高一數(shù)學(xué)300題+教師版

1．已知集合A＝{x|x＝3n+2，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，則集合A∩B中元素的個數(shù)為()則A∩B＝{8，14}，故集合A∩B中元素的個數(shù)為2個，故選：D．2．設(shè)常數(shù)a∈R，集合A＝{x|（x-1x-a）≥0}，B＝{x|x≥a-1}，若A∪B＝R，則a的取值范圍為()若A∪B＝R，則a-1≤1，當(dāng)a＝1時，易得A＝R，此時A∪B＝R；若A∪B＝R，則a-1≤a，顯然成立，故選：B．3．設(shè)集合A＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈B}，則M中元素的個數(shù)為()解：因?yàn)榧螦＝{1，2，3}，B＝{4，5}，M＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈B}，所以a+b的值可能為：1+4＝5、1+5＝6、2+4＝6、2+5＝7、3+4＝7、3+5＝8，所以M中元素只有：5，6，7，8．共4個．故選：B．4．設(shè)S是整數(shù)集Z的非空子集，如果?a，b∈S有ab∈S，則稱S關(guān)于數(shù)的乘法是封閉的，若T，V是Z的兩個不相交的非空子集，T∪V＝Z，且?a，b，c∈T，有abc∈T；?x，y，z∈V，有xyz∈V，則下列結(jié)論恒成立的是()A．T，V中至少有一個關(guān)于乘法是封閉的B．T，V中至多有一個關(guān)于乘法是封閉的C．T，V中有且只有一個關(guān)于乘法是封閉的D．T，V中每一個關(guān)于乘法都是封閉的解：若T為奇數(shù)集，V為偶數(shù)集，滿足題意，此時T與V關(guān)于乘法都是封閉的，排除B、C；若T為負(fù)整數(shù)集，V為非負(fù)整數(shù)集，也滿足題意，此時只有V關(guān)于乘法是封閉的，排除D；從而可得T，V中至少有一個關(guān)于乘法是封閉的，A正確．故選：A．5．設(shè)a，b，c為實(shí)數(shù)，f（x）＝（x+a）（x2+bx+c），g（x）＝（ax+1）（cx2+bx+1）．記集合S＝{xf|（x）＝0，x∈R}，T＝{x|g（x0，x∈R}．若{S}，{T}分別為集合S，T的元素個數(shù)，則下列結(jié)論不可能的是()A．{S}＝1且{T}＝0B．{S}＝1且{T}＝1解：∵f（x）＝（x+a）（x2+bx+c），當(dāng)f（x）＝0時至少有一個根x＝-a，當(dāng)b2-4c＝0時，f（x0還有一根，只要b≠2a，f（x0就有2個根；當(dāng)b＝2a，f（x0是一個根；當(dāng)b2-4c＜0時，f（x）＝0只有一個根；當(dāng)b2-4c＞0時，f（x）＝0有二個根或三個根．當(dāng)a＞0，b＝0，c＞0時，{S}＝1且{T故選：D．6．設(shè)A（0，0），B（4，0），C（t+4，4），D（t，4）（t∈R）．記N（t）為平行四邊形ABCD內(nèi)部（不含邊界）的整點(diǎn)的個數(shù)，其中整點(diǎn)是指橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn)，則函數(shù)N（t）的范圍為()解：當(dāng)t＝0時，。ABCD的四個頂點(diǎn)是A（0，0），B（4，0），C（4，4），D（0，4），符合條件的點(diǎn)有（1，11，21，32，12，22，33，13，23，3），共九個，N（t）＝9，故選項(xiàng)D不正確．當(dāng)t＝1時，。ABCD的四個頂點(diǎn)是A（0，0），B（4，0），C（5，4），D（1，4），同理知N（t12，故選項(xiàng)A不正確．當(dāng)t＝2時，。ABCD的四個頂點(diǎn)是A（0，0），B（4，0），C（6，4），D（2，4），同理知N（t11，故選項(xiàng)B不正確．故選：C．7．設(shè)集合A＝{1，2，3，4，5，6}，B＝{4，5，6，7，8}，則滿足S≤A且S∩B≠?的集合S的個數(shù)是()A．57則滿足S≤A且S∩B≠?的集合S的個數(shù)是64-8＝56．故選：B．8．設(shè)非空集合S＝{x|m≤x≤n}滿足：當(dāng)x∈S時，有x2∈S．給出如下三個命題：①若m＝1，則S＝{1}；②若m=-，則≤n≤1；③若n＝，則-≤m≤0．其中正確命題的個數(shù)是()解：由定義設(shè)非空集合S＝{x|m≤x≤n}滿足：當(dāng)x∈S時，有x2∈S知，符合定義的參數(shù)m的值一定大于等于1或小于等于0，惟如此才能保證m∈S時，有m2∈S即m2≥m，符合條件的n的值一定大于等于0，小于等于1，惟如此才能保證n∈S時，有n2∈S即n2≤n，正對各個命題進(jìn)行判斷：＝，所以正確命題有3個．