廣東省中山市桂山中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期4月月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

第頁，共頁中山市桂山中學(xué)2026屆高二年級4月段考檢測題一、單選題（本大題共8題，每小題5分，共計(jì)40分.每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是最符合題目要求的）1.如果函數(shù)在處的導(dǎo)數(shù)為1，那么（）A. B.1 C.2 D.【答案】A【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義求解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以．故選：A．2.已知的展開式中含的項(xiàng)的系數(shù)為，則等于（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】，令，可得解得.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的運(yùn)用，屬于容易題.3.將2個(gè)相同的紅球和2個(gè)相同的黑球放入兩個(gè)不同的盒子中，每個(gè)盒子中至少放1個(gè)球，則不同的放法有（）A.5種 B.6種 C.7種 D.8種【答案】C【解析】【分析】先從球的個(gè)數(shù)分類，再求出每類放球的方法，結(jié)合分類加法計(jì)數(shù)原理可得答案.【詳解】若兩個(gè)盒子中都放入2個(gè)球，則有3種不同的方法；若一個(gè)盒子中放1個(gè)球，另一個(gè)盒子中放3個(gè)球，則有4種不同的方法．故不同的放法有7種．故選：C4函數(shù)有（）A.極大值為5，無極小值 B.極小值為，無極大值C.極大值為5，極小值為 D.極大值為5，極小值為【答案】A【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)可求出結(jié)果.【詳解】,由，得，由，得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在時(shí)，取得極大值，無極小值.故選：A5.平面直角坐標(biāo)系上的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)，每次向右或向上移動(dòng)1個(gè)單位長度，則移動(dòng)8次后，質(zhì)點(diǎn)恰好位于點(diǎn)的移動(dòng)方式有（）A.56種 B.70種 C.210種 D.1680種【答案】B【解析】【分析】應(yīng)用組合數(shù)公式列式求解.【詳解】由題可知，該質(zhì)點(diǎn)向右移動(dòng)4個(gè)單位長度，向上移動(dòng)4個(gè)單位長度，共有種移動(dòng)方式．故選：B6.展開式中的系數(shù)為A.15 B.20 C.30 D.35【答案】A【解析】【詳解】分析：由題意，二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為，得到展開式的的項(xiàng)，即可得到結(jié)果.詳解：由題意，二項(xiàng)式的展開式的通項(xiàng)為，所以展開式的的項(xiàng)為，所以展開式的的系數(shù)為，故選A.點(diǎn)睛：本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，其中熟記二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)是解答的關(guān)鍵，著重考查了考生的推理與運(yùn)算能力.7.給圖中五個(gè)區(qū)域染色，有四種不同的顏色可供選擇，要求邊界有重合部分的區(qū)域（僅頂點(diǎn)與邊重合或僅頂點(diǎn)與頂點(diǎn)重合不算）染上不同的顏色，則不同的染色方法有（）A216種 B.180種 C.192種 D.168種【答案】D【解析】【分析】分別討論區(qū)域3，4，5和2，3區(qū)域的染色，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得答案.【詳解】先對3，4，5染色，有種方法，若2和3同色，則不同的染色方法有種，若2和3不同色，則不同的染色方法有種，綜上，不同的染色方法有種．故選：D.8.已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，，若對任意，都有，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定單調(diào)性并求解不等式.【詳解】令函數(shù)，由，得，又，求導(dǎo)得，函數(shù)在R上單調(diào)遞增，不等式，解得，所以不等式的解集為.故選：A二、多項(xiàng)選擇題（本大題共3題，每小題6分，共計(jì)18分.每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中有多項(xiàng)是符合題目要求的，多選或錯(cuò)選不得分）9.有4名同學(xué)報(bào)名參加三個(gè)不同的社團(tuán)，則下列說法中正確的是（）．A.每名同學(xué)限報(bào)其中一個(gè)社團(tuán)，則不同報(bào)名方法共有種B.每名同學(xué)限報(bào)其中一個(gè)社團(tuán)，則不同的報(bào)名方法共有種C.每個(gè)社團(tuán)限報(bào)一個(gè)人，則不同的報(bào)名方法共有24種D.