數(shù)學 2025《高中考前》高考沖刺考試方法答題技巧高考預(yù)測數(shù)學熱點18　拋物線含答案

數(shù)學2025《高中考前》高考沖刺考試方法答題技巧高考預(yù)測數(shù)學熱點18拋物線熱點18拋物線年份202220232024角度題號角度題號角度題號新高考Ⅰ卷拋物線的簡單幾何性質(zhì)11————新高考Ⅱ卷拋物線的簡單幾何性質(zhì)10拋物線的簡單幾何性質(zhì)10拋物線的簡單幾何性質(zhì)10考向一拋物線的定義及方程【典例1】(2023·全國乙卷)已知A(1,5)在拋物線C:y2=2px上①,則點A到拋物線C的準線的距離②為

94【審題思維】①將點A的坐標代入拋物線方程求得p②求出拋物線的準線方程,利用點到直線的距離公式求解【題后反思】拋物線定義應(yīng)用的三種類型及解題策略軌跡問題用拋物線的定義可以確定與定點、定直線的距離有關(guān)的動點軌跡是否為拋物線距離問題靈活地進行拋物線上的點到焦點的距離與其到準線的距離間的等價轉(zhuǎn)化最值問題將拋物線上的點到焦點(準線)的距離轉(zhuǎn)化為該點到準線(焦點)的距離,構(gòu)造出“兩點之間線段最短”或利用“與直線上所有點的連線中,垂線段最短”求解問題【典例2】(2024·天津高考)(x-1)2+y2=25的圓心與拋物線y2=2px(p>0)的焦點F重合①,A②為兩曲線的交點,則原點到直線AF的距離③為

45【審題思維】①求出圓心坐標和拋物線的焦點坐標可得拋物線的方程②聯(lián)立方程組求出圓與拋物線的交點坐標A③求出直線AF的方程,利用點到直線的距離求解【題后反思】求拋物線標準方程的兩種方法定義法根據(jù)拋物線的定義,確定p的值(系數(shù)p是指焦點到準線的距離),再結(jié)合焦點位置求出拋物線方程待定系數(shù)法若題目未給出拋物線的方程,對于焦點在x軸上的拋物線的標準方程可統(tǒng)一設(shè)為y2=ax(a≠0),a的正負由題設(shè)來定;焦點在y軸上的拋物線的標準方程可設(shè)為x2=ay(a≠0),這樣減少了不必要的討論【提醒】拋物線的標準方程中參數(shù)p的幾何意義:拋物線的焦點到準線的距離(即焦準距),所以p的值永遠大于0.當拋物線標準方程中一次項的系數(shù)為負值時,不要出現(xiàn)p<0的錯誤.考向二拋物線的簡單幾何性質(zhì)【典例1】(多選題)(2024·新高考Ⅱ卷)拋物線C:y2=4x的準線為l,P為C上的動點,過P作☉A:x2+(y-4)2=1的一條切線,Q為切點.過P作l的垂線,垂足為B,則(ABD)A.l與☉A相切B.當P,A,B三點共線時,|PQ|=15C.當|PB|=2時,PA⊥ABD.滿足|PA|=|PB|的點P有且僅有2個【審題思維】選項A拋物線的準線為x=-1是☉A的一條切線選項B當P,A,B三點共線時,求出點P,計算PQ即可選項C當|PB|=2時,由數(shù)形結(jié)合知PA與AB并不垂直選項D由|PB|=|PF|得出P在AF的中垂線上,該直線與拋物線有兩個交點【題后反思】拋物線性質(zhì)的應(yīng)用技巧1.利用拋物線方程確定及應(yīng)用其焦點、準線時,關(guān)鍵是將拋物線方程化成標準方程;2.要注意利用幾何圖形形象、直觀的特點來解題,特別是涉及焦點、頂點、準線的問題,注意拋物線上點到焦點的距離與到準線的距離的轉(zhuǎn)化,關(guān)注圖中的直角梯形(直角三角形).【典例2】(多選題)(2023·新高考Ⅱ卷)設(shè)O為坐標原點,直線y=-3(x-1)過拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點,且與C交于M,N兩點,l為C的準線,則(AC)A.p=2B.|MN|=8C.以MN為直徑的圓與l相切D.△OMN為等腰三角形【審題思維】先求得焦點坐標,從而求得p,根據(jù)弦長公式求得|MN|,根據(jù)圓與等腰三角形的知識確定正確答案.【題后反思】1.常用結(jié)論:通過拋物線y2=2px(p>0)的焦點的直線與拋物線交于A(x1,y1),B(x2,y2),則:(1)x1·x2=p24,y1·y2=-p(2)若直線AB的傾斜角為θ,則|AB|=x1+x2+p=2p2.焦點弦設(shè)過拋物線焦點的弦的端點為A(x1,y1),B(x2,y2),則y2=2px(p>0)|AB|=x1+x2+py2=-2px(p>0)|AB|=p-(x1+x2)x2=2py(p>0)|AB|=y1+y2+px2=-2py(p>0)|AB|=p-(y1+y2)【真題再現(xiàn)】1.★★☆☆☆(2022·全國乙卷)設(shè)F為拋物線C:y2=4x的焦點,點A在C上,點B(3,0),若|AF|=|BF|,則|AB|=(B)A.2 B.22 C.3 D.322.★★★☆☆(多選題)(2022·新高考Ⅰ卷)已知O為坐標原點,點A(1,1)在拋物線C:x2=2py(p>0)上,過點B(0,-1)的直線交C于P,Q兩點,則(BCD)A.C的準線為y=-1 B.直線AB與C相切C.|OP|·|OQ|>|OA|2 D.|BP|·|BQ|>|BA|23.★★★☆☆(多選題)(2022·新高考Ⅱ卷)已知O為坐標原點,過拋物線C:y2=2px(p>0)焦點F的直線與C交于A,B兩點,其中A在第一象限,點M(p,0),若|AF|=|AM|,則(ACD)A.直線AB的斜率為26 B.|OB|=|OF|C.|AB|>4|OF| D.∠OAM+∠OBM<180°4.★☆☆☆☆(2024·北京高考)已知拋物線y2=16x,則焦點坐標為(4,0).

