2024-2025學(xué)年福建省漳州三中高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年福建省漳州三中高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若向量a=(?1,0,2)，b=(2,m,n)，且a//b，則A.25 B.45 C.2.已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2.3,σ2)，且P(2.3<X≤4.2)=0.2，則P(X>0.4)=A.0.7 B.0.4 C.0.3 D.0.23.甲、乙兩人獨(dú)立地破譯一份密碼，已知兩人能破譯的概率分別是13，15，則(

)A.密碼被成功破譯的概率為115 B.恰有一人成功破譯的概率為415

C.密碼被成功破譯的概率為715 4.如圖在平行六面體ABCD?A1B1C1D1中，AC、BD相交于O，M為OC1的中點(diǎn)，設(shè)ABA.14a+14b?125.已知函數(shù)f(x)=13x3?32xA.(?92,0) B.(?43,0)∪(0,+∞)6.關(guān)于空間向量，以下說法正確的是(

)A.若對(duì)空間中任意一點(diǎn)O，有OP=23OA+16OB+12OC，則P，A，B，C四點(diǎn)共面

B.若空間向量a，b滿足a?b>0，則a與b夾角為銳角

C.若直線l的方向向量為m=(2,4,?2)，平面α7.設(shè)a=e0.2?1，b=16，A.a<c<b B.b<c<a C.c<a<b D.b<a<c8.設(shè)函數(shù)f(x)=xlnx,g(x)=f′(x)x，則下列說法正確的有(

)A.不等式g(x)>0的解集為(1,+∞)

B.若函數(shù)F(x)=f(x)?ax2有兩個(gè)極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(0?,12)

C.當(dāng)x∈(1e,1)時(shí)，總有f(x)>g(x)恒成立

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列命題正確的有(

)A.已知函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，若f′(1)=2，則Δx→0limf(1+2Δx)?f(1)Δx=4

B.已知函數(shù)f(x)=ln(2x+1)，若f′(x0)=1，則x0=1210.如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB//CD，∠ABC=π2，AB=PA=12CD=2，BC=22A.直線AM與BC所成的角為π4

B.|DM|=25

C.直線AM與平面ADP所成角的余弦值為63

11.如圖，某電子實(shí)驗(yàn)貓線路圖上有A、B兩個(gè)即時(shí)紅綠指示燈，當(dāng)遇到紅燈時(shí)，實(shí)驗(yàn)貓停止前行，恢復(fù)綠燈后，繼續(xù)前行，A、B兩個(gè)指示燈工作相互獨(dú)立，且出現(xiàn)紅燈的概率分別為12，p(0<p<1).同學(xué)甲從第一次實(shí)驗(yàn)到第五次實(shí)驗(yàn)中，實(shí)驗(yàn)貓?jiān)贏處遇到紅燈的次數(shù)為X，在A、B兩處遇到紅燈的次數(shù)之和為Y，則(

)A.P(X=3)=132

B.D(X)=54

C.一次實(shí)驗(yàn)中，A、B兩處至少遇到一次紅燈的概率為12+1三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.一個(gè)盒子里有1紅1綠4黃六個(gè)除顏色外均相同的球，每次拿一個(gè)，共拿三次，記拿到黃色球的個(gè)數(shù)為X.若取球過程是有放回的，則事件{X=1}發(fā)生的概率為______．13.已知直三棱柱ABC?A1B1C1中，AA1=2，AB=4，BC=314.若函數(shù)f(x)和g(x)的圖象分別分布在某直線的兩側(cè)(函數(shù)圖象與直線沒有公共點(diǎn))，則稱該直線為函數(shù)f(x)和g(x)的“隔離直線”.已知f(x)=?2x2，g(x)=2x(x>0)，若f(x)四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

某年級(jí)有6名數(shù)學(xué)老師，其中男老師4人，女老師2人，任選3人參加校級(jí)技能大賽．

(1)設(shè)所選3人中女老師人數(shù)為X，求X的期望和方差；

(2)如果依次抽取2人參加縣級(jí)技能大賽，求在第1次抽到男老師的條件下，第2次抽到是女老師的概率．16.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=lnx?ax．

(1)若f(x)在x=1處取得極值，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值；

(2)若f(x)≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a17.(本小題15分)

如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=AA1=2，點(diǎn)P為棱B1C1的中點(diǎn)，點(diǎn)Q為線段A1B上一動(dòng)點(diǎn)．

(1)求證：當(dāng)點(diǎn)Q為線段A1B的中點(diǎn)時(shí)，PQ⊥平面A1BC18.(本小題17分)

在某人工智能的語音識(shí)別系統(tǒng)開發(fā)中，每次測試語音識(shí)別成功的概率受環(huán)境條件(安靜或嘈雜)的影響．

(1)已知在安靜環(huán)境下，語音識(shí)別成功的概率為0.8；在嘈雜環(huán)境下，語音識(shí)別成功的概率為0.6.某天進(jìn)行測試，已知當(dāng)天處于安靜環(huán)境的概率為0.3，處于嘈雜環(huán)境的概率為0.7．