每個(gè)社團(tuán)限報(bào)一個(gè)人，則不同的報(bào)名方法共有種【答案】AC【解析】【分析】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得答案.【詳解】對于AB選項(xiàng)，第1個(gè)同學(xué)有3種報(bào)法，第2個(gè)同學(xué)有3種報(bào)法，后面的2個(gè)同學(xué)也有3種報(bào)法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理共有種結(jié)果，A正確，B錯(cuò)誤；對于CD選項(xiàng)，每個(gè)社團(tuán)限報(bào)一個(gè)人，則第1個(gè)社團(tuán)有4種選擇，第2個(gè)社團(tuán)有3種選擇，第3個(gè)社團(tuán)有2種選擇，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理共有種結(jié)果，C正確，D錯(cuò)誤．故選：AC.10.對于函數(shù)，下列說法正確的有（）A.在處取得最小值 B.在處取得最大值C.有兩個(gè)不同零點(diǎn) D.【答案】BD【解析】【分析】利用單調(diào)性求最值判斷A,B，求零點(diǎn)判斷C，先轉(zhuǎn)換到同一單調(diào)區(qū)間內(nèi)，在比大小判斷D即可.【詳解】定義域?yàn)椋椎?，令?令，，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，則的最大值為，故A錯(cuò)誤，B正確，令，解得，可得只有一個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤，易知，且結(jié)合單調(diào)性知，即成立，故D正確.故選：BD11.已知定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是，且．若，則稱是的“增值”函數(shù)．下列函數(shù)是的“增值”函數(shù)，其中使得在上不是單調(diào)函數(shù)的是（）A. B.C. D.【答案】CD【解析】【分析】由條件得到，再結(jié)合選項(xiàng)得到，進(jìn)而逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】由，可得．對于A：由，可得：為常數(shù)，令，則，所以，則在上是減函數(shù)，故錯(cuò)誤；對于B：由可得：，常數(shù)，令，則，所以，則在上是增函數(shù)，故錯(cuò)誤；對于C，由可得：，為常數(shù)，令，則，所以，由對勾函數(shù)的單調(diào)性可知：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故正確；對于D，由可得：，為常數(shù)，令，則0，所以，令，可得，令，可得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故正確．故選：CD．三、填空題（每小題5分，共計(jì)15分）12.某學(xué)校高二（1）班上午安排語文、數(shù)學(xué)、英語、體育、物理門課，要求第一節(jié)不安排體育，語文和數(shù)學(xué)必須相鄰，則不同的排課方法共有____種．【答案】【解析】【分析】先考慮第一節(jié)安排體育課，語文和數(shù)學(xué)必須相鄰的排法種數(shù)，接下來考慮語文和數(shù)學(xué)必須相鄰的情形，求出兩種情況下不同的排課方法種數(shù)，結(jié)合間接法可得結(jié)果.【詳解】先考慮第一節(jié)安排體育課，語文和數(shù)學(xué)必須相鄰，則將數(shù)學(xué)與語文捆綁，形成一個(gè)大元素，共有種排法；接下來只考慮語文和數(shù)學(xué)必須相鄰的情形，只需將數(shù)學(xué)與語文捆綁，形成一個(gè)大元素，共有種排法.由間接法可知，不同的排法種數(shù)為種.故答案為：.13.已知的展開式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為______.【答案】512【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)列式求，再根據(jù)二項(xiàng)展開式性質(zhì)求奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和.【詳解】因?yàn)榈恼归_式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，所以從而奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式展開式中二項(xiàng)式系數(shù)及其性質(zhì)，考查基本分析與運(yùn)算能力，屬基礎(chǔ)題.14.如圖，某公園內(nèi)有一個(gè)三角形的人工湖，其中．為便于游客觀光，公園的主管部門準(zhǔn)備修建兩條觀光近和（為線段上一點(diǎn)，且異于），已知修建的單位長度費(fèi)用是修建的單位長度費(fèi)用的3倍，要使修建這兩條觀光道的費(fèi)用最低，則______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，列出關(guān)于維修費(fèi)用的函數(shù)關(guān)系式，然后求導(dǎo)得到其極值，即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)，修建的單位長度費(fèi)用為，修建總費(fèi)用為，則，令，則，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，則取得最小值．