福建省泉州市南安市僑光中學2024-2025學年高一下學期4月月考數(shù)學試題（解析版）

第頁，共頁僑光中學2025年春季高一年第1次階段考數(shù)學試卷（考試時間：120分鐘滿分：150分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.下列不能化簡為的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用向量的加減法及運算性質(zhì)，即可得到答案.【詳解】對于A，，故A不符合題意；對于B，，故B不符合題意；對于C，，故C不符合題意；對于D，，故D符合題意.故選：D．2.已知角的頂點在坐標原點，始邊與軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)任意角的三角函數(shù)的定義求出，再化簡可求得結(jié)果.【詳解】由題意得，所以.故選：B3.設(shè)，向量，且，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由向量垂直得，再利用向量夾角的坐標運算求解即可.【詳解】因為，又，所以，得到，所以，得到，所以.故選：D4.如圖，在中，設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】結(jié)合圖形由向量的線性運算可得.【詳解】因為，所以，，又因為，所以，所以，故選：C.5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由條件根據(jù)二倍角余弦公式可求，再結(jié)合誘導(dǎo)公式求.【詳解】因為，所以，即，所以．故選：D．6.已知，若與的夾角為120°，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)投影向量的定義，結(jié)合數(shù)量積的運算即可求解.【詳解】，在上投影向量為，故選：C7.已知中，，，則此三角形為（）A直角三角形 B.等邊三角形C.鈍角三角形 D.等腰直角三角形【答案】B【解析】【分析】根據(jù)即可得為等腰三角形，又因為可知，所以為等邊三角形.【詳解】如下圖所示：設(shè)M為AC中點，則，所以，即為等腰三角形，又，所以，即，所以，可得，綜上可知三角形為等邊三角形.故選：B.8.定義運算：，將函數(shù)的圖像向左平移個單位，所得圖像對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則的可能取值是（

）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意結(jié)合輔助角公式可得，根據(jù)圖像變換結(jié)合誘導(dǎo)公式可得，運算求解即可.【詳解】由題意可得：，將函數(shù)的圖像向左平移個單位，所得，因為為偶函數(shù)，則，解得，可得，結(jié)合選項可知：B正確，ACD錯誤.故選：B.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.下列選項中，值為的是（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】選項A利用二倍角余弦公式結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系式求解判斷；選項B利用兩角和的正弦公式求解判斷；選項C利用誘導(dǎo)公式和二倍角的正弦公式求解判斷；選項D利用二倍角的正切公式求解判斷.【詳解】選項A：，故選項A不符合題意；選項B：，故選項B符合題意；選項C：，故選項C符合題意；選項D：，故選項C符合題意.故選：BCD.10.已知函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（

）A.函數(shù)的最小正周期為2B.C.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱D.若方程在上有兩個不等實數(shù)根，則．【答案】BC【解析】【分析】首先通過圖象的最值確定的值，再根據(jù)圖象上兩點的橫坐標求出周期，進而得到的值，然后將特殊點代入函數(shù)求出的值，最后根據(jù)正弦函數(shù)的對稱軸性質(zhì)以及方程根的對稱性來逐一分析選項.【詳解】由函數(shù)圖象可知，表示振幅，所以.

函數(shù)的圖象過點和，這兩點間的距離是個周期，即，那么，故A錯誤；

根據(jù)正弦型函數(shù)的周期公式（），可得，所以.

把點代入中，得到，即.因為，所以，，解得，故B正確；由上分析可得：.

令，解得.當時，，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，故C正確；函數(shù)的圖象在上，其對稱軸為，即.若方程在上有兩個不等實數(shù)根，根據(jù)正弦函數(shù)圖象的對稱性可知.所以，故D錯誤.