故選：D．9．設(shè)集合M＝{1，2，3，4，5，6}，S1、S2、…、Sk都是M的含兩個元素的子集，且滿足：對任意的Si＝{ai，bi}，），x、y中的較小者）．則k的最大值是()A．10解：根據(jù)題意，對于M，含2個元素的子集有15個，但{1，2}、{2，4}、{3，6}只能取一個；{1，3}、{2，6}只能取一個；{2，3}、{4，6}只能取一個，故滿足條件的兩個元素的集合有11個；故選：B．（min{x，y}表示兩個數(shù)10．設(shè)A＝{x|xk∈NB＝{x|x≤6，x∈Q}，則A∩B等于()所以k＝0時，x＝1；k＝2時，x=;k＝3時，x4；k＝4時，x=;k＝5時，x=;k＝6時，x=;k＝7時，x=√麗＝6，…,則A∩B＝{1，4，6}故選：D．11．若集合{a，b，c，d}＝{1，2，3，4}，且下列四個關(guān)系：數(shù)是12．已知集合A＝{x∈R||x+3|+|12．已知集合A＝{x∈R||x+3|+|x-4|≤9}，B=解：集合A＝{x∈R||x+3|+|x-4|≤9}，所以A＝{x|-4≤x≤5}；集合，,當(dāng)且僅當(dāng)t＝時取等號，所以B＝{x|x≥-2}，所以A∩B＝{x|-4≤x≤5}∩{x|x≥-故答案為：{x|-2≤x≤5}．解：解法一：），（），（），（），（），），（），（），（），（），（），（），（），（）（解法二：因?yàn)榧螦＝{（x，y）|x2+y2≤1，x，y∈Z}，所以集合A中有5個元素，即圖中圓中的整點(diǎn)，B＝{（x，y）||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，中有5×5＝25個元素，即圖中正方形ABCD中的整點(diǎn)，A田B＝{（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1），（∈B}的元素可看作正方形A1B1C1D1中的整點(diǎn)（除去四個頂點(diǎn)），即7×7-4＝45個．14.已知A={x|x=a+b·2，a，b∈N}．若集合C={x|x=x1-x2，x1、x2∈A}，當(dāng)x=a+b2∈C（a、b互質(zhì)）時．必有，則a．b滿足的關(guān)系式．故答案為：a2-2b2=±1叫做集合{x|a≤x≤b}的“長度”，那么集合M∩N的“長度”的最小值是____________解：根據(jù)題意，M的長度為，N的長度為，當(dāng)集合M∩N的長度的最小值時，M與N應(yīng)分別在區(qū)間[0，1]的左右兩端，故M∩N的長度的最小值是+-1=,故答案為．16.設(shè)全集I={(x，y)|x,y∈R于_____解：根據(jù)題意，分析可得集合M可變形為M＝{（x，y）|y＝x-4，x≠2}，即直線y＝x-4中除（2，-2）之外的所有點(diǎn)，N＝{（x，y）|y≠x-4}，為平面直角坐標(biāo)系中除直線y＝x-4外的所有點(diǎn)；M∪N＝{（x，y）|x≠2，y≠-2）}，即平面直角坐標(biāo)系中除點(diǎn)（2，-2）之外的所有點(diǎn)；（CUM）∩（CUNCU（M∪N{（2，-2）}；（1）{a1，a3}是E的第個子集；（2）E的第211個子集是．解：（1）{a1，a3}＝{a3，a1}化成二進(jìn)制101（0為不出現(xiàn)，1為出現(xiàn)），這里a3出現(xiàn)，a2不出現(xiàn)，a1出現(xiàn)，所以是101；二進(jìn)制的101等于十進(jìn)制5，故第一個空填5；故答案為：5．（2）十進(jìn)制211等于二進(jìn)制11010011，即對應(yīng)集合{a8，a7，a5，a2，a1}，故第二空填{a1，a2，a5，a7，a8}．故答案為：{a1，a2，a5，a7，a8}．18.設(shè)A是整數(shù)集的一個非空子集，對于k∈A，如果k-1?A且k+1?A，那么稱k是A的一個“孤立元”，給定S＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，由S的3個元素構(gòu)成的所有集合中，不含“孤立元”的集合共有個．解：依題意可知，沒有與之相鄰的元素是“孤立元”，因而無“孤立元”是指在集合中有與k相鄰的元素因此，符合題意的集合是：{1，2，3}，{2，3，4}，{3，4，5}，{4，5，6}，{5，6，7}，{6，7，8}共6個．故答案為：6．19.設(shè)集合，B＝{（x，y）|y≤-|x|+b}，A∩B≠?.（2）若（x，y）∈A∩B，且x+2y的最大值為9，則b的值是解：（1）由圖象可知b的取值范圍是[1，+∞).