知識概要：圓錐曲線與方程

8/8圓錐曲線與方程基本知識概要2.1橢圓一．橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程1．橢圓的定義（第一定義）：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓，即點(diǎn)集M={P||PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1F2|}；（時(shí)為線段，無軌跡）。這里兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫橢圓的焦距2c。2．標(biāo)準(zhǔn)方程：①焦點(diǎn)在x軸上：（a＞b＞0）；焦點(diǎn)F（±c，0）②焦點(diǎn)在y軸上：（a＞b＞0）；焦點(diǎn)F（0,±c）這里橢圓c2=a2-b2注意：①在兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，總有a＞b＞0，并且橢圓的焦點(diǎn)總在長軸上；②兩種標(biāo)準(zhǔn)方程可用一般形式表示：Ax2+By2=1（A＞0，B＞0，A≠B），當(dāng)A＜B時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，A＞B時(shí)焦點(diǎn)在y軸上。二．橢圓的簡單幾何性質(zhì)：1.范圍（1）橢圓（a＞b＞0）橫坐標(biāo)-a≤x≤a,縱坐標(biāo)-b≤x≤b（2）橢圓（a＞b＞0）橫坐標(biāo)-b≤x≤b,縱坐標(biāo)-a≤x≤a2.對稱性橢圓關(guān)于x軸y軸都是對稱的，這里，坐標(biāo)軸是橢圓的對稱軸，原點(diǎn)是橢圓的對稱中心，橢圓的對稱中心叫做橢圓的中心3.頂點(diǎn)（1）橢圓的頂點(diǎn)：A1（-a，0），A2（a，0），B1（0，-b），B2（0，b）（2）線段A1A2，B1B2分別叫做橢圓的長軸和短軸，它們的長分別等于2a和2b，a和b分別叫做橢圓的長半軸長和短半軸長。4．離心率（1）我們把橢圓的焦距與長軸長的比稱為橢圓的離心率，用e表示，即e=（0＜e＜1）因?yàn)閍＞c＞0，所以0＜e＜1。e越接近于1（e越大），則c越接近于a，從而b越小，因此橢圓越扁；反之，e越接近于0（e越?。?，c越接近于0，從而b越接近于a，這時(shí)橢圓就越接近于圓。是圓。（2）橢圓的第二定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)（焦點(diǎn)）和一定直線（準(zhǔn)線）的距離的比為常數(shù)e（0＜e＜1）的點(diǎn)的軌跡為橢圓。①焦點(diǎn)在x軸上：（a＞b＞0）準(zhǔn)線方程：②焦點(diǎn)在y軸上：（a＞b＞0）準(zhǔn)線方程：*補(bǔ)充：（1）焦半徑公式：P（x0，y0）為橢圓上任一點(diǎn)。|PF1|==a+ex0，|PF2|==a-ex0；|PF1|==a+ey0，|PF2|==a-ey0;（2）焦準(zhǔn)距；準(zhǔn)線間距（3）兩個(gè)最大角焦點(diǎn)在y軸上，中心在原點(diǎn)：（a＞b＞0）的性質(zhì)可類似的給出（請課后完成）?！裰仉y點(diǎn)：橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓的簡單的幾何性質(zhì)?！袼季S方式：待定系數(shù)法與軌跡方程法?！裉貏e注意：橢圓方程中的a,b,c,e與坐標(biāo)系無關(guān),而焦點(diǎn)坐標(biāo),準(zhǔn)線方程,頂點(diǎn)坐標(biāo),與坐標(biāo)系有關(guān).因此確定橢圓方程需要三個(gè)條件:兩個(gè)定形條件a,b,一個(gè)定位條件焦點(diǎn)坐標(biāo)或準(zhǔn)線方程.2.2雙曲線一．雙曲線的概念1.雙曲線的定義（第一定義）：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)距離的差的絕對值等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線，即點(diǎn)集。（為兩射線；2無軌跡。）這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)間的距離叫做雙曲線的焦距2c.2.雙曲線的第二定義：平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)(焦點(diǎn))和一條定直線（準(zhǔn)線）的距離的比是常數(shù)e的動點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線。焦點(diǎn)在X軸上焦點(diǎn)在Y軸上二.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程圖形性質(zhì)焦點(diǎn)F1（-，F(xiàn)2（F1（，F(xiàn)2（焦距|F1F2|=2c范圍X≤-a與x≥ay≤-a與y≥a對稱性關(guān)于x軸，y軸和原點(diǎn)對稱頂點(diǎn)（-a，0）。（a，0）（0，-a）（0，a）軸實(shí)軸A1A2長2a，虛軸B1B2長2b準(zhǔn)線漸近線*共漸近線的雙曲線系方程或*焦半徑P在右支上，P在左支上，P在上支上，P在下支上，平面幾何性質(zhì)雙曲線焦距與實(shí)軸長的比，大開口大離心率*焦準(zhǔn)距準(zhǔn)線間距=焦?jié)u距=。三．共軸雙曲線和共軛雙曲線（1）共軸雙曲線在方程中，如果a=b,那么雙曲線的方程為x2-y2=a2,它的實(shí)軸和虛軸的長都等于2a。