《拋物線的簡單幾何性質(zhì)（第1課時）》教學(xué)設(shè)計

16/162.4.2拋物線的簡單幾何性質(zhì)（第1課時）（名師：楊軍君）一、教學(xué)目標(biāo)（一）學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握拋物線的范圍、對稱性、頂點、離心率等幾何性質(zhì)；2.能根據(jù)拋物線的方程對拋物線幾何性質(zhì)進(jìn)行討論.（二）學(xué)習(xí)重點拋物線的幾何性質(zhì)及其運用.（三）學(xué)習(xí)難點拋物線幾何性質(zhì)的運用.二、教學(xué)設(shè)計（一）預(yù)習(xí)任務(wù)設(shè)計1.預(yù)習(xí)任務(wù)（1）讀一讀：閱讀教材第68頁至第69頁.（2）想一想：如何推導(dǎo)拋物線的焦半徑公式？（3）寫一寫：焦點分別在軸上的拋物線的范圍、對稱性、頂點.2.預(yù)習(xí)自測判斷（正確的打“√”，錯誤的打“×”）（1）拋物線的圖象關(guān)于點對稱.（）（2）拋物線沒有漸近線.（）（3）過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的弦長是.（）（4）拋物線的離心率等于1.（）【知識點】拋物線的幾何性質(zhì).【解題過程】拋物線只是軸對稱圖形，沒有對稱中心，故（1）錯誤；由拋物線的定義知：過拋物線的焦點且垂直于對稱軸的弦長是，故（3）錯誤.【思路點撥】結(jié)合拋物線的定義和拋物線的方程判斷.【答案】（1）×；（2）√；（3）×；（4）√.（二）課堂設(shè)計1.知識回顧（1）拋物線的定義.（2）拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及焦點坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程.2.新知講解探究一：探究拋物線的幾何性質(zhì)●活動①師生互動，探索性質(zhì)類比橢圓、雙曲線的研究過程，這節(jié)課我們來研究“拋物線的幾何性質(zhì)”.提醒學(xué)生從數(shù)(方程)和形(圖像)兩個角度去研究拋物線的幾何性質(zhì).請學(xué)生自己先類比橢圓雙曲線的幾何性質(zhì)的研究方法，必要時可與同桌討論.類似研究雙曲線的性質(zhì)的過程，我們以為例來研究一下拋物線的簡單幾何性質(zhì)：（1）范圍數(shù)：由拋物線，所以拋物線的范圍為，.形：拋物線在軸的右側(cè)，當(dāng)?shù)闹翟龃髸r，也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸.（2）對稱性數(shù)：與關(guān)于軸對稱，若點在拋物線上，即滿足，則，即點也在拋物線上，故拋物線關(guān)于軸對稱.形：從圖像觀察，關(guān)于軸對稱，顯而易見.注意：拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸.（3）頂點定義：拋物線與它的軸的交點叫做拋物線的頂點.數(shù)：中，令則，即拋物線的頂點是形：從圖像看，顯然原點既是頂點.注意：這與橢圓有四個頂點，雙曲線有兩個頂點不同.（4）離心率定義：拋物線上的點與焦點的距離和它到準(zhǔn)線的距離之比，叫做拋物線的離心率.由定義知，拋物線y2=2px(p>0)的離心率為e=1.●活動②類比學(xué)習(xí)，歸納梳理對于其它幾種形式的方程，它們的性質(zhì)如何，學(xué)生分析回答：(通過對照完成表)標(biāo)準(zhǔn)方程圖形FF焦點坐標(biāo)準(zhǔn)線方程范圍對稱性頂點離心率【設(shè)計意圖】通過填表，培養(yǎng)學(xué)生類比、歸納學(xué)習(xí)能力.