安徽省懷寧縣高河中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題（解析）

第頁，共頁2025年春高河中學(xué)高一第一次月考數(shù)學(xué)試題（考試時間：120分鐘試卷滿分：150分）第I卷（選擇題）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1.若復(fù)數(shù)z滿足為虛數(shù)單位)，則為A.3+5i B.3－5i C.－3+5i D.－3－5i【答案】A【解析】【詳解】【考點定位】本題考查復(fù)數(shù)的基本運算之一除法，其中涉及分母實數(shù)化，這是復(fù)數(shù)運算中的常考點2.在中，點D是線段AC上靠近A的一個三等分點，點E是線段AB的中點，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合平面向量基本定理和向量的加減法法則求解即可【詳解】因為在中，點D是線段AC上靠近A的一個三等分點，點E是線段AB的中點，所以，故選：A3.已知的三內(nèi)角所對的邊分別是，設(shè)向量，若，則的形狀是（）A.直角三角形 B.等腰三角形C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形【答案】D【解析】【分析】利用平面向量平行的條件得，再利用余弦定理可得邊的關(guān)系，即可得解.【詳解】由題意，向量，且，則，故，整理得到，故，故或，即或，故的形狀為等腰或直角三角形.故選：D.4.已知向量，，且．則在方向上的投影向量的坐標是（）A. B. C. D.．【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的運算及向量的坐標運算可得數(shù)量積的值，再根據(jù)投影向量的運算公式求解即可得答案.【詳解】因為，，則，所以，則，所以在方向上的投影向量為.故選：A.5.已知，，，則下列說法正確的是（）A. B.C.與的夾角為 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)向量運算和向量夾角公式，向量模依次判斷每個選項得到答案.詳解】，故，故錯誤；，故錯誤；，故，故，錯誤；，故，正確.故選：.【點睛】本題考查了向量數(shù)量積，向量夾角，向量模，意在考查學(xué)生的計算能力.6.振風(fēng)塔，坐落于安徽省安慶市迎江寺內(nèi)，原名萬佛塔，又名迎江寺塔，后取名“振風(fēng)”，享有“萬里長江第一塔”和“過了安慶不看塔”的盛譽．此塔挺拔秀麗，氣勢宏偉，共有七層，如圖，為測量振風(fēng)塔的高度，小劉取了從西到東相距104（單位：米）的A，B兩個觀測點，在A點測得振風(fēng)塔在北偏東的點D處（A，B，D在同一水平面上），在B點測得振風(fēng)塔在北偏西，樓頂C的仰角為，則振風(fēng)塔的高度（單位：米）為（）A.26 B.52 C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合直角三角形分析運算即可.【詳解】由題意可得：（米），在中，可得，則（米），在中，可得為等腰直角三角形，即（米）.故選：B.7.黃鶴樓地處蛇山之??瀕臨萬里長江，是武漢市地標建筑.已知黃鶴樓的高度約為米，在其一側(cè)有一座建筑物，在它們之間的地面上的點（三點共線）處，測得樓頂?樓頂?shù)难鼋欠謩e為和，在樓頂處測得樓頂?shù)难鼋菫?則地面上兩點之間的距離約為（）A.米 B.米 C.米 D.米【答案】B【解析】【分析】利用兩角差的余弦公式可得，由題意求出，結(jié)合正弦定理計算即可求解.【詳解】由題意得，，在中，，，所以，又米，由正弦定理，得，解得米，所以米.故選：B.8.互相垂直且有公共原點的兩條數(shù)軸構(gòu)成平面直角坐標系，但如果平面坐標系中兩條坐標軸不垂直，則這樣的坐標系稱為“斜坐標系”．