2024-2025學(xué)年上海中學(xué)高一下學(xué)期數(shù)學(xué)期中試卷（含詳解）

參考答案一、填空題（12題共54分，1~6題每題4分，7~12題每題5分）1．1小時內(nèi)秒針轉(zhuǎn)過了________．（用弧度制表示）【答案】2．已知，則________．【答案】3．已知函數(shù)的圖象的一部分如下圖所示，則函數(shù)的初相為________．【答案】4．函數(shù)的圖象的對稱中心的坐標(biāo)是________．【答案】，5．已知函數(shù)，其中，若在區(qū)間上恰有2個零點(diǎn)，則的取值范圍是________．【答案】【解析】∵函數(shù)，其中，在區(qū)間上恰有2個零點(diǎn)，，∴．求得，則的取值范圍為．6．已知函數(shù)在區(qū)間上是嚴(yán)格增函數(shù)，則的取值范圍是________．【答案】【解析】由，則，由題意在上單調(diào)遞增，且，所以，則，故，綜上，，則，故．7．已知函數(shù)，，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，且函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，則的值為________．【答案】【解析】由在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，且的圖像關(guān)于直線對稱，可得，且，所以．8．已知函數(shù)，若滿足（、、互不相等），則的取值范圍是________．【答案】【解析】不妨設(shè)，畫出的圖象如下圖所示，，所以，．令，解得，所以，所以．故答案為：9．設(shè)函數(shù)的圖象與直線相交的連續(xù)的三個公共點(diǎn)從左到右依次記為，，，若，則正實(shí)數(shù)的值為________．【答案】【解析】作出函數(shù)，的大致圖象，如圖，令，，解得，，則函數(shù)的圖象與直線連續(xù)的三個公共點(diǎn)，，，（可以同時往左或往右移動正整數(shù)倍周期長度）即，關(guān)于直線，對稱，，由于，故，而，關(guān)于直線，對稱，故點(diǎn)橫坐標(biāo)為，將點(diǎn)橫坐標(biāo)代入，得．10．定義：余割。已知為正實(shí)數(shù)，且對任意的實(shí)數(shù)均成立，則的取值范圍為________．【答案】【解析】由已知可得，即．因?yàn)?，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故11．已知，順次連接函數(shù)與的任意三個相鄰的交點(diǎn)都構(gòu)成一個等腰直角三角形，則________．【答案】【解析】如圖所示，在函數(shù)與的交點(diǎn)中，，令，即，不妨取，，即，因?yàn)槿齻€相鄰的交點(diǎn)構(gòu)成一個等腰直角三角形，當(dāng)正弦值等于余弦值時，函數(shù)值為，故等腰直角三角形斜邊上的高為，即，所以，所以12．設(shè)集合有________個真子集．【答案】二、選擇題（4題共18分，13~14每題4分，15~16每題5分）13．函數(shù)的最大值為（）A．1 B． C．2 D．3【答案】A14．已知函數(shù)，則函數(shù)的部分圖象可以為（）A． B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)榈亩x域?yàn)?，且，所以為奇函?shù)，故BD錯誤；當(dāng)時，令，易得，解得，故易知的圖象在軸右側(cè)的第一個交點(diǎn)為，又，故C錯誤，A正確；15．在中，三個角、、所對的邊分別為、、，下列四個條件中有幾個是為直角三角形的充分條件（）①； ②；③； ④．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B16．已知函數(shù)，給出下列結(jié)論：①是周期函數(shù)；②在區(qū)間上是增函數(shù)；③若，則；④函數(shù)在區(qū)間上有且僅有1個零點(diǎn)．則上述結(jié)論中正確的序號為（）A．① B．①③ C．①②③ D．②③④【答案】B【解析】函數(shù)，對于①：由所以函數(shù)的最小正周期為，故①正確；對于②：由于，，，，故函數(shù)在上不是單調(diào)增函數(shù)，故②錯誤；對于③：函數(shù)）的最大值為1，若，則，所以，，，故則；故③正確；對于④：當(dāng)時，，由于，即，解得或，所以函數(shù)有兩個零點(diǎn)，故④錯誤．三．解答題（共78分，17~19每題14分，20~21每題18分）17．（本題共14分，每小問均為7分）記的內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，且．（1）求；（2）若，求外接圓面積的最小值．【答案】（1）;（2）【解析】（1）由整理得：，由正弦定理，可得即，因?yàn)椋?，即，又因?yàn)?，所以?）由正弦定理，外接圓的半徑，要使外接圓的半徑最小，只需最小，由余弦定理，，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，