（2）若（x，y）∈A∩B，令z＝2y+x作直線z＝2y+x，由圖知當(dāng)直線過（0，b）時，z最大所以0+2b＝9，所以b=20.設(shè)集合A＝{（x，y）|y≥|x-2|，x≥0}，B＝{（x，y）|y≤-x+b}，A∩B≠?,b的取值范圍是[2，+∞).解：集合A＝{（x，y）|y≥|x-2|，x≥0}表示圖中陰影部分，集合B＝{（x，y）|y≤-x+b}表示直線y＝-x+b的下文，∴由圖象可知b的取值范圍是[2，+∞).21.已知集合設(shè)試判斷x1，x2，x3與集合A之間的關(guān)系；（2）任取x1，x2∈A，試判斷x1+x2，x1?x2與A之間的關(guān)系．解：（1）∵===--．∴x1?A．（2）設(shè)，m，n∈Z，5ctE，c，d∈Z，則x1+x2＝（m+c）+（n+d），∵（m+c），（n+d）∈Z，∴（x1+x2）∈A．x1x2mc+2nd+（md+cn∵（mc+2ndmd+cn）∈Z，∴x1x2∈A．22.若A={2,4,a3-2a2-a+7}，解：因?yàn)锳∩B＝{2，5}，所以2，5∈A，則必有a3-2a2-a+7＝5，解得a＝2或a=±1．當(dāng)a＝1時，a2-2a+2＝1，與元素的互異性矛盾，所以a＝1不成立．當(dāng)a＝-1時，集合a＝{2，4，5}，B＝{1，0，2，4，5}，此時A∩B＝{2，4，5}，與A∩B＝{2，5}矛盾，所當(dāng)a＝2時，集合A＝{2，4，5}，B＝{1，3，2，5，25}，滿足A∩B＝{2，5}，所以a＝2成立．綜上，滿足條件的實(shí)數(shù)a＝2．23.設(shè)A={x|x=m2+n2，a，b∈Z}，求證：（2）若，其中p，q是有理數(shù)．解：解1）設(shè)s＝a2+b2，t＝c2+d2，則sta2+b2c2+d2a2c2+a2d2+b2c2+b2d2ac+bd）2+（ad-bc）2所以st∈A．（2）由（1）得st∈A，所以可設(shè)st＝m2+n2，又t≠0，所以,令，，則，p，q為有理數(shù)．24.設(shè)M=a{a|a=x2-y2，x，y∈Z}．（1）求證：2k+1∈M其中k∈Z（2）求證：4k-2?M其中k∈Z）（3）屬于M的兩個整數(shù)，其積是否屬于M．解1）證明：令x＝k+1，y＝k，k∈Z；（2）假設(shè)4k-2∈M，則（x-yx+y）+＝k，則（x-yx+y2k（2k+1又∵（x-yx+y）不可以是一奇一偶的乘積，（3）設(shè)a1，a2∈M，則a1a2x12-y12x22-y22）=x12x22+y12y22-（x22y12+x12y22）=（x1x2+y1y2）2-（x2y1+x1y2）2∈M．25.對于自然數(shù)N*的每一個非空子集，我們定義“交替和”如下：把子集中的元素從大到小的順序排列，然后從最大的數(shù)開始交替地加減各數(shù)，例如{1，2，4，6，9}的交替和是9-6+4-2+1=6；求集合{1，2，3，4，5，6，7}的所有非空子集的交替和的總和解：由題意，S2表示集合N＝{1，2}的所有非空子集的“交替和”的總和，又{1，2}的非空子集有{1}，{2}S3＝1+2+3+（2-1）+（3-1）+（3-2）＝∴根據(jù)前4項(xiàng)猜測集合N＝{1，2，3，…,n}的每一個非空子集的“交替和”的總和Sn＝n?2n-1，故答案為：448．26.設(shè)a，b是兩個實(shí)數(shù)，A＝{（x，y）|x＝n，y＝na+b，n是整數(shù)}，B＝{（x，y）|x＝m，y＝3m2+15，m是整數(shù)}，C＝{（x，y）|x2+y2≤144}，是平面XOY內(nèi)的點(diǎn)集合，討論是否存在a和b使得（1）A∩B≠φ(φ表示空集），同時成立．解：據(jù)題意，知A＝{（x，y）|x＝n，y＝an+b，n∈Z}B＝{（x，y）|x＝m，y＝3m^2+15，m∈Z}假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，b，使得A∩B≠?成立，則方程組y＝ax+by＝3x2+15有解，且x∈Z．消去y，方程組化為3x2-ax+15-b＝0．①），22＝108．a(chǎn)=±6√3將a=±6，b＝6代入方程①,得解之得x=±,與x∈Z矛盾．∴不存在實(shí)數(shù)a，b使（12）同時成立．26.設(shè)集合A={a1，a2，a3，a4，a5}，B={a12，a22，a32，a42，a52}，其中a1∈Z，1≤i≤5，且滿足a1＜a2＜a3＜a4＜a5，a1+a4=10，A∩B={a1，a4}，A∪B中所有元素之和為224，求集合A解：∵a1+a4＝10，A∩B＝{a1，a4}，∴兩∵A∪B中所有元素之和為224，而，∵a4＝9＜a5，若a5＝11，則，不可能．