江蘇省南京市2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期第一階段學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測（4月期中）數(shù)學(xué)試題

2024-2025學(xué)年度第二學(xué)期第一階段學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試卷高二數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1.本試卷考試時(shí)間為120分鐘，試卷滿分150分，考試形式閉卷.2.本試卷中所有試題必須作答在答題卡上規(guī)定的位置，否則不給分.3.答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在試卷及答題卡上.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.可以表示為（）A. B. C. D.2.若是一個(gè)單位正交基底，且向量，，則的值為（）A. B.4 C.7 D.233.今有2只紅球、3只黃球，同色球不加以區(qū)分，將這5只球排成一列，有（）種不同方法.A.24 B.18 C.12 D.104.已知三點(diǎn)不共線，對平面外任一點(diǎn)O，下列條件中能確定點(diǎn)共面的是（）A. B.C D.5.若展開式中常數(shù)項(xiàng)為60.則常數(shù)a的值為（）A.4 B.2 C.8 D.66.如圖，在四面體OABC中，M是棱OA上靠近點(diǎn)A的三等分點(diǎn)，N，P分別是BC，MN的中點(diǎn)．設(shè)，，，則向量可表示為（）A. B.C. D.7.如圖，湖面上有4個(gè)相鄰的小島A，B，C，D，現(xiàn)要建3座橋梁，將這4個(gè)小島連接起來，共有（）種不同的方案.A.10 B.12 C.16 D.248.設(shè)，則的值為（）A.128 B.-128 C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，不選或有選錯的得0分.9.已知點(diǎn)，，則（）A.為 B.線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為C.點(diǎn)B到x軸的距離為5 D.直線的一個(gè)方向向量為10.如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)E是的中點(diǎn).（）A.與平面所成角的正弦值為B.與所成角余弦值為C.點(diǎn)到直線的距離為D.和平面的距離為11.由0，1，2，3，4，5組成沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，則（）A.其中能被5整除的數(shù)有240個(gè) B.其中偶數(shù)有312個(gè)C.其中2，4相鄰的數(shù)有192個(gè) D.其中1，3不相鄰的數(shù)有372個(gè)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.設(shè)，則.13.在空間直角坐標(biāo)系中，若三點(diǎn)A（1，-1，a），B(2，a，0)，C(1，a，-2)滿足：，則實(shí)數(shù)a的值為_________.14.已知，，直線與曲線相切，則的最小值為_______.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.等比數(shù)列中的所有項(xiàng)均為整數(shù)，已知，.（1）求與前項(xiàng)和；（2）設(shè)，求數(shù)列的前10項(xiàng)的和.16.在的展開式中，前3項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列.（1）求展開式中的一次項(xiàng)；（2）證明展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)；（3）求展開式中所有的有理項(xiàng).17.某班一天的課表共安排6節(jié)課，上午4節(jié)，下午2節(jié)，每門學(xué)科都不重復(fù)，有7門學(xué)科可供選擇，它們分別是數(shù)學(xué)、語文、物理、化學(xué)、體育、生物、歷史.要求體育課必須安排進(jìn)課表，且不安排在上午前3節(jié)課.（1）共有多少種不同的課表?（2）若數(shù)學(xué)安排進(jìn)課表，且安排在上午，共有多少種不同的課表?（3）若數(shù)學(xué)、語文都安排進(jìn)課表，且都安排在上午，共有多少種不同的課表?18.如圖，直三棱柱中，是的中點(diǎn)，，.（1）求與平面所成角大小；（2）求點(diǎn)到平面的距離；（3）若為的中點(diǎn)，求二面角的正弦值.19.已知函數(shù)