5.4.1 分式方程 北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)培優(yōu)練(含答案)

5.4分式方程一、單選題1．下列關(guān)于x的方程中，屬于分式方程的是（）A． B． C． D．2．下列說法：①解分式方程一定會(huì)產(chǎn)生增根；②方程的根為2；③方程的最簡(jiǎn)公分母為；④是分式方程．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．43．將分式方程化為整式方程，正確的是（）A． B． C． D．4．若整數(shù)使得關(guān)于的方程的解為非負(fù)數(shù)，且使得關(guān)于的一元一次不等式組至少有3個(gè)整數(shù)解，則所有符合條件的整數(shù)的和為（）A．23 B．25 C．27 D．285．方程的增根為（）A．1 B．1和 C． D．06．若關(guān)于x的方程的解為正數(shù)，則m的取值范圍是（）A． B． C． D．且7．若整數(shù)a使得關(guān)于x的不等式組的解集為，且關(guān)于x的分式方程的解為整數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)a的和是（）A． B． C．1 D．28．若關(guān)于x的方程無解，則m的值是（）A． B．2 C． D．39．（2020·河北石家莊市·八年級(jí)期中）若關(guān)于x的分式方程－2＝無解，則m的值為（）A．0 B．2 C．0或2 D．無法確定10．甲乙兩港口相距千米，一艘輪船從甲港口順流航行至乙港口，又立即從乙港口逆流返回甲港口，共用去小時(shí)，已知水流速度為，若設(shè)該輪船在靜水中的速度為，則可列方程（）A． B．C． D．11．甲、乙兩地相距m千米，某人從甲地前往乙地，原計(jì)劃n小時(shí)到達(dá)，因故延遲了1小時(shí)到達(dá)，則他平均每小時(shí)比原計(jì)劃少走的千米數(shù)為（）A． B． C． D．二、填空題12．已知關(guān)于x的分式方程的解是負(fù)數(shù)，則a的取值范圍_____________．13．如果關(guān)于x的分式方程=3的解是正數(shù)，則m的取值范圍為_____．14．當(dāng)__________時(shí)，分式與相等．15．分式方程的解是________．16．已知分式方程有增根，則的值為_____．17．關(guān)于的分式方程有正數(shù)解，則的取值范圍__________．18．若關(guān)于x的分式方程的解是正數(shù)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是_________19．若分式方程有增根，則a的值是________．20．（2020·河南鄭州市·九年級(jí)月考）分式方程無解，則的值為______21．某校為了豐富學(xué)生的校園生活，準(zhǔn)備購(gòu)買一批陶笛．已知A型陶笛比B型陶笛的單價(jià)低20元，用2700元購(gòu)買A型陶笛與用4500元購(gòu)買B型陶笛的數(shù)量相同，設(shè)A型陶笛的單價(jià)為元，根據(jù)題意列出正確的方程是_______________________．22．甲、乙二人同時(shí)從A地出發(fā)，騎車20千米到B地，已知甲比乙每小時(shí)多行3千米，結(jié)果甲比乙提前20分鐘到達(dá)B地，求甲、乙二人的速度。若設(shè)甲用了x小時(shí)到達(dá)B地，則可列方程為_____________________三、解答題23．解分式方程（1）（2）（1）解方程．．（2）先化簡(jiǎn)分式（）÷，然后在0，1，2中選一個(gè)你認(rèn)為合適的a值，代入求值．25．在今年新冠肺炎防疫工作中，學(xué)校購(gòu)買了、兩種不同型號(hào)的口罩，已知型口罩的單價(jià)比型口罩的單價(jià)多元，且用元購(gòu)買型口罩的數(shù)量與用元購(gòu)買型口罩的數(shù)量相同．（1）求、兩種型號(hào)口罩的單價(jià)各是多少元？（2）根據(jù)疫情發(fā)展情況，學(xué)校還需要增加購(gòu)買一些口罩，增加購(gòu)買型口罩?jǐn)?shù)量是型口罩?jǐn)?shù)量的倍，若總費(fèi)用不超過元，求增加購(gòu)買型口罩的數(shù)量最多是多少個(gè)？26．小紅到離家2100米的學(xué)校參加藝術(shù)節(jié)聯(lián)歡會(huì)，到學(xué)校時(shí)發(fā)現(xiàn)演出道具忘在家中，此時(shí)距聯(lián)歡會(huì)開始還有45分鐘，于是她馬上步行回家取道具，隨后騎自行車返回學(xué)校．已知小紅騎自行車到學(xué)校比她從學(xué)校步行到家用時(shí)少20分鐘，且騎自行車的平均速度是步行平均速度的3倍．（1）小紅步行的平均速度（單位：米/分）是多少？（2）小紅能否在聯(lián)歡會(huì)開始前趕到學(xué)校？（通過計(jì)算說明你的理由）