若，得，∴a2＝4＞a3矛盾，從而a2＝3，a3＝4，（1）求集合P7中元素的個數(shù)；（2）若Pn的子集A中任意兩個元素之和不是整數(shù)的平方，則稱A為“稀疏集”．求n的最大值，使Pn能分成兩個不相交的稀疏集的并集．解1）對于集合P7，有n＝7．當(dāng)k＝2時，m＝1，2，3…，7，Pn對應(yīng)有7個數(shù)，當(dāng)k＝3時，m＝1，2，3…，7，Pn對應(yīng)有7個數(shù)，與k＝1時Pn中的數(shù)重復(fù)，當(dāng)k＝5時，m＝1，2，3…，7，Pn對應(yīng)有7個數(shù)，當(dāng)k＝6時，m＝1，2，3…，7，Pn對應(yīng)有7個數(shù)，由此求得集合P7中元素的個數(shù)為7×7-3＝46．（2）先證當(dāng)n≥15時，Pn不能分成兩個不相交的稀疏集的并集．假設(shè)當(dāng)n≥15時，Pn可以分成兩個不相交的稀疏集的并集，設(shè)A和B為兩個不相交的稀疏集，使A∪B＝Pn?In．但1+15＝42，這與A為稀疏集相矛盾．再證P14滿足要求．當(dāng)k＝1時，P14＝{|m∈I14，k∈I14}＝I14，可以分成2個稀疏集的并集．則A1和B1都是稀疏集，且A1∪B1＝I14．當(dāng)k＝4時，集合{|m∈I14}中，除整數(shù)外，剩下的數(shù)組成集合{…,}，可以分為下列3個稀疏集的并：可以分為下列3個稀疏集的并：最后，集合C═中的數(shù)的分母都是無理數(shù)，它與Pn中的任何其他數(shù)之和都不是整數(shù)，因此，令A(yù)＝A1∪A2∪A3∪C，B＝B1∪綜上可得，n的最大值為14．29．已知集合Sn＝{X|Xx1，x2，…,xnxiε{0，1}，i＝1，2，…,n}（n≥2）對于AA與B之間的距離為＝（），＝（），）；(Ⅱ)證明：?A，B，CεSn，有A-BεSn，且d（A-C，B-(Ⅲ)證明：?A，B，CεSn，d（A，B），d（A，C），d（B，C）三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù)．＝（）＝（），因?yàn)閍i，biε{0，1}，所以|ai-bi|ε{0，1}（i＝1，2，n）nn|）εSn由題意知ai，bi，ciε{0，1}（i|ii|所以d（A，Bk，d（A，Cl，d（B，Ch，由(Ⅱ)可知因?yàn)閨ai-bi|ε{0，1}k，由此可知，k，l，h三個數(shù)不可能都是奇數(shù)，即d（A，B），d（A，C），d（B，C）三個數(shù)中至少有一個是偶數(shù)．），S＝{（a，b）|a∈A，b∈A，a+b∈A}，T＝{（a，b）|a∈A，b∈A，a-b∈A}．其中（a，b）是有序數(shù)對，集合S和T中的元素個數(shù)分別為m和n．若對于任意的a∈A，總有-a?A，則稱集合A具有性質(zhì)P．(Ⅰ)檢驗(yàn)集合{0，1，2，3}與{-1，2，3}是否具有性質(zhì)P并對其中具有性質(zhì)P的集合，寫出相應(yīng)的集合S和T；(Ⅱ)對任何具有性質(zhì)P的集合A，證明：；(Ⅲ)判斷m和n的大小關(guān)系，并證明你的結(jié)論．（I）解：集合{0，1，2，3}不具有性質(zhì)P．集合{-1，2，3}具有性質(zhì)P，其相應(yīng)的集合S和T是），（），（（II）證明：首先，由A中元素構(gòu)成的有序數(shù)對（ai，aj）共有k2個．所以當(dāng)（ai，aj）∈T時aj，ai）?T（i，j＝1，2，k從而，集合T中元素的個數(shù)最多為，（III）解：m＝n，證明如下：（1）對于（a，b）∈S，根據(jù)定義，如果（a，b）與（c，d）是S的不同元素，那么a＝c與b＝d中至少有一個不成立，從而a+b＝c+d與b＝d中也至少有一個不成立．故（a+b，b）與（c+d，d）也是T的不同元素．可見，S中元素的個數(shù)不多于T中元素的個數(shù)，即m≤n，如果（a，b）與（c，d）是T的不同元素，那么a＝c與b＝d中至少有一個不成立，從而a-b＝c-d與b＝d中也至少有一個不成立，故（a-b，b）與（c-d，d）也是S的不同元可見，T中元素的個數(shù)不多于S中元素的個數(shù)，即n≤m，由（12）可知，m＝n．31．已知函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?1，0），則函數(shù)f（2x+1）的定義域?yàn)?)），∴則函數(shù)f（2x+1）的定義域?yàn)椋蔬x：B．32．已知函數(shù)f（xx2-2（a+2）x+a2，g（x-x2+2（a-2）x-a2+8．