2025年中考數(shù)學總復習課件(山東省專用)52 第二部分 題型七 二次函數(shù)綜合題

題型七二次函數(shù)綜合題第二部分

題型探究·高分提能類型一線段、周長最值問題【典例1】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2＋bx＋4(a≠0)與x軸交于A(－4，0)，B(2，0)兩點(點A在點B的左側(cè))，與y軸交于點C，點D(0，3)，連接AD．(1)求拋物線的表達式；(2)點P是線段AO上一點(不含端點)，過點P作PQ⊥x軸交拋物線于點Q，交線段AD于點E，點F是直線AD上一點，連接FQ，F(xiàn)Q＝EQ，求△FEQ的周長最大值．

歸納總結(jié)

與二次函數(shù)相關(guān)的線段、圖形周長最值問題，先轉(zhuǎn)化為平行于y軸線段兩個端點縱坐標的差(或平行于x軸線段兩個端點橫坐標的差)，再利用含有未知數(shù)的式子表示出來，進而轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題．

(3)直線l繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)，與直線CA重合時終止運動，在旋轉(zhuǎn)過程中，直線l與線段AB交于點P，點P與點A，B不重合，點M為線段CP的中點．①過點P作PE⊥CB于點E，PF⊥CA于點F，連接ME，MF，在旋轉(zhuǎn)的過程中∠EMF的大小是否發(fā)生變化？若不變化，求出∠EMF的度數(shù)；若發(fā)生變化，請說明理由．②在①的條件下，連接EF，請寫出線段EF的最小值．

類型二圖形面積問題【典例2】如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋c過x軸上點A(－1，0)、點B(5，0)，過y軸上點C(0，－5)，點P(m，n)(0＜m＜5)是拋物線上的一個動點．(1)求該二次函數(shù)的表達式；(2)求四邊形OCPB面積的最大值；(3)當點P的橫坐標m滿足2＜m＜5時，過點P作PE⊥x軸，交BC于點E，再過點P作PF∥x軸，交拋物線于點F，連接EF，求使△PEF為等腰直角三角形的點P的坐標．

(3)如圖，∵y＝x2－4x－5＝(x－2)2－9，∴拋物線對稱軸為直線x＝2，當點P的橫坐標m滿足2＜m＜5時，點P在對稱軸右側(cè)，∴PF＝2(m－2)＝2m－4，由(2)知PE＝(m－5)－(m2－4m－5)＝－m2＋5m，當PE＝PF時，△PEF為等腰直角三角形，∴－m2＋5m＝2m－4，整理得m2－3m－4＝0，解得m＝4或m＝－1(不符合題意，舍去)，此時n＝42－4×4－5＝－5，即點P(4，－5)，∴當點P的坐標為(4，－5)時，△PEF為等腰直角三角形．歸納總結(jié)

二次函數(shù)中圖形面積的計算，常常轉(zhuǎn)化為線段的最值問題．[對點演練][項目式學習試題]某數(shù)學試驗小組在探究“關(guān)于x的二次三項式ax2＋bx＋3的性質(zhì)(a，b為常數(shù))”時，進行了如下活動．(1)【試驗操作】取不同的x的值，計算代數(shù)式ax2＋bx＋3的值．x…－2－101…ax2＋bx＋3…11632…根據(jù)表格，計算出a，b的值；(2)【觀察猜想】試驗小組組員通過觀察表格，提出以下猜想：①代數(shù)式ax2＋bx＋3的值隨著x的增大而減??；②當x＝1時，代數(shù)式ax2＋bx＋3有最小值，最小值是2．上述猜想中正確的是：________；(填寫序號)(3)【驗證猜想】請對正確的猜想進行證明；②(4)【歸納運用】根據(jù)試驗經(jīng)驗解決下列問題：

如圖所示，小麗想借助院中互相垂直的兩面墻(墻體足夠長)，在墻角區(qū)域用6m長的籬笆圍成一個長方形小菜園．當AB為何值時，長方形小菜園ABCD的面積最大，并求出最大面積．

(3)證明：由(1)知ax2＋bx＋3＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2．∵(x－1)2≥0，∴(x－1)2＋2≥2，當x＝1時，取等號，∴當x＝1時，代數(shù)式ax2＋bx＋3有最小值，最小值是2．(4)設(shè)AB＝xm，則AD＝(6－x)m，長方形的面積為Sm2，則S＝x(6－x)＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9，∵－1＜0，∴當x＝3時，S有最大值，最大值為9，∴當AB＝3m時，長方形小菜園ABCD的面積最大，最大面積為9m2．類型三特殊三角形的存在性問題【典例3】

(2024·高唐一模)在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2＋bx－3與x軸交于點A(－1，0)和點B(3，0)，與y軸交于點C．(1)求拋物線的表達式及頂點坐標；(2)若點P為第四象限內(nèi)拋物線上一點，當△PBC面積最大時，求點P的坐標；(3)若點P為拋物線上一點，點Q是線段BC上一點(點Q不與兩端點重合)，是否存在以P，Q，O為頂點的三角形是等腰直角三角形？若存在，請寫出滿足條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由．[解]

(1)設(shè)拋物線的表達式為y＝a(x＋1)(x－3)＝a(x2－2x－3)，則－3a＝－3，解得a＝1，則拋物線的表達式為y＝x2－2x－3，由拋物線的表達式知，頂點坐標為(1，－4)．

