2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)講義（山東專用）35 第一部分 第六章 第二節(jié) 與圓有關(guān)的位置關(guān)系

第二節(jié)與圓有關(guān)的位置關(guān)系考點一與圓有關(guān)的位置關(guān)系1．點與圓的位置關(guān)系設(shè)點到圓心的距離為d，圓的半徑為r．d<r?點在⊙O__________；d＝r?點在⊙O__________；d>r?點在⊙O__________．2．直線與圓的位置關(guān)系位置關(guān)系相離相切相交示意圖公共點個數(shù)__________個__________個__________個大小關(guān)系______________________________考點二切線的性質(zhì)1．切線的性質(zhì)(1)定理：圓的切線__________于過__________的半徑．(2)經(jīng)過__________于切線的直線必經(jīng)過切點．(3)經(jīng)過__________于切線的直線必經(jīng)過圓心．總結(jié)：如果一條直線符合下列三個條件中的任意兩個，那么它一定滿足第三個條件，這三個條件是：①直線過__________；②直線過__________；③直線與圓的切線__________．考點三切線的判定切線的判定定理(1)判定定理：過半徑外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．(2)推論：①與圓只有一個__________的直線是圓的切線(定義法)．②到圓心的距離__________的直線是圓的切線．考點四三角形的內(nèi)切圓與切線長定理1．三角形的內(nèi)切圓(1)內(nèi)切圓的有關(guān)概念：與三角形三邊都__________的圓叫做三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的__________，這個三角形叫做圓的外切三角形．(2)三角形的內(nèi)心就是三角形三條__________的交點．三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離__________，三角形的內(nèi)心與三角形頂點的連線__________這個內(nèi)角．2．切線長定理(1)圓的切線長定義：過圓外一點作圓的切線，這點和切點之間的線段的__________，叫做這點到圓的切線長．(2)切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長__________，這一點和圓心的連線__________兩條切線的夾角．切線長定理包含著一些隱含結(jié)論：①垂直關(guān)系三處；②全等關(guān)系三對；③弧相等關(guān)系兩對．這些結(jié)論在證明求解問題中會經(jīng)常用到．1．一個點到圓的最大距離為11cm，最小距離為5cm，則圓的半徑為()A．16cm或6cm B．3cm或8cmC．3cm D．8cm2．如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，CD是⊙O的切線，連接AD經(jīng)過點O，若∠ADC＝42°，則∠ABC的度數(shù)為()A．42°B．66°C．84°D．48°3．如圖，AB是⊙O的直徑，PA切⊙O于點A，PO交⊙O于點C，連接AC，BC．若∠BAC＝2∠BCO，AC＝3，則PA的長為()A．33 B．4C．5 D．64．[易錯題]如圖，PA，PB分別與⊙O相切于A，B兩點，且∠APB＝56°，若點C是⊙O上異于點A，B的一點，則∠ACB的大小為________．5．如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，點D為BC邊的中點，以AD為直徑作⊙O，分別與AB，AC交于點E，F(xiàn)，過點E作EG⊥BC于G．(1)求證：EG是⊙O的切線；(2)若AF＝6，⊙O的半徑為5，求BE的長．