彈性力學(xué)完整版本

彈性力學(xué)網(wǎng)絡(luò)課程第一章緒論內(nèi)容介紹知識(shí)點(diǎn)彈性力學(xué)的特點(diǎn)彈性力學(xué)的基本假設(shè)彈性力學(xué)的發(fā)展彈性力學(xué)的任務(wù)彈性力學(xué)的研究方法內(nèi)容介紹：一.內(nèi)容介紹

本章作為彈性力學(xué)課程的引言，主要介紹課程的研究對(duì)象、基本分析方法和特點(diǎn)；課程分析的基本假設(shè)和課程學(xué)習(xí)的意義以及歷史和發(fā)展。

彈性力學(xué)的研究對(duì)象是完全彈性體，因此分析從微分單元體入手，基本方程為偏微分方程。

偏微分方程邊值問(wèn)題在數(shù)學(xué)上求解困難，使得彈性力學(xué)的基本任務(wù)是研究彈性體由于外力載荷或者溫度改變，物體內(nèi)部所產(chǎn)生的位移、變形和應(yīng)力分布等，為解決工程結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度，剛度和穩(wěn)定性問(wèn)題作準(zhǔn)備，但是并不直接作強(qiáng)度和剛度分析。

本章介紹彈性力學(xué)分析的基本假設(shè)。彈性力學(xué)分析中，必須根據(jù)已知物理量，例如外力、結(jié)構(gòu)幾何形狀和約束條件等，通過(guò)靜力平衡、幾何變形和本構(gòu)關(guān)系等，推導(dǎo)和確定基本未知量，位移、應(yīng)變和應(yīng)力等與已知物理量的關(guān)系。由于工程實(shí)際問(wèn)題的復(fù)雜性是由多方面因素構(gòu)成的，如果不分主次地考慮所有因素，問(wèn)題是十分復(fù)雜的，數(shù)學(xué)推導(dǎo)將困難重重，以至于不可能求解。

課程分析中使用張量符號(hào)描述物理量和基本方程。目前，有關(guān)彈性力學(xué)的文獻(xiàn)和工程資料都是使用張量符號(hào)的。如果你沒(méi)有學(xué)習(xí)過(guò)張量概念，請(qǐng)進(jìn)入附錄一學(xué)習(xí)，或者查閱參考資料。二.重點(diǎn)

1.課程的研究對(duì)象；

2.基本分析方法和特點(diǎn)；

3.彈性力學(xué)的基本假設(shè)；

4.課程的學(xué)習(xí)意義；

5.彈性力學(xué)的發(fā)展。特點(diǎn)：彈性力學(xué)，又稱(chēng)彈性理論。作為固體力學(xué)學(xué)科的一個(gè)分支，彈性力學(xué)的基本任務(wù)是研究彈性體由于外力載荷或者溫度改變，物體內(nèi)部所產(chǎn)生的位移、變形和應(yīng)力分布等，為解決工程結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度，剛度和穩(wěn)定性問(wèn)題作準(zhǔn)備，但是并不直接作強(qiáng)度和剛度分析。

構(gòu)件承載能力分析是固體力學(xué)的基本任務(wù)，但是對(duì)于不同的學(xué)科分支，研究對(duì)象和方法是不同的。彈性力學(xué)的研究對(duì)象是完全彈性體，包括構(gòu)件、板和三維彈性體，比材料力學(xué)和結(jié)構(gòu)力學(xué)的研究范圍更為廣泛。

彈性是變形固體的基本屬性，而“完全彈性”是對(duì)彈性體變形的抽象。完全彈性使得物體變形成為一種理想模型，以便作進(jìn)一步的數(shù)學(xué)和力學(xué)處理。完全彈性是指在一定溫度條件下，材料的應(yīng)力和應(yīng)變之間具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。這種關(guān)系與時(shí)間無(wú)關(guān)，也與變形歷史無(wú)關(guān)。

材料的應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系通常稱(chēng)為本構(gòu)關(guān)系，它表達(dá)的是材料在外力作用下抵抗變形的物理性能，因此又稱(chēng)為物理關(guān)系或者物理方程。本構(gòu)關(guān)系滿(mǎn)足完全彈性假設(shè)的材料模型包括線(xiàn)性彈性體和非線(xiàn)性彈性體。

線(xiàn)性彈性體是指載荷作用在一定范圍內(nèi)，應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系可以近似為線(xiàn)性關(guān)系的材料，外力卸載后，線(xiàn)性彈性體的變形可以完全恢復(fù)。線(xiàn)性彈性材料的本構(gòu)關(guān)系就是物理學(xué)的胡克定理。在應(yīng)力小于彈性極限條件下，低碳鋼等金屬材料是典型的線(xiàn)彈性材料。

另外，一些有色金屬和高分子材料等，材料在載荷作用下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系不是線(xiàn)性的，但是卸載后物體的變形可以完全恢復(fù)，這種材料性質(zhì)可以簡(jiǎn)化為非線(xiàn)性彈性本構(gòu)關(guān)系。

如果從研究?jī)?nèi)容和基本任務(wù)來(lái)看，彈性力學(xué)與材料力學(xué)是基本相同的，研究對(duì)象也是近似的，但是二者的研究方法卻有比較大的差別。彈性力學(xué)和材料力學(xué)研究問(wèn)題的方法都是從靜力平衡關(guān)系，變形協(xié)調(diào)和材料的物理性質(zhì)三方面入手的。但是材料力學(xué)的研究對(duì)象是桿件，桿件橫截面的變形可以根據(jù)平面假設(shè)確定，因此綜合分析的結(jié)果，就是問(wèn)題求解的基本方程是常微分方程。對(duì)于常微分方程，數(shù)學(xué)求解是沒(méi)有困難的。而彈性力學(xué)研究完全彈性體，如板，三維物體等。因此問(wèn)題分析只能從微分單元體入手，分析單元體的平衡、變形和應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，因此問(wèn)題綜合分析的結(jié)果是滿(mǎn)足一定邊界條件的偏微分方程。也就是說(shuō)，問(wèn)題的基本方程是偏微分方程的邊值問(wèn)題。而偏微分方程邊值問(wèn)題，在數(shù)學(xué)上求解困難重重，除了少數(shù)特殊邊界問(wèn)題，一般彈性體問(wèn)題很難得到解答。

當(dāng)然，這里并不是說(shuō)彈性力學(xué)分析不再需要假設(shè)，事實(shí)上對(duì)于任何學(xué)科，如果不對(duì)研究對(duì)象作必要的抽象和簡(jiǎn)化，研究工作都是寸步難行的。任務(wù)：彈性力學(xué)是固體力學(xué)學(xué)科的理論基礎(chǔ)。是學(xué)習(xí)有限單元法、復(fù)合材料力學(xué)、斷裂力學(xué)和疲勞等的基礎(chǔ)課程。課程的學(xué)習(xí)對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)，思維方法和獨(dú)立工作能力有著重要意義。

彈性力學(xué)作為一門(mén)基礎(chǔ)技術(shù)學(xué)科，是近代工程技術(shù)的必要基礎(chǔ)之一。在現(xiàn)代工程結(jié)構(gòu)分析，特別是航空、航天、機(jī)械、土建和水利工程等大型結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)中，廣泛應(yīng)用著彈性力學(xué)的基本公式和結(jié)論。彈性力學(xué)又是一門(mén)基礎(chǔ)理論學(xué)科，它的研究方法被應(yīng)用于其他學(xué)科。近年來(lái)，科技界將彈性力學(xué)的研究方法用于生物力學(xué)和地質(zhì)力學(xué)等邊緣學(xué)科的研究中。

彈性力學(xué)的研究方法決定了它是一門(mén)基礎(chǔ)理論課程，而且理論直接用于分析工程問(wèn)題具有很大的困難。原因主要是它的基本方程－偏微分方程邊值問(wèn)題數(shù)學(xué)上求解的困難。由于經(jīng)典的解析方法很難用于工程構(gòu)件分析，因此探討近似解法是彈性力學(xué)發(fā)展中的特色。近似求解方法，如差分法和變分法等，特別是隨著計(jì)算機(jī)的廣泛應(yīng)用而發(fā)展的有限元素方法，為彈性力學(xué)的發(fā)展和解決工程實(shí)際問(wèn)題開(kāi)辟了廣闊的前景。彈性力學(xué)課程的主要學(xué)習(xí)目的是使學(xué)生掌握分析彈性體應(yīng)力和變形的基本方法，為今后進(jìn)一步的研究實(shí)際工程構(gòu)件和結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度、剛度、可靠性、斷裂和疲勞等固體力學(xué)問(wèn)題建立必要的理論基礎(chǔ)?；炯僭O(shè)：應(yīng)當(dāng)指出，對(duì)于工程材料，無(wú)論是金屬材料還是高分子材料，微觀上都是按一定規(guī)則排列構(gòu)成的，而且材料內(nèi)部經(jīng)常會(huì)有缺陷存在。因此工程材料內(nèi)部的缺陷、夾雜和孔洞等構(gòu)成了固體材料微觀結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性。

彈性力學(xué)分析中，必須根據(jù)已知物理量，例如外力、結(jié)構(gòu)幾何形狀和約束條件等，通過(guò)靜力平衡、幾何變形和本構(gòu)關(guān)系等，推導(dǎo)和確定基本未知量，位移、應(yīng)變和應(yīng)力等與已知物理量的關(guān)系。由于工程實(shí)際問(wèn)題的復(fù)雜性是由多方面因素構(gòu)成的，如果不分主次地考慮所有因素，問(wèn)題是十分復(fù)雜的，數(shù)學(xué)推導(dǎo)將困難重重，以至于不可能求解。因此根據(jù)問(wèn)題性質(zhì)建立力學(xué)模型時(shí)，必須作出一些基本假設(shè)，忽略部分可以暫時(shí)不予考慮的因素，使研究的問(wèn)題限制在一個(gè)方便可行的范圍之內(nèi)。對(duì)于彈性力學(xué)分析，這是十分必要的。

在今后的討論中，如果沒(méi)有特別的提示，均采用以下的彈性力學(xué)基本假設(shè)。

基本假設(shè)是彈性力學(xué)討論問(wèn)題的基礎(chǔ)。超出基本假設(shè)的問(wèn)題將由固體力學(xué)的其他分支來(lái)討論，如非線(xiàn)性彈性力學(xué)，塑性力學(xué)，復(fù)合材料力學(xué)等。

1.連續(xù)性假設(shè)假設(shè)所研究的整個(gè)彈性體內(nèi)部完全由組成物體的介質(zhì)所充滿(mǎn)，各個(gè)質(zhì)點(diǎn)之間不存在任何空隙。這就是說(shuō)，物體的介質(zhì)粒子連續(xù)地充滿(mǎn)物體所占的空間，而且變形后仍然保持這種連續(xù)性。根據(jù)這一假設(shè)，物體的所有物理量，例如位移、應(yīng)變和應(yīng)力等均成為物體所占空間的連續(xù)函數(shù)。

當(dāng)然，由于固體材料都是由微粒組成的，微觀上這個(gè)假設(shè)不可能成立。但是，對(duì)于工程材料，微粒尺寸和微粒之間的距離遠(yuǎn)小于物體的幾何尺寸，采用這一假設(shè)并不會(huì)引起明顯的誤差。研究方法：彈性力學(xué)雖然是一門(mén)古老的學(xué)科，但現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展給它仍然提出越來(lái)越多的理論問(wèn)題和工程應(yīng)用問(wèn)題，至今仍然在工程領(lǐng)域發(fā)揮重要作用。特別是對(duì)于現(xiàn)代工程技術(shù)和科研工作者的培養(yǎng)，彈性力學(xué)作為機(jī)械，建工以及力學(xué)等專(zhuān)業(yè)的一門(mén)專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)課，它的學(xué)習(xí)對(duì)于專(zhuān)業(yè)基礎(chǔ)，思維方法以及獨(dú)立工作能力都有不可替代的作用。

彈性力學(xué)的研究方法主要有數(shù)學(xué)方法和實(shí)驗(yàn)方法，以及二者結(jié)合的方法。本書(shū)主要討論彈性力學(xué)數(shù)學(xué)方法，就是應(yīng)用數(shù)學(xué)分析工具建立彈性力學(xué)的基本方程和基礎(chǔ)理論，并且根據(jù)邊界條件求解彈性體的應(yīng)力場(chǎng)和位移場(chǎng)。