設(shè)H1（xmax{f（xg（x）}，H2（x）＝min{f（x），g（x）}，（max{p，q}）表示p，q中的較大值，min{p，q}表示p，q中的較小值），記H1（x）的最小值為A，H2（x）的最大值為B，則A-B=()①由2（x-a）2-8＝0，解得x＝a±2，此時f（x）＝g（x）；②由h（x0，解得x＞a+2，或x＜a-2，此時f（xg（x③由h（x0，解得a-2＜x＜a+2，此時f（xg（x綜上可知：（1）當(dāng)x≤a-2時，則H1（x）＝max{f（x），g（x）}＝f（x）＝[x-（a+2）]2-4a-4，H2（x）＝min{f（x），g（x）}＝g（x）＝-[x-（a-2）]2-4a+12，（2）當(dāng)a-2≤x≤a+2時，H1（x）＝max{f（x），g（x）}＝g（x），H2（x）＝min{f（x），g（x）}＝f（x）；（3）當(dāng)x≥a+2時，則H1（x）＝max{f（x），g（x）}＝f（x），H2（x）＝min{f（x），g（x）}＝g（x），）＝）＝）＝故選：B．33．已知函數(shù)的最大值為M，最小值為m，則的值為()解：根據(jù)題意，對于函數(shù)，有，當(dāng)x＝-3或1時y取最小值m＝2∴故選：C．34．設(shè)[x]表示不超過x的最大整數(shù)（如[2]＝2，[]＝1），對于給定的nεN*，定義，xε[1，+∞),則當(dāng)xε時，函數(shù)的值域是()解：當(dāng)xε時，，當(dāng)x→2時，[x]＝1，所以；，，，，故函數(shù)C8x的值域是故選：D．35．已知函數(shù)f（x）＝，設(shè)aεR，若關(guān)于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，則a的取值范圍是()解：根據(jù)題意，函數(shù)f（x的圖象如圖：令g（x）＝|+a|，其圖象與x軸相交與點(diǎn)（-2a，0），若不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，則函數(shù)f（x）的圖象在g（x）上的上方或相交，則必有f（0）≥g（0即2≥|a|，解可得-2≤a≤2，故選：A．D．36．已知函數(shù)f（xa＞0，且a≠1）在R上單調(diào)遞減，且關(guān)于x的方程f|（x）|＝2-x恰好有兩個不相等的實(shí)數(shù)解，則a的取值范圍是()解：y＝loga（x+1）+1在[0，+∞)遞減，則0＜a＜1，函數(shù)f（x）在R上單調(diào)遞減，則：;解得，；由圖象可知，在[0，+∞)上，f|（x）|＝2-x有且僅有一個解，當(dāng)3a＞2即a＞時，聯(lián)立|x2+（4a-則△=（4a-2）2-4（3a-20，解得a＝或1（舍去），當(dāng)1≤3a≤2時，由圖象可知，符合條件，故選：C．37．對a，bεR，記max{a，b}＝，函數(shù)f（x）＝max{|x+1|，|x-2|}（xεR）的最小值是()）＝當(dāng)＜x＜2時，x+1＞2-x；故f（x）=據(jù)此求得最小值為．故選：C．38．已知當(dāng)xε[0，1]時，函數(shù)y＝（mx-1）2的圖象與y＝+m的圖象有且只有一個交點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A0，1]∪[2，+∞)B0，1]∪[3，+∞)C0∪[2，+∞)D0，]∪[3，+∞)解：根據(jù)題意，由于m為正數(shù)，y＝（mx-1）2為二次函數(shù)，在區(qū)間（0，）為減函數(shù)，（，+∞)為增函函數(shù)y＝+m為增函數(shù)，分2種情況討論：①、當(dāng)0＜m≤1時，有≥1，在區(qū)間[0，1]上，y＝（mx-1）2為減函數(shù)，且其值域?yàn)閇（m-1）2，1]，函數(shù)y＝+m為增函數(shù)，其值域?yàn)閇m，1+m]，此時兩個函數(shù)的圖象有1個交點(diǎn)，符合題意；②、當(dāng)m＞1時，有＜1，y＝（mx-1）2在區(qū)間（0，）為減函數(shù)，（，1）為增函數(shù)，函數(shù)y=√及+m為增函數(shù)，其值域?yàn)閇m，1+m]，若兩個函數(shù)的圖象有1個交點(diǎn)，則有（m-1）2≥1+m，解可得m≤0或m≥3，又由m為正數(shù)，則m≥3；綜合可得：m的取值范圍是（0，1]∪[3，+∞);故選：B．39．已知函數(shù)f（x）＝lnx+ln（2-x），則()A．f（x）在（0，2）單調(diào)遞增B．f（x）在（0，2）單調(diào)遞減C．y＝f（x）的圖象關(guān)于直線x＝1對稱D．