●活動③對比分析，深入理解【提出問題】與橢圓、雙曲線的幾何性質(zhì)比較，拋物線的幾何性質(zhì)有什么特點？（由學(xué)生回答）（1）拋物線只位于___________個坐標(biāo)平面內(nèi)，它可以無限延伸，但沒有漸近線；（2）拋物線只有___________條對稱軸，___________對稱中心；（3）拋物線只有___________個頂點、___________個焦點、___________條準(zhǔn)線；（4）拋物線的離心率是確定的，其值為___________．探究二：拋物線的特殊量●活動①結(jié)合性質(zhì)，研究概念（1）通徑：標(biāo)準(zhǔn)方程中的幾何意義.通過焦點且垂直對稱軸的直線，與拋物線相交于兩點，連接這兩點的線段叫做拋物線的通徑.通徑的長度越大開口越開闊利用拋物線的頂點、通徑的兩個端點可較準(zhǔn)確畫出反映拋物線基本特征的草圖.（2）焦半徑：連接拋物線任意一點與焦點的線段叫做拋物線的焦半徑.設(shè)拋物線上一點,則由拋物線的定義可得：焦半徑公式：思考：其他三種標(biāo)準(zhǔn)的拋物線對應(yīng)的焦半徑公式呢？●活動②鞏固基礎(chǔ)，檢查反饋例1.已知拋物線關(guān)于x軸為對稱，它的頂點在坐標(biāo)原點，并且經(jīng)過點，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程．【知識點】拋物線的幾何性質(zhì).【解題過程】由題意，可設(shè)拋物線方程為，因為它過點，所以，即因此，所求的拋物線方程為．【思路點撥】首先由已知點坐標(biāo)代入方程，求參數(shù)p．【答案】．同類訓(xùn)練拋物線的頂點在原點，對稱軸重合于橢圓短軸所在的直線，拋物線焦點到頂點的距離為3，求拋物線的方程.【知識點】拋物線的幾何性質(zhì).【解題過程】橢圓方程為：，則拋物線的對稱軸為軸，設(shè)拋物線的方程為.又拋物線的焦點到頂點的距離為3，則，即.故所求拋物線方程為或.【思路點撥】先確定拋物線的形式，再依條件求待定參數(shù).【答案】或.例2.過拋物線的焦點作直線交拋物線于，兩點，如果，那么=（）A.10B.8C.6D.4【知識點】焦半徑.【解題過程】設(shè)拋物線焦點為，則【思路點撥】過焦點的弦長分為上下兩個焦半徑，利用焦半徑公式直接求解.【答案】B同類訓(xùn)練已知過拋物線y2＝4x的焦點F的直線交該拋物線于A、B兩點，|AF|＝2，則|BF|＝________.【知識點】拋物線定義.【解題過程】由y2＝4x，知p＝2，F(xiàn)(1,0)，由拋物線定義，xA＋eq\f(p,2)＝|AF|，∴xA＝2－1＝1，因此AB⊥x軸，F(xiàn)為AB中點，從而|BF|＝|AF|＝2.【思路點撥】先利用焦半徑公式求出，再計算.【答案】.例3.已知圓與頂點在原點，焦點在軸上的拋物線交于,兩點，的垂心恰為拋物線的焦點，求拋物線的方程.【知識點】拋物線的幾何性質(zhì).【解題過程】依題意設(shè)所求拋物線方程為，焦點，則①②把②代入①得，所求拋物線方程為【思路點撥】求拋物線的方程時，一定要先根據(jù)題目條件準(zhǔn)確地確定其形式，然后再由題目條件求出待定的系數(shù).【答案】同類訓(xùn)練已知是拋物線上兩點，為坐標(biāo)原點，若，且的垂心恰是此拋物線的焦點，求直線的方程.【知識點】拋物線的幾何性質(zhì).【解題過程】由題意知：關(guān)于軸對稱，焦點.設(shè)，則，故：.又，所以，即：.所以直線方程為：.【思路點撥】利用拋物線的幾何關(guān)系解題.【答案】直線方程為：.3.課堂總結(jié)知識梳理（1）范圍：拋物線只位于半個坐標(biāo)平面內(nèi)，雖然它也可以無限延伸，但沒有漸近線；（2）對稱性：拋物線只有一條對稱軸，沒有對稱中心；（3）頂點：拋物線只有一個頂點，一個焦點，一條準(zhǔn)線；（4）離心率：拋物線的離心率是確定的，等于1；重難點歸納設(shè)為拋物線的焦點，為拋物線上一點，則焦半徑公式：.