2025年中考數(shù)學總復習課件(山東省專用)26 第一部分 第四章 第六節(jié) 相似三角形

第六節(jié)相似三角形第一部分基礎復習·突破核心第四章幾何初步與三角形鏈接教材基礎過關

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考點三相似三角形的性質和判定

1．相似三角形的判定(1)定義：三角分別____，三邊______的兩個三角形相似．對應線段的比叫做______．(2)預備定理：____于三角形一邊的直線和其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似．相等成比例相似比平行(3)判定定理①____分別相等的兩個三角形相似．②兩邊______且____相等的兩個三角形相似．③三邊______的兩個三角形相似．兩角成比例夾角成比例2．相似三角形的性質(1)相似三角形的對應角____，對應邊成____．(2)相似三角形對應高的比、對應角平分線的比、對應中線的比都等于______．(3)相似三角形周長的比等于______，面積的比等于____________．相等比例相似比相似比相似比的平方考點四圖形的位似

1．定義：如果兩個相似多邊形任意一組對應頂點A，A′的連線都經過同一個點O，且有OA′＝k·OA(k≠0)，那么這樣的兩個多邊形叫做位似多邊形，點O叫做位似中心．實際上，k就是這兩個相似多邊形的相似比．2．性質：位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比都等于______．相似比

√

√

3．如圖，a∥b∥c，AB＝3，BC＝2，CD＝1，那么下列式子中不成立的是(

)A．EC∶CG＝5∶1B．EF∶FC＝1∶1

C．EF∶FC＝3∶2D．EF∶EC＝3∶5√B

[∵a∥c，AB＝3，BC＝2，CD＝1，∴EC∶CG＝AC∶CD＝5∶1，A成立；∵a∥b，AB＝3，BC＝2，∴EF∶FC＝AB∶BC＝3∶2，B不成立，C成立；∵EF∶FC＝3∶2，∴EF∶EC＝3∶5，D成立．故選B．]4．如圖，每個小正方形邊長均為1，則下列圖中的三角形(陰影部分)與圖中△ABC相似的是(

)√

①②③④

考點突破對點演練

√

歸納總結

已知比例式的值，求相關字母代數(shù)式的值，常用引入參數(shù)法，將所有的量都統(tǒng)一用含同一個參數(shù)的式子表示，再求代數(shù)式的值，也可以用給出的字母中的一個表示出其他的字母，再代入求解．【典例2】如圖，AD∥BE∥CF，若AB＝4，BC＝8，DE＝3，則DF的長是(

)A．1.5 B．6C．9 D．12√

歸納總結

應用平行線分線段成比例定理解決問題的方法：(1)若已知條件中有平行，求兩條線段的比，常考慮應用平行線分線段成比例性質求解；(2)應用時，看清平行線組，找準平行線組截得的對應線段和對應邊．

√

√

3．(浙教版九上例題)如圖，直線l1∥l2∥l3，直線AC分別交l1，l2，l3于點A，B，C；直線DF分別交l1，l2，l3于點D，E，F(xiàn)．已知DE＝3，EF＝6，AB＝4，求AC的長．

[解]

(1)∵△ABC和△CDE均是等腰直角三角形，∴∠ECD＝90°，∠ACB＝45°，EC＝DC，∴∠ACD＝∠ECD－∠ACB＝90°－45°＝45°，∴AC垂直平分ED，∴AE＝AD，∵EF⊥AD，AF＝DF，∴AE＝ED，∴AD＝AE＝ED，∴∠AED＝60°．(2)證明：由(1)得，AC⊥ED，∴∠AGD＝∠AGE＝90°，∵EF⊥AD，∴∠AFE＝90°，∴∠AGE＝∠AFE，∵∠EHG＝∠AHF，∴∠DAG＝∠GEH，∴△EHG∽△ADG．

[對點演練]1．(2024·重慶)若兩個相似三角形的相似比是1∶3，則這兩個相似三角形的面積比是(

)A．1∶3 B．1∶4C．1∶6 D．1∶9√D

[∵兩個相似三角形的相似比是1∶3，∴這兩個相似三角形的面積比是12∶32＝1∶9．故選D．]2．(2023·泰安)如圖，在△ABC中，AC＝BC＝16，點D在AB上，點E在BC上，點B關于直線DE的軸對稱點為點B′，連接DB′，EB′，分別與AC相交于F點，G點，若AF＝8，DF＝7，B′F＝4，則CG的長度為________．

3．(2022·泰安)如圖，矩形ABCD中，點E在DC上，DE＝BE，AC與BD相交于點O，BE與AC相交于點F．(1)若BE平分∠CBD，求證：BF⊥AC；(2)找出圖中與△OBF相似的三角形，并說明理由；(3)若OF＝3，EF＝2，求DE的長度．[解]

(1)證明：如圖，在矩形ABCD中，OD＝OC，AB∥CD，∠BCD＝90°，∴∠2＝∠3＝∠4，∠3＋∠5＝90°．∵DE＝BE，∴∠1＝∠2．又∵BE平分∠DBC，∴∠1＝∠6，∴∠3＝∠6，∴∠6＋∠5＝90°，∴BF⊥AC．(2)與△OBF相似的三角形有△ECF，△BAF．理由如下：∵∠1＝∠3，∠EFC＝∠BFO，∴△ECF∽△OBF．∵DE＝BE，∴∠1＝∠2，又∵∠2＝∠4，∴∠1＝∠4，又∵∠BFA＝∠OFB，∴△BAF∽△OBF．