參考答案1．C【分析】根據(jù)分式方程的定義即可求出答案．【詳解】解：A.是一元一次方程，故不符合題意；B.是一元一次方程，故不符合題意；C.是分式方程，故符合題意；D.是二元一次方程，故不符合題意；故選C．【點(diǎn)撥】本題考查分式方程，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式方程的定義，本題屬于基礎(chǔ)題型．2．B【分析】根據(jù)分式方程的定義、解分式方程、增根的概念及最簡(jiǎn)公分母的定義解答．【詳解】解：分式方程不一定會(huì)產(chǎn)生增根，故①錯(cuò)誤；方程的根為x=2，故②正確；方程的最簡(jiǎn)公分母為2x(x-2)，故③錯(cuò)誤；是分式方程，故④正確；故選：B．【點(diǎn)撥】此題考查分式方程的定義、解分式方程、增根的概念及最簡(jiǎn)公分母的定義，熟記各定義及正確解方程是解題的關(guān)鍵．3．D【分析】分式方程的左右兩邊同乘以最簡(jiǎn)公分母()即可．【詳解】將方程兩邊都乘以，得：，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗(yàn)．4．B【分析】表示出不等式組的解集，由不等式至少有3個(gè)整數(shù)解確定出a的值，再由分式方程的解為非負(fù)數(shù)以及分式有意義的條件求出滿足題意整數(shù)a的值，進(jìn)而求出之和．【詳解】解：，不等式組整理得：，由不等式組至少有3個(gè)整數(shù)解，得到-2＜y≤a，解得：a≥1，即整數(shù)a=1，2，3，4，5，6，…，，去分母得：2（x-2）-3=-a，解得：x=，∵≥0，且≠2，∴a≤7，且a≠3，由分式方程的解為非負(fù)數(shù)以及分式有意義的條件，得到a為1，2，4，5，6，7，之和為1+2+4+5+6+7=25．故選：B．【點(diǎn)撥】此題考查了解分式方程，以及解一元一次不等式組，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．5．A【分析】由分式方程產(chǎn)生増根，即分母等于0的x的值，然后解分式方程，即可得到答案．【詳解】解：∵增根就是分式方程無解時(shí)，未知數(shù)的值．∴將原方程化為整式方程為，解得：．故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了解分式方程，以及分式方程増根的意義，解題的關(guān)鍵是掌握解分式方程的方法進(jìn)行解題．6．D【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，表示出解，由解為正數(shù)確定出m的范圍即可．【詳解】去分母得：m-1=2x-2，解得：x=，由方程的解為正數(shù)，得到＞0，且≠1，解得：且，故答案為：且【點(diǎn)撥】此題考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．7．D【分析】先分別解不等式組里的兩個(gè)不等式，根據(jù)解集為，得出a的范圍，根據(jù)分式方程的解為整數(shù)即得到a的值，結(jié)合a的范圍即可求得符合條件的所有整數(shù)a的和．【詳解】解：關(guān)于x的不等式組解不等式①得，；解不等式②得，；∵不等式組的解集為，∴a≤2，解方程得：∵分式方程的解為整數(shù)，∴或∴a=0、2.-1.3又x≠1，∴，∴a≠-1，∴a≤2且a≠-1，則a=0、2，∴符合條件的所有整數(shù)a的和=0+2=2，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了分式方程的解以及解一元一次不等式組，根據(jù)分式方程的解為整數(shù)結(jié)合不等式組有解，找出a的值是解題的關(guān)鍵．8．D【分析】根據(jù)方程無解，得出方程有增根，利用增根的定義可求得x＝4，并把x＝4代入轉(zhuǎn)化后的整式方程m＋1?x＝0，即可求出m的值．【詳解】解：去分母得：m＋1?x＝0，∵方程無解，∴x＝4是方程的增根，∴m＝3．