2025版高考數(shù)學一輪復習第十一章計數(shù)原理概率隨機變量及分布列第8講n次獨立重復試驗與二項分布教案理含解析新人教A版

PAGEPAGE6第8講n次獨立重復試驗與二項分布基礎學問整合1．條件概率及其性質(zhì)2．事務的相互獨立(1)設A，B為兩個事務，假如P(AB)＝eq\o(□,\s\up5(05))P(A)·P(B)，那么稱事務A與事務B相互獨立．(2)假如事務A與B相互獨立，那么eq\o(□,\s\up5(06))A與eq\o(□,\s\up5(07))eq\x\to(B)，eq\o(□,\s\up5(08))eq\x\to(A)與eq\o(□,\s\up5(09))B，eq\o(□,\s\up5(10))eq\x\to(A)與eq\o(□,\s\up5(11))eq\x\to(B)也都相互獨立．3．獨立重復試驗與二項分布(1)獨立重復試驗在相同條件下重復做的n次試驗稱為n次獨立重復試驗，即若用Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次試驗結(jié)果，則P(A1A2A3…An)＝eq\o(□,\s\up5(12))P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)．(2)二項分布在n次獨立重復試驗中，設事務A發(fā)生的次數(shù)為X，在每次試驗中事務A發(fā)生的概率為p，那么在n次獨立重復試驗中，事務A恰好發(fā)生k次的概率為P(X＝k)＝eq\o(□,\s\up5(13))Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)，此時稱隨機變量X聽從二項分布，記作X～B(n，p)，并稱p為勝利概率．1．A，B中至少有一個發(fā)生的事務為A∪B.2．A，B都發(fā)生的事務為AB.3．A，B都不發(fā)生的事務為eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－)).4．A，B恰有一個發(fā)生的事務為(Aeq\o(B,\s\up6(－)))∪(eq\o(A,\s\up6(－))B)．5．A，B至多一個發(fā)生的事務為(Aeq\x\to(B))∪(eq\x\to(A)B)∪(eq\x\to(A)eq\x\to(B))．1．甲射擊命中目標的概率為0.75，乙射擊命中目標的概率為eq\f(2,3)，當兩人同時射擊同一目標時，該目標被擊中的概率為()A.eq\f(1,2)B．1C.eq\f(11,12)D.eq\f(5,6)答案C解析1－eq\f(1,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(11,12)，選C.2．由0,1組成的三位編號中，若用A表示“其次位數(shù)字為0的事務”，用B表示“第一位數(shù)字為0的事務”，則P(A|B)＝()A.eq\f(1,2)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,8)答案A解析因為第一位數(shù)字可為0或1，所以第一位數(shù)字為0的概率P(B)＝eq\f(1,2)，第一位數(shù)字為0且其次位數(shù)字也是0，即事務A，B同時發(fā)生的概率P(AB)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,4)，所以P(A|B)＝eq\f(PAB,PB)＝eq\f(\f(1,4),\f(1,2))＝eq\f(1,2).3．(2024·吉林通化模擬)若ξ～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10，\f(1,2)))，則P(ξ≥2)等于()A.eq\f(1013,1024)B.eq\f(11,1024)C.eq\f(501,512)D.eq\f(507,512)答案A解析P(ξ≥2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)＝1－Ceq\o\al(0,10)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))10－Ceq\o\al(1,10)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))10＝eq\f(1013,1024).4．(2024·廣東汕頭模擬)甲、乙兩人參與“社會主義價值觀”學問競賽，甲、乙兩人能榮獲一等獎的概率分別為eq\f(2,3)和eq\f(3,4)，甲、乙兩人是否獲得一等獎相互獨立，則這兩個人中恰有一人獲得一等獎的概率為()A.eq\f(3,4)B.eq\f(2,3)C.eq\f(5,7)D.eq\f(5,12)答案D解析依據(jù)題意，恰有一人獲得一等獎就是甲獲獎乙沒獲獎或甲沒獲獎乙獲獎，則所求概率是eq\f(2,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,4)))＋eq\f(3,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))＝eq\f(5,12).