(3)當∠QOP為直角時，則點Q與點B或點C重合，不符合題意；當∠OQP為直角時，即OQ⊥BC，則點P與點B或C重合，故點P的坐標為(3，0)或(0，－3)．

[對點演練]如圖，二次函數(shù)y＝x2－2x－3的圖象與x軸交于A，B兩點，與y軸交于點C，M為拋物線的頂點．(1)求A，B兩點的坐標；(2)求△MBC的面積；(3)對稱軸上是否存在點N，使得以B，C，N為頂點的三角形是直角三角形？若存在，求出點N的坐標；若不存在，請說明理由．

類型四特殊四邊形的存在性問題【典例4】如圖1，拋物線y＝ax2＋bx＋3(a≠0)與x軸交于點A(－1，0)，B(3，0)，與y軸交于點C，連接AC，BC．(1)求該拋物線及直線BC對應(yīng)的函數(shù)表達式；(2)如圖2，在BC上方的拋物線上有一動點P(不與B，C重合)，過點P作PD∥AC，交BC于點D，過點P作PE∥y軸，交BC于點E．在點P運動的過程中，請求出△PDE周長的最大值及此時點P的坐標；(3)如圖3，若點P是該拋物線上一動點，問在點P運動的過程中，坐標平面內(nèi)是否存在點Q，使以B，C，P，Q為頂點，BC為對角線的四邊形是矩形？若存在，請求出此時點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

歸納總結(jié)

特殊圖形的存在問題，一定要分類討論，考慮全面，防止漏掉答案的情況．

[解]

(1)由題意得，y＝a(x＋1)(x－3)＝a(x2－2x－3)，則－3a＝3，解得a＝－1，則拋物線的表達式為y＝－x2＋2x＋3．(2)如圖，分別過點D，A作y軸的平行線交BC于點H，G，則△AEG∽△DEH，則DE∶AE＝DH∶AG＝1∶2，由點B，C的坐標得，直線BC的表達式為y＝－x＋3，則點G(－1，4)，即AG＝4，則DH＝2，設(shè)點D(x，－x2＋2x＋3)，則點H(x，－x＋3)，則DH＝2＝－x2＋2x＋3－(－x＋3)，解得x＝1或x＝2，即點D的坐標為(1，4)或(2，3)．

[對點演練]如圖1所示，直線y＝x＋c與x軸交于A(－4，0)，與y軸交于點C，拋物線y＝－x2＋bx＋c經(jīng)過A，C．(1)求拋物線的表達式；(2)點E在拋物線的對稱軸上，求CE＋OE的最小值；(3)如圖2所示，M是線段OA上的一個動點(不含端點)，過點M垂直于x軸的直線與直線AC和拋物線分別交于點P，N．若以C，P，N為頂點的三角形與△APM相似，求△NPC的面積．[解]

(1)將A(－4，0)代入y＝x＋c，∴c＝4，將A(－4，0)和c＝4代入y＝－x2＋bx＋c，∴b＝－3，∴拋物線的表達式為y＝－x2－3x＋4．

[對點演練](2024·肥城二模)如圖，拋物線y＝ax2＋bx＋2經(jīng)過A(－1，0)，B(4，0)兩點，D(x，y)為拋物線上第一象限內(nèi)的一個動點．(1)求拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達式；(2)當△BCD的面積最大時，求點D的坐標；(3)過點D作DE⊥BC，垂足為點E，是否存在點D，使∠DCE＝2∠ABC？若存在，求點D的橫坐標；若不存在，請說明理由．

(3)存在，理由：當∠DCE＝2∠ABC時，取點F(0，－2)，連接BF．∵OC＝OF，OB⊥CF，∴∠ABC＝∠ABF，∴∠CBF＝2∠ABC．∵∠DCE＝2∠ABC，∴∠DCE＝∠CBF，∴CD∥BF．

類型七與圓相關(guān)的問題【典例7】如圖，在平面直角坐標系中，頂點為(4，－1)的拋物線交y軸于A點，交x軸于B，C兩點(點B在點C的左側(cè))，已知A點坐標為(0，3)．(1)求此拋物線的表達式；(2)已知點P是拋物線上的一個動點，且位于A，C兩點之間(不與A，C重合)，連接AC．當點P運動到什么位置時，△PAC的面積最大？求出此時點P的坐標；(3)過點B作線段AB的垂線交拋物線于點D，如果以點C為圓心的圓與直線BD相切，請判斷拋物線的對稱軸l與⊙C有怎樣的位置關(guān)系，并給出證明．

[對點演練]如圖1，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2＋bx＋c與x軸分別相交于A，B兩點，與y軸相交于點C，如表給出了這條拋物線上部分點(x，y)的坐標值：x…－10123…y…03430…(1)求出這條拋物線的表達式及頂點M的坐標；(2)P是拋物線對稱軸上一動點，求△APC周長的最小值；(3)如圖2，點D是第四象限內(nèi)拋物線上一動點，過點D作DF⊥x軸，垂足為F，△ABD的外接圓與DF相交于點E．試問：線段EF的長是否為定值？如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．[解]

(1)根據(jù)表格可得出A(－1，0)，B(3，0)，C(0，3)，設(shè)拋物線的表達式為y＝a(x＋1)(x－3)，將C(0，3)代入，得3＝a(0＋1)(0－3)，解得a＝－1，∴y＝－(x＋1)(x－3)＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴該拋物線的表達式為y＝－x2＋2x＋3，頂點M坐標為(1，