彈性力學(xué)的基本方程，在數(shù)學(xué)上，是偏微分方程的邊值問(wèn)題，求解的方法有解析法和近似解法。解析法，即直接求解偏微分方程邊值問(wèn)題，這在數(shù)學(xué)上難度極大，因此僅適用于個(gè)別特殊邊界條件問(wèn)題。由于解析方法的應(yīng)用困難，因此近似解法在彈性力學(xué)的發(fā)展中有著重要意義。

彈性力學(xué)的另一解法為數(shù)值解法，它是采用計(jì)算機(jī)處理的近似解法。近年來(lái)，隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，特別是計(jì)算機(jī)技術(shù)的迅速發(fā)展和廣泛應(yīng)用，使得有限元方法首先在彈性力學(xué)應(yīng)用領(lǐng)域發(fā)展起來(lái)。以有限元方法為代表的計(jì)算力學(xué)的發(fā)展，迅速改變了彈性力學(xué)理論在工程應(yīng)用領(lǐng)域的處境。以計(jì)算機(jī)的強(qiáng)大計(jì)算能力為后盾開(kāi)發(fā)的有限元程序，可以求解數(shù)十萬(wàn)自由度的線(xiàn)性代數(shù)方程組，目前已經(jīng)成為工程技術(shù)人員手中強(qiáng)大的結(jié)構(gòu)分析工具。在此基礎(chǔ)之上，CAD,CAE等技術(shù)的應(yīng)用使得計(jì)算機(jī)不僅成為數(shù)值分析的工具，而且成為設(shè)計(jì)分析的工具。有限元方法的發(fā)展是以彈性力學(xué)的基本理論為基礎(chǔ)得到發(fā)展的，而且彈性力學(xué)的各種變分原理，都給有限元方法提供了理論基礎(chǔ)。有限元方法將計(jì)算數(shù)學(xué)與工程分析相結(jié)合，極大地?cái)U(kuò)展和延伸了彈性力學(xué)理論與方法，取得了當(dāng)代力學(xué)理論應(yīng)用的高度成就。

本課程將重點(diǎn)討論基于能量原理的變分方法，并且介紹有限元素方法的概念和基本思想。發(fā)展：彈性力學(xué)的早期研究可以追溯到1678年，胡克（R.Hooke）發(fā)現(xiàn)胡克定律。這一時(shí)期的研究工作主要是通過(guò)實(shí)驗(yàn)方法探索物體的受力與變形之間的關(guān)系。

近代彈性力學(xué)的發(fā)展可以認(rèn)為是從柯西（A.L.Cauchy）1828年明確提出應(yīng)力和應(yīng)變的概念，建立了平衡微分方程，幾何方程和廣義胡克定律開(kāi)始的?？挛魉龅墓ぷ魇墙鷱椥粤W(xué)和連續(xù)介質(zhì)力學(xué)的一個(gè)起點(diǎn)，他的工作使得彈性力學(xué)成為一門(mén)獨(dú)立的固體力學(xué)分支學(xué)科。

而后，世界各國(guó)的一批學(xué)者相繼進(jìn)入彈性力學(xué)研究領(lǐng)域，使彈性力學(xué)進(jìn)入發(fā)展階段。1856年，圣維南（A.J.Saint-Venant）建立了柱體扭轉(zhuǎn)和彎曲的基本理論；1862年，艾瑞（G.B.Airy）發(fā)表了關(guān)于彈性力學(xué)的平面理論；1881年，赫茲（H.Hertz）建立了接觸應(yīng)力理論；1898年，基爾霍夫(G.R.Kirchoff)建立了平板理論，1930年，Гадёркин發(fā)展了應(yīng)用復(fù)變函數(shù)理論求解彈性力學(xué)問(wèn)題的方法等。另一個(gè)理論上的重要成果是建立了各種能量原理，并且提出了一系列基于這些能量原理的近似計(jì)算方法。許多科學(xué)家.像拉格朗日(J.L.Lagrange)，樂(lè)甫(A.E.H.Love)，鐵木辛柯(S.P.Timoshenko)做出了貢獻(xiàn)。中國(guó)科學(xué)家錢(qián)偉長(zhǎng)，錢(qián)學(xué)森，徐芝倫，胡海昌等在彈性力學(xué)的發(fā)展，特別是在中國(guó)的推廣應(yīng)用做出了重要貢獻(xiàn)。

彈性力學(xué)的發(fā)展對(duì)促進(jìn)數(shù)學(xué)和自然科學(xué)基本理論的建立和發(fā)展，特別是對(duì)促進(jìn)造船、建筑、航空和機(jī)械制造等工業(yè)技術(shù)的發(fā)展起了相當(dāng)重要的作用。彈性力學(xué)為社會(huì)發(fā)展和人類(lèi)的文明進(jìn)步起了重要的作用，例如造船，鐵路，水利工程，機(jī)械制造，建筑工程，航空航天，軍事工程等領(lǐng)域的發(fā)展，都離不開(kāi)力學(xué)工作者的貢獻(xiàn)。廣泛的工程應(yīng)用也使得彈性力學(xué)得以迅速發(fā)展，并根據(jù)實(shí)際的需求形成了一些專(zhuān)門(mén)的分學(xué)科，如熱彈性力學(xué)，彈性動(dòng)力學(xué)，彈性穩(wěn)定，斷裂力學(xué)，復(fù)合材料彈性力學(xué)等。

彈性力學(xué)雖然是一門(mén)古老的學(xué)科，但現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的發(fā)展仍然給它提出越來(lái)越多的理論和工程應(yīng)用問(wèn)題，使其在許多重要領(lǐng)域繼續(xù)展現(xiàn)出它的重要性。第二章應(yīng)力狀態(tài)分析第一節(jié)體力和面力作用于物體的外力可以分為兩種類(lèi)型：體力和面力。

所謂體力就是分布在物體整個(gè)體積內(nèi)部各個(gè)質(zhì)點(diǎn)上的力，又稱(chēng)為質(zhì)量力。例如物體的重力，慣性力，電磁力等等。

面力是分布在物體表面上的力，例如風(fēng)力，靜水壓力，物體之間的接觸力等。

為了表明物體在xyz坐標(biāo)系內(nèi)任意一點(diǎn)P所受體力的大小和方向，在P點(diǎn)的鄰域取一微小體積元素△V,如圖所示設(shè)△V的體力合力為△F，則P點(diǎn)的體力定義為令微小體積元素△V趨近于0，則可以定義一點(diǎn)P的體力為

一般來(lái)講，物體內(nèi)部各點(diǎn)處的體力是不相同的。

物體內(nèi)任一點(diǎn)的體力用Fb表示，稱(chēng)為體力矢量，其方向由該點(diǎn)的體力合力方向確定。

體力沿三個(gè)坐標(biāo)軸的分量用Fbi(i=1,2,3)或者Fbx,Fby,Fbz表示，稱(chēng)為體力分量。體力分量的方向規(guī)定與坐標(biāo)軸方向一致為正，反之為負(fù)。

應(yīng)該注意的是：在彈性力學(xué)中，體力是指單位體積的力。類(lèi)似于體力，可以給出面力的定義。

對(duì)于物體表面上的任一點(diǎn)P，在P點(diǎn)的鄰域取一包含P點(diǎn)的微小面積元素△S，如圖所示。設(shè)△S上作用的面力合力為△F，則P點(diǎn)的面力定義為

面力矢量是單位面積上的作用力，面力是彈性體表面坐標(biāo)的函數(shù)。一般條件下，面力邊界條件是彈性力學(xué)問(wèn)題求解的主要條件。

面力矢量用Fs表示，其分量用Fsi（i=1，2，3）或者Fsx、Fsy和Fsz表示。

面力的方向規(guī)定以與坐標(biāo)軸方向一致為正，反之為負(fù)。

彈性力學(xué)中的面力均定義為單位面積的面力。第二節(jié)應(yīng)力概念物體在外界因素作用下，物體內(nèi)部各個(gè)部分之間將產(chǎn)生相互作用，物體內(nèi)部相互作用力稱(chēng)為內(nèi)力。為討論彈性體的強(qiáng)度，將單位面積的內(nèi)力，就是內(nèi)力集度定義為應(yīng)力。

pn為過(guò)任意點(diǎn)M，法線(xiàn)方向?yàn)閚的微分面上的應(yīng)力矢量。應(yīng)力矢量不僅隨點(diǎn)的位置改變而變化，而且即使在同一點(diǎn)，也由于截面的法線(xiàn)方向n的方向改變而變化。

一點(diǎn)所有截面的應(yīng)力矢量的集合稱(chēng)為一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。討論一點(diǎn)各個(gè)截面的應(yīng)力變化趨勢(shì)稱(chēng)為應(yīng)力狀態(tài)分析。

凡是應(yīng)力均必須說(shuō)明是物體內(nèi)哪一點(diǎn)，并且通過(guò)該點(diǎn)哪一個(gè)微分面的應(yīng)力。應(yīng)力狀態(tài)對(duì)于研究物體的強(qiáng)度是十分重要的。顯然，作為彈性體內(nèi)部一個(gè)確定點(diǎn)的各個(gè)截面的應(yīng)力矢量，就是應(yīng)力狀態(tài)必然存在一定的關(guān)系。不可能也不必要寫(xiě)出一點(diǎn)所有截面的應(yīng)力。為了準(zhǔn)確、明了地描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，必須使用合理的應(yīng)力參數(shù)。

為了探討各個(gè)截面應(yīng)力的變化趨勢(shì)，確定可以描述應(yīng)力狀態(tài)的參數(shù)，通常將應(yīng)力矢量分解。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：物體在外界因素作用下，例如外力，溫度變化等，物體內(nèi)部各個(gè)部分之間將產(chǎn)生相互作用，這種物體一部分與相鄰部分之間的作用力稱(chēng)為內(nèi)力。

內(nèi)力的計(jì)算可以采用截面法，即利用假想平面將物體截為兩部分，將希望計(jì)算內(nèi)力的截面暴露出來(lái)，通過(guò)平衡關(guān)系計(jì)算截面內(nèi)力F。

內(nèi)力的分布一般是不均勻的。為了描述任意一點(diǎn)M的內(nèi)力，在截面上選取一個(gè)包含M的微面積單元ΔS，如圖所示則可認(rèn)為微面積上的內(nèi)力主矢ΔF的分布是均勻的。設(shè)ΔS的法線(xiàn)方向?yàn)閚，則定義：

上式中pn為微面積ΔS上的平均應(yīng)力。如果令ΔS逐漸減小，并且趨近于零，取極限可得上述分析可見(jiàn)：pn是通過(guò)任意點(diǎn)M，法線(xiàn)方向?yàn)閚的微分面上的應(yīng)力矢量。

應(yīng)力pn是矢量，方向由內(nèi)力主矢ΔF確定，又受ΔS方位變化的影響。

應(yīng)力矢量不僅隨點(diǎn)的位置改變而變化，而且即使在同一點(diǎn)，也由于截面的法線(xiàn)方向n的方向改變而變化。這種性質(zhì)稱(chēng)為應(yīng)力狀態(tài)。因此凡是應(yīng)力均必須說(shuō)明是物體內(nèi)哪一點(diǎn)，并且通過(guò)該點(diǎn)哪一個(gè)微分面的應(yīng)力。一點(diǎn)所有截面的應(yīng)力矢量的集合稱(chēng)為一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。應(yīng)力狀態(tài)對(duì)于研究物體的強(qiáng)度是十分重要的。顯然，作為彈性體內(nèi)部一個(gè)確定點(diǎn)的各個(gè)截面的應(yīng)力矢量，就是應(yīng)力狀態(tài)必然存在一定的關(guān)系。不可能也不必要寫(xiě)出一點(diǎn)所有截面的應(yīng)力。為了準(zhǔn)確、明了地描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，必須使用合理的應(yīng)力參數(shù)。討論一點(diǎn)各個(gè)截面的應(yīng)力變化趨勢(shì)稱(chēng)為應(yīng)力狀態(tài)分析。為了探討各個(gè)截面應(yīng)力的變化趨勢(shì)，確定可以描述應(yīng)力狀態(tài)的參數(shù)，通常將應(yīng)力矢量分解。

應(yīng)力矢量的一種分解方法是將應(yīng)力矢量pn在給定的坐標(biāo)系下沿三個(gè)坐標(biāo)軸方向分解，如用px,py,pz表示其分量，則pn=pxi+pyj+pzk

