重慶市第十一中學(xué)2024−2025學(xué)年高二下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題（含解析）

重慶市第十一中學(xué)2024?2025學(xué)年高二下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．3名男生和2名女生排成一隊(duì)照相，要求女生相鄰，共有排法（

）種A．120 B．24 C．48 D．962．設(shè)，則（

）A． B． C． D．3．函數(shù)（）的單調(diào)遞增區(qū)間是（

）A． B．C． D．和4．如圖是我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注解時(shí)給出的“弦圖”．現(xiàn)提供4種顏色給“弦圖”的5個(gè)區(qū)域涂色，規(guī)定每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰區(qū)域顏色不相同，則不同的涂色方案共有（）A．48種 B．72種 C．96種 D．144種5．北山中學(xué)在學(xué)?！?36”發(fā)展目標(biāo)的引領(lǐng)下，不斷推進(jìn)教育教學(xué)工作的高質(zhì)量發(fā)展，學(xué)生社團(tuán)得到迅猛發(fā)展．現(xiàn)有高一新生中的五名同學(xué)打算參加“地理行知社”“英語(yǔ)ABC”“籃球之家”“生物研啟社”四個(gè)社團(tuán)．若每個(gè)社團(tuán)至少有一名同學(xué)參加，每名同學(xué)至少參加一個(gè)社團(tuán)且只能參加一個(gè)社團(tuán)，且同學(xué)甲不參加“生物研啟社”，則不同的參加方法的種數(shù)為（

）A．72 B．108 C．180 D．2166．已知函數(shù)，則的大致圖像為（

）A． B．C． D．7．在的展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為（

）A．30 B．45 C．60 D．908．設(shè)，，，則下列關(guān)系正確的是（

）A． B．C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．下列說(shuō)法正確的是（

）A．可表示為B．若把英文“hero”的字母順序?qū)戝e(cuò)了，則可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤共有23種C．10個(gè)朋友聚會(huì)，見(jiàn)面后每?jī)蓚€(gè)人握手一次，一共握手45次D．老師手里有3張參觀游園的門票分給7人中的3人，則分法有種10．已知函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值可以是（

）A． B．C． D．211．函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則有3個(gè)零點(diǎn) B．過(guò)上任一點(diǎn)至少可作兩條直線與相切C．若，則只有一個(gè)零點(diǎn) D．三、填空題（本大題共3小題）12．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，則.13．已知集合，，從兩個(gè)集合中各取一個(gè)元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則這樣的坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中表示第二象限內(nèi)不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是．14．關(guān)于x的不等式在上恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.四、解答題（本大題共5小題）15．已知是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn).(1)求的單調(diào)區(qū)間；(2)求在區(qū)間上的最大值.16．已知展開(kāi)式中的第二項(xiàng)、第三項(xiàng)、第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列.(1)求n的值；(2)將展開(kāi)式中所有項(xiàng)重新排列，求有理項(xiàng)不相鄰的概率.17．已知，，過(guò)原點(diǎn)作圖像的切線，切點(diǎn)為M，已知(1)求的解析式；(2)若的圖像與的圖像有一條通過(guò)原點(diǎn)的公切線，求a的值．18．已知函數(shù).(1)求曲線在處的切線方程；(2)若不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)的最大值；(3)證明：.（參考數(shù)據(jù)：）19．帕德近似是法國(guó)數(shù)學(xué)家亨利?帕德發(fā)明的用有理多項(xiàng)式近似特定函數(shù)的方法.給定兩個(gè)正整數(shù)，函數(shù)在處的階帕德近似定義為：且滿足：.注：.已知函數(shù)在處的階帕德近似.(1)求的表達(dá)式；(2)記，當(dāng)時(shí)，證明不等式；(3)當(dāng)，且時(shí)，證明不等式.

參考答案1．【答案】C【詳解】將兩名女生當(dāng)成一個(gè)元素和3名男生全排列得種排法，兩名女生排序有種排法，所以共有種排法.故選C.2．【答案】D【詳解】根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式：，；故當(dāng)時(shí)，展開(kāi)式中的系數(shù)為，故．故選D．3．【答案】B【詳解】（），令，解得，故在上單調(diào)遞增，故選B．4．【答案】B【詳解】解：根據(jù)題意，如圖，假設(shè)5個(gè)區(qū)域依次為，分4步分析：①，對(duì)于區(qū)域，有4種涂法，②，對(duì)于區(qū)域，與相鄰，有3種涂法，③，對(duì)于區(qū)域，與相鄰，有2種涂法，④，對(duì)于區(qū)域，若其與區(qū)域同色，則有2種涂法，若區(qū)域與區(qū)域不同色，則有1種涂法，則區(qū)域有2+1＝3種涂色方法，則不同的涂色方案共有4×3×2×3＝72種；故選B．5．【答案】C【詳解】根據(jù)題意分析可得，必有2人參加同一社團(tuán).首先分析甲，甲不參加“生物研啟社”，則有3種情況，再分析其他4人，若甲與另外1人參加同一個(gè)社團(tuán)，則有（種）情況；若甲是單獨(dú)1個(gè)人參加一個(gè)社團(tuán)，則有（種）情況．則除甲外的4人有（種）參加方法．故不同的參加方法的種數(shù)為故選C.6．【答案】C【詳解】，，，排除選項(xiàng)ABD.故選C.7．【答案】B【詳解】在的展開(kāi)式中，通項(xiàng)公式為，對(duì)于，通項(xiàng)公式為，，，r、k，令，可得，故，，故項(xiàng)的系數(shù)為，故選B.8．【答案】D【詳解】令，則，在上單調(diào)遞增，，即，則；令，則，在上單調(diào)遞減，，即，則；，即；令，則，在上的單調(diào)遞增，，即，則，即；綜上所述：.故選D.9．【答案】ABC【詳解】A項(xiàng)，，正確；B項(xiàng)，h，e，r，o的全排列為（種），正確的有1種，故可能出現(xiàn)的錯(cuò)誤共有（種），正確；C項(xiàng)，10個(gè)朋友，兩個(gè)人握手一次，共握手（次），正確；D項(xiàng)，3張門票屬于相同元素，故應(yīng)有種分法，D不正確．故選ABC.10．【答案】ABC【詳解】因?yàn)闉槎魏瘮?shù)，開(kāi)口向下，總會(huì)存在負(fù)值，由題意得在上恒成立，則，解得．故選ABC.11．【答案】ACD【詳解】根據(jù)題意可得，且；當(dāng)時(shí)，易知時(shí)，；時(shí)，；此時(shí)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；且當(dāng)趨近于時(shí)，也趨近于；當(dāng)趨近于時(shí)，也趨近于；利用三次函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)，其函數(shù)圖象如下圖所示：