y＝f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（1，0）對稱解：∵函數(shù)f（xlnx+ln（2-x∴f（2-xln（2-x）+lnx，即f（xf（2-x即y＝f（x）的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，故選：C40．用min{a，b}表示a，b兩數(shù)中的最小值．若函數(shù)f（xmin{|x|，|x+t|}的圖象關(guān)于直線x＝-對稱，則t的值為()解：如圖，在同一個坐標(biāo)系中做出兩個函數(shù)y＝|x|與y＝|x+t|的圖象，函數(shù)f（xmin{|x|，|x+t|}的圖象為兩個圖象中較低的一個，分析可得其圖象關(guān)于直線x＝-對稱，要使函數(shù)f（xmin{|x|，|x+t|}的圖象關(guān)于直線x＝對稱，則t的值為t＝1故選：D．41．若x1滿足2x+2x＝5，x2滿足2x+2log2（x-15，x1+x2=()2x2+2log2（x2-15@所以，令2x1＝7-2t，代入上式得7-2t＝2log2（2t-22+2∴5-2t＝2log2（t-1）與@式比即x1+x2=故選：C．42．設(shè)函數(shù)f（x）＝|x+1|+|x-a|的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，則a的值為()他們的和f（x|x+1|+|x-a|關(guān)于x＝1對稱，43．設(shè)函數(shù)g（x）＝x2-2，f（x）＝，則f（x）的值域是()解：x＜g（x），即x＜x2-2，即x＜-1或x＞2．x≥g（x），即-1≤x≤2．由題意f（x）====所以當(dāng)xε（-∞,-1）∪（2，+∞)時，由二次函數(shù)xε[-1，2]時，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得f（x）ε[-，0]，故選：D．44．已知函數(shù)，若a，b，c互不相等，且f（a）＝f（b）＝f（c），則abc的取值范圍是()A1，10）B5，6）C10，12）D20，24）解：作出函數(shù)f（x）的圖象如圖，不妨設(shè)a＜b＜c，則則abc＝cε（10，12）．故選：C．45．已知函數(shù)f（x）＝x（1+a|x|）．設(shè)關(guān)于x的不等式f（x+a）＜f（x）的解集為A，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()∵f（x+af（x（1）x＜0時，解得-＜x＜0；（2）0≤x≤時，解得0；（3）x＞時，解得，綜上知，a＝-時，A＝（-，），符合題意，排除B、D；取a＝1時，f（xx|x|+x，∵f（x+a）＜f（x），∴（x+1）|x+1|+1＜x|x|，（1）x＜-1時，解得x＞0，矛盾；（2）-1≤x≤0，解得x＜0，矛盾；（3）x＞0時，解得x＜-1，矛盾；綜上，a＝1，A=?,不合題意，排除C，故選：A．46．設(shè)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x≥0時，f（xx2，若對任意的x∈[t，t+2]，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是()解排除法）當(dāng)則得，即(x厄)2>2x2=x2-2,乓x-2?0在時恒成立，而x2-2,厄x-2最大值，是當(dāng)時出現(xiàn)，故x2-2,厄x-2的最大值為0，則f（x+t）≥2f（x）恒成立，排除B項(xiàng)，同理再驗(yàn)證t＝3時，f（x+t）≥2f（x）恒成立，排除C項(xiàng)，t＝-1時，f（x+t）≥2f（x）不成立，故排除D項(xiàng)故選：A．47．設(shè)f（x）是連續(xù)的偶函數(shù)，且當(dāng)x＞0時f（x）是單調(diào)函數(shù)，則滿足的所有x之和為()解：∵f（x）為偶函數(shù)，且當(dāng)x＞0時f（x）是單調(diào)函數(shù)∴若時，必有或，整理得x2+3x-3＝0或x2+5x+3＝0，）＝故選：C．48．已知f（x）是定義域?yàn)椋?∞,+∞)的奇函數(shù)，滿足f（1-x）＝f（1+x），若f（1）＝2，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（50）=()解：∵f（x）是奇函數(shù)，且f（1-x）＝f（1+x），∴f（1-x）＝f（1+x）＝-f（x-1），f（0）＝0，則f（x+2）＝-f（x），則f（x+4）＝-f（x+2）＝f（x），即函數(shù)f（x）是周期為4的周期函數(shù)，∵f（12，∴f（2）＝f（0）＝0，f（3）＝f（1-2）＝f（-1）＝-f（1）＝-2，f（4f（00，則f（1）+f（2）+f（3）+f（42+0-2+0＝0，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（5012[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（49）+f（50f（1）+f（22+0＝2，故選：C．