這種形式的分解并沒(méi)有工程實(shí)際應(yīng)用的價(jià)值。它的主要用途在于作為工具用于推導(dǎo)彈性力學(xué)基本方程。

另一種分解方法，如圖所示，是將應(yīng)力矢量pn沿微分面ΔS的法線(xiàn)和切線(xiàn)方向分解。與微分面ΔS法線(xiàn)n方向的投影稱(chēng)為正應(yīng)力，用n表示；平行于微分面ΔS的投影稱(chēng)為切應(yīng)力或剪應(yīng)力，切應(yīng)力作用于截面內(nèi)，用n表示。

彈性體的強(qiáng)度與正應(yīng)力和切應(yīng)力息息相關(guān)，因此這是工程結(jié)構(gòu)分析中經(jīng)常使用的應(yīng)力分解形式。

由于微分面法線(xiàn)n的方向只有一個(gè)，因此說(shuō)明截面方位就確定了正應(yīng)力n的方向。但是平行于微分面的方向有無(wú)窮多，因此切應(yīng)力n不僅需要確定截面方位，還必須指明方向。為了表達(dá)彈性體內(nèi)部任意一點(diǎn)M的應(yīng)力狀態(tài)，利用三個(gè)與坐標(biāo)軸方向一致的微分面，通過(guò)M點(diǎn)截取一個(gè)平行六面體單元，如圖所示。

將六面體單元各個(gè)截面上的應(yīng)力矢量分別向3個(gè)坐標(biāo)軸投影，可以得到應(yīng)力分量ij。

應(yīng)力分量的第一腳標(biāo)i表示該應(yīng)力所在微分面的方向，即微分面外法線(xiàn)的方向；

第二腳標(biāo)j表示應(yīng)力的方向。如果應(yīng)力分量與j坐標(biāo)軸方向一致為正，反之為負(fù)。

如果兩個(gè)腳標(biāo)相同，i＝j(luò)，則應(yīng)力分量方向與作用平面法線(xiàn)方向一致，這是正應(yīng)力，可以并寫(xiě)為一個(gè)腳標(biāo)，例如x。

如果兩腳標(biāo)不同，i≠j，則應(yīng)力分量方向與作用平面法線(xiàn)方向不同，這是切應(yīng)力，例如xy。

六面體單元的3對(duì)截面共有九個(gè)應(yīng)力分量ij。

應(yīng)該注意：應(yīng)力分量是應(yīng)力矢量在坐標(biāo)軸上的投影，因此是標(biāo)量，而不是矢量。

在已知的坐標(biāo)系中應(yīng)力狀態(tài)通常用應(yīng)力張量表示。使用應(yīng)力張量可以完整地描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。3斜截面上的應(yīng)力應(yīng)力矢量不僅隨點(diǎn)的位置改變而變化，而且也由于截面的法線(xiàn)方向n的方向改變而變化，研究這一變化規(guī)律稱(chēng)為應(yīng)力狀態(tài)分析。如果應(yīng)力分量能夠描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，那么應(yīng)力分量與其它應(yīng)力參數(shù)必然有內(nèi)在聯(lián)系。

本節(jié)分析應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量之間的關(guān)系，為深入討論應(yīng)力狀態(tài)作準(zhǔn)備。

利用三個(gè)坐標(biāo)平面和一個(gè)任意斜截面構(gòu)造微分四面體單元，通過(guò)四面體單元探討坐標(biāo)平面的應(yīng)力分量和斜截面上的應(yīng)力矢量的關(guān)系。

根據(jù)平衡關(guān)系，推導(dǎo)任意斜截面的應(yīng)力矢量、法線(xiàn)方向余弦和各個(gè)應(yīng)力分量之間的關(guān)系。

分析表明：一點(diǎn)的應(yīng)力分量確定后，任意斜截面的應(yīng)力矢量是確定的。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：1微分四面體單元一點(diǎn)的九個(gè)應(yīng)力分量如果能夠完全確定一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，則其必須能夠表達(dá)通過(guò)該點(diǎn)的任意斜截面上的應(yīng)力矢量。

為了說(shuō)明這一問(wèn)題，在O點(diǎn)用三個(gè)坐標(biāo)面和一任意斜截面截取一個(gè)微分四面體單元，如圖所示。

斜截面的法線(xiàn)方向矢量為n，它的三個(gè)方向余弦分別為l，m和n。

設(shè)斜截面上的應(yīng)力為pn，i，j和k分別為三個(gè)坐標(biāo)軸方向的單位矢量，pn在坐標(biāo)軸上的投影分別為px,py,pz。則應(yīng)力矢量可以表示為pn=pxi+pyj+pzk同樣，把單位體積的質(zhì)量所受的體積力Fb沿坐標(biāo)軸分解，有Fb=Fbxi+Fbyj+Fbzk設(shè)S為ΔABC的面積，則ΔOBC=lS,

ΔOCA=mS,

ΔOAB=nSΔABC的法線(xiàn)方向的單位矢量可表示為n=li+lj+mk2、應(yīng)力矢量和應(yīng)力分量微分四面體在應(yīng)力矢量和體積力作用下應(yīng)滿(mǎn)足平衡條件，設(shè)h為O點(diǎn)至斜面ABC的高，由x方向的平衡，可得將公式代入上式，則

對(duì)于微分四面體單元，h與單元體棱邊相關(guān)，因此與1相比為小量，趨近于零，因此同理

如果采用張量記號(hào)，則上述公式可以表示為

上式給出了物體內(nèi)一點(diǎn)的9個(gè)應(yīng)力分量和通過(guò)同一點(diǎn)的各個(gè)微分面上的應(yīng)力之間的關(guān)系。這一關(guān)系式表明，只要有了應(yīng)力分量，就能夠確定一點(diǎn)任意截面的應(yīng)力矢量，或者正應(yīng)力和切應(yīng)力。因此應(yīng)力分量可以確定一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。§2.4平衡微分方程學(xué)習(xí)思路:

物體在外力作用下產(chǎn)生變形，最后達(dá)到平衡位置。平衡不僅是指整個(gè)物體，而且彈性體的任何部分也是平衡的。

本節(jié)通過(guò)微分平行六面體單元討論彈性體內(nèi)部任意一點(diǎn)的平衡。

應(yīng)該注意：在討論微分單元體平衡時(shí)，考慮到坐標(biāo)的微小變化將導(dǎo)致應(yīng)力分量的相應(yīng)改變。即坐標(biāo)有增量時(shí)，應(yīng)力分量也有對(duì)應(yīng)的增量。這個(gè)增量作為高階小量，如果不涉及微分單元體平衡時(shí)是可以不考慮的。

微分平衡方程描述了彈性體內(nèi)部任意一點(diǎn)的平衡，確定了應(yīng)力分量與體力之間的關(guān)系。又稱(chēng)為納維（Navier）方程。

平衡微分方程描述彈性體內(nèi)部應(yīng)力分量與體力之間的微分關(guān)系，是彈性力學(xué)的第一個(gè)基本方程。

切應(yīng)力互等定理是彈性體力矩平衡的結(jié)果。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：微分單元體和平衡關(guān)系物體在外力作用下產(chǎn)生變形，最后達(dá)到平衡位置。不僅整個(gè)物體是平衡的，而且彈性體的任何部分也都是平衡的。

為了考察彈性體內(nèi)部的平衡，通過(guò)微分平行六面體單元討論任意一點(diǎn)M的平衡。在物體內(nèi)，通過(guò)任意點(diǎn)M，用三組與坐標(biāo)軸平行的平面截取一正六面體單元，單元的棱邊分別與x，y，z軸平行，棱邊分別長(zhǎng)dx，dy，dz。如圖所示，討論微分平行六面體單元的平衡。

在x面上有應(yīng)力分量x，xy和xz；在x+dx面上，應(yīng)力分量相對(duì)x截面有一個(gè)增量，取一階增量，則。對(duì)y，z方向的應(yīng)力分量作同樣處理。

根據(jù)微分單元體x方向平衡，∑Fx=0，則

簡(jiǎn)化并且略去高階小量，可得平衡微分方程與切應(yīng)力互等定理同理考慮y，z方向，有

上述公式給出了應(yīng)力和體力之間的平衡關(guān)系，稱(chēng)為平衡微分方程，又叫納維（Navier）方程。

用張量形式表示，可以寫(xiě)作如果考慮微分單元體的力矩平衡，則可以得到xy=yx，

yz=zy，

zx=xz

由此可見(jiàn)，切應(yīng)力是成對(duì)出現(xiàn)的，9個(gè)應(yīng)力分量中僅有6個(gè)是獨(dú)立的。

上述關(guān)系式又稱(chēng)作切應(yīng)力互等定理。用張量形式表示，則ij=ji§2.5面力邊界條件學(xué)習(xí)思路:

在彈性體內(nèi)部，應(yīng)力分量必須與體力滿(mǎn)足平衡微分方程；在彈性體的表面，應(yīng)力分量必須與表面力滿(mǎn)足面力邊界條件，以維持彈性體表面的平衡。

面力邊界條件的推導(dǎo)時(shí)，參考了應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量關(guān)系表達(dá)式。只要注意到物體邊界任意一點(diǎn)的微分四面體單元表面作用應(yīng)力分量和面力之間的關(guān)系就可以得到。

面力邊界條件描述彈性體表面的平衡，而平衡微分方程描述物體內(nèi)部的平衡。當(dāng)然，對(duì)于彈性體，這僅是靜力學(xué)可能的平衡，還不是彈性體實(shí)際存在的平衡。

面力邊界條件確定的是彈性體表面外力與彈性體內(nèi)部趨近于邊界的應(yīng)力分量的關(guān)系。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：

1.面力邊界條件。由于物體表面受到表面力，如壓力和接觸力等的作用，設(shè)單位面積上的面力分量為Fsx、Fsy和Fsz，物體外表面法線(xiàn)n的方向余弦為l，m，n。參考應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量的關(guān)系，可得

用張量符號(hào)可以表示為

上述公式是彈性體表面微分單元體保持平衡的必要條件，公式左邊表示物體表面的外力，右邊是彈性體內(nèi)部趨近于邊界的應(yīng)力分量。公式給出了應(yīng)力分量與面力之間的關(guān)系，稱(chēng)為靜力邊界條件或面力邊界條件。

平衡微分方程和面力邊界條件都是平衡條件的表達(dá)形式，前者表示物體內(nèi)部的平衡，后者表示物體邊界部分的平衡。

顯然，若已知應(yīng)力分量滿(mǎn)足平衡微分方程和面力邊界條件，則物體平衡；反之，如物體平衡，則應(yīng)力分量必須滿(mǎn)足平衡微分方程和面力邊界條件。學(xué)習(xí)思路:

應(yīng)力矢量不僅隨點(diǎn)的位置改變而變化，而且也由于截面的法線(xiàn)方向n的方向改變而變化，研究這一變化規(guī)律稱(chēng)為應(yīng)力狀態(tài)分析。如果應(yīng)力分量能夠描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，那么應(yīng)力分量與其它應(yīng)力參數(shù)必然有內(nèi)在聯(lián)系。

本節(jié)分析應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量之間的關(guān)系，為深入討論應(yīng)力狀態(tài)作準(zhǔn)備。

利用三個(gè)坐標(biāo)平面和一個(gè)任意斜截面構(gòu)造微分四面體單元，通過(guò)四面體單元探討坐標(biāo)平面的應(yīng)力分量和斜截面上的應(yīng)力矢量的關(guān)系。

根據(jù)平衡關(guān)系，推導(dǎo)任意斜截面的應(yīng)力矢量、法線(xiàn)方向余弦和各個(gè)應(yīng)力分量之間的關(guān)系。

分析表明：一點(diǎn)的應(yīng)力分量確定后，任意斜截面的應(yīng)力矢量是確定的。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：

1.微分四面體單元；

2.應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量。§2.6坐標(biāo)變換的應(yīng)力分量和應(yīng)力張量學(xué)習(xí)思路:

一點(diǎn)的應(yīng)力不僅隨著點(diǎn)的位置改變而變化，而且由于截面的法線(xiàn)方向不同，截面上的應(yīng)力也不同。因此必須探討一點(diǎn)任意截面應(yīng)力之間的變化關(guān)系。應(yīng)力分量能夠描述一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，因此確定不同截面應(yīng)力分量的變化規(guī)律，就可以確定應(yīng)力狀態(tài)。