此時(shí)由圖象可知有3個(gè)零點(diǎn)；同理當(dāng)時(shí)，易知在和上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；且當(dāng)趨近于時(shí)，也趨近于；當(dāng)趨近于時(shí)，也趨近于；利用三次函數(shù)性質(zhì)可知，當(dāng)，其函數(shù)圖象如下圖所示：

此時(shí)由圖象可知有3個(gè)零點(diǎn)；所以若，則有3個(gè)零點(diǎn)，即A正確；由題意知，所以過(guò)或有且僅有一條直線與相切，且切線為水平直線，所以B錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，由選項(xiàng)A易知在處取得極大值，在處取得極小值，且；若，則，即；此時(shí)其圖象如下圖所示：

由圖可知，只有一個(gè)零點(diǎn)；同理當(dāng)時(shí)，易知在處取得極小值，在處取得極大值，且；若，則，即；此時(shí)其圖象如下圖所示：

由圖可知，只有一個(gè)零點(diǎn)；綜上可知，若，則只有一個(gè)零點(diǎn)，即C正確；由三次函數(shù)性質(zhì)可知，函數(shù)關(guān)于成中心對(duì)稱，所以滿足，又是方程的兩根，則滿足；所以，即，所以D正確；故選ACD.12．【答案】/【詳解】由題設(shè)，則.13．【答案】6【詳解】因?yàn)閮蓚€(gè)集合中各取一個(gè)元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，且該點(diǎn)表示第二象限內(nèi)的點(diǎn)，所以所取的橫坐標(biāo)為負(fù)數(shù)，縱坐標(biāo)為正數(shù)，若橫坐標(biāo)為-2，則縱坐標(biāo)可為5、6，即點(diǎn)為，若橫坐標(biāo)為-4，則縱坐標(biāo)可為1、3，即點(diǎn)為，若橫坐標(biāo)為-7，則縱坐標(biāo)可為1、3，即點(diǎn)為，所以點(diǎn)的個(gè)數(shù)為6.14．【答案】【詳解】由題設(shè)，令，則，且，令，則，當(dāng)，，則在上單調(diào)遞減，當(dāng)，，則在上單調(diào)遞增，則，即在R上單調(diào)遞增，所以且，故恒成立，令，則，當(dāng)，，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)，，則在上單調(diào)遞減，則，即.15．【答案】(1)減區(qū)間為，增區(qū)間為(2)76【詳解】（1），是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)

，

，，令，解得或；令，解得.所以函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為.（2）由（1），又在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減函數(shù)在的極大值為，又，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為.16．【答案】(1)7(2)【分析】（1）利用第二項(xiàng)、第三項(xiàng)、第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為等差數(shù)列可求；（2）根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)可得展開(kāi)式中共有3項(xiàng)有理項(xiàng)，利用插空法和古典概型的概率計(jì)算公式可求概率.【詳解】（1）因?yàn)榈诙?xiàng)、第三項(xiàng)、第四項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)分別為、、，由題意可知：，即，顯然，整理可得，解得或（舍去），所以．（2）由（1）可知展開(kāi)式的通項(xiàng)為可知展開(kāi)式共8項(xiàng)，當(dāng)為有理項(xiàng)，共3項(xiàng)，所以由插空法可得有理項(xiàng)不相鄰的概率．17．【答案】(1)(2)1【詳解】（1）設(shè)切點(diǎn)，∵，∴，∴，∴，又；∴，∴（2）此公切線即為（1）中的切線，∵，∴切線為，設(shè)與的圖像切于點(diǎn)，又∵，∴，解得，∴18．【答案】(1)(2)(3)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)求曲線在切點(diǎn)處的切線方程；（2）求出函數(shù)在時(shí)的值域，可求實(shí)數(shù)的最大值；（3）依題意，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)證明即可.【詳解】（1），，在處的切線為.（2），，則，所以，在上單調(diào)遞減，時(shí)，，對(duì)任意恒成立，，則，的最大值為.（3）設(shè)，，在上單調(diào)遞增，，，使，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，，，.【思路導(dǎo)引】導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪?wèn)題.注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問(wèn)題處理.19．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)證明見(jiàn)解析【詳解】（1）由題意，.因?yàn)椋?，所?因?yàn)?，且，所?因?yàn)椋?，所?所以.（2）因?yàn)?，所?記，則，因?yàn)?，所以，所以在單調(diào)遞減.所以，所以.（3）由（2）得，當(dāng)時(shí)，.所以，當(dāng)時(shí)，