（三）課后作業(yè)基礎(chǔ)型自主突破1．已知O為坐標(biāo)原點，F(xiàn)為拋物線C：y2＝4eq\r(2)x的焦點，P為C上一點，若|PF|＝4eq\r(2)，則△POF的面積為（）A．2 B．2eq\r(2)C．2eq\r(3) D．4【知識點】拋物線焦半徑.【解題過程】設(shè)P點坐標(biāo)為(x0，y0)，則由拋物線的焦半徑公式得|PF|＝x0＋eq\r(2)＝4eq\r(2)，x0＝3eq\r(2)，代入拋物線的方程，得|y0|＝2eq\r(6)，S△POF＝eq\f(1,2)|y0|·|OF|＝2eq\r(3)，選C.【思路點撥】拋物線的焦半徑公式：.【答案】C2．設(shè)拋物線的頂點在原點，其焦點F在y軸上，又拋物線上的點P(k，－2)與點F的距離為4，則k等于（）A．4 B．4或－4C．－2 D．－2或2【知識點】拋物線焦半徑.【解題過程】由題設(shè)條件可設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p>0)，又點P在拋物線上，則.∵|PF|＝4∴eq\f(p,2)＋2＝4，即p＝4，∴k＝±4.【思路點撥】拋物線的焦半徑公式：.【答案】B.3．(2014·山東省博興二中質(zhì)檢)已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一條漸近線的斜率為eq\r(2)，且右焦點與拋物線y2＝4eq\r(3)x的焦點重合，則該雙曲線的離心率等于（）A.eq\r(2) B．eq\r(3)C．2 D．2eq\r(3)【知識點】拋物線幾何性質(zhì)..【解題過程】∵拋物線y2＝4eq\r(3)x的焦點(eq\r(3)，0)為雙曲線的右焦點，∴c＝eq\r(3)，又eq\f(b,a)＝eq\r(2)，結(jié)合a2＋b2＝c2，得e＝eq\r(3)，故選B.【思路點撥】利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)解題.【答案】B過拋物線焦點F的直線與拋物線相交于A、B兩點，若點A、B在拋物線準(zhǔn)線上的射影分別為A1，B1，則∠A1FB1為（）A．45° B．60°C．90° D．120°【知識點】拋物線的幾何性質(zhì).【解題過程】設(shè)拋物線方為y2＝2px(p>0)．如圖，∵|AF|＝|AA1|，|BF|＝|BB1|，∴∠AA1F＝∠AFA1，∠BFB1＝∠FB1B.又AA1∥Ox∥B1B，∴∠A1FO＝∠FA1A，∠B1FO＝∠FB1B，∴∠A1FB1＝eq\f(1,2)∠AFB＝90°.【思路點撥】利用拋物線的定義結(jié)合幾何關(guān)系解題.【答案】C.5．一個正三角形的兩個頂點在拋物線y2＝ax上，另一個頂點是坐標(biāo)原點，如果這個三角形的面積為36eq\r(3)，則a＝________.【知識點】拋物線的幾何性質(zhì).【解題過程】設(shè)正三角形邊長為x.36eq\r(3)＝eq\f(1,2)x2sin60°，∴x＝12.當(dāng)a>0時，將(6eq\r(3)，6)代入y2＝ax得a＝2eq\r(3)，當(dāng)a<0時，將(－6eq\r(3)，6)代入y2＝ax得a＝－2eq\r(3)，故a＝±2eq\r(3).【思路點撥】利用拋物線的定義結(jié)合幾何關(guān)系解題.【答案】.6．已知點A(2,0)、B(4,0)，動點P在拋物線y2＝－4x上運動，則eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))取得最小值時的點P的坐標(biāo)是________________．