(i)求測試結(jié)果為語音識(shí)別成功的概率；

(ii)已知測試結(jié)果為語音識(shí)別成功，求當(dāng)天處于安靜環(huán)境的概率；

(2)已知當(dāng)前每次測試成功的概率為0.7，每次測試成本固定，現(xiàn)有兩種測試方案：方案一：測試4次；方案二：先測試3次，如果這3次中成功次數(shù)小于等于2次，則再測試2次，否則不再測試.為降低測試成本，以測試次數(shù)的期望值大小為決策依據(jù)，應(yīng)選擇哪種方案？19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=mx2+(2m?1)x?lnx(m∈R)，g(x)=x2+1?ex2．

(1)求函數(shù)g(x)在x=0處的切線方程；

(2)討論函數(shù)f(x)單調(diào)性；

(3)當(dāng)m>0時(shí)，若對(duì)于任意參考答案1.A

2.A

3.C

4.A

5.C

6.D

7.B

8.B

9.ABD

10.AD

11.BCD

12.2913.2514.(?8,0)

15.解：(1)由題意可得X的所有可能取值為0，1，2，

則P(X=0)=C43C63=1X012P131所以E(X)=0×15+1×35+2×15=1，

所以D(X)=15×(0?1)2+35×(1?1)2+15×(2?1)2=2516.解：(1)函數(shù)f(x)=lnx?ax.則f′(x)=1x+ax2，

由題意f′(1)=1+a=0，可得a=?1，

此時(shí)f(x)=lnx+1x，定義域?yàn)?0,+∞)，

則f′(x)=1x?1x2=x?1x2，

當(dāng)0<x<1時(shí)，f′(x)<0，f(x)單調(diào)遞減，

當(dāng)x>1時(shí)，f′(x)>0，f(x)單調(diào)遞增，

所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(1,+∞)，

所以f(x)有極小值為f(1)=1，無極大值．

(2)因?yàn)閒(x)≥0恒成立，得?x>0，a≤xlnx，

令g(x)=xlnx，x>0，則g′(x)=1+lnx，

當(dāng)0<x<1e，g′(x)<0，當(dāng)17.解(1)證明：連AB1，AC1，

∵點(diǎn)Q為線段A1B的中點(diǎn)，點(diǎn)P為B1C1的中點(diǎn)，∴PQ//AC1．

在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC⊥BC，

∴BC⊥平面ACC1A1，AC1?平面ACC1A1,∴BC⊥AC1，

又AC=AA1，∴四邊形ACC1A1為正方形，

∴AC1⊥A1C，A1C∩BC=C，A1C、BC?平面A1BC，

∵A1C，BC?平面A1BC，∴AC1⊥平面A1BC，

而PQ//AC1，∴PQ⊥平面A1BC．

(2)以C為原點(diǎn)，分別以CA，CB，CC1的方向?yàn)閤軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，

則C(0,0,0)，A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，A1(2,0,2)，B1(0,2,2)，P(0,1,2)．

連接A1P，B1Q，設(shè)Q(x,y,z)，

∵BQ=λBA1，λ∈0,1，

∴(x,y?2,z)=λ(2,?2,2)，

∴x=2λ,y=2?2λ,z=2λ,∴Q(2λ,2?2λ,2λ)．

∵點(diǎn)Q在線段A18.解：(1)記事件A=“某天進(jìn)行測試時(shí)處于安靜環(huán)境”，事件B=“測試結(jié)果語音識(shí)別成功”．

根據(jù)題意得P(A)=0.3,P(A?)=0.7,P(B|A)=0.8,P(B|A?)=0.6；

(i)由全概率公式得：

P(B)=P(A)P(B|A)+P(A?)P(B|A?)=0.3×0.8+0.7×0.6=0.66；

(ii)“已知測試結(jié)果語音識(shí)別成功，當(dāng)天處于安靜環(huán)境的概率”，就是在事件B發(fā)生的條件下A發(fā)生的概率，

即P(A|B)=P(AB)P(B)=P(A)P(B|A)P(B)=0.3×0.80.66=411；

(2)方案一的測試次數(shù)的期望為4．

方案二測試的次數(shù)為X，19.解：(1)由g(x)=x2+1?ex2，得g′(x)=2x?ex2，g′(0)=?e02=?12，

又g(0)=0+1?e02=12，

所以g(x)在x=0處的切線方程為y?12=?12x，即x+2y?1=0；

(2)由題意，f(x)=mx2+(2m?1)x?lnx，(m∈R)，定義域?yàn)?0,+∞)，

則f′(x)=2mx+(2m?1)?1x=2mx2+(2m?1)x?1x=(2mx?1)(x+1)x，

因?yàn)閤∈(0,+∞)，所以x+1>0，

當(dāng)m>0時(shí)，令f′(x)>0得x>12m，令f′(x)<0得0<x<12m，

故f(x)在(0,12m)上單調(diào)遞減，在(12m,+∞)上單調(diào)遞增，

當(dāng)