故選D.5．(2024·福建廈門模擬)袋中裝有2個紅球，3個黃球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，則3次中恰有2次抽到黃球的概率是()A.eq\f(2,5)B.eq\f(3,5)C.eq\f(18,125)D.eq\f(54,125)答案D解析袋中裝有2個紅球，3個黃球，有放回地抽取3次，每次抽取1球，每次取到黃球的概率P1＝eq\f(3,5)，∴3次中恰有2次抽到黃球的概率是P＝Ceq\o\al(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))＝eq\f(54,125).6．袋中有紅、黃、藍球各1個，從中有放回地每次任取1個，直到取到紅球為止，則第4次首次取到紅球的概率為()A.eq\f(9,80)B.eq\f(8,81)C.eq\f(3,82)D.eq\f(8,27)答案B解析前3次都取不到紅球的概率為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3，第4次首次取到紅球的概率為eq\f(1,3)，4個獨立事務同時發(fā)生的概率為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3×eq\f(1,3)＝eq\f(8,81).核心考向突破考向一條件概率例1(1)(2024·大慶模擬)從1,2,3,4,5中任取2個不同的數(shù)，事務A＝“取到的2個數(shù)之和為偶數(shù)”，事務B＝“取到的2個數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)＝()A.eq\f(1,8)B.eq\f(1,4)C.eq\f(2,5)D.eq\f(1,2)答案B解析P(A)＝eq\f(C\o\al(2,3)＋C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(2,5)，P(B)＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(1,10)，又A?B，則P(AB)＝P(B)＝eq\f(1,10)，所以P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(PB,PA)＝eq\f(1,4).(2)(2024·江西南昌模擬)口袋中裝有大小、形態(tài)相同的紅球2個，白球3個，黃球1個，甲從中不放回地逐一取球，已知第一次取得紅球，則其次次取得白球的概率為________．答案eq\f(3,5)解析口袋中裝有大小形態(tài)相同的紅球2個，白球3個，黃球1個，甲從中不放回地逐一取球，設事務A表示“第一次取得紅球”，事務B表示“其次次取得白球”，則P(A)＝eq\f(2,6)＝eq\f(1,3)，P(AB)＝eq\f(2,6)×eq\f(3,5)＝eq\f(1,5)，∴第一次取得紅球后，其次次取得白球的概率為P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(1,5),\f(1,3))＝eq\f(3,5).觸類旁通條件概率的求法(1)定義法：先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)求P(B|A)．即時訓練1.某個電路開關閉合后會出現(xiàn)紅燈或綠燈閃耀，已知開關第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的概率為eq\f(1,2)，兩次閉合后都出現(xiàn)紅燈的概率為eq\f(1,5)，則在第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的條件下其次次閉合后出現(xiàn)紅燈的概率為()A.eq\f(1,10)B.eq\f(1,5)C.eq\f(2,5)D.eq\f(1,2)答案C解析設“開關第一次閉合后出現(xiàn)紅燈”為事務A，“其次次閉合后出現(xiàn)紅燈”為事務B，則由題意可得P(A)＝eq\f(1,2)，P(AB)＝eq\f(1,5)，則在第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的條件下其次次閉合出現(xiàn)紅燈的概率是P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(1,5),\f(1,2))＝eq\f(2,5).故選C.2．有一批種子的發(fā)芽率為0.9，出芽后的幼苗成活率為0.8，在這批種子中，隨機抽取一粒，則這粒種子能成長為幼苗的概率為________．答案0.72解析設種子發(fā)芽為事務A，種子成長為幼苗為事務AB(發(fā)芽，又成活為幼苗)，出芽后的幼苗成活率為P(B|A)＝0.8，P(A)＝0.9，由P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)，得P(AB)＝P(B|A)·P(A)＝0.9×0.8＝0.72.