命題點1點、直線與圓的位置關(guān)系【典例1】(2024·寧陽期末)圓的直徑是16cm，如果圓心與直線上某一點的距離是6.5cm，那么該直線與圓的位置關(guān)系是()A．相離 B．相切C．相交 D．相交或相切[聽課記錄]判斷點(直線)與圓之間的位置關(guān)系，將該點(直線)到圓心的距離與半徑作比較即可．[對點演練]1．(2024·泰山期末)如果⊙O的半徑為6cm，OP＝7cm，則點P與⊙O的位置關(guān)系是()A．點P在⊙O內(nèi) B．點P在⊙O上C．點P在⊙O外 D．不能確定2．[跨學(xué)科]如圖是記錄的日出美景，圖中太陽與海天交界處可看成圓與直線，它們的位置關(guān)系是________．命題點2切線的性質(zhì)【典例2】(2024·泰安)如圖，AB是⊙O的直徑，AH是⊙O的切線，點C為⊙O上任意一點，點D為AC的中點，連接BD交AC于點E，延長BD與AH相交于點F．若DF＝1，tanB＝12，則AE的長為________[聽課記錄]由切線的性質(zhì)定理可知，若出現(xiàn)圓的切線，必連過切點的半徑，構(gòu)造定理圖，得出垂直關(guān)系．簡記為：見切點，連半徑，得垂直．[對點演練]1．(2021·泰安)如圖，在△ABC中，AB＝6，以點A為圓心，3為半徑的圓與邊BC相切于點D，與AC，AB分別交于點E和點G，點F是優(yōu)弧GE上一點，∠CDE＝18°，則∠GFE的度數(shù)是()A．50°B．48°C．45°D．36°2．(2024·泰山二模)如圖，AB是⊙O的直徑，C，D是⊙O上的點，∠CDB＝15°，過點C作⊙O的切線交AB的延長線于點E，若OE＝2，則⊙O的半徑為()A．3 B．2C．32 D．3．(2023·泰安)為了測量一個圓形光盤的半徑，小明把直尺、光盤和三角尺按圖所示放置于桌面上，并量出AB＝4cm，則這張光盤的半徑是________cm．(精確到0.1cm．參考數(shù)據(jù)：3≈1.73)4．如圖，AB，CD為⊙O的直徑，C為⊙O上一點，過點C的切線與AB的延長線交于點P，∠ABC＝2∠BCP，點E是BD的中點，弦CE，BD相交于點F．(1)求∠OCB的度數(shù)；(2)若EF＝3，求⊙O直徑的長．命題點3切線的判定【典例3】(2024·山東)如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠DAB＝60°，AB＝BC＝2AD＝2．以點A為圓心，以AD為半徑作DE交AB于點E，以點B為圓心，以BE為半徑作EF交BC于點F，連接FD交EF于另一點G，連接CG．(1)求證：CG為EF所在圓的切線；(2)求圖中陰影部分面積．(結(jié)果保留π)[聽課記錄]證明切線常見的作輔助線方法(1)判定切線時，“連圓心和直線與圓的公共點”或“過圓心作這條直線的垂線”．(2)有切線時，常?！坝龅角悬c連圓心得半徑”．[對點演練]1．(2024·泰安二模)如圖，以△ABC的邊AB為直徑的⊙O恰好過BC的中點D，過點D作DE⊥AC于E，連接OD，則下列結(jié)論中：①OD∥AC；②∠B＝∠C；③2OA＝AC；④DE是⊙O的切線．正確的序號是________．2．如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，BD是⊙O的直徑，過點A作AE⊥CD，交CD的延長線于點E，DA平分∠BDE．(1)求證：AE是⊙O的切線；(2)已知AE＝8cm，CD＝12cm，求⊙O的半徑．命題點4三角形內(nèi)切圓及切線長定理【典例4】[數(shù)學(xué)文化](2024·濱州)劉徽(今山東濱州人)是魏晉時期我國偉大的數(shù)學(xué)家，中國古典數(shù)學(xué)理論的奠基者之一，被譽(yù)為“世界古代數(shù)學(xué)泰斗”．劉徽在注釋《九章算術(shù)》時十分重視一題多解，其中最典型的是勾股容方和勾股容圓公式的推導(dǎo)，他給出了內(nèi)切圓直徑的多種表達(dá)形式．如圖，Rt△ABC中，∠C＝90°，AB，BC，CA的長分別為c，a，b．則可以用含c，a，b的式子表示出△ABC的內(nèi)切圓直徑d，下列表達(dá)式錯誤的是()A．d＝a＋b－c B．d＝2C．d＝2c-ac-b D．d＝|(a－[聽課記錄]