【模擬精選】1.★☆☆☆☆(2024·福州三模)已知點M(4,4)在拋物線C:y2=2px(p>0)上,F為C的焦點,則|MF|=(C)A.3 B.4 C.5 D.62.★★☆☆☆(2024·新余二模)已知點Q(2,-2)在拋物線C:y2=2px上,F為拋物線的焦點,則△OQF(O為坐標原點)的面積是(A)A.12 B.1 C.2 D.3.★★☆☆☆(2024·青島二模)拋物線y=x2的焦點到雙曲線x22-y2A.312 B.36 C.612 4.★★★☆☆(2024·北京三模)點F是拋物線y2=2x的焦點,A,B,C為拋物線上三點,若++=0,則||+||+||=(C)A.2 B.23 C.3 D.435.★★★☆☆(2024·北京三模)設(shè)M是拋物線y2=4x上的一點,F是拋物線的焦點,O是坐標原點,若∠OFM=120°,則|FM|=(B)A.5 B.4 C.3 D.26.★★★☆☆(2024·重慶三模)已知拋物線y2=4x的焦點為F,過點F的直線l交拋物線于A,B兩點,點A在第一象限,點O為坐標原點,且S△AOF=2S△BOF,則直線l的斜率為(A)A.22 B.3 C.1 D.-17.★★★☆☆(2024·成都模擬)設(shè)點A(2,3),動點P在拋物線C:y2=4x上,記P到直線x=-2的距離為d,則|AP|+d的最小值為(D)A.1 B.3 C.10-1 D.10+18.★★★☆☆(2024·馬鞍山模擬)已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,準線與x軸交于點M,直線l過其焦點F且與C交于A,B兩點,若直線AM的斜率為255,則|AB|=(A.455 B.855 C.49.★★★☆☆(2024·泰安模擬)已知拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點為F,C上一點M(x0,3)到焦點F的距離為4,過焦點F的直線l與拋物線交于A,B兩點,則|AF|+3|BF|的最小值為(B)A.43+4 B.23+4 C.-23+4 D.23+810.★★★★☆(多選題)(2024·襄陽二模)拋物線C:x2=2py的焦點為F,P為其上一動點,當P運動到(t,1)時,|PF|=2,直線l與拋物線相交于A,B兩點,下列結(jié)論正確的是(BC)A.拋物線的方程為x2=8yB.拋物線的準線方程為y=-1C.當直線l過焦點F時,以AF為直徑的圓與x軸相切D.|AF|+|BF|≥411.★★★★☆(多選題)(2024·滄州二模)已知F為拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點,直線l過F且與C交于A,B兩點,O為坐標原點,P(2,y0)為C上一點,且|PF|=3,則(ACD)A.過點M(2,-3)且與拋物線C僅有一個公共點的直線有3條B.當△AOB的面積為22時,|AF|·|BF|=9C.△AOB為鈍角三角形D.2|AF|+|BF|的最小值為3+2212.★★☆☆☆(2024·安康模擬)已知拋物線方程為y2=4x,點A(1,0),B(2,-1),點P在拋物線上,則|PA|+|PB|的最小值為3.