這時(shí)，四條直線x=±a,y=±a圍成正方形，漸近線方程為y=±x，它們互相垂直，并且平分雙曲線實(shí)軸和虛軸所成的角。實(shí)軸和虛軸等長的雙曲線叫做等軸雙曲線。（2）共軛雙曲線實(shí)軸與虛軸互換的雙曲線，如與互為共軛雙曲線（只是兩軸的數(shù)字互換，但實(shí)軸仍是b2，虛軸仍是a2）其性質(zhì)如下：①共軛雙曲線的漸近線相同都是②焦距相同，焦點(diǎn)不同③共軛雙曲線的四個(gè)焦點(diǎn)在同一圓上④兩個(gè)離心率的倒數(shù)的平方和為1，即*四．點(diǎn)P和雙曲線的關(guān)系1.P在雙曲線內(nèi)__________________2.P在雙曲線上__________________3.P在雙曲線外__________________*五．AB為雙曲線的弦，Ａ（，）Ｂ（，）弦中點(diǎn)M。1.弦長l=____________________________________________2.kAB=___________________3.直線AB的方程:________________________4.直線AB的中垂線方程：___________________________說明：(1)雙曲線的兩個(gè)定義是解決雙曲線的性質(zhì)問題和求雙曲線方程的兩個(gè)有力工具，所以要對雙曲線的兩個(gè)定義有深刻的認(rèn)識。(2)雙曲線方程中的與坐標(biāo)系無關(guān)，只有焦點(diǎn)坐標(biāo)，頂點(diǎn)坐標(biāo)，準(zhǔn)線及漸近線方程與坐標(biāo)系有關(guān)，因此確定一個(gè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程需要三個(gè)條件：兩個(gè)定形條件，一個(gè)定位條件，焦點(diǎn)坐標(biāo)或準(zhǔn)線，漸近線方程。求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程常用的方法是待定系數(shù)法或軌跡方程法。(3)直線和雙曲線的位置關(guān)系，在二次項(xiàng)系數(shù)不為零的條件下和橢圓有相同的判定方法和有關(guān)公式，求解問題的類型也相同。唯一不同的是直線與雙曲線只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，不一定相切。利用共漸近線的雙曲線系或方程解題，常使解法簡捷。(4)雙曲線的焦半徑，當(dāng)點(diǎn)P在右支（或上支）上時(shí)，為當(dāng)點(diǎn)P在左支（或下支）上時(shí)，為利用焦半徑公式，解題簡潔明了，注意運(yùn)用，●重點(diǎn)、難點(diǎn)：深刻理解確定雙曲線的形狀，大小的幾個(gè)主要特征量，掌握定義，性質(zhì)，掌握直線與雙曲線的位置關(guān)系?！袼季S方式：方程的思想，數(shù)形結(jié)合的思想；待定系數(shù)法，參數(shù)思想等。2.3拋物線1.拋物線的定義（圓錐曲線第二定義）：到一個(gè)定點(diǎn)（焦點(diǎn)）的距離與到一條定直線（準(zhǔn)線）的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線．2.拋物線的離心率：拋物線上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離之比叫做拋物線的離心率，用e表示。有定義可知，e=13.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)OOy圖形OOyxOOyxOOxy標(biāo)準(zhǔn)方程（）（）（）（）焦點(diǎn)坐標(biāo)準(zhǔn)線方程范圍X≥0X≤0y≥0y≤0對稱軸Ｘ軸Ｙ軸頂點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)Ｏ（０，０）離心率*焦半經(jīng)*焦準(zhǔn)距＝；頂準(zhǔn)距＝焦頂距＝；曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最近距＝4.焦點(diǎn)弦和通徑的概念（1）焦點(diǎn)弦：在拋物線中，通過其焦點(diǎn)的直線與拋物線的交點(diǎn)連線叫焦點(diǎn)弦。OyxOyx(2)若在拋物線中通過焦點(diǎn)而垂直坐標(biāo)軸的直線與拋物線的交點(diǎn)的連線叫做拋物線的OyxOyx5.直線與拋物線相交形成的弦長計(jì)算公式：_______________________________*6.焦點(diǎn)弦：AB為的焦點(diǎn)弦，Ａ（，）Ｂ（，），弦中點(diǎn)M.（1）（2）;（3）弦長（α為AB的傾斜角）X1+X2≥2=p,即當(dāng)X1=X2時(shí)，通徑最短為2p*7.點(diǎn)P和拋物線的關(guān)系（1）P在拋物線內(nèi)（含焦點(diǎn)）________________（2）P在拋物線上________________（3）P在拋物線外________________8.標(biāo)點(diǎn)拋物線上的點(diǎn)可標(biāo)為或或圓錐曲線的應(yīng)用知識精講：涉及圓錐曲線上的點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形，常用第一定義結(jié)合正余弦定理；涉及焦點(diǎn)、準(zhǔn)線、圓錐曲線上的點(diǎn)，常用統(tǒng)一的定義。橢圓的定義：點(diǎn)集M={P||PF1|+|PF2|=2a，2a＞|F1