第一章-函數(shù)與極限知識(shí)點(diǎn)

函數(shù)與極限

區(qū)間

在數(shù)軸上來(lái)說(shuō)，區(qū)間是指介于某兩點(diǎn)之間的線段上點(diǎn)的全體。區(qū)間的名稱區(qū)間的滿足的不等式區(qū)間的記號(hào)區(qū)間在數(shù)軸上的表示閉區(qū)間a≤x≤b[a，b]開區(qū)間a＜x＜b（a，b）半開區(qū)間a＜x≤b或a≤x＜b（a，b]或[a，b）

以上我們所述的都是有限區(qū)間，除此之外，還有無(wú)限區(qū)間：

[a，+∞)：表示不小于a的實(shí)數(shù)的全體，也可記為：a≤x＜+∞；

(-∞，b)：表示小于b的實(shí)數(shù)的全體，也可記為：-∞＜x＜b；

(-∞，+∞)：表示全體實(shí)數(shù)R，也可記為：-∞＜x＜+∞

注：其中-∞和+∞，分別讀作"負(fù)無(wú)窮大"和"正無(wú)窮大",它們不是數(shù),僅僅是記號(hào)。

鄰域

設(shè)α與δ是兩個(gè)實(shí)數(shù)，且δ＞0.滿足不等式│x-α│＜δ的實(shí)數(shù)x的全體稱為點(diǎn)α的δ鄰域，點(diǎn)α稱為此鄰域的中心，δ稱為此鄰域的半徑。函數(shù)函數(shù)

y=f(x)、y=F(x)(D為非空實(shí)數(shù)集)D為函數(shù)的定義域。通常x叫做自變量，y叫做因變量。

函數(shù)的有界性

如果對(duì)屬于某一區(qū)間I的所有x值總有│f(x)│≤M成立，其中M是一個(gè)與x無(wú)關(guān)的常數(shù)，那么我們就稱f(x)在區(qū)間I有界，否則便稱無(wú)界。

注意：一個(gè)函數(shù)，如果在其整個(gè)定義域內(nèi)有界，則稱為有界函數(shù)

例題：函數(shù)cosx在(-∞,+∞)內(nèi)是有界的.函數(shù)的單調(diào)性如果函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)隨著x增大而增大，即：對(duì)于(a,b)內(nèi)任意兩點(diǎn)x1及x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，有

，

則稱函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是單調(diào)增加的。

如果函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)隨著x增大而減小，即：對(duì)于(a,b)內(nèi)任意兩點(diǎn)x1及x2，當(dāng)x1＜x2時(shí)，有

，

則稱函數(shù)在區(qū)間(a,b)內(nèi)是單調(diào)減小的。函數(shù)的奇偶性

如果函數(shù)對(duì)于定義域內(nèi)的任意x都滿足=，則叫做偶函數(shù)；

如果函數(shù)對(duì)于定義域內(nèi)的任意x都滿足=-，則叫做奇函數(shù)。

注意：偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對(duì)稱，奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,若奇函數(shù)定義域中含有0，則F(0)=0。f(0)=-f(0),2f(0)=0,所以f(0)=0。函數(shù)的周期性

對(duì)于函數(shù)，若存在一個(gè)不為零的數(shù)l，使得關(guān)系式

對(duì)于定義域內(nèi)任何x值都成立，則叫做周期函數(shù)，l是的周期。

注：我們說(shuō)的周期函數(shù)的周期是指最小正周期。反函數(shù)反函數(shù)的定義：

設(shè)函數(shù)，其定義域?yàn)镈，值域?yàn)镸.如果對(duì)于每一個(gè)，有惟一的一個(gè)與之對(duì)應(yīng)，并使成立，則得到一個(gè)以為自變量，為因變量的函數(shù)，稱此函數(shù)為y=f(x)的反函數(shù)，記作顯然，的定義域?yàn)镸，值域?yàn)镈.由于習(xí)慣上自變量用x表示，因變量用表示，所以的反函數(shù)可表示為反函數(shù)的存在定理

若在(a，b)上嚴(yán)格增(減)，其值域?yàn)镽，則它的反函數(shù)必然在R上確定，且嚴(yán)格增(減).