故答案為：四、解答題（共64分）15.車間有11名工人，其中5名男工是鉗工，4名女工是車工，另外兩名老師傅既能當(dāng)車工又能當(dāng)鉗工，現(xiàn)在要在這11名工人里選派4名鉗工，4名車工修理一臺機(jī)床，則有多少種選派方法？【答案】185種選派方法.【解析】【分析】方法一:設(shè)A，B代表2位老師傅，分情況利用組合數(shù)即可求解.方法二：分三種情況，5名男鉗工有4、3、2名被選上，利用組合數(shù)即可求解.方法三：4名女車工都被選上、有3名被選上或有2名被選上，利用組合數(shù)即可求解.【詳解】方法一：設(shè)A，B代表2位老師傅．A，B都不在內(nèi)的選派方法有＝5(種)，A，B都在內(nèi)且當(dāng)鉗工的選派方法有＝10(種)，A，B都在內(nèi)且當(dāng)車工的選派方法有＝30(種)，A，B都在內(nèi)且一人當(dāng)鉗工，一人當(dāng)車工的選派方法有＝80(種)，A，B有一人在內(nèi)且當(dāng)鉗工的選派方法有＝20(種)，A，B有一人在內(nèi)且當(dāng)車工的選派方法有＝40(種)，所以共有＋＋＋＋＋＝185(種)選派方法．方法二：5名男鉗工有4名被選上的方法有＋＋＝75(種)，5名男鉗工有3名被選上的方法有＋＝100(種)，5名男鉗工有2名被選上的方法有＝10(種)，所以共有75＋100＋10＝185(種)選派方法．方法三：4名女車工都被選上的方法有＋＋＝35(種)，4名女車工有3名被選上的方法有＋＝120(種)，4名女車工有2名被選上的方法有＝30(種)，所以共有35＋120＋30＝185(種)選派方法．16.已知函數(shù)在處有極值4.（1）求a，b的值；（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最值.【答案】（1），（2）最小值是，最大值是.【解析】【分析】（1）根據(jù)極值的定義得到關(guān)于，的方程組，即可求出，.（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的極值和端點(diǎn)函數(shù)值求解.【小問1詳解】，∵函數(shù)在處取得極值4，∴，，解得，，∴，經(jīng)驗(yàn)證在處取得極大值4，故，.【小問2詳解】由（1）可知，，，令，解得，令，解得或，因此在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在在時(shí)取得極小值，極小值為；在時(shí)取得極大值，極大值為，且，，經(jīng)比較，函數(shù)在區(qū)間上的最小值是，最大值是.17.求的展開式中常數(shù)項(xiàng)【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，，對于，有，且為正整數(shù)，令，則，故或或，所以常數(shù)項(xiàng)為.18.已知函數(shù)．（1）若對任意的恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）若是函數(shù)的極值點(diǎn)，求證：．【答案】（1）（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由參數(shù)分離整理不等式，并構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得新函數(shù)的最值，可得答案；（2）根據(jù)極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，可得極值點(diǎn)的取值范圍以及等量關(guān)系，整理所證的不等式，可得答案.【小問1詳解】由，則可得不等式，由，則，令，求導(dǎo)可得，令，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由題意可得.【小問2詳解】由，則，令，求導(dǎo)可得在上恒成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，由是函數(shù)的極值點(diǎn)，則，即，由，則，所以.19.定義：如果函數(shù)在定義域內(nèi)，存在極大值和極小值，且存在一個(gè)常數(shù)，使成立，則稱函數(shù)為極值可差比函數(shù)，常數(shù)稱為該函數(shù)的極值差比系數(shù)．已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，判斷是否為極值可差比函數(shù)，若是求極值差比系數(shù)，若不是說明理由；（2）是否存在使的極值差比系數(shù)為？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；（3）若，求的極值差比系數(shù)的取值范圍．【答案】（1）是極值可差比函數(shù)，；（2）不存在，理由見解析；（3）【解析】【分析】（1）按照題目所給信息，驗(yàn)證是否滿足題意即可；（2）將問題轉(zhuǎn)化為驗(yàn)證方程在范圍內(nèi)是否有解；（3）由（2）可得的極值差比為，后令，結(jié)合，將問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)值域即可.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以的極大值為，極小值為，所以，因此是極值可差比函數(shù)．其中；【小問2詳解】由題的定義域?yàn)?，，即，假設(shè)是極值可差比函數(shù)，且極值差比系數(shù)為，設(shè)的極大值點(diǎn)為，極小值點(diǎn)為.則，得，由（1）分析可得，又，則.由于.由題則有：，