故選：BC.11.中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，為的面積，且，，下列選項正確的是（）A.B.若，則只有一解C.若為銳角三角形，則取值范圍是D.若為邊上的中點，則的最大值為【答案】ABD【解析】【分析】利用平面向量數(shù)量積公式及三角形面積公式可判定A，直接解三角形可判定B，利用角的范圍結(jié)合正弦定理可判定C，利用平面向量中線的性質(zhì)及數(shù)量積公式結(jié)合余弦定理、基本不等式可判定D.【詳解】對于A，因為，所以，則，因為，所以，故A正確；對于B，因，則，，故只有一解，故B正確；對于C，若為銳角三角形，則，，則，則，即，由正弦定理可知：，故C錯誤；對于D，若D為邊上的中點，則，所以由余弦定理知，得，又，所以，當且僅當時取得等號，所以，即，故D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.某扇形的圓心角為，弧長為，則該扇形的半徑為______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)扇形的弧長公式進行計算即可.【詳解】若扇形圓心角為，半徑為，則弧長為：.所以扇形的半徑為.故答案為：13.在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．若，則__________【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意整理可得，結(jié)合余弦定理即可得結(jié)果.【詳解】因為，整理可得，則，且，所以.故答案為：.14.已知函數(shù)區(qū)間內(nèi)沒有零點，則的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)周期性可得，以為整體，結(jié)合題意可得其取值范圍，再結(jié)合正弦函數(shù)零點運算求解.【詳解】設(shè)函數(shù)的最小正周期為，根據(jù)函數(shù)周期性可知：，即，且，則，可得，因為，則，且，因為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)沒有零點，可知在區(qū)間內(nèi)沒有零點，可得πω+π3>π32所以的取值范圍是.故答案為：.四、解答題（本題共5小題，共77分）15.已知向量.（1）若，求實數(shù)；（2）若向量與所成角為銳角，求實數(shù)的范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先根據(jù)向量坐標運算得，結(jié)合，求得實數(shù)；（2）根據(jù)向量與所成角為銳角，，解得.結(jié)合時，可得實數(shù)的范圍.【小問1詳解】，，解得【小問2詳解】由（1）知，，向量與所成角為銳角，，解得.又當時，，可得實數(shù)的范圍為.16.已知的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，且．（1）求角的大??；（2）若，，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式可求的值，進而求角.（2）利用余弦定理求邊，再利用三角形的面積公式求面積.【小問1詳解】因為，由正弦定理可得：，所以，因為，所以.又，所以.【小問2詳解】由余弦定理得：，又，所以.所以.17.已知函數(shù)，,的最小正周期是（1）求函數(shù)的解析式，并求函數(shù)在上的單調(diào)增區(qū)間；（2）將圖象上的所有點向右平移個單位長度，并把圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），得到的圖象.已知圖象的一個對稱中心為，求的最小值；（3）在（2）的條件下，當取最小值時，若對，關(guān)于的方程恰有兩個實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1），.（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)周期公式可解得，從而得出解析式，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求得增區(qū)間；（2）根據(jù)伸縮平移變換可得的解析式，結(jié)合為對稱中心，從而求得的最小值；（3）在（2）條件下結(jié)合，利用三角函數(shù)的圖象性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合即可得解.【小問1詳解】因為，所以，所以因為，所以，當時，即時函數(shù)單調(diào)遞增，當時，即時，函數(shù)單調(diào)遞減.故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為：.【小問2詳解】由題意，的圖象向右平移個單位，再將圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的（縱坐標不變），可得的圖象，依題意，，解得，因，則當時，此時的最小值為.【小問3詳解】當取最小值時，，當時，，此時，因恰有兩個實數(shù)根，故與的圖象有兩個交點，結(jié)合圖象可知，即，.18.如圖，在直角梯形中，，，，是的中點.（1）求；（2）連接，交于點，求；（3）若，，，…，為邊上的等分點，當時，求的值.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）建立合適的直角坐標系，再求出相關(guān)向量，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標公式即可；（2）設(shè)，，根據(jù)向量坐標運算得到方程組，解出，最后利用向量模的坐標公式即可；（3）首先證明，最后轉(zhuǎn)化為求解即可.【小問1詳解】因為，所以以為坐標原點，為軸，為軸，建立如圖所示平面直角坐標系，則，，所以.【小問2詳解】設(shè)，，，所以，所以，所以，解得，所以.【小問3詳解】在中，因為為中點，所以，又因為是邊的101等分點，，所以，所以由（2）得，所以，所以.19.在路邊安裝路燈，燈柱與地面垂直(滿足)，燈桿與燈柱所在平面與道路垂直，且，路燈采用錐形燈罩，射出的光線如圖中陰影部分所示，已知，路寬.設(shè)燈柱高，.（1）當時，求四邊形的面積；（2）求燈柱的高(用表示)；（3）若燈桿與燈柱所用材料相同，記此用料長度和為，求關(guān)于的函數(shù)表達式，并求出的最小值.【答案】（1）；（2）；（3）；.【解析】【分析】（1）計算，，得為正三角形，分別求出和的面積，