2025版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第八章立體幾何第2講空間幾何體的表面積和體積配套課時(shí)作業(yè)理含解析新人教A版

PAGEPAGE1第2講空間幾何體的表面積和體積配套課時(shí)作業(yè)1．(2024·四川成都摸底測(cè)試)如圖，一個(gè)三棱錐的三視圖均為直角三角形．若該三棱錐的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為()A．4π B．16πC．24π D．25π答案C解析由三視圖知該幾何體是一個(gè)三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐，三條側(cè)棱長(zhǎng)分別為2,2,4，將該三棱錐補(bǔ)成一個(gè)長(zhǎng)方體，可知該三棱錐的外接球直徑就是長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，所以外接球直徑2R＝eq\r(22＋22＋42)＝2eq\r(6)，則R＝eq\r(6)，故該球的表面積為4πR2＝24π，故選C.2．如圖所示，某幾何體的正視圖(主視圖)是平行四邊形，左視圖(側(cè)視圖)和俯視圖都是矩形，則該幾何體的體積為()A．6eq\r(3) B．9eq\r(3)C．12eq\r(3) D．18eq\r(3)答案B解析由三視圖，得該幾何體為一平行六面體，底面是邊長(zhǎng)為3的正方形，高h(yuǎn)＝eq\r(22－12)＝eq\r(3)，所以該幾何體的體積V＝3×3×eq\r(3)＝9eq\r(3).3．(2024·全國卷Ⅱ)下圖是由圓柱與圓錐組合而成的幾何體的三視圖，則該幾何體的表面積為()A．20π B．24πC．28π D．32π答案C解析由三視圖可得圓錐的母線長(zhǎng)為eq\r(22＋2\r(3)2)＝4，∴S圓錐側(cè)＝π×2×4＝8π.又S圓柱側(cè)＝2π×2×4＝16π，S圓柱底＝4π，∴該幾何體的表面積為8π＋16π＋4π＝28π.故選C.4．正三棱柱的底面邊長(zhǎng)為eq\r(3)，側(cè)棱長(zhǎng)為2，且三棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，則該球的表面積為()A．4π B．8πC．12π D．16π答案B解析由正弦定理得eq\f(\r(3),sin60°)＝2r(其中r為正三棱柱底面三角形外接圓的半徑)，∴r＝1，∴外接球的半徑R＝eq\r(12＋12)＝eq\r(2)，∴外接球的表面積S＝4πR2＝8π.故選B.5．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為2，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，其中俯視圖為扇形，則該幾何體的體積為()A.eq\f(4π,3) B.eq\f(32π,9)C.eq\f(32π,3) D.32π答案C解析由三視圖知，該幾何體的底面是圓心角為120°的扇形，故該幾何體的體積為底面半徑為4，高為6的圓錐的體積的三分之一，故所求體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,3)π×42×6＝eq\f(32π,3).故選C.6．(2024·江西七校聯(lián)考)若某空間幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積是()A．48＋π B．48－πC．48＋2π D．48－2π答案A解析該幾何體是正四棱柱挖去了一個(gè)半球，正四棱柱的底面是正方形(邊長(zhǎng)為2)，正四棱柱的高為5，半球的半徑是1，那么該幾何體的表面積S＝2×2×2＋4×2×5－π×12＋2π×12＝48＋π，故選A.7．(2024·福建福州模擬)已知圓錐的高為3，它的底面半徑為eq\r(3).若該圓錐的頂點(diǎn)與底面的圓周都在同一個(gè)球面上，則這個(gè)球的體積等于()A．eq\f(8π,3) B．eq\f(32π,3)C．16π D．32π答案B解析如圖，設(shè)球心究竟面圓心的距離為x，則球的半徑r＝3－x.由勾股定理得x2＋3＝(3－x)2，解得x＝1，故球的半徑r＝2，V球＝eq\f(4,3)πr3＝eq\f(32π,3).故選B.8．(2024·上海模擬)如圖是某幾何體的三視圖，則此幾何體的體積是()A.eq\f(11,3) B.eq\f(8,3)C.eq\f(16,3) D.eq\f(22,3)答案D解析依據(jù)三視圖知此幾何體是邊長(zhǎng)為2的正方體截去一個(gè)三棱錐P－ABC剩下的部分(如圖所示)，所以此幾何體的體積為2×2×2－eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×1×2×2＝eq\f(22,3).故選D.9．一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為正方形及其一條對(duì)角線，則該幾何體的表面積為()A．36＋2eq\r(17) B．36＋2eq\r(34)C．84＋2eq\r(34) D．84＋2eq\r(17)答案C解析由三視圖可知其直觀圖如圖所示，其下方為長(zhǎng)方體，其表面積S1＝4×4＋eq\f(1,2)×4×4＋4×3×4＝72，其上方為三棱錐，其表面積S2＝eq\f(1,2)×4×3×2＋eq\f(1,2)×4eq\r(2)×eq\r(17)＝12＋2eq\r(34)，故該幾何體的表面積S＝S1＋S2＝84＋2eq\r(34)，故選C.10．(2024·黑龍江哈爾濱三中模擬)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫出的是某三棱錐的三視圖，則該幾何體的體積為()A．4 B．2C．eq\f(4,3) D．eq\f(2,3)答案D解析由三視圖可知，幾何體為三棱錐，底面為腰長(zhǎng)為2的等腰直角三角形，高為1，則該幾何體的體積為eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×2×2×1＝eq\f(2,3).