遼寧省普通高中2024-2025學年高二下學期4月聯(lián)合考試數(shù)學試題（解析）

第頁，共頁2024-2025學年度下學期高二年級4月份聯(lián)合考試數(shù)學本卷滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡上，并將準考證號條形碼粘貼在答題卡的指定位置.考試結(jié)束后，將答題卡交回.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.3.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個選項中，有且只有一項是符合題目要求的）1.已知是可導(dǎo)函數(shù)，的導(dǎo)函數(shù)是，且，則（）A. B. C.3 D.-3【答案】C【解析】【分析】通過代數(shù)變換將給定的極限表達式轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)的定義形式，從而求出的值.【詳解】.故選：C2.設(shè)數(shù)列的前項積，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用數(shù)列的前項積與前項積的關(guān)系求出數(shù)列的通項公式，注意當時公式的適用性，【詳解】數(shù)列的前項積，即；所以，當時，，符合上式，當時，，由題意可得.故選：A3.冰雪同夢綻放光芒，亞洲同心共譜華章，2025年2月7日，第九屆亞洲冬季運動會在黑龍江省哈爾濱市隆重開幕.在本次運動會滑雪比賽中攝影師利用雷達干涉儀記錄了運動員的滑雪過程，由起點起經(jīng)過秒后的位移（單位：米）與時間（單位：秒）的關(guān)系為，則運動員在滑雪過程中瞬時速度為零的時刻為（）A.1秒末 B.2秒末 C.3秒末 D.4秒末【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件，利用導(dǎo)數(shù)的物理意義得，即可求解.【詳解】因為，所以，令，得，得或（舍去），所以瞬時速度為零的時刻為4秒末.故選：D4.已知首項為1的數(shù)列滿足，則（）A.2024 B. C.2025 D.【答案】B【解析】【分析】由題意得，利用累乘法可求得數(shù)列的通項公式，代入通項公式求解即可.詳解】由題意得，當時，，滿足該式，故，所以.故選：B5.的展開式中項的系數(shù)為（）A.-55 B.64 C.-80 D.124【答案】C【解析】【分析】利用二項式定理的通項公式求解即可.【詳解】展開式的通項為，，，令，得，因此展開式中項系數(shù)為.故選：C6.記為正項數(shù)列的前項和，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】令可得的值，當時，由得出，兩式作差可推導(dǎo)出數(shù)列為常數(shù)列，求出數(shù)列的通項公式，即可得解.【詳解】因為為正項數(shù)列的前項和，且，令可得，故，當時，，兩式相減得到，即，故，于是為常數(shù)列，故，故，故.故選：B.7.已知數(shù)列滿足，設(shè)甲：存在正整數(shù)，使得；乙：存在正整數(shù)，滿足，則（）A.甲和乙都是真命題 B.甲是真命題但乙是假命題C.乙是真命題但甲是假命題 D.甲和乙都是假命題【答案】A【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡可得，從而得甲是真命題，用特值法求出，結(jié)合數(shù)列的周期性即可判斷乙是真命題，從而得出結(jié)論.【詳解】對于，存在正整數(shù)，所以甲是真命題；對于，，，不妨令，故，，，又3是數(shù)列的一個周期，所以，故存在正整數(shù)，滿足，故乙是真命題，所以甲和乙都是真命題.故選：A8.已知數(shù)列和數(shù)列滿足，，則下列數(shù)列為等差數(shù)列的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的定義逐一判斷即可.【詳解】依題意，對消去，得，等價于，所以，所以是等差數(shù)列，故D正確，C錯誤；若是等差數(shù)列，則是等差數(shù)列，則是等差數(shù)列，與是公差為1的等差數(shù)列矛盾，故B錯誤；因為，故A錯誤．故選：D．二、多選題（本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題所給的四個選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分）9.