注：嚴(yán)格增(減)即是單調(diào)增(減)

反函數(shù)的性質(zhì)

在同一坐標(biāo)平面內(nèi)，與的圖形是關(guān)于直線y=x對(duì)稱。

關(guān)于直線y=x對(duì)稱的。如右圖所示：

復(fù)合函數(shù)的定義

若y是u的函數(shù)：，而u又是x的函數(shù)：，且的函數(shù)值的全部或部分在的定義域內(nèi)，那末，y通過(guò)u的聯(lián)系也是x的函數(shù)，我們稱后一個(gè)函數(shù)是由函數(shù)及復(fù)合而成的函數(shù)，簡(jiǎn)稱復(fù)合函數(shù)，記作，其中u叫做中間變量。

注：并不是任意兩個(gè)函數(shù)就能復(fù)合；復(fù)合函數(shù)還可以由更多函數(shù)構(gòu)成。分段函數(shù)：？？？？初等函數(shù)函數(shù)名稱函數(shù)的記號(hào)函數(shù)的圖形函數(shù)的性質(zhì)指數(shù)函數(shù)

a):不論x為何值,y總為正數(shù);

b):當(dāng)x=0時(shí),y=1.對(duì)數(shù)函數(shù)

a):其圖形總位于y軸右側(cè),并過(guò)(1,0)點(diǎn)

b):當(dāng)a＞1時(shí),在區(qū)間(0,1)的值為負(fù)；在區(qū)間(-,+∞)的值為正；在定義域內(nèi)單調(diào)增.冪函數(shù)a為任意實(shí)數(shù)

這里只畫出部分函數(shù)圖形的一部分。

令a=m/n

a):當(dāng)m為偶數(shù)n為奇數(shù)時(shí),y是偶函數(shù);

b):當(dāng)m,n都是奇數(shù)時(shí),y是奇函數(shù);

c):當(dāng)m奇n偶時(shí),y在(-∞,0)無(wú)意義.三角函數(shù)(正弦函數(shù))

這里只寫出了正弦函數(shù)

a):正弦函數(shù)是以2π為周期的周期函數(shù)

b):正弦函數(shù)是奇函數(shù)且反三角函數(shù)(反正弦函數(shù))

這里只寫出了反正弦函數(shù)

a):由于此函數(shù)為多值函數(shù),因此我們此函數(shù)值限制在[-π/2,π/2]上,并稱其為反正弦函數(shù)的主值.初等函數(shù)

由基本初等函數(shù)與常數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的有理運(yùn)算及有限次的函數(shù)復(fù)合所產(chǎn)生并且能用一個(gè)解析式表出的函數(shù)稱為初等函數(shù).雙曲函數(shù)及反雙曲函數(shù)函數(shù)的名稱函數(shù)的表達(dá)式函數(shù)的圖形函數(shù)的性質(zhì)雙曲正弦a)：其定義域?yàn)?(-∞,+∞)；

b)：是奇函數(shù)；

c)：在定義域內(nèi)是單調(diào)增雙曲余弦a)：其定義域?yàn)?(-∞,+∞)；

b)：是偶函數(shù)；

c)：其圖像過(guò)點(diǎn)(0,1)；雙曲正切a)：其定義域?yàn)?(-∞,+∞)；

b)：是奇函數(shù)；

c)：其圖形夾在水平直線y=1及y=-1之間；在定域內(nèi)單調(diào)增；雙曲函數(shù)的性質(zhì)三角函數(shù)的性質(zhì)shx與thx是奇函數(shù)，chx是偶函數(shù)sinx與tanx是奇函數(shù)，cosx是偶函數(shù)它們都不是周期函數(shù)都是周期函數(shù)雙曲函數(shù)也有和差公式：反雙曲函數(shù)

雙曲函數(shù)的反函數(shù)稱為反雙曲函數(shù).

a)：反雙曲正弦函數(shù)

