5.3.1 分式的加減法 北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊培優(yōu)練(含答案)

5.3分式的加減法一、單選題1．化簡：=（）A．1 B．0 C．x D．-x2．化簡的結(jié)果是（）A．1 B． C． D．3．設(shè)xy=x﹣y≠0，則的值等于（）A． B．y﹣x C．﹣1 D．14．一項(xiàng)工程，甲單獨(dú)做a天完成，乙單獨(dú)做b天完成．甲乙兩人合做這項(xiàng)工程需要的時(shí)間是（）天A． B． C． D．5．若分式口，的運(yùn)算結(jié)果為x（x≠0），則在“口”中添加的運(yùn)算符號為（）A．+或x B．-或÷ C．+或÷ D．-或x6．化簡分式過程中開始出現(xiàn)錯(cuò)誤的步驟是（）A．① B．② C．③ D．④7．下列各式的變形中，正確的是（）A．x÷（x2＋x）＝＋1 B．＝C．x2﹣4x＋3＝（x﹣2）2＋1 D．（﹣x﹣y）（﹣x＋y）＝x2﹣y28．若，則（）A． B． C． D．9．下列運(yùn)算結(jié)果正確的是（）A． B．C． D．10．下列變形不正確的是（）A． B．C． D．11．如圖，在數(shù)軸上表示的值的點(diǎn)是（）A．點(diǎn) B．點(diǎn) C．點(diǎn) D．點(diǎn)12．已知a，b為實(shí)數(shù)且滿足a≠﹣1，b≠﹣1，設(shè)M=，N=，則下列兩個(gè)結(jié)論（）①ab=1時(shí)，M=N；ab＞1時(shí)，M＜N．②若a+b=0，則M?N≤0．A．①②都對 B．①對②錯(cuò) C．①錯(cuò)②對 D．①②都錯(cuò)二、填空題13．計(jì)算：__________．14．計(jì)算：________________．15．某人上山，下山的路程都是，上山速度，下山速度，則這個(gè)人上山和下山的平均速度是______．16．若，則代數(shù)式的值為______．17．已知，則3A+2B=___________18．式子稱為二階行列式，規(guī)定它的運(yùn)算法則為，則二階行列式___________．19．______．20．已知，，，，，，…（即當(dāng)n為大于1的奇數(shù)時(shí)，；當(dāng)n為大于1的偶數(shù)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，____________，按此規(guī)律，____________．21．已知實(shí)數(shù)a，b滿足，，則________．22．已知，，______．23．我們可以將一些只含有一個(gè)字母且分子、分母的次數(shù)都為一次的分式變形，轉(zhuǎn)化為整數(shù)與新的分式的和的形式，其中新的分式的分子中不含字母，如：，．參考上面的方法，解決下列問題：（1）將變形為滿足以上結(jié)果要求的形式：_________；（2）①將變形為滿足以上結(jié)果要求的形式：_________；②若為正整數(shù)，且a也為正整數(shù)，則a的值為__________．三、解答題24．計(jì)算：（1）；（2）.先化簡，再求值：（1－）÷，其中a＝26．先閱讀下列解法，再解答后面的問題．已知，求、的值．解法一：將等號右邊通分，再去分母，得：，即：，∴解得．解法二：在已知等式中取時(shí)，有，整理得；取，有，整理得．解，得：．（1）已知，用上面的解法一或解法二求、的值．（2）計(jì)算：，并求取何整數(shù)時(shí)，這個(gè)式子的值為正整數(shù)．

參考答案1．C【分析】利用同分母分式相加減的法則計(jì)算即可【詳解】解：原式=故選：C【點(diǎn)撥】本題考查了同分母分式的減法，熟練掌握法則是解題的關(guān)鍵2．A【分析】根據(jù)分式混合運(yùn)算法則，先計(jì)算小括號內(nèi)，再進(jìn)行乘法運(yùn)算即可．【詳解】原式＝，故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了分式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．3．C【分析】運(yùn)用異分母分式的加減法法則將原式進(jìn)行化簡，即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵xy=x﹣y≠0∴原式故答案為：C．【點(diǎn)撥】本題考查了分式的加減，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握異分母分式的加減法法則．4．C【分析】根據(jù)題意列出代數(shù)式，再化簡即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：．故選：C．【點(diǎn)撥】此題考查了列代數(shù)式和分式的混合運(yùn)算，弄清題意是解本題的關(guān)鍵．5．C【分析】分別將運(yùn)算代入，根據(jù)分式的運(yùn)算法則即可求出答案．【詳解】綜上，在“口”中添加的運(yùn)算符號為或故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了分式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式的運(yùn)算法則，本題屬于基礎(chǔ)題型．6．B【分析】根據(jù)異分母分式的加法法則可以檢查出出錯(cuò)的步驟．