下列函數(shù)求導(dǎo)運算正確的是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】【分析】利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可判斷A選項；利用導(dǎo)數(shù)的運算法則可判斷BD選項；利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可判斷C選項.【詳解】對于A，，故A正確；對于B，，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，，故D錯誤．故選：ABC．10.已知，若數(shù)列不是遞增數(shù)列，則下列數(shù)值中的可能取值為（）A.1 B. C. D.【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列的函數(shù)特性，利用單調(diào)性即可得出結(jié)論.【詳解】若數(shù)列是遞增數(shù)列，則有，而因為不是遞增數(shù)列，所以或，解得，故BD正確.故選：BD11.化學課上，老師帶同學進行酸堿平衡測量實驗，由于物質(zhì)的量濃度差異，測量酸堿度值時會造成一定的誤差，甲小組進行的實驗數(shù)據(jù)的誤差和乙小組進行的實驗數(shù)據(jù)的誤差均符合正態(tài)分布，其中，，已知正態(tài)分布密度函數(shù)，記和所對應(yīng)的正態(tài)分布密度函數(shù)分別為，，則（）A.B.乙小組的實驗誤差數(shù)據(jù)相對于甲組更集中C.D.【答案】AC【解析】【分析】由正態(tài)分布密度函數(shù)曲線的圖象及性質(zhì)可判斷A，B；利用正態(tài)分布密度函數(shù)曲線的對稱性以及原則即可判斷C，D.【詳解】由正態(tài)分布密度函數(shù)曲線可知，數(shù)據(jù)標準差越小，數(shù)據(jù)越集中在均值附近，峰值越大，反之，標準差越大，數(shù)據(jù)越分散，峰值越小.對于兩個小組的誤差，甲組的標準差，乙組的標準差，顯然甲組的標準差更小，故峰值更大，數(shù)據(jù)相對乙組更集中，故A正確，B錯誤；，，，故C正確；，，而對于任何正態(tài)分布都有，故，故D錯誤.故選：AC.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.曲線在點處的切線方程為_____.【答案】（或）【解析】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率即可寫出切線的點斜式方程.【詳解】易得，，故曲線在點處的切線方程為.故答案為：（或）13.甲、乙、丙、丁、戊、戌6名同學相約到電影院觀看電影《哪吒2》，恰好買到了六張連號且在同一排的電影票，若甲不坐在6個人的兩端，乙和丙相鄰，則不同的排列方式種數(shù)為_____.【答案】144【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用捆綁法及插空法列式求解即得.【詳解】先將乙和丙看成一個人與丁、戊、戌排列，有種排列方式，再將甲插入這四個人中間的三個空位，有種排列方式，最后考慮乙和丙的順序有種方式，故共有種排列方式.故答案為：14414.若單調(diào)遞增數(shù)列滿足，，則的取值范圍是________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)求的取值范圍.【詳解】由，可得，兩式相減可得：，又，所以..因為數(shù)列為遞增數(shù)列，所以，故.故答案為：四、解答題（本大題共5小題，共77分.解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟）15.已知數(shù)列滿足，.（1）求；（2）記為的前項和，求的最小值及此時的值.【答案】（1）（2）或13，【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求出公差，利用等差數(shù)列的通項公式列方程求；（2）根據(jù)等差數(shù)列求和公式寫出表達式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最小值.