本節(jié)分析坐標(biāo)系改變時(shí)應(yīng)力分量的變化規(guī)律。為了簡(jiǎn)化分析，首先假設(shè)斜截面的法線(xiàn)與新坐標(biāo)軸方向相同，建立斜截面應(yīng)力矢量表達(dá)式。然后利用斜截面應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量的關(guān)系，將應(yīng)力矢量投影于各個(gè)坐標(biāo)軸得到應(yīng)力分量表達(dá)式。

應(yīng)力分量的轉(zhuǎn)軸公式說(shuō)明：應(yīng)力分量滿(mǎn)足張量變換條件。

根據(jù)切應(yīng)力互等定理，應(yīng)力張量是二階對(duì)稱(chēng)張量。

轉(zhuǎn)軸公式說(shuō)明了一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，盡管截面方位的變化導(dǎo)致應(yīng)力分量改變，但是一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)是不變的。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：坐標(biāo)系的變換；一點(diǎn)的應(yīng)力不僅是坐標(biāo)的函數(shù)，隨著彈性體中點(diǎn)的位置改變而變化，而且即使同一點(diǎn)，由于截面的法線(xiàn)方向不同，截面上的應(yīng)力也不相同。一點(diǎn)的應(yīng)力隨著截面的法線(xiàn)方向的改變而變化稱(chēng)為應(yīng)力狀態(tài)。

應(yīng)力狀態(tài)分析就是討論一點(diǎn)不同截面的應(yīng)力變化規(guī)律。由于應(yīng)力分量可以描述應(yīng)力狀態(tài)，因此討論坐標(biāo)系改變時(shí)，一點(diǎn)的各個(gè)應(yīng)力分量的變化就可以確定應(yīng)力狀態(tài)。

當(dāng)坐標(biāo)系改變時(shí)，同一點(diǎn)的各個(gè)應(yīng)力分量將作如何的改變。

容易證明，坐標(biāo)系僅作平移變換時(shí)，同一點(diǎn)的應(yīng)力分量是不會(huì)改變的，因此只須考慮坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)的情況。

假設(shè)在已知坐標(biāo)系Oxyz中，彈性體中某點(diǎn)的應(yīng)力分量為

如果讓坐標(biāo)系轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)角度，得到一個(gè)新的坐標(biāo)系Ox'y'z'。設(shè)新坐標(biāo)系與原坐標(biāo)系之間有如下關(guān)系:其中，li，mi，ni表示新坐標(biāo)軸Ox'y'z'與原坐標(biāo)軸Oxyz之間的夾角方向余弦。坐標(biāo)平面的應(yīng)力矢量;如果用表示同一點(diǎn)在新坐標(biāo)系下的應(yīng)力分量。

作斜截面ABC與x'軸垂直，其應(yīng)力矢量為pn，則

根據(jù)應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量的表達(dá)式應(yīng)力分量的投影;設(shè)i'，j'，k'為新坐標(biāo)系Ox'y'z'的三個(gè)坐標(biāo)軸方向的單位矢量，如圖所示。

將pn，即px'向x'軸投影就得到x'；

向y'軸投影就得到x'y'；

向z'軸投影就得到x'z'；所以應(yīng)力分量轉(zhuǎn)軸公式;將應(yīng)力矢量分量表達(dá)式代入上述各式，并分別考慮y，z方向，則可以得到轉(zhuǎn)軸公式注意到,

x'y'=y'x',

y'z'=z'y',

x'z'=z'x'。

用張量形式描述，則上述公式可以寫(xiě)作

應(yīng)力變換公式表明：當(dāng)坐標(biāo)軸作轉(zhuǎn)軸變換時(shí)，應(yīng)力分量遵循張量的變換規(guī)律。坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)后，應(yīng)力分量的九個(gè)分量均有改變，但是作為一個(gè)整體所描述的應(yīng)力狀態(tài)是不會(huì)發(fā)生變化的。

應(yīng)力張量為二階對(duì)稱(chēng)張量，僅有六個(gè)獨(dú)立分量。新坐標(biāo)系下的六個(gè)應(yīng)力分量可通過(guò)原坐標(biāo)系的應(yīng)力分量確定。因此，應(yīng)力張量的六個(gè)應(yīng)力分量就確定了一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)。

5.平面問(wèn)題的轉(zhuǎn)軸公式。對(duì)于平面問(wèn)題，如Ox軸與Ox'成角。則新舊坐標(biāo)系有如下關(guān)系：根據(jù)轉(zhuǎn)軸公式，可得

上述公式即材料力學(xué)中常用的應(yīng)力變換公式。

應(yīng)該注意的問(wèn)題是：材料力學(xué)是根據(jù)變形效應(yīng)定義應(yīng)力分量的，而彈性力學(xué)是根據(jù)坐標(biāo)軸定義應(yīng)力分量的符號(hào)的。因此對(duì)于正應(yīng)力二者符號(hào)定義結(jié)果沒(méi)有差別，但是對(duì)于切應(yīng)力符號(hào)定義是不同的。例如對(duì)于兩個(gè)相互垂直的微分面上的切應(yīng)力，根據(jù)彈性力學(xué)定義，符號(hào)是相同的，而根據(jù)材料力學(xué)定義，符號(hào)是相反的。§2.7主應(yīng)力和應(yīng)力不變量學(xué)習(xí)思路:

應(yīng)力狀態(tài)的確定，不僅需要描述一點(diǎn)各個(gè)截面的應(yīng)力變化規(guī)律，而且需要確定最大正應(yīng)力和切應(yīng)力，以及作用平面方位。

本節(jié)討論應(yīng)力狀態(tài)的的重要概念－主平面和主應(yīng)力。主平面是指切應(yīng)力為零的平面；主平面法線(xiàn)方向稱(chēng)為應(yīng)力主軸；主平面的正應(yīng)力稱(chēng)為主應(yīng)力。主平面和主應(yīng)力是描述一點(diǎn)應(yīng)力狀態(tài)的重要參數(shù)，關(guān)系彈性體的強(qiáng)度。

根據(jù)主應(yīng)力和應(yīng)力主軸的定義，可以建立其求解方程－應(yīng)力狀態(tài)特征方程。

對(duì)于應(yīng)力主軸，在主應(yīng)力求解后，再次應(yīng)用齊次方程組和方向余弦特性可以得到。

主應(yīng)力特征方程的系數(shù)具有不變性、實(shí)數(shù)性和正交性。因此稱(chēng)為應(yīng)力不變量。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：主平面與主應(yīng)力；應(yīng)力狀態(tài)的確定，不僅需要描述一點(diǎn)各個(gè)截面的應(yīng)力變化規(guī)律，而且需要確定最大正應(yīng)力和切應(yīng)力，以及作用平面方位。

物體內(nèi)一點(diǎn)的應(yīng)力分量是隨坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)而改變的，那么，對(duì)于這個(gè)確定點(diǎn)，是否可以找到這樣一個(gè)坐標(biāo)系，在這個(gè)坐標(biāo)系下，該點(diǎn)只有正應(yīng)力分量，而切應(yīng)力分量為零。也就是說(shuō)：對(duì)于物體內(nèi)某點(diǎn)，是否能找到三個(gè)相互垂直的微分面，面上只有正應(yīng)力而沒(méi)有切應(yīng)力。答案是肯定的，對(duì)于任何應(yīng)力狀態(tài)，至少有三個(gè)相互垂直平面的切應(yīng)力為零。

切應(yīng)力為零的微分面稱(chēng)為主微分平面，簡(jiǎn)稱(chēng)主平面。

主平面的法線(xiàn)稱(chēng)為應(yīng)力主軸或者稱(chēng)為應(yīng)力主方向。

主平面上的正應(yīng)力稱(chēng)為主應(yīng)力。

根據(jù)主應(yīng)力和應(yīng)力主軸的定義，可以建立其求解方程。

設(shè)過(guò)點(diǎn)O與坐標(biāo)軸傾斜的微分面ABC為主微分面，如圖所示，其法線(xiàn)方向n，既應(yīng)力主軸的三個(gè)方向余弦分別為l，m，n，微分面上的應(yīng)力矢量pn，即主應(yīng)力的三個(gè)分量為px,py,

pz。

根據(jù)主平面的定義，應(yīng)力矢量pn的方向應(yīng)與法線(xiàn)方向n一致，設(shè)為主應(yīng)力，則應(yīng)力矢量的三個(gè)分量與主應(yīng)力的關(guān)系為

px=l,

py=m,

pz=n。l，m，n的齊次線(xiàn)性方程組；

同時(shí)，根據(jù)應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量表達(dá)式，有將上述公式聯(lián)立求解，可以得到上述公式是一個(gè)關(guān)于主平面方向余弦l，m，n的齊次線(xiàn)性方程組。

求解關(guān)于l，m，n的齊次線(xiàn)性方程組。這個(gè)方程組具有非零解的條件為系數(shù)行列式等于零。即應(yīng)力狀態(tài)特征方程；展開(kāi)上述行列式,可得

以上方程稱(chēng)為應(yīng)力狀態(tài)特征方程，是確定彈性體中任意一點(diǎn)主應(yīng)力的方程。其中，

，為應(yīng)力張量元素構(gòu)成的行列式主對(duì)角線(xiàn)元素之和。

，是行列式按主對(duì)角線(xiàn)展開(kāi)的三個(gè)代數(shù)主子式之和。是行列式的值。

由于一點(diǎn)的主應(yīng)力和應(yīng)力主軸方向取決于物體所受載荷和約束條件等，而與坐標(biāo)軸的選取無(wú)關(guān)。因此特征方程的根是確定的，即I1,I2,I3

的值是不隨坐標(biāo)軸的改變而變化的。因此I1,I2,I3分別稱(chēng)為應(yīng)力張量的第一，第二和第三不變量。

應(yīng)當(dāng)指出，所謂不變量是指同一點(diǎn)的應(yīng)力張量而言的，它們與坐標(biāo)軸的選取無(wú)關(guān)。對(duì)于不同點(diǎn)，應(yīng)力狀態(tài)不同，這些量當(dāng)然是要變化的主應(yīng)力性質(zhì)；可以證明，特征方程有三個(gè)實(shí)數(shù)根，如用1，2，3分別表示這三個(gè)根，則它們代表某點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力。

對(duì)于應(yīng)力主軸方向的確定，可以將計(jì)算所得的1，2，3分別代入齊次方程組的任意兩式，并且利用關(guān)系式聯(lián)立求解，則可以求得應(yīng)力主方向。

應(yīng)力不變量具有以下性質(zhì)：1.不變性：

由于一點(diǎn)的正應(yīng)力和應(yīng)力主軸方向取決于彈性體所受的外力和約束條件，而與坐標(biāo)系的選取無(wú)關(guān)。因此對(duì)于任意一個(gè)確定點(diǎn)，特征方程的三個(gè)根是確定的，因此I1，I2，I3的值均與坐標(biāo)軸的選取無(wú)關(guān)。坐標(biāo)系的改變導(dǎo)致應(yīng)力張量的各個(gè)分量變化，但該點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)不變。應(yīng)力不變量正是對(duì)應(yīng)力狀態(tài)性質(zhì)的描述。

2.實(shí)數(shù)性：

特征方程的三個(gè)根，就是一點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力，根據(jù)三次方程根的性質(zhì)，容易證明三個(gè)根均為實(shí)根，所以一點(diǎn)的三個(gè)主應(yīng)力均為實(shí)數(shù)。

3.正交性：

任一點(diǎn)的應(yīng)力主方向，即三個(gè)應(yīng)力主軸是正交的。下面證明主應(yīng)力的正交性：

a.若1≠2≠3，則特征方程無(wú)重根，因此，應(yīng)力主軸必然相互垂直；

b.若1＝2≠3，則特征方程有兩重根，1和2的方向必然垂直于3的方向。而1和2的方向可以是垂直的，也可以不垂直；

c.若1＝2＝3，則特征方程有三重根，三個(gè)應(yīng)力主軸可以垂直，也可以不垂直。這就是說(shuō)，任何方向都是應(yīng)力主軸。

5.正交性證明。證明應(yīng)力不變量的正交性。

假設(shè)主應(yīng)力1，2和3的方向余弦分別為（l1，m1，n1），（l2，m2，n2）和（l3，m3，n3），由于滿(mǎn)足齊次方程組，有

將上述公式的前三式分別乘以l2，m2和n2，中間三式分別乘以-l1，-m1，-n1，然后將六式相加，可得同理

根據(jù)上述關(guān)系式，如果1≠2≠3，有l(wèi)1l2+m1m2+n1n2＝0，l2l3+m2m3+n2n3＝0，

l1l3+m1m3+n1n3＝0

上式說(shuō)明如果三個(gè)主應(yīng)力均不相等，則三個(gè)應(yīng)力主方向是相互垂直的。

如果1＝2≠3，有l(wèi)2l3+m2m3+n2n3＝0，

l1l3+m1m3+n1n3＝0

而l1l2+m1m2+n1n2可以等于零，也可以不等于零。

這說(shuō)明3的方向同時(shí)與1和2的方向垂直，而的1和2的方向可以垂直，也可以不垂直。因此所有與3垂直的方向都是1和2的應(yīng)力主方向。

如果1＝2＝3，則l1l2+m1m2+n1n2，l2l3+m2m3+n2n3和l1l3+m1m3+n1n3均可以等于零，也可以不等于零。也就是說(shuō)任何方向都是應(yīng)力主方向。