13.★★★☆☆(2024·南通二模)已知拋物線C:y2=4x,過點(4,0)的直線與拋物線交于A,B兩點,則線段AB中點M的軌跡方程為y2=2(x-4).

【創(chuàng)新演練】1.★★★☆☆(2024·綿陽模擬)已知拋物線y2=4x的焦點為F,準線為l,A,B是拋物線上的兩個動點,且滿足AF⊥BF,線段AB的上一點M滿足=,M在l上的投影為N,則|MN||AB|A.22 B.12 C.1 D2.★★★☆☆(2024·杭州模擬)應(yīng)用拋物線和雙曲線的光學性質(zhì),可以設(shè)計制造反射式天文望遠鏡,這種望遠鏡的特點是鏡筒很短而觀察天體運動又很清楚.某天文儀器廠設(shè)計制造的一種反射式望遠鏡,其光學系統(tǒng)的原理如圖(中心截口示意圖)所示.其中,一個反射鏡PO1Q弧所在的曲線為拋物線,另一個反射鏡MO2N弧所在的曲線為雙曲線的一個分支.已知F1,F2是雙曲線的兩個焦點,其中F2同時又是拋物線的焦點,且∠NF2F1=45°,tan∠NF1F2=14,△NF1F2的面積為10,|O1F2|=8,則拋物線方程為y2=32(x+3)熱點8三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)年份202220232024角度題號角度題號角度題號新高考Ⅰ卷三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)6三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)15三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)7新高考Ⅱ卷三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)9三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)16三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)9【考向一】三角函數(shù)圖象變換【典例1】(2023·全國甲卷)已知f(x)為函數(shù)y=cos(2x+π6)向左平移π6個單位所得函數(shù)①,則y=f(x)與y=12x-12的交點個數(shù)A.1 B.2 C.3 D.4【審題思維】①y=-sin2x→在同一坐標系內(nèi)作出兩個函數(shù)的圖象②【題后反思】由y=sinx變換得到y(tǒng)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的方法(1)先平移后伸縮(2)先伸縮后平移【提醒】1.平移變換容易忽視x的系數(shù);2.先伸縮再平移,特別要注意平移的量是|φ|ω(【典例2】(2022·全國甲卷)將函數(shù)f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)的圖象向左平移π2個單位長度后得到曲線C①,若C關(guān)于y軸對稱②,則ω的最小值是(A.16 B.14 C.13 【審題思維】①由函數(shù)f(x)=sin(ωx+π3)(ω>0)左移π2個單位得到曲線C:y=sin(ωx+ωπ②通過C關(guān)于y軸對稱可知y=sin(ωx+ωπ2+π3【題后反思】1.求三角函數(shù)對稱軸方程(對稱中心坐標)的方法(1)求y=Asin(ωx+φ)圖象的對稱軸方程,只需令ωx+φ=kπ+π2(k∈Z);求對稱中心橫坐標只需令ωx+φ=kπ(k∈Z),求(2)求y=Acos(ωx+φ)圖象的對稱軸方程,只需令ωx+φ=kπ(k∈Z);求對稱中心橫坐標只需令ωx+φ=kπ+π2(k∈Z),求(3)求y=Atan(ωx+φ)圖象的對稱中心的橫坐標,只需令ωx+φ=kπ2(k∈Z2.三角函數(shù)奇偶性的判斷及應(yīng)用三角函數(shù)奇偶性的判斷借助定義,而根據(jù)奇偶性求解問題則利用性質(zhì)y=Asin(ωx+φ)為奇函數(shù),則φ=kπ(k∈Z),若y=Asin(ωx+φ)為偶函數(shù),則φ=kπ+π2(k∈Z)【考向二】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)【典例1】(多選題)(2024·新高考Ⅱ卷)對于函數(shù)f(x)=sin2x和g(x)=sin(2x-π4),下列正確的有(BCA.f(x)與g(x)有相同零點B.f(x)與g(x)有相同最大值C.f(x)與g(x)有相同的最小正周期D.f(x)與g(x)的圖象有相同的對稱軸【審題思維】A選項,方法一:分別求出兩個函數(shù)的零點,對照比較即可;方法二:特值驗證.BCD選項,分別求出兩個函數(shù)的最大值、最小正周期及其對稱軸方程,然后逐項判斷即可.【題后反思】1.