49．設(shè)函數(shù)f（xa＜0）的定義域?yàn)镈，若所有點(diǎn)（s，f（ts，t∈D）構(gòu)成一個正方形區(qū)域，則a的值為()解：由題意可知：所有點(diǎn)（s，f（ts，t∈D）構(gòu)成一個正方形區(qū)域，則對于函數(shù)f（x），其定義域的x的長度和值域的長度是相等的，f（x）的定義域?yàn)閍x2+bx+c≥0的解集，設(shè)x1、x2是方程ax2+bx+c＝0的根，且x1＜x2則定義域的長度為|x1-x2|==,而f（x）的值域?yàn)閇0，]，則有，故選：B．50．已知函數(shù)f（x）＝，設(shè)aεR，若關(guān)于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，則a的取值范圍是()解：當(dāng)x≤1時，關(guān)于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，由y＝-x2+x-3的對稱軸為x1，可得x＝處取得最大值-；由y＝x2-x+3的對稱軸為x1，可得x＝處取得最小值，當(dāng)x＞1時，關(guān)于x的不等式f（x）≥|+a|在R上恒成立，由y＝x+≥2＝2（當(dāng)且僅當(dāng)x＝2＞1）取得最小值2．另解：作出f（x）的圖象和折線y＝|+a|當(dāng)x＞1時，y＝x+的導(dǎo)數(shù)為y′＝1-，＝，），切點(diǎn)為（2，3），代入y＝+a，解得a＝2．由圖象平移可得，-≤a≤2．故選：A．故答案為：1．51．若函數(shù)的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．解：函數(shù)的定義域?yàn)镽，∴-1≥0在R上恒成立即x2-2ax+a≥0在R上恒成立該不等式等價于△=4a2-4a≤0，解出0≤a≤1．故實(shí)數(shù)a的取值范圍為0≤a≤1故答案為：0≤a≤152．已知函數(shù)y＝的圖象與函數(shù)y＝kx-2的圖象恰有兩個交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是．解：y==,作出函數(shù)y＝與y＝kx-2的圖象如圖所示：∵函數(shù)y＝的圖象與函數(shù)y＝kx-2的圖象恰有兩個交點(diǎn)，∴0＜k＜1或1＜k＜4．故答案為0，1）∪（1，453．已知t為常數(shù)，函數(shù)y＝|x2-2x-t|在區(qū)間[0，3]上的最大值為2，則t=.解：記g（x）＝x2-2x-t，xε[0，3]，則y＝f（x）＝|g（x）|，xε[0，3]f（x）圖象是把函數(shù)g（x）圖象在x軸下方的部分翻折到x軸上方得到，其對稱軸為x＝1，則f（x）最大值必定在x＝3或x＝1處取得（1）當(dāng)在x＝3處取得最大值時f（3|32-2×3-t|＝2，當(dāng)t＝5時，此時，f（05＞2不符條件，當(dāng)t＝1時，此時，f（01，f（12，符合條件．（2）當(dāng)最大值在x＝1處取得時f（1|12-2×1-t|＝2，當(dāng)t＝-3時，f（03＞2不符條件，當(dāng)t＝1此時，f（32，f（12，符合條件．解得1≤t≤1，即有t＝1．54．已知函數(shù)（a≠1）．（1）若a＞0，則f（x）的定義域是；（2）若f（x）在區(qū)間（0，1]上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．解1）當(dāng)a＞0且a≠1時，由3-ax≥0得，即此時函數(shù)f（x）的定義域是（-∞,]．（2）當(dāng)a-1＞0，即a＞1時，要使f（x）在（0，1]上是減函數(shù)，則需3-a×1≥0，此時1＜a≤3．當(dāng)a-1＜0，即a＜1時，要使f（x）在（0，1]上是減函數(shù)，則需-a＞0，此時a＜0．55.已知aεR，函數(shù)f（x|x+-a|+a在區(qū)間[1，4]上的最大值是5，則a的取值范圍是．解：由題可知|x+-a|+a≤5，即|x+-a|≤5-a，所以a≤5，所以2a-5≤x+≤5，又因?yàn)?≤x≤4，4≤x+≤5，所以2a-5≤4，解得a≤,56．a(chǎn)為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）＝|x2-ax|在區(qū)間[0，1]上的最大值記為g（a）．