故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了分式方程無解問題，解題的關(guān)鍵是理解增根的定義，并能準(zhǔn)確求出增根．9．C【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程無解得到m-2=0或x-3=0，求出x的值，代入整式方程即可求出m的值．【詳解】方程兩邊都乘以（x-3）得：整理得：（m-2）x=2m-6，由分式方程無解，一種情況是未知數(shù)系數(shù)為0得：m-2=0，m=2，一種情況是方程有增根得：x?3=0，即x=3，把x=3代入整式方程得：m=0，故選擇：C．【點(diǎn)撥】本題考查分式方程的無解問題，解題的關(guān)鍵是掌握分式方程的解題步驟以及對(duì)分式方程無根的理解．10．A【分析】根據(jù)等量關(guān)系為：順流時(shí)間+逆流時(shí)間=8小時(shí)列出方程求解即可．【詳解】解：順流時(shí)間為：；逆流時(shí)間為：．所列方程為：故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程，解題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程．11．C【分析】首先求出原計(jì)劃速度和實(shí)際速度，然后用原計(jì)劃速度-實(shí)際速度即可求解．【詳解】∵實(shí)際速度為，原計(jì)劃速度為，∴實(shí)際每小時(shí)比原計(jì)劃少走千米，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用，屬于路程問題，重點(diǎn)是掌握路程速度時(shí)間三者的關(guān)系．12．且【分析】先解分式方程得到x=a+1，根據(jù)方程的解是負(fù)數(shù)，列不等式a+1<0，且a+20，求解即可得到答案．【詳解】解：a+2=x+1x=a+1，∵方程的解是負(fù)數(shù)，x≠-1∴a+1<0，且a+20， 解得a<-1，且a-2，故答案為：且．【點(diǎn)撥】此題考查解分式方程，根據(jù)分式方程的解的情況求參數(shù)的取值范圍，解題中考慮分式的分母不等于0的情況．13．【分析】方程兩邊同乘以x+1，化為整式方程，求得x，再列不等式得出m的取值范圍．【詳解】解：，方程兩邊同乘以x+1，得：，解得：，∵分式方程=3的解是正數(shù)，∴，∴.故答案為：.【點(diǎn)撥】本題考查了分式方程的解，分式的分母不能為0，此題是一道易錯(cuò)題，有點(diǎn)難度．14．9【分析】由題意可得：，再去分母，解方程并檢驗(yàn)即可得到答案．【詳解】解：由題意得：經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的根，當(dāng)時(shí)，分式與相等．故答案為：【點(diǎn)撥】本題考查的是分式方程的應(yīng)用，掌握解分式方程的方法是解題的關(guān)鍵．15．-1【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．【詳解】解：去分母得：x-1=2x，解得：x=-1，經(jīng)檢驗(yàn)x=-1是分式方程的解，故答案為：x=-1．【點(diǎn)撥】此題考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．解分式方程一定注意要驗(yàn)根．16．-0.6【分析】根據(jù)題意去分母以及由分式方程有增根求出x，并代入整式方程進(jìn)行計(jì)算即可得出的值．【詳解】解：去分母得：x+x﹣3=﹣5m，由分式方程有增根，得到x﹣3=0，即x=3，把x=3代入整式方程得：3+3﹣3=﹣5m，解得：m=﹣0.6．故答案為：-0.6．【點(diǎn)撥】本題考查分式方程有增根的求參問題，熟練掌握分式方程有增根的情況即分母為零是解題的關(guān)鍵．17．且【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程有正數(shù)解，即可確定出a的范圍．【詳解】解：去分母得：，整理得：解得：，∵分式方程有正數(shù)解，∴＞0，且，解得：a＞且，故答案為：a＞且．【點(diǎn)撥】此題考查了分式方程的解，能根據(jù)已知和方程的解得出a的范圍是解此題的關(guān)鍵．始終注意分母不為0這個(gè)條件．18．且m-4【分析】先解方程求出x=m+6，根據(jù)該方程的解是正數(shù)，且x-20列得，計(jì)算即可.【詳解】2x+m=3（x-2）x=m+6，∵該方程的解是正數(shù)，且x-20，∴，解得且x-4，故答案為：且m-4.