【小問1詳解】由可知數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列因為，所以，解得【小問2詳解】由（1）可得，所以當或13時，取得最小值，最小值為.16.為了響應(yīng)國家“雙減”政策，某高中將周六的作息時間由上課調(diào)整為自愿到校自主自習，經(jīng)過一個學期的實施后，從參加周六到校自主自習和未參加周六到校自主自習的學生中各隨機選取75人進行調(diào)查，得到如下列聯(lián)表：成績有進步成績沒有進步合計參加周六到校自主自習552075未參加周六到校自主自習304575合計8565150（1）依據(jù)表中數(shù)據(jù)，判斷是否有99.9%的把握認為該校學生“周六到校自主自習與成績進步”有關(guān)聯(lián)?（2）從調(diào)查的未參加周六到校自主自習的學生中，按成績是否進步采用分層隨機抽樣的方法抽取10人.若從這10人中隨機抽取2人，記為成績有進步的學生人數(shù)，求的分布列及數(shù)學期望.附：，.0.10.050.010.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）有99.9%的把握認為該校學生“周六到校自主自習與成績進步”有關(guān)聯(lián)；（2）分布列見解析，數(shù)學期望為【解析】【分析】（1）根據(jù)公式求得，再對照臨界值表即可得解.（2）按分層隨機抽樣先得到成績有進步同學和成績沒有進步同學的人數(shù)，得到的可能取值為0，1，2和對應(yīng)的概率，得到分布列和數(shù)學期望.【小問1詳解】經(jīng)計算得.所以有99.9%的把握認為該校學生“周六到校自主自習與成績進步”有關(guān)聯(lián).【小問2詳解】按分層隨機抽樣，成績有進步同學抽取4人，成績沒有進步同學抽取6人的所有可能取值是的所有可能取值為0，1，2，，，，的分布列為：012所以的期望為：.17.已知函數(shù)，若曲線在處的切線交軸于點，在處的切線交軸于點，以此類推，在.處的切線交軸于點，由此能得到一個數(shù)列，且.（1）證明：等比數(shù)列；（2）設(shè)，求的前項和.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出在處的切線方程，將點帶入切線方程得，即可判斷為等比數(shù)列；（2）寫出的通項公式，利用錯位相減法求和即可.【小問1詳解】證明：易得，在處的切線的斜率為，所以在處的切線的方程為，因為在切線上，所以，又，所以數(shù)列是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列．【小問2詳解】由（1）可得，故，故①，兩邊同時乘得②，①-②得，所以．18.2025年3月16日，我國著名乒乓球運動員王楚欽在WTT冠軍賽中奪得了男單總冠軍，這一振奮人心的消息再次點燃了全民乒乓球的激情，為此某校組織了一場乒乓球擂臺賽，其中甲、乙、丙三名同學參加了此次擂臺賽，每輪比賽都采用3局2勝制，且每局比賽的兩名同學獲勝的概率均為，首輪由甲乙兩人開始，丙輪空；第二輪由首輪的勝者與丙之間進行，首輪的負者輪空，依照這樣的規(guī)則無限地繼續(xù)下去.（1）求甲在第三輪獲勝的條件下，第二輪也獲勝的概率；（2）求第輪比賽甲輪空的概率；（3）按照以上規(guī)則，求前六輪比賽中甲獲勝局數(shù)的期望.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）由題意列出甲第三輪獲勝的基本事件，利用條件概率計算即可（2）通過尋找相鄰兩項的遞推關(guān)系等式，轉(zhuǎn)化為數(shù)列角度去構(gòu)造等比數(shù)列從而求得最終的概率.（3）分別求解每輪比賽中甲勝局數(shù)的平均值和前六輪比賽中甲參與輪數(shù)的平均值，然后相乘即可得到題目所求的前六輪比賽中甲獲勝局數(shù)的期望.【小問1詳解】甲第三輪獲勝的基本事件有{第一、二、三輪甲全勝}，{第一輪甲輸，第三輪甲勝}，設(shè)“甲在第輪獲勝”，則.【小問2詳解】設(shè)事件“第輪甲輪空”，當時，則，所以，又，所以，則是以為首項，為公比的等比數(shù)列，故，所以.【小問3詳解】設(shè)一輪比賽中甲勝的局數(shù)為，則，，，，所以，設(shè)前六輪比賽中甲參與的輪次數(shù)為，則，，，，，所以，故前六輪比賽中甲獲勝局數(shù)的期望為.19.記為數(shù)列的前項和，且為等差數(shù)列，為等比數(shù)列，，.（1）求的值；（2）探究是否存在唯一的最大項；（3）證明：.【答案】（1）（2）最大項不唯一（3）證明見解析【解析】【