如圖，設(shè)，是平面內(nèi)相交的兩條數(shù)軸，，分別是與軸，軸正方向同向的單位向量，且，過點作兩坐標軸的平行線，其在軸和軸上的截距，分別作為點的坐標和坐標，記，則該坐標系中和兩點間的距離為（）A. B.2 C. D.3【答案】A【解析】【分析】結(jié)合所給定義計算出后，結(jié)合數(shù)量積公式計算即可得.【詳解】由題意，，則，所以，所以.故選：A.二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列命題不正確是（）A.復(fù)數(shù)不可能是純虛數(shù)B.若復(fù)數(shù)，則當且僅當時，為虛數(shù)C.若是純虛數(shù)，則實數(shù)D.若，則復(fù)數(shù)為純虛數(shù)【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的分類條件，逐項判斷即可.【詳解】對于A，當，時，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，故A錯誤；對于B，當，時，，為虛數(shù)，故B錯誤；對于C，當時，為實數(shù)，故C錯誤；對于D，當時，，為純虛數(shù)，故D正確.故選：ABC.10.在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，下列結(jié)論中正確的選項有（）A.若A>B，則B.，則C.若，則定為直角三角形D.若且該三角形有兩解，則b的取值范圍是【答案】ACD【解析】【分析】利用正弦定理、余弦定理，結(jié)合各選項條件逐項求解判斷.【詳解】對于A，在中，，A正確；對于B，由余弦定理得，即，而，解得，B錯誤；對于C，由余弦定理得，整理得，為直角三角形，C正確；對于D，有兩解，則，而，因此，D正確.故選：ACD11.點在所在的平面內(nèi)，則以下說法正確的有（）A.若，則點為的外心；B.若，則點為的內(nèi)心；C.若動點滿足，則動點的軌跡一定經(jīng)過的垂心；D.若動點滿足，則動點的軌跡一定經(jīng)過的重心．【答案】AB【解析】【分析】A、B，分別假設(shè)為的內(nèi)心、外心，利用向量的幾何圖形中的關(guān)系，及向量的運算律和數(shù)量積判斷條件是否成立即可；C由正弦定理知，且，代入已知等式得，即知的軌跡一定經(jīng)過的哪種心；D由，根據(jù)數(shù)量積的運算律及向量數(shù)量積的幾何意義求的值，即知的軌跡一定經(jīng)過的哪種心；【詳解】A：若為的外心，分別為的中點，則，而，同理，又，故，故A正確；B：若為的內(nèi)心，如圖示：，同理，，，所以，，故B正確；C：由正弦定理可設(shè)，而，所以，D為BC的中點，則，即動點的軌跡一定經(jīng)過的重心，故C錯誤.D：由，故，即，動點的軌跡一定經(jīng)過的垂心，故D錯誤.故選：AB第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知向量，且，則與的夾角為__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)垂直關(guān)系可得，再代入夾角公式運算求解.【詳解】因為，若，則，即，可得，則，且，所以與的夾角為.故答案為：.13.已知復(fù)數(shù)z滿足，則的最小值為______．【答案】【解析】【分析】由復(fù)數(shù)的幾何意義，數(shù)形結(jié)合得出的最小值并求出即可.【詳解】如圖：，則的幾何意義是復(fù)平面內(nèi)的動點到定點的距離等于，對應(yīng)的軌跡為以為圓心，半徑為的圓．的幾何意義為動點到定點的距離，由圖形可知：當點位于時，取的最小值，由，所以的最小值為：，故答案為：414.折扇又名“撒扇”、“紙扇”，是一種用竹木或象牙做扇骨，韌紙或綾絹做扇面的能折疊的扇子，如圖其展開幾何圖是如圖的扇形，其中，，4，點在上包含端點，則的取值范圍是___________．【答案】【解析】【分析】利用轉(zhuǎn)化法，結(jié)合向量數(shù)量積運算、三角函數(shù)值域等知識求得正確答案．