故這粒種子成長為幼苗的概率為0.72.考向二相互獨立事務的概率例2(2024·天津高考)從甲地到乙地要經(jīng)過3個十字路口，設各路口信號燈工作相互獨立，且在各路口遇到紅燈的概率分別為eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4).(1)記X表示一輛車從甲地到乙地遇到紅燈的個數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望；(2)若有2輛車獨立地從甲地到乙地，求這2輛車共遇到1個紅燈的概率．解(1)隨機變量X的全部可能取值為0,1,2,3.P(X＝0)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＝eq\f(1,4)，P(X＝1)＝eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\f(1,4)＝eq\f(11,24)，P(X＝2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)))×eq\f(1,3)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))×eq\f(1,4)＋eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,4)))＝eq\f(1,4)，P(X＝3)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)×eq\f(1,4)＝eq\f(1,24).所以隨機變量X的分布列為隨機變量X的數(shù)學期望E(X)＝0×eq\f(1,4)＋1×eq\f(11,24)＋2×eq\f(1,4)＋3×eq\f(1,24)＝eq\f(13,12).(2)設Y表示第一輛車遇到紅燈的個數(shù)，Z表示其次輛車遇到紅燈的個數(shù)，則所求事務的概率為P(Y＋Z＝1)＝P(Y＝0，Z＝1)＋P(Y＝1，Z＝0)＝P(Y＝0)P(Z＝1)＋P(Y＝1)P(Z＝0)＝eq\f(1,4)×eq\f(11,24)＋eq\f(11,24)×eq\f(1,4)＝eq\f(11,48).所以這2輛車共遇到1個紅燈的概率為eq\f(11,48).觸類旁通求相互獨立事務同時發(fā)生的概率的方法(1)相互獨立事務同時發(fā)生的概率等于他們各自發(fā)生的概率之積；eq\a\vs4\al(2當正面計算較困難或難以入手時，可從其對立事務入手計算.)即時訓練3.某乒乓球俱樂部派甲、乙、丙三名運動員參與某運動會的單打資格選拔賽，本次選拔賽只有出線和未出線兩種狀況．規(guī)定一名運動員出線記1分，未出線記0分．假設甲、乙、丙出線的概率分別為eq\f(2,3)，eq\f(3,4)，eq\f(3,5)，他們出線與未出線是相互獨立的．(1)求在這次選拔賽中，這三名運動員至少有一名出線的概率；(2)記在這次選拔賽中，甲、乙、丙三名運動員的得分之和為隨機變量ξ，求隨機變量ξ的分布列和數(shù)學期望E(ξ)．解(1)記“甲出線”為事務A，“乙出線”為事務B，“丙出線”為事務C，“甲、乙、丙至少有一名出線”為事務D，則P(D)＝1－P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－))eq\o(C,\s\up6(－)))＝1－eq\f(1,3)×eq\f(1,4)×eq\f(2,5)＝eq\f(29,30).(2)由題意可得，ξ的全部可能取值為0,1,2,3，則P(ξ＝0)＝P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－))eq\o(C,\s\up6(－)))＝eq\f(1,3)×eq\f(1,4)×eq\f(2,5)＝eq\f(1,30)；P(ξ＝1)＝P(Aeq\o(B,\s\up6(－))eq\o(C,\s\up6(－)))＋P(eq\o(A,\s\up6(－))Beq\o(C,\s\up6(－)))＋P(eq\o(A,\s\up6(－))eq\o(B,\s\up6(－))C)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,4)×eq\f(2,5)＋eq\f(1,3)×eq\f(3,4)×eq\f(2,5)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,4)×eq\f(3,5)＝eq\f(13,60)；P(ξ＝2)＝P(ABeq\o(C,\s\up6(－)))＋P(Aeq\o(B,\s\up6(－))C)＋P(eq\o(A,\s\up6(－))BC)＝eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×eq\f(2,5)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,4)×eq\f(3,5)＋eq\f(1,3)×eq\f(3,4)×eq\f(3,5)＝eq\f(9,20)；P(ξ＝3)＝P(ABC)＝eq\f(2,3)×eq\f(3,4)×eq\f(3,5)＝eq\f(3,10).