關(guān)于三角函數(shù)周期的幾個重要結(jié)論(1)函數(shù)y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)的周期均為2π|ω|;y=Atan(ωx+φ(2)函數(shù)y=|Asin(ωx+φ)|,y=|Acos(ωx+φ)|,y=|Atan(ωx+φ)|的周期均為π|2.求三角函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(ω>0)的單調(diào)區(qū)間的方法(1)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間由2kπ-π2≤ωx+φ≤2kπ+π2(k∈(2)函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間由2kπ+π2≤ωx+φ≤2kπ+3π2(k∈Z3.求三角函數(shù)值域(最值)的方法(1)有界性:利用sinx,cosx的有界性;(2)用性質(zhì):形式復(fù)雜的函數(shù)應(yīng)化為y=Asin(ωx+φ)+b的形式逐步分析ωx+φ的范圍,根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)性寫出函數(shù)值域;(3)換元法:把sinx或cosx看作一個整體,可化為求函數(shù)在區(qū)間上的值域(最值)問題.【提醒】(1)求最小正周期時,帶絕對值的函數(shù)容易用錯公式;(2)求y=Asin(ωx+φ)的單調(diào)區(qū)間時,要遵循復(fù)合函數(shù)“同增異減”的原則,最好把x的系數(shù)化為正值,然后利用整體代換,求出相應(yīng)的變量x的范圍,否則容易產(chǎn)生錯解.【典例2】(2023·新高考Ⅱ卷)已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ),如圖,A,B是直線y=12與曲線f(x)的兩個交點,若|AB|=π6①,則f(π)=-【審題思維】①設(shè)A(x,12),B(x2,12),由x2-x1=π6,結(jié)合sinx=12的解可得,ω(x2-x1)=②根據(jù)f(23π)=0以及f(0)<0,即可得f(x【題后反思】確定函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的解析式的步驟和方法(1)求A,b:確定函數(shù)的最大值M和最小值m,則A=M-m2,b(2)求ω:確定函數(shù)的周期T,則可得ω=2πT(3)求φ:常用的方法有:①代入法:把圖象上的一個已知點代入(此時A,ω,b已知)或代入圖象與直線y=b的交點求解(此時要注意交點在上升區(qū)間上還是在下降區(qū)間上).②五點法:確定φ值時,往往尋找“五點”中的一個點解出φ值.“五點”的ωx+φ的值具體如下:“第一點”(即圖象上升時與x軸的交點)為ωx+φ=0;“第二點”(即圖象的“峰點”)為ωx+φ=π2“第三點”(即圖象下降時與x軸的交點)為ωx+φ=π;“第四點”(即圖象的“谷點”)為ωx+φ=3π2“第五點”為ωx+φ=2π.【提醒】一般情況下,ω的值是唯一確定的,但φ的值是不確定的,它有無數(shù)個,如果求出的φ值不在指定范圍內(nèi),可以通過加減2πω的整數(shù)倍達到目的(★表示難度系數(shù),全書同)【真題再現(xiàn)】1.★★☆☆☆(2024·新高考Ⅰ卷)當x∈[0,2π]時,曲線y=sinx與y=2sin3x-πA.3 B.4 C.6 D.82.★★☆☆☆(2024·北京高考)已知f(x)=sinωx,f(x1)=-1,f(x2)=1,|x1-x2|min=π2,則ω=(BA.1 B.2 C.3 D.43.★★★☆☆(2024·天津高考)已知函數(shù)f(x)=sin3(ωx+π3)(ω>0)的最小正周期為π.則函數(shù)在[-π12,π6A.-32 B.-32 C.0 D4.★☆☆☆☆(2024·全國甲卷)函數(shù)f(x)=sinx-3cosx在[0,π]上的最大值是2.

5.★★★☆☆(2023·新高考Ⅰ卷)已知函數(shù)f(x)=cosωx-1(ω>0)在區(qū)間[0,2π]有且僅有3個零點,則ω的取值范圍是[2,3).

【模擬精選】1.★★☆☆☆(2024·青島三模)為了得到y(tǒng)=sin2x+cos2x的圖象,只要把y=2cos2x的圖象上所有的點(A)A.向右平移π8個單位長度 B.向左平移πC.向右平移π4個單位長度 D.向左平移π2.★★☆☆☆(2024·成都三模)將函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0)的圖象向左平移π6個單位后,與函數(shù)g(x)=cos(ωx+φ)的圖象重合,則ω的最小值為(CA.9 B.6 C.3 D.23.★★★☆☆(2024·紹興三模)已知函數(shù)f(x)=sin(x+φ)(-π2<φ<0)的圖象關(guān)于點(π12,0)對稱,若當x∈[m,π3]時,f(x)的最小值