【詳解】設(shè)是的中點，連接，由于，所以三角形和三角形是等邊三角形，則四邊形是菱形，則，，由于，所以，所以，所以的取值范圍是,故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知向量.（1）若，求的值；（2）若，求實數(shù)的值；（3）若與的夾角是鈍角，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）且【解析】【分析】（1）根據(jù)向量平行的坐標運算列式求解的值，從而得模長；（2）根據(jù)向量的坐標的線性運算得的坐標，再根據(jù)向量垂直的坐標運算求解實數(shù)的值；（3）根據(jù)向量夾角與數(shù)量積的關(guān)系求解即可.【小問1詳解】因為向量，且，所以，解得，所以.【小問2詳解】因為，且，所以，解得.【小問3詳解】因為與的夾角是鈍角，則且與不共線，即且，所以且.16.已知的內(nèi)角的對邊分別為，且．（1）求角A的大小；（2）若的面積為，求的周長和外接圓的面積；【答案】（1）；（2）周長、外接圓面積分別為、.【解析】【分析】（1）由正弦邊角關(guān)系及和角正弦公式可得，再根據(jù)三角形內(nèi)角的性質(zhì)求角的大小；（2）由三角形面積公式有，應(yīng)用余弦定理得，即可求周長，再由正弦定理求外接圓半徑，進而求面積【小問1詳解】由，由正弦定理得，從而有，，則，由；【小問2詳解】因為，所以，由余弦定理得：，即，解得，所以周長為，設(shè)外接圓半徑為R，由，得，所以外接圓面積.17.為豐富學(xué)生課余活動，體育組陳老師和學(xué)生們一起做游戲：陳老師站在處，讓甲同學(xué)站在處北偏東方向，距離處km的處，并讓站在處北偏西75°的方向，距離處2km的處的乙同學(xué)以km/h的速度去追甲同學(xué)．此時，甲同學(xué)正以10km/h的速度從處向北偏東30°方向奔跑，問乙同學(xué)沿什么方向能最快追上甲同學(xué)？【答案】沿北偏東60°方向能最快追上.【解析】【分析】根據(jù)題意作出示意圖，利用正弦定理和余弦定理解三角形即可.【詳解】如圖，設(shè)乙同學(xué)需要用時在處追上甲同學(xué)，則，，在△ABC中，，，，由余弦定理，得，，由正弦定理可得，，則與正北方向成90°角．在中，,由正弦定理，得，,即乙同學(xué)沿北偏東60°方向能最快追上甲同學(xué)．18.在中，設(shè)A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知.（1）求角B的值；（2）若，判斷的形狀；（3）若為銳角三角形，且，求的面積S的取值范圍.【答案】（1）60°；（2）等邊三角形；（3）.【解析】【分析】（1）將角化邊進行化簡，然后結(jié)合余弦定理求解即可；（2）將邊化角，將正切變成正弦和余弦再進行化簡即可判斷；（3）根據(jù)條件表示邊，再利用三角形的面積公式即可求解面積的取值范圍.【小問1詳解】∵，∴由正弦定理得，即，即，即，由余弦定理得，∵，∴；【小問2詳解】∵∴，∴，∴，∴為等邊三角形.【小問3詳解】因為,由正弦定理,得所以因為為銳角三角形,則,從而,所以.19.已知為坐標原點，對于函數(shù)，稱向量為函數(shù)的相伴特征向量，同時稱函數(shù)為向量的相伴函數(shù).（1）記向量的相伴函數(shù)為，若當且時，求的值；（2）記向量的相伴函數(shù)為，若當時不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.（3）已知為的相伴特征向量，，問在的圖象上是否存在一點，使得.若存在，求出點坐標；若不存在，說明理由.【答案】（1）（2）（3）存在，點【解析】【分析】（1）根據(jù)題意結(jié)合三角恒等變換整理運算，注意以整體代入；（2）結(jié)合題意整理可得恒成立，分類討論結(jié)合參變分離分析運算；（3）根據(jù)題意可得，整理得，設(shè)點結(jié)合，整理運算．【小問1