【詳解】解：∵經(jīng)過仔細(xì)比對，發(fā)現(xiàn)出錯(cuò)的步驟是題中所示②，分子相減時(shí)沒有把第二個(gè)分子當(dāng)作整體用括號括起來，故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了異分母分式的加減，先對異分母分式通分并在加減過程中把每個(gè)分子當(dāng)作一個(gè)整體是解題關(guān)鍵．7．D【分析】根據(jù)分式的約分、分式的減法、完全平方公式的應(yīng)用、平方差公式計(jì)算，判斷即可．【詳解】解：A.x÷(x2＋x)＝＝，故A選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤；B.＝，故B選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤；C.x2﹣4x＋3＝x2﹣4x＋4﹣1＝(x﹣2)2﹣1，故C選項(xiàng)計(jì)算錯(cuò)誤；D.(﹣x﹣y)(﹣x＋y)＝(﹣x)2﹣y2＝x2﹣y2，故D選項(xiàng)計(jì)算正確；故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了分式的約分、分式的減法、完全平方公式的應(yīng)用、平方差公式計(jì)算，熟練掌握各知識點(diǎn)是解答本題的關(guān)鍵．8．A【分析】首先利用分式的加減運(yùn)算法則，求得的值，又由，即可求得答案．【詳解】解：，，．故選：．【點(diǎn)撥】此題考查了分式的混合運(yùn)算法則．注意掌握符號的變化是解此題的關(guān)鍵．9．D【分析】分別根據(jù)分式的乘除法、加減法及分式的乘方法則分別進(jìn)行計(jì)算，即可得出結(jié)論．【詳解】解：A.，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；B.，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；C.，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；D.，故此選項(xiàng)正確．故選D．【點(diǎn)撥】本題考查了分式的相關(guān)運(yùn)算，掌握分式的加減、乘除法及乘方運(yùn)算法則是解答此題的關(guān)鍵．10．C【分析】A，B兩項(xiàng)利用同分母分式的加減法法則計(jì)算，約分即可得到結(jié)果；C.D通過能否繼續(xù)進(jìn)行因式分解，繼續(xù)化簡，即可得到答案．【詳解】A.，故此項(xiàng)正確；B.，故此項(xiàng)正確；C.為最簡分式，不能繼續(xù)化簡，故此項(xiàng)錯(cuò)誤；D.，故此項(xiàng)正確；故選C．【點(diǎn)撥】此題考查了分式的加減法、約分，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．11．C【分析】先進(jìn)行分式化簡，再確定在數(shù)軸上表示的數(shù)即可．【詳解】解：，，，，=1，在數(shù)軸是對應(yīng)的點(diǎn)是M，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了分式化簡和數(shù)軸上表示的數(shù)，熟練運(yùn)用分式計(jì)算法則進(jìn)行化簡是解題關(guān)鍵．12．C【分析】對于①，計(jì)算M-N的值可以判斷M>N還是M<N；對于②，計(jì)算MN的值，然后根據(jù)a，b滿足的條件判斷其大于0還是小于0．【詳解】∵M(jìn)=，N=，∴M﹣N=﹣（）=，①當(dāng)ab=1時(shí)，M﹣N=0，∴M=N，當(dāng)ab＞1時(shí)，2ab＞2，∴2ab﹣2＞0，當(dāng)a＜0時(shí)，b＜0，（a+1）（b+1）＞0或（a+1）（b+1）＜0，∴M﹣N＞0或M﹣N＜0，∴M＞N或M＜N；故①錯(cuò)誤；②M?N=（）?（）=．∵a+b=0，∴原式==．∵a≠﹣1，b≠﹣1，∴（a+1）2（b+1）2＞0．∵a+b=0，∴ab≤0，M?N≤0，故②對．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查分式運(yùn)算的應(yīng)用，熟練掌握分式的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．13．【分析】根據(jù)分式的混合運(yùn)算的順序即可求解．【詳解】解：====故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查分式的加減運(yùn)算，通分、因式分解和約分是解答的關(guān)鍵．14．1【分析】根據(jù)分式的減法法則計(jì)算即可．【詳解】解：故答案為：1．【點(diǎn)撥】此題考查的是分式的減法運(yùn)算，掌握分式的減法法則是解題關(guān)鍵．15．【分析】平均速度=總路程÷總時(shí)間，根據(jù)公式列式化簡即可．【詳解】解：由題意上山和下山的平均速度為：.故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查列分式，分式的加法和除法，總路程包括往返路程，總時(shí)間包括上山時(shí)間和下山時(shí)間．解決問題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到所求的量的等量關(guān)系．