【點(diǎn)撥】此題考查分式的解的情況求字母的取值范圍，解題中注意不要忽略分式的分母不等于零的情況.19．【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程計(jì)算即可求出a的值．【詳解】去分母得：1-3x+6＝-3a+x，由分式方程有增根，得到x?2＝0，即x＝2，把x＝2代入得：1-6+6＝-3a+2，解得：a＝，故答案為：．【點(diǎn)撥】此題考查了分式方程的增根，增根確定后可按如下步驟進(jìn)行：①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．20．2或3；【分析】根據(jù)分式方程無解的兩種情況計(jì)算得出答案．【詳解】解：去分母得：ax-3=2（x-1）（a-2）x=1（1）當(dāng)a-2=0時(shí)，a=2，此時(shí)方程無解，滿足題意；（2）當(dāng)a-2≠0時(shí)，x=，將x=代入x-1=0時(shí)，解得a=3．綜上所述：a=2或3．【點(diǎn)撥】此題考查了分式方程的無解的條件，分為兩種情況：去分母后所得整式方程無解或解這個(gè)整式方程所得到的解使原方程的分母等于0．21．【分析】設(shè)A型陶笛的單價(jià)為x元，則B型陶笛的單價(jià)為（x+20）元，根據(jù)用2700元購(gòu)買A型陶笛與用4500元購(gòu)買B型陶笛的數(shù)量相同，列方程即可．【詳解】設(shè)A型陶笛的單價(jià)為x元，則B型陶笛的單價(jià)為（x+20）元，根據(jù)用2700元購(gòu)買A型陶笛與用4500元購(gòu)買B型陶笛的數(shù)量相同，可得．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了由實(shí)際問題，抽象出分式方程，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程．22．【分析】設(shè)甲用了x小時(shí)到達(dá)B地，則乙用了小時(shí)到達(dá)B地，然后根據(jù)甲比乙每小時(shí)多行3千米即可列出方程．【詳解】解：設(shè)甲用了x小時(shí)到達(dá)B地，則乙用了小時(shí)到達(dá)B地由題意得：．故答案為．【點(diǎn)撥】本題考查了分式方程的應(yīng)用，弄清題意、明確等量關(guān)系成為解答本題的關(guān)鍵．23．（1）x=-2；（2）無解【分析】（1）觀察可得最簡(jiǎn)公分母是2（x+3），方程兩邊乘最簡(jiǎn)公分母，可以把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．（2）觀察可得最簡(jiǎn)公分母是（x+2）（x-2），方程兩邊乘最簡(jiǎn)公分母，可以把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．【詳解】解：經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)，是原分式方程的解；經(jīng)檢驗(yàn)時(shí)，不是原分式方程的解；原分式方程無解；【點(diǎn)撥】本題考查了分式方程的解法，注：（1）解分式方程的基本思想是“轉(zhuǎn)化思想”，把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要驗(yàn)根．24．（1）無解；（2）a，1．【分析】（1）根據(jù)解分式方程的一般步驟解分式方程即可；（2）先根據(jù)分式的化簡(jiǎn)步驟將分式化為最簡(jiǎn)分式，再代入恰當(dāng)?shù)臄?shù)值即可．【詳解】解：（1）方程的兩邊都乘以（x+1）（x﹣1）得，∴2x-2-5x-5=-10解得檢驗(yàn)，當(dāng)x＝1時(shí)，（x+1）（x﹣1）＝0∴x＝1是原方程的增根．∴原分式方程無解．（2）原式＝=＝a，當(dāng)a＝0，2分式無意義，故當(dāng)a＝1時(shí)，原式＝1．【點(diǎn)撥】本題主要考察了解分式方程及分式的化簡(jiǎn)求值，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解分式方程的一般步驟及分式化簡(jiǎn)的一般步驟，注意分式有意義的條件．25．（1）元；元（2）個(gè)【分析】（1）設(shè)型口罩的單價(jià)為元，則型口罩的單價(jià)為元，根據(jù)“用8000元購(gòu)買型口罩的數(shù)量與用5000元購(gòu)買型口罩的數(shù)量相同”列出方程并解答；（2）設(shè)增加購(gòu)買型口罩的