“先捆再松”.可以將女生看作一個整體與男生全排，有種，女生自身“內(nèi)排”有種，則女生相鄰的排法個數(shù)是：.故選B.9．【答案】B【詳解】只被選中一個時，有種；都被選中時，有種；一共有1140種點(diǎn)睛：求解排列、組合問題常用的解題方法：(1)元素相鄰的排列問題——“捆邦法”；(2)元素相間的排列問題——“插空法”；(3)元素有順序限制的排列問題——“除序法”；(4)帶有“含”與“不含”“至多”“至少”的排列組合問題——間接法.10．【答案】【詳解】，令，即，解得，令，即，解得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；所以.11．【答案】【詳解】不等式在區(qū)間上恒成立等價于在上恒成立，設(shè)函數(shù)，，都是減函數(shù)，所以在上是單調(diào)遞減函數(shù)，所以，所以，即的取值范圍為.12．【答案】【詳解】因?yàn)?，則．令，解得或，所以在，上單調(diào)遞增，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值，由于有三個不同的零點(diǎn)，所以，解得，即的取值范圍是.13．【答案】24【詳解】甲、乙、丙均相鄰，則甲在乙、丙之間，乙丙的排列有種，把甲、乙、丙視為一個整體，與余下3個人共4個位置，丁只能在中間兩個位置之一，不同的排法種數(shù)是種.14．【答案】8【詳解】因?yàn)?，所以，解得?15．【答案】72【詳解】根據(jù)題意，首先涂有種涂法，則涂有種涂法，與、相鄰，則有種涂法，只與相鄰，則有種涂法，所以共有種涂法.16．【答案】（1）6；（2）.【詳解】解：（1）由排列數(shù)的公式，可得.（2）因?yàn)椋傻?，所以，可得，又因?yàn)榍?，解得，所以不等式的解集?17．【答案】(1)120(2)14【詳解】（1）男生3名，女生3名站成一排，共有種，又因?yàn)?名男生從左到右的順序一定，所以不同的排法種數(shù)為種；（2）從6人中出4人，女生甲和女生乙至少1人在內(nèi)的不同選法共有種.18．【答案】（1）；（2）.【詳解】（1），，所以，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線的斜率為，，所以，函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為，即；（2），.當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以，，因?yàn)椋?，所以，，則，所以，函數(shù)在上的最大值為.19．【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，極大值，無極小值(2)【詳解】（1）由已知可得，函數(shù)的定義域?yàn)椋?，?dāng)時，；當(dāng)時，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為，所以是的極大值點(diǎn)，無極小值點(diǎn)，所以的極大值為，無極小值；（2）解法一：設(shè)，，則，令，，則對任意恒成立，所以在上單調(diào)遞減，又，，所以，使得，即，則，即．因此，當(dāng)時，，即，則單調(diào)遞增；當(dāng)時，，即，則單調(diào)遞減，故，解得，所以當(dāng)時，恒成立，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．解法二：令，，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即．因?yàn)?，所以，?dāng)時等號成立，即，當(dāng)時等號成立，所以的最小值為．若恒成立，則，所以當(dāng)時，恒成立，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．20．【答案】(1)答案見解析(2)(3)【分析】（1）求導(dǎo)，然后分和討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）先根據(jù)求出，再將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，求其最小值即可；（3）將函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個不同的零點(diǎn)的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)和函數(shù)的圖象有兩個不同的交點(diǎn)，觀察圖象可得答案.【詳解】（1）由已知，當(dāng)時，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，令，得，函數(shù)單調(diào)遞增，令，得，函數(shù)單調(diào)遞減，綜上，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）若函數(shù)在處取得極值，則，解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以，則不等式恒成立即恒成立，整理得在上恒成立，所以，設(shè)，則，令，得，單調(diào)遞減，令，得，單調(diào)遞增，所以，所以.（3）令，可得，若函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個不同的零點(diǎn)，則函數(shù)和函數(shù)的圖象有兩個不同的交點(diǎn)，當(dāng)