其定義域?yàn)椋?-∞,+∞)；

b)：反雙曲余弦函數(shù)

其定義域?yàn)椋篬1,+∞)；

c)：反雙曲正切函數(shù)

其定義域?yàn)椋?-1,+1)；數(shù)列的極限數(shù)列

通項(xiàng)入公式：函數(shù)的極限定義：設(shè)函數(shù)在的某去心鄰域N（）內(nèi)有定義，如果當(dāng)無(wú)限趨近于時(shí)，無(wú)限接近于一個(gè)確定的常數(shù)A，則稱常數(shù)A為當(dāng)時(shí)函數(shù)的極限，記作或當(dāng)，A定義：設(shè)函數(shù)在（）（或（））內(nèi)有定義，若當(dāng)自變量從的左（右）近旁無(wú)限接近于，記作（）時(shí)，函數(shù)無(wú)限接近于一個(gè)確定的常數(shù)A，則稱常數(shù)A為時(shí)的左（右）極限，記作或，（或）.極限與左、右極限之間有以下結(jié)論：的充要條件是.漸近線：？？？？？？？函數(shù)極限的運(yùn)算規(guī)則

若已知x→x0(或x→∞)時(shí)，.

則：

推論：

在求函數(shù)的極限時(shí)，利用上述規(guī)則就可把一個(gè)復(fù)雜的函數(shù)化為若干個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù)來(lái)求極限。注：通過(guò)此例題我們可以發(fā)現(xiàn)：當(dāng)分式的分子和分母都沒(méi)有極限時(shí)就不能運(yùn)用商的極限的運(yùn)算，應(yīng)先把分式的分子分母轉(zhuǎn)化為存在極限的情形，然后運(yùn)用規(guī)則求之。無(wú)窮大量和無(wú)窮小量

無(wú)窮大量記為：

或（表示為無(wú)窮大量，實(shí)際它是沒(méi)有極限的）

無(wú)窮小量

以零為極限的變量稱為無(wú)窮小量。

記作：

(或

注意：無(wú)窮大量與無(wú)窮小量都是一個(gè)變化不定的量，不是常量，只有0可作為無(wú)窮小量的唯一常量。

無(wú)窮大量與無(wú)窮小量的區(qū)別是：前者無(wú)界，后者有界，前者發(fā)散，后者收斂于0.

無(wú)窮大量與無(wú)窮小量是互為倒數(shù)關(guān)系的.關(guān)于無(wú)窮小量的兩個(gè)定理

定理一：如果函數(shù)在(或x→∞)時(shí)有極限A，則差

是當(dāng)(或x→∞)時(shí)的無(wú)窮小量，反之亦成立。

定理二：無(wú)窮小量的有利運(yùn)算定理

a)：有限個(gè)無(wú)窮小量的代數(shù)和仍是無(wú)窮小量；

b)：有限個(gè)無(wú)窮小量的積仍是無(wú)窮小量；

c)：常數(shù)與無(wú)窮小量的積也是無(wú)窮小量. d):有限個(gè)無(wú)窮小的乘積也是無(wú)窮小。無(wú)窮小與無(wú)窮大的關(guān)系：在自變量的同一變化過(guò)程中，若為無(wú)窮大，則為無(wú)窮小；反之，若為無(wú)窮小，則為無(wú)窮大且f(x)等于零。無(wú)窮小量的比較定義：設(shè)α，β都是時(shí)的無(wú)窮小量，且β在x0的去心領(lǐng)域內(nèi)不為零，

a)：如果，則稱α是β的高階無(wú)窮小或β是α的低階無(wú)窮小；b)：如果，則稱α和β是同階無(wú)窮?。?/p>

c)：如果，則稱α和β是等價(jià)無(wú)窮小，記作：α∽β(α與β等價(jià))注：這個(gè)性質(zhì)表明：求兩個(gè)無(wú)窮小之比的極限時(shí)，分子及分母都可用等價(jià)無(wú)窮小來(lái)代替，因此我們可以利用這個(gè)性質(zhì)來(lái)簡(jiǎn)化求極限問(wèn)題。兩個(gè)重要極限函數(shù)的一重要性質(zhì)——連續(xù)性函數(shù)連續(xù)性的定義：

設(shè)函數(shù)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，如果有稱函數(shù)在點(diǎn)x0處連續(xù)，且稱x0為函數(shù)的的連續(xù)點(diǎn).