16．7【分析】對代數(shù)式利用完全平方公式變形后，將代入化簡即可．【詳解】解：∵，∴，故答案為：7．【點(diǎn)撥】本題考查代數(shù)式求值，主要考查分式的加法、完全平方公式．熟練掌握完全平方公式，能對代數(shù)式正確變形是解題關(guān)鍵．17．7【分析】已知等式左邊通分并利用同分母分式的加法法則計(jì)算，再利用分式相等的條件求出A與B的值，代入原式計(jì)算即可得到結(jié)果.【詳解】解：已知等式整理得：，可得，即，解得：A=1，B=2，則3A+2B=3+4=7，故答案為7.【點(diǎn)撥】此題考查了分式的加減法，以及分式相等的條件，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵.18．【分析】根據(jù)二階行列式的定義及分式的運(yùn)算可直接進(jìn)行求解．【詳解】解：由題意得：；故答案為．【點(diǎn)撥】本題主要考查分式的運(yùn)算，熟練掌握分式的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．19．0【分析】先根據(jù)平方差公式通分，再加減計(jì)算即可．【詳解】原式．故答案為：0【點(diǎn)撥】本題考查了分式的加減法，熟悉掌握通分、約分法則是解題的關(guān)鍵．20．【分析】根據(jù)已知條件計(jì)算，找出Sn的值每6個(gè)一循環(huán)，結(jié)合2020＝336×6＋4，即可得出S2020＝S4，此題得解．【詳解】，，，，，，，…，∴Sn的值每6個(gè)一循環(huán)．∵2020＝336×6＋4，∴S2020＝S4＝，當(dāng)時(shí)，，S2020＝S4＝，故答案為：；【點(diǎn)撥】本題考查了規(guī)律型中數(shù)字的變化類，根據(jù)數(shù)值的變化找出Sn的值，每6個(gè)一循環(huán)是解題的關(guān)鍵．21．1【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法可得，根據(jù)冪的乘方可得，從而可得a+b=ab，將變形，再代入計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴，即，∵，∴，∴，∴a=ab-b，∴a+b=ab，∴1，故答案為：1．【點(diǎn)撥】本題考查了同底數(shù)冪的乘法和冪的乘方運(yùn)算，以及分式的加法運(yùn)算，靈活運(yùn)用公式，得到a+b=ab是解題的關(guān)鍵．22．【分析】原式整理成，再整體代入即可求解．【詳解】∵，，∴．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題主要考查分式的加減法，解題的關(guān)鍵是掌握分式的加減運(yùn)算法則和完全平方公式．23．2或6【分析】（1）根據(jù)材料中分式轉(zhuǎn)化變形的方法，即可把變形為滿足要求的形式；（2）①根據(jù)材料中分式轉(zhuǎn)化變形的方法，即可把變形為滿足要求的形式；②令，可先求出a與x是整數(shù)時(shí)的對應(yīng)值，再從所得結(jié)果中找出符合條件的a，x的值，即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）；故答案為：；（2）①；故答案為：；②∵令，當(dāng)x，a都為整數(shù)時(shí)，或，解得a＝2或a＝0或a＝6或a＝-4，當(dāng)a＝2時(shí)，x＝8；當(dāng)a＝0時(shí)，x＝-2；當(dāng)a＝6時(shí)，x＝4；當(dāng)a＝-4時(shí)，x＝2；∵x，a都為正整數(shù)，∴符合條件的a的值為2或6．故答案為：2或6．【點(diǎn)撥】此題考查了分式的加減及求分式的值等知識，理解題意并熟練掌握分式的基本性質(zhì)及運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．24．（1）；（2）．【分析】（1）分式的非同分母加法計(jì)算需先確定公分母通分，然后分母不變，分子相加，整理約去分子和分母的公因式，即得到最簡分式；（2）先算括號內(nèi)的，運(yùn)用分式的加法法則把看成一個(gè)整體，通分成公分母為分式，然后運(yùn)用分式的除法運(yùn)算法則，除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)，之后把分子和分母分別分解因式，約去公因式，即可得最簡分式．【詳解】（1）原式．（2）原式．【點(diǎn)撥】本題主要考查了分式的加法及混合運(yùn)算，其中分母不同的分式的加法運(yùn)算需先通分，分式的除法需把除數(shù)顛倒相乘，最后整理分解因式，約去公因式即可得．25．；-1【分析】先進(jìn)行括號內(nèi)的分式減法，再計(jì)算分式除法，代入求值即可．【詳解】解：原式＝÷＝×＝；當(dāng)a＝（π－2021）0＝1時(shí)，原式＝－1．【點(diǎn)撥】本題考查了分式的化簡求值和0指數(shù)，解題關(guān)鍵是熟練按照分式化簡的順序與法則進(jìn)行計(jì)算．26．（1）；（2），當(dāng)取時(shí)，這個(gè)式子的值為正整數(shù)．【分析】（1）解法一：先等式兩邊同乘以去分母，去括號化簡可得一個(gè)關(guān)于A.B的二元一次方程組，解方程組即可得；解法二：分別取和可得一個(gè)關(guān)于A.B的二元一次方程組，