由此證明應(yīng)力不變量的正交性。§2.8三向應(yīng)力圓和最大切應(yīng)力學(xué)習(xí)思路:

應(yīng)力狀態(tài)的確定，還需要討論一點(diǎn)的正應(yīng)力和切應(yīng)力之間的變化關(guān)系。

本節(jié)通過(guò)討論任意截面正應(yīng)力與切應(yīng)力的關(guān)系，建立三向應(yīng)力圓概念，并且通過(guò)應(yīng)力圓確定一點(diǎn)的最大正應(yīng)力和切應(yīng)力。

分析中應(yīng)用任意斜截面上的應(yīng)力矢量可以通過(guò)應(yīng)力分量的特殊形式－主應(yīng)力表達(dá)，也可以分解為正應(yīng)力和切應(yīng)力，建立主應(yīng)力與正應(yīng)力和切應(yīng)力的關(guān)系?？紤]斜截面法線(xiàn)的三個(gè)方向余弦，則可以確定一點(diǎn)的正應(yīng)力、切應(yīng)力與三個(gè)主應(yīng)力的關(guān)系。

構(gòu)造一個(gè)以正應(yīng)力為橫軸，切應(yīng)力為豎軸的應(yīng)力平面，則一點(diǎn)的正應(yīng)力和切應(yīng)力位于應(yīng)力平面的三個(gè)由主應(yīng)力確定的應(yīng)力圓之內(nèi)。

為了進(jìn)一步探討應(yīng)力狀態(tài)，最后分析八面體單元應(yīng)力。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：截面正應(yīng)力與切應(yīng)力；一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可以通過(guò)六個(gè)應(yīng)力分量確定，主應(yīng)力和應(yīng)力主軸是描述應(yīng)力狀態(tài)的重要參數(shù)。但僅僅這些，對(duì)于應(yīng)力狀態(tài)分析還不夠，本節(jié)將進(jìn)一步討論任意斜截面的正應(yīng)力和切應(yīng)力的變化。

以三個(gè)相互垂直的應(yīng)力主軸為坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系如圖所示，設(shè)三個(gè)主應(yīng)力為應(yīng)力分量為1，2,3，即

O點(diǎn)附近有任意斜截面ABC，它的法線(xiàn)方向?yàn)閚（l，m，n）。斜截面上的應(yīng)力矢量pn可分解為兩部分：沿法線(xiàn)方向的正應(yīng)力n和沿切線(xiàn)方向的切應(yīng)力n，如圖所示。根據(jù)應(yīng)力矢量與應(yīng)力分量的關(guān)系展開(kāi)可得

因?yàn)楦鶕?jù)應(yīng)力轉(zhuǎn)軸公式還有

2.斜截面方向余弦；關(guān)于l，m，n聯(lián)立求解上述公式，可以得到

當(dāng)斜截面方位變更時(shí)，法線(xiàn)的方向余弦n隨著改變，因此正應(yīng)力n和切應(yīng)力n也隨之變化。這里有正應(yīng)力n和切應(yīng)力n兩個(gè)變量，如果建立一個(gè)平面坐標(biāo)系，以n為橫軸，n為縱軸，則斜截面上的兩個(gè)應(yīng)力分量（n，n）恰好是這個(gè)坐標(biāo)系中的一個(gè)點(diǎn)。

如圖所示。

設(shè)1≥2≥3，則因?yàn)閘2,m2,n2均大于或等于零，因此根據(jù)上述公式的第一式，可以得到三向應(yīng)力圓；上式可以改寫(xiě)為

上述不等式表示在應(yīng)力平面上，圓心在橫軸，橫坐標(biāo)為（2+3）/2，半徑為（2-3）/2的圓C1圓周及其以外的區(qū)域。

同理考慮公式的第二式，可得

它表達(dá)了圓C2的圓周及其內(nèi)部區(qū)域。

對(duì)于公式的第三式，可得

它表達(dá)了圓C3圓周及其外部區(qū)域。

綜上所述，斜截面的方位改變時(shí)，截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力（n，n）只能位于圓C1，C2和C3的圓周所圍成的區(qū)域之內(nèi)。

這三個(gè)圓C1，C2和C3是兩兩相切的，稱(chēng)為應(yīng)力圓。最大切應(yīng)力;根據(jù)應(yīng)力圓，對(duì)于一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)，不難得到下列結(jié)論：

根據(jù)應(yīng)力圓，縱坐標(biāo)最大處即最大切應(yīng)力的值，它的橫坐標(biāo)為(1+3)/2，將它們回代到公式，可得最大切應(yīng)力作用平面的方向余弦為l2=0.5,

m2=0,

n2=0.5m=0表示最大切應(yīng)力作用面的法線(xiàn)與應(yīng)力主軸2相互垂直，因此這一作用面必然通過(guò)應(yīng)力主軸2。l2=0,n2=0.5說(shuō)明最大切應(yīng)力作用面的法線(xiàn)與應(yīng)力主軸1和3都成45°角。

根據(jù)上述分析，彈性體內(nèi)任意一點(diǎn)的最大正應(yīng)力為1，最小正應(yīng)力為3。

最大切應(yīng)力可以通過(guò)主應(yīng)力計(jì)算，最大切應(yīng)力等于(1－3）。

最大切應(yīng)力作用平面也可以通過(guò)應(yīng)力主軸得到，其作用平面通過(guò)2應(yīng)力主軸，并且與1和3應(yīng)力主軸交45°角，如圖所示。八面體單元;下面介紹正八面體單元應(yīng)力。

以主應(yīng)力1,2,3對(duì)應(yīng)的應(yīng)力主軸作為x1，x2，x3坐標(biāo)軸建立坐標(biāo)系，選取與三個(gè)應(yīng)力主軸等傾的八個(gè)微分面構(gòu)成一個(gè)單元體，如圖所示

由于單元體的每一個(gè)微分面均為等傾面，即其法線(xiàn)與三個(gè)坐標(biāo)軸的夾角相同。設(shè)微分面的法線(xiàn)方向余弦為l，m，n，則由于

所以

對(duì)于八面體單元各微分面上的應(yīng)力矢量，我們將其分為正應(yīng)力8和切應(yīng)力8兩部分分別討論。

對(duì)于八面體單元的正應(yīng)力，由公式可得由上式可知，8就是某點(diǎn)的平均正應(yīng)力。

6.八面體單元應(yīng)力。對(duì)于八面體單元的切應(yīng)力8，可以應(yīng)用應(yīng)力分解公式因?yàn)樗?/p>

顯然，八面體單元的切應(yīng)力是可以通過(guò)應(yīng)力不變量表達(dá)的，因此也是不變量。根據(jù)強(qiáng)度理論，第四強(qiáng)度理論的等效應(yīng)力為所以

。

由上式可知：八面體單元的切應(yīng)力8是一個(gè)與第四強(qiáng)度理論等效應(yīng)力有關(guān)的物理量，因此它也是一個(gè)與塑性材料的失穩(wěn)有關(guān)的物理量。

上述分析表明，八面體單元的正應(yīng)力8和切應(yīng)力8均是由應(yīng)力不變量所描述的，因此對(duì)于任意的坐標(biāo)系，其數(shù)值也是不變的，即八面體單元的正應(yīng)力8和切應(yīng)力8也是不變量?！?.9球應(yīng)力張量和偏球應(yīng)力張量學(xué)習(xí)思路:

外力的作用下，物體的變形可以分解為體積改變和形狀改變兩部分。對(duì)應(yīng)這兩種形式的變形，應(yīng)力張量可以分解為應(yīng)力球張量和應(yīng)力偏張量?jī)刹糠荨?/p>

分解的物理意義為：應(yīng)力球張量使微單元體三個(gè)方向作用相同的正應(yīng)力，只能改變微單元體的體積，而不能改變其形狀。應(yīng)力偏張量不改變微單元體的體積，僅產(chǎn)生形狀的畸變。它描述的是實(shí)際應(yīng)力狀態(tài)與平均應(yīng)力狀態(tài)的偏離程度，這對(duì)描述問(wèn)題的塑性變形是十分重要的。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：應(yīng)力狀態(tài)的分解；一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)可以使用應(yīng)力張量表示，上述應(yīng)力分量將使彈性體任意一點(diǎn)發(fā)生變形。

實(shí)驗(yàn)證明，固體材料在各向相等正應(yīng)力作用下，一般表現(xiàn)為彈性變形。由于材料的體積改變是由于各向相等的正應(yīng)力引起的，因此可以認(rèn)為，材料的非彈性變形主要是物體的形狀變化時(shí)產(chǎn)生的。這一性質(zhì)在塑性理論分析中經(jīng)常應(yīng)用。

在外力的作用下，物體的變形一般可以分解為體積改變和形狀改變兩部分

。

為進(jìn)一步研究應(yīng)力分量對(duì)于變形的影響，將應(yīng)力張量分解為應(yīng)力球張量和應(yīng)力偏張量；其中，mii為上式中

為平均正應(yīng)力。mii稱(chēng)為平均應(yīng)力張量或稱(chēng)應(yīng)力球張量。而sij等于稱(chēng)為應(yīng)力偏張量，簡(jiǎn)稱(chēng)應(yīng)力偏量。

分解的物理意義為：應(yīng)力球張量mii使微分單元體三個(gè)方向作用相同的正應(yīng)力，這使單元體發(fā)生變形時(shí)，只能產(chǎn)生導(dǎo)致體積的均勻膨脹或收縮。因而只能改變單元體體積，而不能改變單元體形狀。

而應(yīng)力偏張量sij將不改變微分單元體的體積，僅產(chǎn)生形狀的畸變。它描述的是實(shí)際應(yīng)力狀態(tài)與平均應(yīng)力狀態(tài)的偏離程度，所以它對(duì)描述問(wèn)題的塑性變形是十分重要的。

3.應(yīng)力偏張量不變量。因?yàn)閙ij的任意方向均為應(yīng)力主方向，所以應(yīng)力偏張量sij與的應(yīng)力主方向相同，而且其主應(yīng)力僅相差一個(gè)平均應(yīng)力。因此可用正應(yīng)力特征方程計(jì)算。即

計(jì)算可得三個(gè)應(yīng)力偏張量的不變量I'1，I'2，I'3，有

在塑性力學(xué)中，經(jīng)常使用的是應(yīng)力偏張量的第二不變量I`2，若取應(yīng)力主軸方向，則

由于第二應(yīng)力偏張量不變量恒為負(fù)值，一般在應(yīng)用時(shí)取為正值，則實(shí)驗(yàn)證明，對(duì)于金屬材料，應(yīng)力球分量mij引起的變形一般都是彈性變形，而材料屈服后的塑性變形基本上是畸變變形，因此應(yīng)力偏張量sij在塑性力學(xué)的研究中起重要作用。第三章應(yīng)變狀態(tài)分析內(nèi)容介紹知識(shí)點(diǎn)

位移與變形

正應(yīng)變純變形位移與剛性轉(zhuǎn)動(dòng)位移

應(yīng)變分量坐標(biāo)轉(zhuǎn)軸公式主應(yīng)變齊次方程組體積應(yīng)變變形協(xié)調(diào)方程變形協(xié)調(diào)方程證明多連域的變形協(xié)調(diào)變形與應(yīng)變分量切應(yīng)變幾何方程與應(yīng)變張量位移增量的分解應(yīng)變張量應(yīng)變狀態(tài)特征方程變形協(xié)調(diào)的物理意義變形協(xié)調(diào)方程的數(shù)學(xué)意義§3.1位移分量與應(yīng)變分量幾何方程學(xué)習(xí)思路:

由于載荷的作用或者溫度的變化，物體內(nèi)各點(diǎn)在空間的位置將發(fā)生變化，就是產(chǎn)生位移。這一移動(dòng)過(guò)程，彈性體將同時(shí)發(fā)生兩種可能的變化：剛體位移和變形位移。變形位移是與彈性體的應(yīng)力有著直接的關(guān)系。

彈性體的變形通過(guò)微分六面體單元描述，微分單元體的變形分為兩個(gè)部分，一是微分單元體棱邊的伸長(zhǎng)和縮短；二是棱邊之間夾角的變化，分別使用正應(yīng)變和切應(yīng)變表示這兩種變形的。

由于是小變形問(wèn)題，單元變形可以投影于坐標(biāo)平面分析。根據(jù)正應(yīng)變和切應(yīng)變定義，不難得到應(yīng)變與位移的關(guān)系－幾何方程，或者稱(chēng)為柯西方程。

幾何方程給出的應(yīng)變通常稱(chēng)為工程應(yīng)變。幾何方程可以表示為張量形式，應(yīng)該注意的是，正應(yīng)變與對(duì)應(yīng)應(yīng)變張量分量相等；而切應(yīng)變等于對(duì)應(yīng)的應(yīng)變張量分量的兩倍。

幾何方程給出了位移分量和應(yīng)變分量之間的關(guān)系。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：

1.位移函數(shù)；由于載荷作用或者溫度變化等外界因素等影響，物體內(nèi)各點(diǎn)在空間的位置將發(fā)生變化，即產(chǎn)生位移。這個(gè)移動(dòng)過(guò)程，彈性體將可能同時(shí)發(fā)生兩種位移變化。

第一種位移是位置的改變，但是物體內(nèi)部各個(gè)點(diǎn)仍然保持初始狀態(tài)的相對(duì)位置不變，這種位移是物體在空間做剛體運(yùn)動(dòng)引起的，因此稱(chēng)為剛體位移。

第二種位移是彈性體形狀的變化，位移發(fā)生時(shí)不僅改變物體的絕對(duì)位置，而且改變了物體內(nèi)部各個(gè)點(diǎn)的相對(duì)位置，這是物體形狀變化引起的位移，稱(chēng)為變形。

一般來(lái)說(shuō)，剛體位移和變形是同時(shí)出現(xiàn)的。當(dāng)然，對(duì)于彈性力學(xué)，主要是研究變形，因?yàn)樽冃魏蛷椥泽w的應(yīng)力有著直接的關(guān)系。根據(jù)連續(xù)性假設(shè)，彈性體在變形前和變形后仍保持為連續(xù)體。那么彈性體中某點(diǎn)在變形過(guò)程中由M（x，y，z）移動(dòng)至M'（x'，y'，z'），這一過(guò)程也將是連續(xù)的,如圖所示。在數(shù)學(xué)上，x'，y'，z'必為x，y，z的單值連續(xù)函數(shù)。設(shè)MM'=S為位移矢量，其三個(gè)分量u，v，w為位移分量。則u=x'（x，y，z）-x=u（x，y，z）

v=y'（x，y，z）-y=v（x，y，z）

w=z'（x，y，z）-z=w（x，y，z）

顯然，位移分量u，v，w也是x，y，z的單值連續(xù)函數(shù)。以后的分析將進(jìn)一步假定位移函數(shù)具有三階連續(xù)導(dǎo)數(shù)。

2.變形與應(yīng)變分量；為進(jìn)一步研究彈性體的變形情況，假設(shè)從彈性體中分割出一個(gè)微分六面體單元，其六個(gè)面分別與三個(gè)坐標(biāo)軸垂直。

對(duì)于微分單元體的變形，將分為兩個(gè)部分討論。一是微分單元體棱邊的伸長(zhǎng)和縮短；二是棱邊之間夾角的變化。彈性力學(xué)分別使用正應(yīng)變和切應(yīng)變表示這兩種變形的。

對(duì)于微分平行六面體單元，設(shè)其變形前與x，y，z坐標(biāo)軸平行的棱邊分別為MA，MB，MC，變形后分別變?yōu)镸'A'，M'B'，M'C'。

假設(shè)分別用xyz表示x，y，z軸方向棱邊的相對(duì)伸長(zhǎng)度，即正應(yīng)變；分別用xyyzzx表示x和y，y和z，z和x軸之間的夾角變化，即切應(yīng)變。則

對(duì)于小變形問(wèn)題，為了簡(jiǎn)化分析，將微分單元體分別投影到Oxy，Oyz，Ozx平面來(lái)討論。

顯然，單元體變形前各棱邊是與坐標(biāo)面平行的，變形后棱邊將有相應(yīng)的轉(zhuǎn)動(dòng)，但我們討論的是小變形問(wèn)題，這種轉(zhuǎn)動(dòng)所帶來(lái)的影響較小。特別是物體位移中不影響變形的計(jì)算，假設(shè)各點(diǎn)的位移僅為自身的大小和形狀的變化所確定，則這種微分線(xiàn)段的轉(zhuǎn)動(dòng)的誤差是十分微小的，不會(huì)導(dǎo)致微分單元體的變形有明顯的變化。

3.正應(yīng)變表達(dá)式；首先討論Oxy面上投影的變形。

設(shè)ma，mb分別為MA，MB的投影，m'a'，m'b'分別為M'A'，M'B'，即變形后的MA，MB的投影。

微分單元體的棱邊長(zhǎng)為dx，dy，dz，M點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y，z），u（x，y，z），v(x,y,z)分別表示M點(diǎn)x，y方向的位移分量。

則A點(diǎn)的位移為u(x+dx，y，z），v(x+dx，y，z）,B點(diǎn)的位移為u(x，y+dy，z），v(x，y+dy，z）。按泰勒級(jí)數(shù)將A，B兩點(diǎn)的位移展開(kāi)，并且略去二階以上的小量，則A，B點(diǎn)的位移分別為

因?yàn)?/p>

所以同理可得

由此可以得到彈性體內(nèi)任意一點(diǎn)微分線(xiàn)段的相對(duì)伸長(zhǎng)度，即正應(yīng)變。

顯然微分線(xiàn)段伸長(zhǎng)，則正應(yīng)變x,y,z大于零，反之則小于零

4.切應(yīng)變分量；以下討論切應(yīng)變表達(dá)關(guān)系。

假設(shè)yx為與x軸平行的微分線(xiàn)段ma向y軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度，xy為與y軸平行的mb向x軸轉(zhuǎn)過(guò)的角度。則切應(yīng)變因?yàn)?/p>

上式的推導(dǎo)中，利用了小變形條件下位移的導(dǎo)數(shù)是高階小量的結(jié)論。同理可得yx和xy可為正或?yàn)樨?fù)，其正負(fù)號(hào)的幾何意義為：yx大于零，表示位移v隨坐標(biāo)x而增加，即x方向的微分線(xiàn)段正向向y軸旋轉(zhuǎn)。將上述兩式代入切應(yīng)變表達(dá)式，則同理可得

切應(yīng)變分量大于零，表示微分線(xiàn)段的夾角縮小，反之則增大

5.幾何方程與應(yīng)變張量。綜上所述，應(yīng)變分量與位移分量之間的關(guān)系為上述公式稱(chēng)為幾何方程，又稱(chēng)柯西方程。

柯西方程給出了位移分量和應(yīng)變分量之間的關(guān)系。如果已知位移，由位移函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)即可求得應(yīng)變；但是如果已知應(yīng)變，由于六個(gè)應(yīng)變分量對(duì)應(yīng)三個(gè)位移分量，則其求解將相對(duì)復(fù)雜。這個(gè)問(wèn)題以后作專(zhuān)門(mén)討論。

幾何方程給出的應(yīng)變通常稱(chēng)為工程應(yīng)變。

如果使用張量符號(hào)，則幾何方程可以表達(dá)為

上式表明應(yīng)變分量ij將滿(mǎn)足二階張量的坐標(biāo)變換關(guān)系，應(yīng)變張量分量與工程應(yīng)變分量的關(guān)系可表示為§3.2純變形位移與剛性轉(zhuǎn)動(dòng)位移學(xué)習(xí)思路:

應(yīng)變分量通過(guò)位移的偏導(dǎo)數(shù)描述了一點(diǎn)的變形，對(duì)微分平行六面體單元棱邊的伸長(zhǎng)以及棱邊之間夾角的改變做出定義。但是這還不能完全描述彈性體的變形，原因是沒(méi)有考慮微分單元體的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)。

通過(guò)分析彈性體內(nèi)無(wú)限鄰近兩點(diǎn)的位置變化，則可得出剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)位移與純變形位移之間的關(guān)系。剛體轉(zhuǎn)動(dòng)通過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)分量描述。

剛性轉(zhuǎn)動(dòng)位移的物理意義：如果彈性體內(nèi)某點(diǎn)沒(méi)有變形，則無(wú)限鄰近它的任意一點(diǎn)的位移由兩部分組成，平動(dòng)位移和轉(zhuǎn)動(dòng)位移。如果發(fā)生變形，位移中還包括純變形位移。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：

1.剛體轉(zhuǎn)動(dòng)位移；應(yīng)變可以描述一點(diǎn)的變形，即對(duì)微分平行六面體單元棱邊的伸長(zhǎng)以及棱邊之間夾角的改變做出定義。但是這還不足以完全描述彈性體的變形，原因是應(yīng)變分析僅僅討論了棱邊伸長(zhǎng)和夾角變化，而沒(méi)有考慮微分單元體位置的改變，即單元體的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)。

通過(guò)分析彈性體內(nèi)無(wú)限鄰近兩點(diǎn)的位置變化，則可得出剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)位移與純變形位移之間的關(guān)系。設(shè)P點(diǎn)無(wú)限鄰近O點(diǎn)，P點(diǎn)及其附近區(qū)域繞O作剛性轉(zhuǎn)動(dòng)，轉(zhuǎn)過(guò)微小角度。

設(shè)轉(zhuǎn)動(dòng)矢量為ω，OP之間的距離矢量為，如圖所示。則引入拉普拉斯算符矢量

2.轉(zhuǎn)動(dòng)位移分量；設(shè)P點(diǎn)的位移矢量為U，有U=ui+uj+u

由于位移矢量可以表示為U=ω×,所以即其中

x,y,z為轉(zhuǎn)動(dòng)分量，是坐標(biāo)的函數(shù)，表示了彈性體內(nèi)微分單元體的剛性轉(zhuǎn)動(dòng)。

3.純變形位移與轉(zhuǎn)動(dòng)位移；設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（x，y，z），位移（u，v，w）。與M點(diǎn)鄰近的N點(diǎn)，坐標(biāo)為（x+dx，y+dy，z+dz），位移為（u+du，v+dv，w+dw）。

則MN兩點(diǎn)的相對(duì)位移為（du，dv，dw）。因?yàn)槲灰茷樽鴺?biāo)的函數(shù)，所以同理可得

以上位移增量公式中，前三項(xiàng)為產(chǎn)生變形的純變形位移，后兩項(xiàng)是某點(diǎn)鄰近區(qū)域的材料繞該點(diǎn)像剛體一樣轉(zhuǎn)動(dòng)的剛性轉(zhuǎn)動(dòng)位移。

剛性轉(zhuǎn)動(dòng)位移的物理意義為，如果彈性體中某點(diǎn)及鄰近區(qū)域沒(méi)有變形，則與某點(diǎn)無(wú)限鄰近這一點(diǎn)的位移，根據(jù)剛體動(dòng)力學(xué)可知，是由兩部分組成。分別是隨這點(diǎn)的平動(dòng)位移和繞這點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)位移。對(duì)于彈性體中某一點(diǎn)，一般還要發(fā)生變形，因此位移中還包括純變形位移4.位移的分解?？偟脕?lái)講，與M點(diǎn)無(wú)限鄰近的N點(diǎn)的位移由三部分組成的：

1．隨同M點(diǎn)作平動(dòng)位移。

2．繞M點(diǎn)作剛性轉(zhuǎn)動(dòng)在N點(diǎn)產(chǎn)生的位移。

3．由于M點(diǎn)及其鄰近區(qū)域的變形在N點(diǎn)引起的位移。

轉(zhuǎn)動(dòng)分量x,y，z對(duì)于微分單元體，描述的是剛性轉(zhuǎn)動(dòng)，但其對(duì)于整個(gè)彈性體來(lái)講，仍屬于變形的一部分。三個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)分量和六個(gè)應(yīng)變分量合在一起，不僅確定了微分單元體形狀的變化，而且確定了方位的變化。