函數(shù)左、右連續(xù)的概念：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的連續(xù)性：若函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)的每一點(diǎn)處都連續(xù)，則稱函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)若函數(shù)在有定義，且，則稱函數(shù)在處左連續(xù).若函數(shù)在有定義，且，則稱函數(shù)在處右連續(xù).顯然函數(shù)在處連續(xù)的充要條件是：函數(shù)在該點(diǎn)既是左連續(xù)，又是右連續(xù).若函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)，且在右連續(xù)，在左連續(xù)，則稱函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù).函數(shù)的間斷點(diǎn)定義：我們把不滿足函數(shù)連續(xù)性的點(diǎn)稱之為間斷點(diǎn).它包括三種情形：a)：在x=x0無(wú)定義；b)：有定義，但在x→x0時(shí)不存；c)：在x=x0有定義，且存在，但不等于間斷點(diǎn)的分類

我們通常把間斷點(diǎn)分成兩類：如果x0是函數(shù)的間斷點(diǎn)，且其左、右極限都存在，我們把x0稱為函數(shù)的第一類間斷點(diǎn)；不是第一類間斷點(diǎn)的任何間斷點(diǎn)，稱為第二類間斷點(diǎn).分類：無(wú)窮間斷點(diǎn)、可去間斷點(diǎn)、跳躍間斷點(diǎn)?？扇ラg斷點(diǎn)

若x0是函數(shù)的間斷點(diǎn)，但極限存在，那末x0是函數(shù)的第一類間斷點(diǎn)。此時(shí)函數(shù)不連續(xù)原因是：不存在或者是存在但≠。我們令，則可使函數(shù)在點(diǎn)x0處連續(xù)，故這種間斷點(diǎn)x0稱為可去間斷點(diǎn)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)及初等函數(shù)的連續(xù)性連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

函數(shù)的和、積、商的連續(xù)性

我們通過(guò)函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的定義和極限的四則運(yùn)算法則，可得出以下結(jié)論：a)：有限個(gè)在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的和是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)；b)：有限個(gè)在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的乘積是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)；c)：兩個(gè)在某點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)的商是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù)(分母在該點(diǎn)不為零)；反函數(shù)的連續(xù)性若函數(shù)在某區(qū)間上單調(diào)增(或單調(diào)減)且連續(xù)，那末它的反函數(shù)也在對(duì)應(yīng)的區(qū)間上單調(diào)增(單調(diào)減)且連續(xù)復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性設(shè)函數(shù)當(dāng)x→x0時(shí)的極限存在且等于a，即：.而函數(shù)在點(diǎn)u=a連續(xù)，

那末復(fù)合函數(shù)當(dāng)x→x0時(shí)的極限也存在且等于.即：

初等函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的；一切初等函數(shù)在其定義域內(nèi)也都是連續(xù)的.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)最大值最小值定理：（最大值、最小值定理）若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，則函數(shù)在區(qū)間上必然存在最大值與最小值.介值定理在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定取得介于區(qū)間兩端點(diǎn)的函數(shù)值間的任何值。即：，μ在α、β之間，則在[a，b]間一定有一個(gè)ξ，使推論：

在閉區(qū)間連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值最小值之間的任何值。重點(diǎn)：極限的運(yùn)算：1、運(yùn)用極限運(yùn)算法則及四則運(yùn)算；若，則存在，且若，則存在，且。推論1：（為常數(shù)）。推論2：（為正整數(shù)）。定理3：設(shè)，則2、利用無(wú)窮小與無(wú)窮大性質(zhì)；3、利用兩個(gè)重要極限；4、利用無(wú)窮小的比較，等價(jià)無(wú)窮小的代替；5、利