思想方法　第3講　分類討論思想

分類討論思想思想方法第3講匯報人：20XX分類討論思想是當(dāng)問題的對象不能進行統(tǒng)一研究時，需對研究的對象按某個標(biāo)準(zhǔn)進行分類，然后對每一類分別研究，給出每一類的結(jié)論，最終綜合各類結(jié)果得到整個問題的解答.實質(zhì)上分類討論就是“化整為零，各個擊破，再集零為整”的數(shù)學(xué)思想.思想概述內(nèi)容索引01方法一由概念、公式、法則、計算性質(zhì)引起的分類討論02方法二由圖形位置或形狀引起的分類討論03方法三由參數(shù)變化引起的分類討論由概念、公式、法則、計算性質(zhì)引起的分類討論方法一概念、定理分類整合即利用數(shù)學(xué)中的基本概念、定理對研究對象進行分類，如絕對值的定義、不等式的轉(zhuǎn)化、等比數(shù)列{an}的前n項和公式等，然后分別對每類問題進行解決.

例1√思路分析設(shè)直線方程→斜率不存在，l：x=0→k存在，l：y=kx+3→由圓心到直線l的距離d=1求解.

√思路分析

an+2-2an=1-(-1)n→n為奇，{a2n-1}為等比數(shù)列；n為偶，{a2n}為等比數(shù)列.

規(guī)律方法解題時應(yīng)準(zhǔn)確把握數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)，根據(jù)需要對所有情形分類.設(shè)直線方程需分斜率存在和不存在兩種情況，數(shù)列中含(-1)n需分奇、偶兩種情況，要注意分類討論，要有理有據(jù)、不重不漏.引起的分類討論由圖形位置或形狀01圖形位置、形狀分類整合是指由幾何圖形的不確定性而引起的分類討論，這種方法適用于對幾何圖形中點、線、面的位置關(guān)系以及解析幾何中直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的研究.

(多選)已知P是圓O：x2+y2=4上任意一點，定點A在x軸上，線段AP的垂直平分線與直線OP相交于點Q，當(dāng)P在圓O上運動時，Q的軌跡可以是A.圓

B.橢圓C.雙曲線

D.拋物線√例2√√思路分析分類討論點A的位置(圓內(nèi)、圓上、圓外)→求||QO|-|QA||或|QA|+|QO|→利用圓錐曲線定義判斷形狀.當(dāng)點A在圓外時，如圖(1)，(2)所示，設(shè)AP的中點為B，過B作AP的垂線交直線OP于Q，連接AQ，則|QP|=|QA|，則||QO|-|QA||=|OP|=2，又|AO|>2，則此時Q的軌跡為以O(shè)，A為焦點的雙曲線；當(dāng)點A在圓內(nèi)(非原點)時，如圖(3)所示，此時|QA|+|QO|=|QO|+|QP|=2，又|AO|<2，則此時Q的軌跡為以O(shè)，A為焦點的橢圓；當(dāng)A在坐標(biāo)原點時，如圖(4)所示，此時B，Q重合，|QO|=1，則此時Q的軌跡為以O(shè)為原點，半徑為1的圓；

當(dāng)點A在圓上時，如圖(5)所示，由垂徑定理，可知Q與O重合，此時Q的軌跡為點O.批注點A在x軸上，但沒明確是在圓內(nèi)、圓外，還是圓上，所以需分類討論，仔細審題，理解題意是關(guān)鍵.圓錐曲線的形狀、焦點位置不確定時要分類討論；立體幾何中點、線、面的位置變化，三角形和平行四邊形的不確定性都要進行分類討論.規(guī)律方法由參數(shù)變化引起的分類討論單擊此處添加章節(jié)頁副標(biāo)題02某些含有參數(shù)的問題，由于參數(shù)的取值不同會導(dǎo)致所得的結(jié)果不同，需對參數(shù)進行討論，如含參數(shù)的方程、不等式、函數(shù)等.解決這類問題要根據(jù)需要合理確定分類標(biāo)準(zhǔn)，討論中做到不重不漏，結(jié)論整合要周全.

例3思路分析

求f'(x)→分a≤1，1<a<e，a≥e討論求最小值→a的值；

(2)討論f(x)在[1，e]上的最大值.思路分析

討論f(x)在[1，e]上的單調(diào)性→由單調(diào)性求f(x)的最大值.

若遇到題目中含有參數(shù)的問題，常常結(jié)合參數(shù)的意義和對結(jié)果的影響進行分類討論，此類題目為含參型，應(yīng)全面分析參數(shù)變化引起的結(jié)論的變化情況，在分類討論時要遵循