位移增量公式如果使用矩陣形式表示，可得

顯然，位移的增量是由兩部分組成的，一部分是轉(zhuǎn)動(dòng)分量引起的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)位移，另一部分是應(yīng)變分量引起的變形位移增量。§3.3應(yīng)變的坐標(biāo)變換與應(yīng)變張量學(xué)習(xí)思路:

與應(yīng)力狀態(tài)分析相同，一點(diǎn)的應(yīng)變分量在不同坐標(biāo)系下的描述是不相同的，因此討論應(yīng)變狀態(tài)，就必須建立坐標(biāo)變換，就是坐標(biāo)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的應(yīng)變分量變換關(guān)系。

本節(jié)通過(guò)新坐標(biāo)系與舊坐標(biāo)系之間的位移變換關(guān)系式，根據(jù)幾何方程，通過(guò)復(fù)合函數(shù)的微分，就可以得到應(yīng)變分量的轉(zhuǎn)軸公式。

轉(zhuǎn)軸公式表明應(yīng)變張量也是二階對(duì)稱(chēng)張量。

根據(jù)轉(zhuǎn)軸公式，一點(diǎn)的六個(gè)獨(dú)立的應(yīng)變分量一旦確定，則任意坐標(biāo)系下的應(yīng)變分量均可確定，即應(yīng)變狀態(tài)完全確定。

應(yīng)變狀態(tài)分析表明：坐標(biāo)變換后各個(gè)應(yīng)變分量均發(fā)生改變，但是作為一個(gè)整體，一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)是不會(huì)改變的。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：

1.坐標(biāo)變換；上一節(jié)我們引入了應(yīng)變分量，本節(jié)將討論不同坐標(biāo)系下一點(diǎn)的應(yīng)變分量的關(guān)系。與坐標(biāo)轉(zhuǎn)軸時(shí)的應(yīng)力分量的變換一樣，我們將建立應(yīng)變分量轉(zhuǎn)軸的變換公式，即已知ij在舊坐標(biāo)系中的分量，求其在新坐標(biāo)系中的各分量i'j'。

根據(jù)幾何方程，坐標(biāo)平動(dòng)將不會(huì)影響應(yīng)變分量。因此只需坐標(biāo)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)的應(yīng)變分量變換關(guān)系，設(shè)新坐標(biāo)系Oxyz是舊坐標(biāo)系Ox'y'z'經(jīng)過(guò)轉(zhuǎn)動(dòng)得到的，如圖所示。新舊坐標(biāo)軸之間的夾角的方向余弦為

設(shè)變形前的M點(diǎn)，變形后移至M'點(diǎn)，設(shè)其位移矢量MM'=U，則

2.應(yīng)變分量坐標(biāo)轉(zhuǎn)軸公式；所以，新坐標(biāo)系的位移分量為，

根據(jù)幾何方程，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的微分關(guān)系

同理，可以推導(dǎo)其余五個(gè)應(yīng)變分量的變換公式，即

3.應(yīng)變張量。如果以nij（i，j=1，2，3）表示新舊坐標(biāo)系之間的夾角的方向余弦，并注意到應(yīng)變張量表達(dá)式，則上述應(yīng)變分量變換公式可以寫(xiě)作ij=nii'njj'ij

因此，如果將應(yīng)變分量寫(xiě)作下列形式則應(yīng)變分量滿(mǎn)足張量變換關(guān)系。

與應(yīng)力張量相同，應(yīng)變張量也是二階對(duì)稱(chēng)張量。

由公式可知，一點(diǎn)的六個(gè)獨(dú)立的應(yīng)變分量一旦確定，則任意坐標(biāo)系下的應(yīng)變分量均可確定，即一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)就完全確定了。不難理解，坐標(biāo)變換后各應(yīng)變分量均發(fā)生改變，但它們作為一個(gè)整體，所描述的一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)是不會(huì)改變的§3.4主應(yīng)變和應(yīng)變不變量學(xué)習(xí)思路:

應(yīng)變狀態(tài)分析需要確定一點(diǎn)的最大正應(yīng)變及其方位，就是確定主應(yīng)變和主平面。

對(duì)于任意一點(diǎn)，至少有三個(gè)垂直方向，在該方向僅有正應(yīng)變而切應(yīng)變?yōu)榱恪＞哂性撔再|(zhì)的方向，稱(chēng)為應(yīng)變主軸或應(yīng)變主方向，該方向的正應(yīng)變稱(chēng)為主應(yīng)變。

本節(jié)根據(jù)位移增量與應(yīng)變分量以及主應(yīng)變的關(guān)系，推導(dǎo)求解主應(yīng)變及其方向余弦的齊次方程組。根據(jù)齊次方程組非零解的條件，可以確定關(guān)于求解主應(yīng)力的應(yīng)變狀態(tài)特征方程。

根據(jù)特征方程，可以確定三個(gè)主應(yīng)變。如果將主應(yīng)變回代齊次方程組，并且注意到任意截面的三個(gè)方向余弦的平方和等于1，則可解應(yīng)變主軸的方向余弦。

根據(jù)特征方程和應(yīng)變不變量可知，主應(yīng)變和應(yīng)變主軸的特性與主應(yīng)力和應(yīng)力主軸是類(lèi)似的。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：

1.位移微分表達(dá)式；彈性體內(nèi)任一點(diǎn)的六個(gè)應(yīng)變分量，即應(yīng)變張量隨著坐標(biāo)軸的旋轉(zhuǎn)而改變。因此是否可以像應(yīng)力張量一樣，對(duì)于某一個(gè)確定點(diǎn)，在某個(gè)坐標(biāo)系下所有的切應(yīng)變分量都為零，僅有正應(yīng)變分量不等于零。即能否找到三個(gè)相互垂直的方向，在這三個(gè)方向上的微分線(xiàn)段在物體變形后只是各自改變長(zhǎng)度，而其夾角仍為直角。答案是肯定的。

在任何應(yīng)變狀態(tài)下，至少可以找到三個(gè)這樣的垂直方向，在該方向僅有正應(yīng)變而切應(yīng)變?yōu)榱恪?/p>

具有該性質(zhì)的方向，稱(chēng)為應(yīng)變主軸或應(yīng)變主方向，該方向的應(yīng)變稱(chēng)為主應(yīng)變。

設(shè)ij為物體內(nèi)某點(diǎn)在已知坐標(biāo)系的應(yīng)變張量，求其主應(yīng)變1，2，3及應(yīng)變主軸方向n1,n2,n3。設(shè)MN為M點(diǎn)的主軸之一，其變形前的方向余弦為l，m，n，主應(yīng)變?yōu)?。令d表示MN的長(zhǎng)度,則MN相對(duì)伸長(zhǎng)為d，如圖所示。

設(shè)M點(diǎn)的位移為（u，v，w），則N點(diǎn)的位移為（u+du，v+dv，w+dw）。因?yàn)?/p>

du=在x方向的變形位移分量+剛性轉(zhuǎn)動(dòng)位移在x方向的分量

=ld+剛性轉(zhuǎn)動(dòng)位移在x方向的分量

2.主應(yīng)變齊次方程組；根據(jù)公式即du等于純變形位移與剛性轉(zhuǎn)動(dòng)位移在x方向的分量之和。根據(jù)上述公式，可得或者寫(xiě)作同理可得上述公式是關(guān)于l，m，n的齊次線(xiàn)性方程組

3.主應(yīng)變特征方程與不變量。對(duì)于l，m，n的齊次線(xiàn)性方程組，其非零解的條件為其系數(shù)行列式的值為零。即將上式展開(kāi)，可得主應(yīng)變特征方程，其中

顯然與應(yīng)力不變量相同，J1，J2，J3為應(yīng)變不變量，分別稱(chēng)為第一，第二和第三應(yīng)變不變量。

根據(jù)特征方程，可以求解得到三個(gè)主應(yīng)變。將求解后的主應(yīng)變代入公式，并注意到任意一點(diǎn)三個(gè)方向余弦的平方和等于1，則可解應(yīng)變主軸的方向余弦。

由應(yīng)力張量和應(yīng)變張量，應(yīng)力不變量和應(yīng)變不變量之間的公式的比較可知，主應(yīng)變和應(yīng)變主軸的特性與主應(yīng)力和應(yīng)力主軸是類(lèi)似的§3.5體積應(yīng)變學(xué)習(xí)思路:

物體變形后的單位體積變化稱(chēng)為體積應(yīng)變。

討論微分平行六面體單元的體積變形，可以得到體積應(yīng)變。體積應(yīng)變等于3個(gè)正應(yīng)變之和，就是第一應(yīng)變不變量。

體積應(yīng)變表示物體的體積變形是正應(yīng)變引起的，與切應(yīng)變無(wú)關(guān)。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：

1.單元體位移；本節(jié)介紹物體變形后的單位體積變化，即體積應(yīng)變。

討論微分平行六面體單元，如圖所示。

變形前，單元體的三條棱邊分別為MA，MB，MC，

長(zhǎng)dx，dy，dz，

其體積為：V=dxdydz

設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（x，y，z），則A，B，C點(diǎn)坐標(biāo)分別為（x+dx，y，z），（x，y+dy，z）和（x，y，z+dz）。

彈性體變形后，其三條棱邊分別變?yōu)镸'A'，M'B'，M'C'。其中

2.體積應(yīng)變。若用V'表示變形后的微分單元體體積，則將行列式展開(kāi)并忽略二階以上的高階小量，則

若用表示單位體積的變化即體積應(yīng)變，則由上式可得

顯然體積應(yīng)變就是應(yīng)變張量的第一不變量J1。因此常寫(xiě)作

體積應(yīng)變大于零表示微分單元體膨脹，小于零則表示單元體受壓縮。若彈性體內(nèi)處處為零，則物體變形后的體積是不變的§3.6應(yīng)變協(xié)調(diào)方程學(xué)習(xí)思路:

變形協(xié)調(diào)方程的數(shù)學(xué)意義是：要使以三個(gè)位移分量為未知函數(shù)的六個(gè)幾何方程不矛盾，則應(yīng)變分量必須滿(mǎn)足的必要條件。

應(yīng)變協(xié)調(diào)方程的物理意義可以從彈性體的變形連續(xù)性質(zhì)作出解釋。如果變形不滿(mǎn)足一定的關(guān)系，變形后的物體將出現(xiàn)縫隙或嵌入現(xiàn)象，不能重新組合成連續(xù)體。

為使變形后的微分單元體連續(xù)，應(yīng)變分量必須滿(mǎn)足一定的關(guān)系，這一關(guān)系就是應(yīng)變協(xié)調(diào)方程，又稱(chēng)圣維南（SaintVenant）方程。

假如彈性體是單連通域的,應(yīng)變協(xié)調(diào)方程不僅是變形連續(xù)的必要條件，而且也是充分條件。

利用位移函數(shù)的微分沿任意路徑重新積分可以確定的位移必然是單值位移的條件，可以證明應(yīng)變協(xié)調(diào)方程。

對(duì)于多連通域問(wèn)題，應(yīng)變分量滿(mǎn)足變形協(xié)調(diào)方程只是位移連續(xù)的必要條件，只有加上位移連續(xù)補(bǔ)充條件作為充分條件。

學(xué)習(xí)要點(diǎn)：

1.變形協(xié)調(diào)例題；幾何方程表明，六個(gè)應(yīng)變分量是通過(guò)三個(gè)位移分量表示的，因此六個(gè)應(yīng)變分量將不可能是互不相關(guān)的，應(yīng)變分量之間必然存在某種聯(lián)系。

這個(gè)問(wèn)題對(duì)于彈性力學(xué)分析是非常重要的。因?yàn)槿绻阎灰品至?，容易通過(guò)幾何方程的求導(dǎo)過(guò)程獲得應(yīng)變分量；但是反之，如果已知應(yīng)變分量，則幾何方程的六個(gè)方程將僅面對(duì)三個(gè)未知的位移函數(shù)，方程數(shù)顯然超過(guò)未知函數(shù)的個(gè)數(shù)，方程組將可能是矛盾的。

