離散數(shù)學(xué) 課件6.3-循環(huán)群和對稱群

第6.3節(jié)循環(huán)群和對稱群離散數(shù)學(xué)講授：李小南配套教材：李小南，易黃建，喬勝寧，離散數(shù)學(xué)，電子工業(yè)出版社，20256.3.1

循環(huán)群設(shè)Y是群X的一個非空子集，則Y未必是X的子群，但是包含Y的所有子群的交仍是X的子群，稱為由Y生成的子群，記為.顯然是X中包含Y的最小子群，Y也稱為的生成系.

由一個元素x生成的群X稱為循環(huán)群，記為，x也稱為的生成元.若群中運算用乘法表示，則即中的任意元素可以寫為(k為整數(shù));若群中運算用加法表示，則即中的任意元素可以寫為kx(k為整數(shù)).例6.3.1整數(shù)加群是無限循環(huán)群，1為其生成元.即也就是說整數(shù)加群中任何一個元素都可以通過1和加法生成.例6.3.2設(shè)n為正整數(shù)，整數(shù)加群的加法子群也是一個循環(huán)群.因為中的任何元素kn都可以通過n和加法生成，即循環(huán)群的生成元為n.也是一個無限循環(huán)群.方程的n個復(fù)數(shù)解，具體為例6.3.3n次單位根群是一個循環(huán)群.回憶例6.1.11中的n次單位根是指由復(fù)數(shù)乘法可得，即任意n次單位根都可以由

的冪運算生成.因此是生成元，n次單位根群是n階循環(huán)群.例6.3.4素數(shù)階群是循環(huán)群.設(shè)x是素數(shù)階群X(|X|=p)中的元素，由拉格朗日定理的推論可知，x的階為1或p，故是X中的不同元素.因此為循環(huán)群.證明

設(shè)Y是循環(huán)群的任一子群.當(dāng)Y={e}時，顯然Y是循環(huán)群.定理6.3.1循環(huán)群的子群仍是循環(huán)群.下設(shè)Y≠{e}.由于當(dāng)時必有，故可設(shè)為Y中a的最小正冪，于是有.另一方面，任取，令因為是Y中a的最小正冪，所以r=0.從而由式(?)可知由于，故有(?)于是又有因此定理6.3.2(1)無限循環(huán)群有無限多個子群.(2)設(shè)是n階循環(huán)群,則對n的任意正因子k(即且k|n)，X只有一個k階子群，這個子群就是.證明

(1)設(shè)，則易知是X的全部互不相同的子群，且除e外都是無限循環(huán)群，從而彼此同構(gòu).(2)設(shè)，k|n且n=kq(Ⅰ)，則，因此是X的一個k階子群.設(shè)Y也是X的一個k階子群，根據(jù)定理6.3.1可設(shè)，則.又由習(xí)題可知的階是，故，式中，(m,n)為m與n的最大公因數(shù).由式(Ⅰ)與(Ⅱ)得q=(m,n)且q|m，從而(Ⅱ)由于與的階相同，故即的k階子群是唯一的.由于，所以{}對乘法是封閉的，即變換乘法（復(fù)合映射）是{}的代數(shù)運算，乘法運算的結(jié)合律成立，單位元為，兩個元素的逆元就是自己，因此{(lán)}是X的變換群.但由于和

都不是雙射變換，故此變換群不是置換群.6.3.2

對稱群集合X的一些變換關(guān)于變換的乘法構(gòu)成的群稱為變換群；X的全體雙射變換（即置換）構(gòu)成的群稱為對稱群；若|X|=n，則稱全體雙射變換（即置換）構(gòu)成的群為n元對稱群，記為.定義6.3.1n元對稱群的子群稱為置換群.由定義可知，是置換群，而置換群是變換群.下面給出的例子是變換群而不是置換群.例6.3.5設(shè)X={1,2,3,4}，考慮兩個變換4元對稱群中有4!=24個元素，每個輪換都可以表示為對換的乘積，但表示法未必唯一.如(123)=(13)(12)=(13)(32)(32)(12)(1234)=(34)(13)(23)=(23)(13)(23)(13)(14)前面已經(jīng)指出，中的元素可分別記為(12)和(123).(12)是把1變成2，把2變成1；(123)是把1變成2，把2變成3，把3變成1，這樣的變換稱為輪換.我們可以用(

)表示一個輪換，m稱為輪換的長.長為1的輪換就是恒等變換，長為2的輪換稱為對換；沒有公共元素的若干輪換稱為不相交輪換.定理6.3.3每個置換（非輪換）都可以表示為不相交輪換的乘積；每個輪換都可以表示為對換的乘積.注意由上述定理可知，每個置換都可以表示為對換的乘積.例6.3.6雖然同一置換表示為對換的乘積時有不同的方法，但是各種方法中對換個數(shù)的奇偶性卻相同.我們有下面的定理.定理6.3.4每個置換表示為對換的乘積時，對換個數(shù)的奇偶性不變.這樣我們就可以把置換分為奇置換和偶置換.(123)是偶置換，(1234)是奇置換.有n!個元素，由于奇置換和偶置換的個數(shù)一樣多，故奇置換和偶置換各有n!/2個.的所有偶置換關(guān)于置換的乘法構(gòu)成一個群，稱為交錯群，記為.和分別為例6.3.7為的正規(guī)子群.設(shè)，下面說明.若是偶置換，例6.3.8等式顯然成立.若為奇置換，則有.由于恒等置換也是偶置換，而是奇置換，所以是奇置換.因此對任意，是偶置換，即，故，這就說明了.類似可說明.因此，.沒有非平凡正規(guī)子群的群稱為單群，即單群的正規(guī)子群只有子群{e}和其自身.由拉格朗日