2025年高中數(shù)學高二【數(shù)學(人教A版)】用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系(2)-教學設(shè)計

課程基本信息課例編號學科數(shù)學年級高二學期上學期課題用空間向量研究直線、平面的位置關(guān)系（2）教科書書名：選擇性必修第一冊數(shù)學（A版）出版社：人教社出版日期：年月教學人員姓名單位授課教師李健北京景山學校指導教師雷曉莉北京市東城區(qū)教師研修中心教學目標教學目標：能用向量語言表述直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關(guān)系．能用向量方法證明必修內(nèi)容中有關(guān)直線、平面平行關(guān)系的判定定理．教學重點：用向量方法解決空間圖形的平行問題．教學難點：建立空間圖形基本要素與向量之間的關(guān)系，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題．教學過程時間教學環(huán)節(jié)主要師生活動上節(jié)課我們學習了如何用空間向量表示空間中的直線和平面，我們發(fā)現(xiàn)，直線的方向向量和平面的法向量是表示和確定空間中的直線和平面的關(guān)鍵量.上學期，我們還學過空間中直線、平面的各種位置關(guān)系，你能用直線的方向向量、平面的法向量的位置關(guān)系刻畫空間直線、平面的平行、垂直關(guān)系嗎？進一步將立體幾何與空間向量聯(lián)系起來.我們先看平行問題.問題1：由直線與直線的平行關(guān)系，可以得到這兩條直線的方向向量有什么關(guān)系呢？如圖，設(shè)u1，u2分別是直線l1，l2的方向向量.由方向向量的定義可知，如果兩條直線平行，那么它們的方向向量一定平行；反過來，如果兩條直線的方向向量平行，那么這兩條直線也平行.所以l1//l2?u1//u2，而且由向量的共線定理可以得到問題2：由直線與平面的平行關(guān)系，可以得到直線的方向向量、平面的法向量有什么關(guān)系呢？如圖，設(shè)u是直線l的方向向量，n是平面的法向量，.如果，根據(jù)直線的方向向量和平面的法向量的定義可知，；反過來，如果，且，那么.所以.由向量的數(shù)量積運算，可以得到問題3：由平面與平面的平行關(guān)系，可以得到這兩個平面的法向量有什么關(guān)系呢？如圖，設(shè)n1，n2分別是平面的法向量.由法向量的定義可知，如果兩個平面平行，那么它們的法向量一定平行；反過來，如果兩個平面的法向量平行，那么這兩個平面也平行.所以α//β?n1//n2.由共線向量定理，可以得到下面我們看一個例題，這個例題是前面我們學習的一個判定定理，當時沒有給出證明，例1證明“平面與平面平行的判定定理”：若一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行.已知：如圖，求證：.分析：證明兩個平面平行，如果我們用兩個平面平行的定義，就是要證明這兩個平面沒有公共點，要用反證法，有難度.這也是前面學習時沒有給出證明的原因.今天，我們學習了用向量的位置關(guān)系刻畫平面的位置關(guān)系，我們考慮用向的方法解決這個問題，從而完善立體幾何定理的學習.用向量法證明兩個平面平行，就是要證明這兩個平面的法向量平行，或者這兩個平面是以同一個向量為法向量的.下面我們就沿著這條思路證明這個定理.設(shè)平面的法向量為n，平面內(nèi)的兩條相交直線a，b的方向向量分別為u，v，由已知條件可得即n與平面內(nèi)的兩個相交向量都垂直，由平面向量基本定理可知，平面β內(nèi)的任意向量都可以由u，v的線性組合表示.因此可以通過向量的運算證明n與平面內(nèi)的任意一個向量都垂直，即n也是平面的法向量.所以α//β.證明：設(shè)平面的法向量為n，直線a，b的方向向量分別為u，v.因為，所以u⊥n，v⊥n，所以因為，所以對任意點，由平面向量基本定理可知，存在，使得.從而.即.又因為是平面內(nèi)的任意一個向量，所以，向量n也是平面β的法向量.所以.例1小結(jié)：在解決問題過程中，通過向量運算，我們可以證明平面α的法向量與垂直，即與平面β內(nèi)的任意一個向量都垂直.所以，平面α的法向量也就是平面β的法向量.這樣，我們證明了這兩個平面平行.在這個過程中，我們通過向量的運算，證明垂直關(guān)系.由有限個垂直關(guān)系，得到直線與平面內(nèi)所有的直線都垂直.這是數(shù)學學習中常用的方法.向量法可以解決很多立體幾何問題，我們再看一個問題..例2：如圖，長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=4，BC=3，CC1=2.線段B1C上是否存在點P，使得A1P//平面ACD1？分析：問題是是否存在滿足條件的點P，如何找呢？P在哪兒？根據(jù)題目條件，點P是否在B1C上？那么，如何表示P？一般情形下，我們假設(shè)線段B1C上存在點P，使得A1P//平面ACD1.這樣，根據(jù)向量共線定理，我們有存在λ∈R如何確定λ?由條件“A1P//面ACD1”,可得A1P?n=0.利用向量運算，確定與平面ACD1的法向量的數(shù)量積等于0的向量.進而求λ，如果λ證明：在長方體中，由同一頂點出發(fā)的三條棱兩兩垂直，所以以點D為原點，DA，DC，DD1所在直線分別為x軸，y軸，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系Oxyz.，依題意，有A(3,0,0),C(0,4,0),D(0,0,2),計算可得.設(shè)是平面ACD1的法向量.則有，所以所以取z=6，則x=4，y=3.于是是平面ACD1的一個法向量.又由于A1(3,0,2),C(0,4,0),B1(3,4,2),所以.設(shè)點P滿足，則.所以.令，得，解得.所以，當，即P為B1C的中點時，A1P//平面ACD1.例2小結(jié)：通過本道例題，我們初步體會了用向量法解決立體幾何問題的步驟：（一）建系；（二）設(shè)點；（三）表示相關(guān)向量；（四）進行向量運算；（加減法運算、數(shù)乘運算、數(shù)量積運算）（五）把向量運算的結(jié)果“翻譯”為幾何結(jié)論.課堂小結(jié)：知識內(nèi)容：直線、平面的位置關(guān)系向量的位置關(guān)系向量的運算向量運算的坐標表示方法：我們通過例題，梳理了用向量法解決立體幾何問題的步驟.在此過程中，提高了同學們數(shù)學運算、直觀想象