隨意給出六個(gè)應(yīng)變分量，不一定能求出對(duì)應(yīng)的位移。例如：

例1設(shè)應(yīng)變分量為：，，求其位移解：顯然該應(yīng)變分量沒(méi)有對(duì)應(yīng)的位移。

要使這一方程組不矛盾，則六個(gè)應(yīng)變分量必須滿(mǎn)足一定的條件。

以下我們將著手建立這一條件。變形協(xié)調(diào)方程；首先從幾何方程中消去位移分量，把幾何方程的第一式和第二式分別對(duì)x和y求二階偏導(dǎo)數(shù)，然后相加，并利用第四式，可得

若將幾何方程的第四，五，六式分別對(duì)z，x，y求一階偏導(dǎo)數(shù)，然后四和六兩式相加并減去第五式，則將上式對(duì)x求一階偏導(dǎo)數(shù)，則分別輪換x,y,z，則可得如下六個(gè)關(guān)系式，

上述方程稱(chēng)為應(yīng)變協(xié)調(diào)方程或者變形協(xié)調(diào)方程，又稱(chēng)圣維南（SaintVenant）方程。

3.變形協(xié)調(diào)方程的意義；變形協(xié)調(diào)方程的數(shù)學(xué)意義是：要使三個(gè)位移分量為未知函數(shù)的六個(gè)幾何方程不相矛盾，則應(yīng)變分量必須滿(mǎn)足的必要條件。

應(yīng)變協(xié)調(diào)方程的物理意義可以從彈性體的變形連續(xù)作出解釋。假如物體分割成無(wú)數(shù)個(gè)微分六面體單元，變形后每一單元體都發(fā)生形狀改變，如變形不滿(mǎn)足一定的關(guān)系，變形后的單元體將不能重新組合成連續(xù)體，其間將產(chǎn)生縫隙或嵌入現(xiàn)象。

為使變形后的微分單元體仍能重新組合成連續(xù)體，應(yīng)變分量必須滿(mǎn)足一定的關(guān)系，這一關(guān)系就是應(yīng)變協(xié)調(diào)方程。

假如彈性體是單連通域的,則應(yīng)變分量滿(mǎn)足應(yīng)變協(xié)調(diào)方程不僅是變形連續(xù)的必要條件，而且也是充分條件。

為證明應(yīng)變協(xié)調(diào)方程是變形體連續(xù)的必要和充分條件，我們可利用彈性體變形連續(xù)的物理意義，反映在數(shù)學(xué)上則要求位移分量為單值連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。

我們的目的就是證明：如果已知應(yīng)變分量滿(mǎn)足應(yīng)變協(xié)調(diào)方程，則對(duì)于單連通域，就一定可以通過(guò)幾何方程的積分求得單值連續(xù)的位移分量。

下面我們推導(dǎo)單連通域的變形協(xié)調(diào)關(guān)系。

4.變形協(xié)調(diào)方程證明；所謂的單連通域，是指該物體內(nèi)任一條閉曲線(xiàn)可以收縮到一點(diǎn)而不越出界外。設(shè)應(yīng)變分量ij單值連續(xù)，并有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，則由輪換x,y,z計(jì)算，可得dv，dw和dy，dz。

如果能夠通過(guò)積分，計(jì)算出

上述位移和轉(zhuǎn)動(dòng)分量如果是單值連續(xù)的，則可得到彈性體的位移單值連續(xù)的條件。

5.變形協(xié)調(diào)方程證明2；保證上述位移單值連續(xù)的條件是其積分與積分路徑P0P無(wú)關(guān)。其充分與必要條件為根據(jù)上述公式的第三式，可得

同理，根據(jù)上述公式的第四和第八式，可得x對(duì)y，z的偏導(dǎo)數(shù)。即將計(jì)算x對(duì)y，z的偏導(dǎo)數(shù)回代到公式的第一式，則可以得到轉(zhuǎn)動(dòng)分量x表達(dá)式。

如使x單值連續(xù)，其必要與充分條件是或?qū)懽?/p>

同理，討論y和z的單值連續(xù)條件可得出類(lèi)似的四個(gè)公式。將單值連續(xù)的x,y和z代入位移計(jì)算公式，則可得到單值連續(xù)的位移u，v，w。

由此可證變形協(xié)調(diào)方程是單連通域位移單值連續(xù)的必要和充分條件。

6.多連域的變形協(xié)調(diào)。如果彈性體中的一條封閉曲線(xiàn)，若收縮至一點(diǎn)必須越出域外，則為:多連通域物體。

一個(gè)多連通域物體，可用若干個(gè)截面將物體部分的截開(kāi)，使之成為單連通域。如果所需的截面數(shù)為n，則物體為n+1連域。

平面為有兩個(gè)環(huán)形孔的物體，兩個(gè)截面即可使其成為單連通域，所以為三連域。

對(duì)于多連通域問(wèn)題，應(yīng)變滿(mǎn)足變形協(xié)調(diào)方程并不能確保位移在分割后的單連通域內(nèi)單值連續(xù)。因?yàn)楫?dāng)位移分別從截面兩側(cè)趨近于截面上的某一點(diǎn)時(shí)，一般的說(shuō)其將趨于不同的值。

分別用u+，v+，w+和u-，v-，w-表示截面兩側(cè)的位移，則多連通域的位移單值連續(xù)條件還需要補(bǔ)充條件，

u+=u-，v+=v-，w+=w-

因此，對(duì)于多連通域問(wèn)題，應(yīng)變分量滿(mǎn)足變形協(xié)調(diào)方程只是位移連續(xù)的必要條件，只有加上上述補(bǔ)充條件后，條件才是充分的。第四章應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系內(nèi)容介紹知識(shí)點(diǎn)

應(yīng)變能原理應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的一般表達(dá)式完全各向異性彈性體

正交各向異性彈性體本構(gòu)關(guān)系彈性常數(shù)各向同性彈性體應(yīng)變能格林公式廣義胡克定理一個(gè)彈性對(duì)稱(chēng)面的彈性體本構(gòu)關(guān)系各向同性彈性體的應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系應(yīng)變表示的各向同性本構(gòu)關(guān)系

§4.1彈性體的應(yīng)變能原理學(xué)習(xí)思路:

彈性體在外力作用下產(chǎn)生變形，因此外力在變形過(guò)程中作功。同時(shí)，彈性體內(nèi)部的能量也要相應(yīng)的發(fā)生變化。借助于能量關(guān)系，可以使得彈性力學(xué)問(wèn)題的求解方法和思路簡(jiǎn)化，因此能量原理是一個(gè)有效的分析工具。

本節(jié)根據(jù)熱力學(xué)概念推導(dǎo)彈性體的應(yīng)變能函數(shù)表達(dá)式，并且建立應(yīng)變能函數(shù)表達(dá)的材料本構(gòu)方程。

根據(jù)能量關(guān)系，容易得到由于變形而存儲(chǔ)于物體內(nèi)的單位體積的彈性勢(shì)能，即應(yīng)變能函數(shù)。

探討應(yīng)變能的全微分，可以得到格林公式，格林公式是以能量形式表達(dá)的本構(gòu)關(guān)系。

如果材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是線(xiàn)性彈性的，則單位體積的應(yīng)變能必為應(yīng)變分量的齊二次函數(shù)。因此由齊次函數(shù)的歐拉定理，可以得到用應(yīng)變或者應(yīng)力表示的應(yīng)變能函數(shù)。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：

1.應(yīng)變能；彈性體發(fā)生變形時(shí)，外力將要做功，內(nèi)部的能量也要相應(yīng)的發(fā)生變化。本節(jié)通過(guò)熱力學(xué)的觀點(diǎn)，分析彈性體的功能變化規(guī)律。

根據(jù)熱力學(xué)的觀點(diǎn)，外力在變形過(guò)程中所做的功，一部分將轉(zhuǎn)化為內(nèi)能，一部分將轉(zhuǎn)化為動(dòng)能；另外變形過(guò)程中，彈性體的溫度將發(fā)生變化，它必須向外界吸收或釋放熱量。設(shè)彈性體變形時(shí)，外力所做的功為dW，則dW=dW1+dW2

其中，dW1為表面力Fs所做的功，dW2為體積力Fb所做的功。變形過(guò)程中，由外界輸入熱量為dQ，彈性體的內(nèi)能增量為dE，根據(jù)熱力學(xué)第一定律,dW1+dW2=dE-dQ因?yàn)閷⑸鲜酱牍δ荜P(guān)系公式，則

2.格林公式；如果加載很快，變形在極短的時(shí)間內(nèi)完成，變形過(guò)程中沒(méi)有進(jìn)行熱交換，稱(chēng)為絕熱過(guò)程。絕熱過(guò)程中，dQ=0，故有dW1+dW2=dE

對(duì)于完全彈性體,內(nèi)能就是物體的應(yīng)變能，設(shè)U0為彈性體單位體積的應(yīng)變能，則由上述公式，可得即

設(shè)應(yīng)變能為應(yīng)變的函數(shù)，則由變應(yīng)能的全微分

對(duì)上式積分，可得U0=U0（ij），它是由于變形而存儲(chǔ)于物體內(nèi)的單位體積的彈性勢(shì)能，通常稱(chēng)為應(yīng)變能函數(shù)或變形比能。在絕熱條件下，它恒等于物體的內(nèi)能。

比較上述公式，可得以上公式稱(chēng)為格林公式，格林公式是以能量形式表達(dá)的本構(gòu)關(guān)系

3.應(yīng)變能原理。如果加載緩慢，變形過(guò)程中物體與外界進(jìn)行熱交換，但物體的溫度保持不變，稱(chēng)為等溫過(guò)程。設(shè)等溫過(guò)程中，輸入物體的單位體積熱量為dQ，熵的增量為dS，對(duì)于彈性變形等可逆過(guò)程，根據(jù)熱力學(xué)第二定律，有

因?yàn)?，dQ=TdS，

所以，Q=TS。上式中，T為絕對(duì)溫度，TS為輸入單位體積的熱能。代入公式可得所以

。

上式中，E0為物體單位體積的內(nèi)能，TS為輸入的熱能，即U0=E0-TS。所以在等溫條件下，功能公式仍然成立。

上述公式是從熱力學(xué)第一和第二定律出發(fā)得到的，因此它不受變形的大小和材料的性質(zhì)的限制。

如果材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系是線(xiàn)性彈性的，則由格林公式，單位體積的應(yīng)變能必為應(yīng)變分量的齊二次函數(shù)。因此根據(jù)齊次函數(shù)的歐拉定理，可得即

用張量表示，寫(xiě)作

設(shè)物體的體積為V，整個(gè)物體的應(yīng)變能為§4.2廣義胡克定義學(xué)習(xí)思路:

根據(jù)彈性體的應(yīng)變能函數(shù)，可以確定本構(gòu)方程的能量表達(dá)形式。本節(jié)的任務(wù)是利用應(yīng)變能函數(shù)推導(dǎo)應(yīng)力和應(yīng)變的一般關(guān)系。

如果將應(yīng)力分量表達(dá)為應(yīng)變分量的函數(shù)，可以得到應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系的一般表達(dá)式。對(duì)于小變形問(wèn)題，這個(gè)一般表達(dá)式可以展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)。

對(duì)于各向同性材料，根據(jù)應(yīng)力與應(yīng)變的性質(zhì)，可以得到具有36個(gè)常數(shù)的廣義胡克定理。學(xué)習(xí)要點(diǎn)：

1.應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系的一般表達(dá)式；由于應(yīng)變能函數(shù)的存在，通過(guò)格林公式就可求出應(yīng)力。本節(jié)將通過(guò)應(yīng)變能的推導(dǎo)應(yīng)力和應(yīng)變的一般關(guān)系。若將應(yīng)力表達(dá)為應(yīng)變的函數(shù)，則應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系的一般表達(dá)式為

這里的函數(shù)fi（i=1，2,…，6）取決于材料自身的物理特性。對(duì)于均勻的各向同性材料，單向拉伸或壓縮時(shí)，應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可以通過(guò)實(shí)驗(yàn)直接確定。但是對(duì)于復(fù)雜的應(yīng)力狀態(tài)，即使是各向同性的材料，也很難通過(guò)實(shí)驗(yàn)直接確定其關(guān)系。

這里不去討論如何建立一般條件下的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系，僅考慮彈性范圍內(nèi)的小變形問(wèn)題。

對(duì)于小變形問(wèn)題，上述一般表達(dá)式可以展開(kāi)成泰勒級(jí)