【知識點】拋物線的幾何性質(zhì).【解題過程】設(shè)P，則eq\o(AP,\s\up6(→))＝，eq\o(BP,\s\up6(→))＝，eq\o(AP,\s\up6(→))·eq\o(BP,\s\up6(→))＝＋y2＝eq\f(y4,16)＋eq\f(5,2)y2＋8≥8，當(dāng)且僅當(dāng)y＝0時取等號，此時點P的坐標(biāo)為(0,0)．【思路點撥】數(shù)量積問題坐標(biāo)化轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值.【答案】.能力型師生共研7．若拋物線y2＝－2px(p>0)上有一點M，其橫坐標(biāo)為－9，它到焦點的距離為10，則點M的坐標(biāo)為________________．【知識點】拋物線的幾何性質(zhì).【解題過程】由拋物線方程y2＝－2px(p>0)，得其焦點坐標(biāo)為F，準(zhǔn)線方程為x＝eq\f(p,2)，設(shè)點M到準(zhǔn)線的距離為d，則d＝|MF|＝10，即eq\f(p,2)－(－9)＝10，∴p＝2，故拋物線方程為y2＝－4x.將M(－9，y)代入拋物線方程，得y＝±6，∴M(－9,6)或M(－9，－6)．【思路點撥】利用拋物線的定義結(jié)合幾何關(guān)系解題.【答案】(－9,6)或M(－9，－6)8．設(shè)拋物線y2＝8x的焦點為F，準(zhǔn)線為l，P為拋物線上一點，PA⊥l，A為垂足．如果直線AF的斜率為－eq\r(3)，那么|PF|＝________.【知識點】拋物線的幾何性質(zhì).【解題過程】如圖，kAF＝－eq\r(3)，∴∠AFO＝60°，∵|BF|＝4，∴|AB|＝4eq\r(3)，即P點的縱坐標(biāo)為4eq\r(3)，∴(4eq\r(3))2＝8x，∴x＝6，∴|PA|＝8＝|PF|.【思路點撥】利用拋物線的定義結(jié)合幾何關(guān)系解題.【答案】.探究型多維突破9．如圖，拋物線E：y2＝4x的焦點為F，準(zhǔn)線l與x軸的交點為A.點C在拋物線E上，以C為圓心，|CO|為半徑作圓，設(shè)圓C與準(zhǔn)線l交于不同的兩點M，N.（1）若點C的縱坐標(biāo)為2，求|MN|；（2）若|AF|2＝|AM|·|AN|，求圓C的半徑．【知識點】拋物線的幾何性質(zhì).【解題過程】拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線l的方程為x＝－1.由點C的縱坐標(biāo)為2，得點C的坐標(biāo)為(1,2)，所以點C到準(zhǔn)線l的距離d＝2，又|CO|＝eq\r(5).所以|MN|＝2eq\r(|CO|2－d2)＝2eq\r(5－4)＝2.（2）設(shè)C(eq\f(y\o\al(2,0),4)，y0)，則圓C的方程為(x－eq\f(y\o\al(2,0),4))2＋(y－y0)2＝eq\f(y\o\al(4,0),16)＋yeq\o\al(2,0)，即x2－eq\f(y\o\al(2,0),2)x＋y2－2y0y＝0.由x＝－1，得y2－2y0y＋1＋eq\f(y\o\al(2,0),2)＝0，設(shè)M(－1，y1)，N(－1，y2)，則由|AF|2＝|AM|·|AN|，得|y1y2|＝4，所以eq\f(y\o\al(2,0),2)＋1＝4，解得y0＝±eq\r(6)，此時Δ>0.所以圓心C的坐標(biāo)為(eq\f(3,2)，eq\r(6))或(eq\f(3,2)，－eq\r(6))，從而|CO|2＝eq\f(33,4)，|CO|＝eq\f(\r(33),2)，即圓C的半徑為eq\f(\r(33),2).【思路點撥】利用拋物線的定義結(jié)合幾何關(guān)系解題.【答案】（1）|MN|=2；（2）eq\f(\r(33),2).10．