所以ξ的分布列為E(ξ)＝0×eq\f(1,30)＋1×eq\f(13,60)＋2×eq\f(9,20)＋3×eq\f(3,10)＝eq\f(121,60).考向三獨立重復試驗與二項分布例3(2024·重慶模擬)為了應對新疆暴力恐怖活動，重慶市警方從武警訓練基地選擇反恐警察，從體能、射擊、反應三項指標進行檢測，假如這三項中至少有兩項通過即可入選．假定某基地有4名武警戰(zhàn)士(分別記為A，B，C，D)擬參與選擇，且每人能通過體能、射擊、反應的概率分別為eq\f(2,3)，eq\f(2,3)，eq\f(1,2).這三項測試能否通過相互之間沒有影響．(1)求A能夠入選的概率；(2)規(guī)定：按入選人數(shù)得訓練經(jīng)費，每入選1人，則相應的訓練基地得到5000元的訓練經(jīng)費，求該基地得到訓練經(jīng)費的分布列與數(shù)學期望(期望精確到個位)．解(1)設A通過體能、射擊、反應分別記為事務M，N，P，則A能夠入選包含以下幾個互斥事務：MNeq\o(P,\s\up6(－))，Meq\o(N,\s\up6(－))P，eq\o(M,\s\up6(－))NP，MNP，∴P(A)＝P(MNeq\o(P,\s\up6(－)))＋P(Meq\o(N,\s\up6(－))P)＋P(eq\o(M,\s\up6(－))NP)＋P(MNP)＝eq\f(2,3)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(2,3)×eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＋eq\f(2,3)×eq\f(2,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(12,18)＝eq\f(2,3).(2)記ξ表示該訓練基地入選人數(shù)，則得到的訓練經(jīng)費為η＝5000ξ，又ξ的可能取值為0,1,2,3,4，∴P(ξ＝0)＝Ceq\o\al(0,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))0eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))4＝eq\f(1,81)，P(ξ＝1)＝Ceq\o\al(1,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))3＝eq\f(8,81)，P(ξ＝2)＝Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2＝eq\f(24,81)＝eq\f(8,27)，P(ξ＝3)＝Ceq\o\al(3,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))1＝eq\f(32,81)，P(ξ＝4)＝Ceq\o\al(4,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))4eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))0＝eq\f(16,81).∴ξ的分布列為觸類旁通求解獨立重復試驗概率時應留意的問題(1)概率模型是否滿意公式Pn(k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k的三個條件：①在一次試驗中某事務A發(fā)生的概率是一個常數(shù)p；②n次試驗不僅是在完全相同的狀況下進行的重復試驗，而且各次試驗的結(jié)果是相互獨立的；③該公式表示n次試驗中事務A恰好發(fā)生了k次的概率．2獨立重復試驗是相互獨立事務的特例概率公式也是如此，就像對立事務是互斥事務的特例一樣，只要有“恰好”字樣的題用獨立重復試驗的概率公式計算更簡潔，就像有“至少”或“至多”等字樣的題用對立事務的概率公式計算更簡潔一樣.即時訓練4.某學校為了豐富學生的課余生活，以班級為單位組織學生開展古詩詞背誦競賽，隨機抽取一首，背誦正確加10分，背誦錯誤減10分，且背誦結(jié)果只有“正確”和“錯誤”兩種．其中某班級學生背誦正確的概率p＝eq\f(2,3)，記該班級完成n首背誦后的總得分為Sn.(1)求S6＝20且Si≥0(i＝1,2,3)的概率；(2)記ξ＝|S5|，求ξ的分布列及數(shù)學期望．解(1)當S6＝20時，即背誦6首后，正確的有4首，錯誤的有2首．由Si≥0(i＝1,2,3)可知，若第一首和其次首背誦正確，則其余4首可隨意背誦正確2首；若第一首背誦正確，其次首背誦錯誤，第三首背誦正確，則其余3首可隨意背誦正確2首．則所求的概率P＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2×Ceq\o\al(2,4)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))2×eq\b\lc\