故選D.11．如圖是一個(gè)幾何體的正(主)視圖和側(cè)(左)視圖，其俯視圖是面積為8eq\r(2)的矩形．則該幾何體的表面積是________．答案20＋8eq\r(2)解析這個(gè)空間幾何體是一個(gè)平放的三棱柱，由于其俯視圖是面積為8eq\r(2)的矩形，可得三棱柱的高為4.故其表面積為eq\f(1,2)×2×2×2＋2×4×2＋4×2eq\r(2)＝20＋8eq\r(2).12．已知矩形ABCD的頂點(diǎn)都在半徑為4的球O的球面上，且AB＝6，BC＝2eq\r(3)，則棱錐O－ABCD的體積為________．答案8eq\r(3)解析如圖所示，OO′垂直于矩形ABCD所在的平面，垂足為O′，連接O′B，OB，則在Rt△OO′B中，由OB＝4，O′B＝eq\f(1,2)eq\r(AB2＋BC2)＝2eq\r(3)，可得OO′＝2，∴VO－ABCD＝eq\f(1,3)S?ABCD·OO′＝eq\f(1,3)×6×2eq\r(3)×2＝8eq\r(3).13．如圖所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC為直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝CC1＝3.P是BC1上一動(dòng)點(diǎn)，若一小蟲沿其表面從點(diǎn)A1經(jīng)過點(diǎn)P爬行到點(diǎn)C，則其爬行路程的最小值為________．答案eq\r(73)解析由題意知，把面BB1C1C沿BB1綻開與面AA1B1B在一個(gè)平面上，如圖所示，連接A1C即可，則A1，P，C三點(diǎn)共線時(shí)，CP＋PA1最小，∵∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝C1C＝3，∴A1B1＝AB＝eq\r(42＋32)＝5，∴A1C1＝5＋3＝8，∴A1C＝eq\r(82＋32)＝eq\r(73).故CP＋PA1的最小值為eq\r(73).14．(2024·云南昆明聯(lián)考)已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積等于________．答案eq\f(160,3)解析由三視圖可知該幾何體是一個(gè)直三棱柱切去一個(gè)三棱錐，如圖所示，故該幾何體的體積為eq\f(1,2)×4×4×8－eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×4×4×4＝64－eq\f(32,3)＝eq\f(160,3).15．如圖所示，在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D為側(cè)棱PC上一點(diǎn)，它的正(主)視圖和側(cè)(左)視圖如圖所示．(1)求證：AD⊥平面PBC.(2)求三棱錐D－ABC的體積．解(1)證明：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，又AC⊥BC，∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AD.在Rt△PAC中，PA＝AC＝4，D為PC中點(diǎn)，∴AD⊥PC.∵BC∩PC＝C，AD?平面PBC，∴AD⊥平面PBC.(2)由三視圖，可得BC＝4，由(1)知，∠ADC＝90°，BC⊥平面PAC，又三棱錐D－ABC的體積即為三棱錐B－ADC的體積，∴VD－ABC＝VB－ADC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×4×eq\f(1,2)×4×4＝eq\f(16,3).16．(2024·四川南充模擬)已知A，B，C，D是同一球面上的四個(gè)點(diǎn)，其中△ABC是正三角形，AD⊥平面ABC，AD＝2AB＝6.求該球的體積．解如圖，將A，B，C，D“擴(kuò)展”為三棱柱，設(shè)三棱柱上、下底面的中心分別為F，E，連接FE，則FE的中點(diǎn)為該球的球心O，連接OA，上、下底面中心連線的中點(diǎn)與點(diǎn)A之間的距離為球的半徑，因?yàn)锳D＝2AB＝6，所以O(shè)E＝3，因?yàn)椤鰽BC是正三角形，所以AE＝eq\f(2,3)eq\r(AB2－\f(AB2,4))＝eq\r(3).所以AO＝eq\r(32＋\r(3)2)＝2eq\r(3).所以該球的體積為eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π·(2eq\r(3))3＝32eq\r(3)π.17．(2024·江蘇高考)現(xiàn)須要設(shè)計(jì)一個(gè)倉庫，它由上下兩部分組成，上部的形態(tài)是正四棱錐P－A1B1C1D1，下部的形態(tài)是正四棱柱ABCD－A1B1C1D1(如圖所示)，并要求正四棱柱的高O1O是正四棱錐的高PO1的4倍．(1)若AB＝6m，PO1＝2m，則倉庫的容積是多少？(2)若正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為6m，則當(dāng)PO1為多少時(shí)，倉庫的容積最大？解(1)由PO1＝2知O1O＝4PO1＝8.因?yàn)锳1B1＝AB＝6，所以正四棱錐P－A1B1C1D1的體積V錐＝eq\f(1,3)·A1Beq\o\al(2,1)·PO1＝eq\f(1,3)×62×2＝24(m3)．正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的體積V柱＝AB2·O1O＝62×8＝288(m3)．所以倉庫的容積V＝V錐＋V柱＝24＋288＝312(m3)．(2)設(shè)A1B1＝am，PO1＝hm，則0<h<6，O1O＝4h.連接O1B1.因?yàn)樵赗t△PO1B1中，O1Beq\o\al(2,1)＋POeq\o\al(2,1)＝PBeq\o\al(2,1)，所以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)a))2＋h2＝36，即a2＝2(36－h(huán)2)．于是倉庫的容積V＝V柱＋V錐＝a2·4h＋eq\f(1,3)a2