定長為3的線段AB的端點A、B在拋物線y2＝x上移動，求AB中點到y(tǒng)軸距離的最小值，并求出此時AB中點M的坐標(biāo)．【知識點】拋物線的幾何性質(zhì).【解題過程】如圖，設(shè)F是拋物線y2＝x的焦點，A、B兩點到準(zhǔn)線的垂線分別是AC、BD，M點到準(zhǔn)線的垂線為MN，N為垂足，則|MN|＝eq\f(1,2)(|AC|＋|BD|)，根據(jù)拋物線定義得|AC|＝|AF|，|BD|＝|BF|，∴|MN|＝eq\f(1,2)(|AF|＋|BF|)≥eq\f(|AB|,2)＝eq\f(3,2).設(shè)M點的橫坐標(biāo)為x，則|MN|＝x＋eq\f(1,4)，∴x＝|MN|－eq\f(1,4)≥eq\f(3,2)－eq\f(1,4)＝eq\f(5,4)，等號成立的條件是弦AB過點F，由于|AB|>2p＝1，∴AB過焦點是可能的，此時M點到y(tǒng)軸的最短距離是eq\f(5,4)，即AB的中點橫坐標(biāo)為eq\f(5,4).當(dāng)F在AB上時，設(shè)A、B的縱坐標(biāo)分別為y1、y2，則y1y2＝－p2＝－eq\f(1,4)，從而(y1＋y2)2＝y(tǒng)eq\o\al(2,1)＋yeq\o\al(2,2)＋2y1y2＝2×eq\f(5,4)－eq\f(1,2)＝2，∴，∴M點的坐標(biāo)為(eq\f(5,4)，±eq\f(\r(2),2))時，M到y(tǒng)軸距離的最小值為eq\f(5,4).【思路點撥】本題從分析圖形性質(zhì)出發(fā)將三角形的性質(zhì)應(yīng)用到解析幾何問題中，再結(jié)合拋物線的定義和方程求解，這樣解答簡捷準(zhǔn)確．【答案】M到y(tǒng)軸距離的最小值為eq\f(5,4)，M(eq\f(5,4)，±eq\f(\r(2),2)).自助餐1．設(shè)拋物線的焦點到頂點的距離為3，則拋物線上的點到準(zhǔn)線的距離的取值范圍是（）A． B．C． D．【知識點】拋物線的定義.【解題過程】由拋物線的定義知：拋物線的頂點到準(zhǔn)線的距離最短.【思路點撥】利用拋物線的定義解題.【答案】D2．動圓的圓心在拋物線y2＝8x上，且動圓恒與直線x＋2＝0相切，則動圓必過定點（）A．(4,0) B．(2,0)C．(0,2) D．(0，－2)【知識點】拋物線的定義.【解題過程】∵圓心到直線x＋2＝0的距離等于到拋物線焦點的距離，∴定點為(2,0)．【思路點撥】利用拋物線的定義解題.【答案】B3.拋物線y2＝2x的焦點為F，其準(zhǔn)線經(jīng)過雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左頂點，點M為這兩條曲線的一個交點，且|MF|＝2，則雙曲線的離心率為（）A.eq\f(\r(10),2) B．2C.eq\r(5) D．eq\f(\r(5),2)【知識點】拋物線的幾何性質(zhì).【解題過程】F(eq\f(1,2)，0)，l：x＝－eq\f(1,2)，由題意知a＝eq\f(1,2).由拋物線的定義知，xM－(－eq\f(1,2))＝2，∴xM＝eq\f(3,2)，∴yeq\o\al(2,M)＝3，∵點(xM，yM)在雙曲線上，∴eq\f(\f(9,4),\f(1,4))－eq\f(3,b2)＝1，∴b2＝eq\f(3,8)，∴c2＝a2＋b2＝eq\f(5,8)，∴e2＝eq\f(c2,a2)＝eq\f(5,8)×4＝eq\f(5,2)，∴e＝eq\f(\r(10),2).【思路點撥】注意利用兩曲線的交點同時滿足兩種定義.【答案】A.4．已知A、B在拋物線y2＝2px(p>0)上，O為坐標(biāo)原點，如果|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰好是此拋物線的焦點F，則直線AB