命題點3圖形的位似【典例4】如圖，在平面直角坐標系中，△ABC與△AB′C′的相似比為1∶2，點A是位似中心．若已知點A(2，0)，點C(a，b)，∠C＝90°，則點C′的坐標為______________．(結果用含a，b的式子表示)(6－2a，－2b)

易錯警示

在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或－k．[對點演練]1．(2024·四川涼山州)如圖，一塊面積為60cm2的三角形硬紙板(記為△ABC)平行于投影面時，在點光源O的照射下形成的投影是△A1B1C1，若OB∶BB1＝2∶3，則△A1B1C1的面積是(

)A．90cm2

B．135cm2C．150cm2

D．375cm2√

(2，4)或(－2，－4)

課時分層評價卷(十九)相似三角形題號1352468791011121314(說明：選擇題每題3分，填空題每題3分，本試卷共70分)

1．(2024·四川內江)已知△ABC與△DEF相似，且相似比為1∶3，則△ABC與△DEF的周長之比是(

)A．1∶1 B．1∶3C．1∶6

D．1∶9√題號1352468791011121314B

[∵△ABC與△DEF相似，且相似比為1∶3，∴△ABC與△DEF的周長比為1∶3．故選B．]題號13524687910111213142．(2024·江蘇連云港)下列網格中各個小正方形的邊長均為1，陰影部分圖形分別記作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的為(

)A．甲和乙

B．乙和丁C．甲和丙

D．甲和丁√D

[觀察可得：甲和丁對應角相等，對應邊成比例，且形狀相同，大小不同．故選D．]題號1352468791011121314

√

題號1352468791011121314

√題號1352468791011121314

題號1352468791011121314

1題號13524687910111213146．[開放性試題](2024·濱州)如圖，在△ABC中，點D，E分別在邊AB，AC上．添加一個條件使△ADE∽△ACB，則這個條件可以是

_________________________．(寫出一種情況即可)∠ADE＝∠C(答案不唯一)∠ADE＝∠C(答案不唯一)

[∵∠DAE＝∠BAC，∴添加條件：∠ADE＝∠C(答案不唯一)，判定△ADE∽△ACB．]

題號13524687910111213147．[跨學科](2024·江蘇揚州)物理課上學過小孔成像的原理，它是一種利用光的直線傳播特性實現(xiàn)圖象投影的方法．如圖，燃燒的蠟燭(豎直放置)AB經小孔O在屏幕(豎直放置)上成像A′B′，設AB＝36cm，A′B′＝24cm，小孔O到AB的距離為30cm，則小孔O到A′B′的距離為

______cm．20題號135246879101112131415

題號135246879101112131415

題號13524687910111213149．[跨學科]書畫裝裱，是指為書畫配上襯紙、卷軸以便張貼、欣賞和收藏，是我國具有民族傳統(tǒng)的一門特殊藝術．如圖，一幅書畫在裝裱前的大小是1.2m×0.8m．裝裱后，上、下、左、右邊襯的寬度分別是am，b

m，cm，dm．若裝裱后AB與AD的比是16∶10，且a＝b，c＝d，c＝2a，求四周邊襯的寬度．題號1352468791011121314[解]由題意，得AB＝(1.2＋c＋d)m，AD＝(0.8＋a＋b)m，∵a＝b，c＝d，c＝2a，∴AB＝(1.2＋c＋d)m＝(1.2＋4a)m，AD＝(0.8＋a＋b)m＝(0.8＋2a)m，∵AB與AD的比是16∶10，∴(1.2＋4a)∶(0.8＋2a)＝16∶10，∴a＝0.1，∴b＝0.1，c＝d＝0.2．答：上、下、左、右邊襯的寬度分別是0.1m，0.1m，0.2m，0.2m．題號135246879101112131410．(2024·廣東廣州)如圖，點E，F(xiàn)分別在正方形ABCD的邊BC，CD上，BE＝3，EC＝6，CF＝2．求證：△ABE∽△ECF．題號1352468791011121314

題號1352468791011121314√

題號1352468791011121314

題號1352468791011121314

題號1352468791011121314

題號1352468791011121314

題號135246879101112131413．[項目式學習試題](2024·四川廣元)數(shù)學實驗，能增加學習數(shù)學的樂趣，還能經歷知識“再創(chuàng)造”的過程，更是培養(yǎng)動手能力，創(chuàng)新能力的一種手段．小強在學習《相似》一章中對“直角三角形斜邊上作高”這一基本圖形(如圖1)產生了如下問題，請同學們幫他解決．

題號1352468791011121314

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題號135246879101112131414．[項目式學習試題](2024·貴州)綜合與探究：如圖，∠AOB＝90°，點P在∠AOB的平分線上，PA⊥OA于點A．(1)【操作判斷】如圖1，過點P作PC⊥OB于點C，根據(jù)題意在圖1中畫出PC，圖中∠APC的度數(shù)為________度；(2)【問題探究】如圖2，點M在線段AO上，連接PM，過點P作PN⊥PM交射線OB于點N，求證：OM＋ON＝2PA；90°題號1352468791011121314

題號1352468791011121314[解]

(1)如圖，PC即為所求．∵∠AOB＝90°，PA⊥OA，PC⊥OB，∴四邊形OAPC是矩形，∴∠APC＝90°．題號1352468791011121314(2)證明：如圖，過點P作PC⊥OB于點C．由(1)知四邊形OAPC是矩形，∵點P在∠AOB的平分線上，PA⊥OA，PC⊥OB，∴PA＝PC，∴矩形OAPC是正方形，∴OA＝AP＝PC＝OC，∠APC＝90°，∵PN⊥PM，∴∠APM＝∠CPN＝90°－∠MPC，題號13524687