當(dāng)a＝時，g（a）的值最?。猓簩瘮?shù)f（x）＝|x2-ax|＝|（x-）2-|分下面幾種情況討論：①當(dāng)a≤0時，f（x）＝x2-ax在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，∴f（x）max＝g（11-a；∴f（x）max＝g（11-a；③當(dāng)2-2＜a≤1時，f（x）max＝g（a）=;綜上所述，g（a）=,④當(dāng)1＜a＜2時，g（af()=;⑤當(dāng)a≥2時，g（af（1a-1；故答案為：．57．函數(shù)yx≥0）的最小值為．（當(dāng)且令當(dāng)x＝時，等號成立）；故0<≤=,綜上所述，函數(shù)yx≥0）的最小值為，故答案為：．故答案為：858．函數(shù)的最小值為．，．又x∈[4，+∞)時，f（x）單調(diào)遞增，→f（x）≥f（4）＝+1；而x∈（-∞,0]時，f（x）單調(diào)遞減，→f（x）≥f（00+4＝4；故最小值159．已知函數(shù)f（xx2+mx-1，若對于任意x∈[m，m+1]，都有f（x0成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．解：∵二次函數(shù)f（xx2+mx-1的圖象開口向上，對于任意x∈[m，m+1]，都有f（x）＜0成立，∴,60.設(shè)f（x）是定義在R上且周期為1的函數(shù)，在區(qū)間[0，1）上，f（x其中集合D＝{x|x=,n∈N*}，則方程f（x）-lgx＝0的解的個數(shù)是．解：∵在區(qū)間[0，1）上，f（x）=,第一段函數(shù)上的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)均為有理數(shù)，又f（x）是定義在R上且周期為1的函數(shù)，∴在區(qū)間[1，2）上，f（x）＝，此時f（x）的圖象與y＝lgx有且只有一個交點(diǎn)；區(qū)間[2，3）上，f（x）的圖象與y＝lgx有且只有一個交點(diǎn)；區(qū)間[3，4）上，f（x）的圖象與y＝lgx有且只有一個交點(diǎn)；區(qū)間[4，5）上，f（x）的圖象與y＝lgx有且只有一個交點(diǎn)；區(qū)間[5，6）上，f（x）的圖象與y＝lgx有且只有一個交點(diǎn)；區(qū)間[6，7）上，f（x）的圖象與y＝lgx有且只有一個交點(diǎn)；區(qū)間[7，8）上，f（x）的圖象與y＝lgx有且只有一個交點(diǎn)；區(qū)間[8，9）上，f（x）的圖象與y＝lgx有且只有一個交點(diǎn)；在區(qū)間[9，+∞)上，f（x）的圖象與y＝lgx無交點(diǎn)；故f（x）的圖象與y＝lgx有8個交點(diǎn)，且除了（1，0），其他交點(diǎn)橫坐標(biāo)均為無理數(shù)；即方程f（x）-lgx＝0的解的個數(shù)是8，61．方程x2+x-1＝0的解可視為函數(shù)y＝x+的圖象與函數(shù)y＝的圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，若x4+ax-4＝0的各個實(shí)根x1，x2，…,xk（k≤4）所對應(yīng)的點(diǎn)（xii＝1，2，…,k）均在直線y＝x的同側(cè)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．解析：方程的根顯然x≠0，原方程等價于，原方程的實(shí)根是曲線y＝x3+a與曲線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；而曲線y＝x3+a是由曲線y＝x3向上或向下平移|a|個單位而得到的．若交點(diǎn)（xii＝1，2，k）均在直線y＝x的同側(cè)，因直線y＝x與交點(diǎn)為-2，-22，2所以結(jié)合圖象可得：；62．函數(shù)f（x）＝m|3x-1|2-4|3x-1|+1（m＞0）在R上有4個零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是．解析、根據(jù)題意，對于函數(shù)f（x）＝m|3x-1|2-4|3x-1|+1，設(shè)t＝|3x-1|，則y＝mt2-4t+1，若函數(shù)f（x）＝m|3x-1|2-4|3x-1|+1（m＞0）在R上有4個零點(diǎn)，則方程mt2-4t+1＝0在區(qū)間（0，1）有2個根，則有解可得：3＜m＜4，即m的取值范圍為（3，4故答案為：（3，4）63.已知函數(shù)f（x）=x-a，g（x）=a|x|，a∈R．設(shè)h（x）=f（x）+g（x），x∈[-2，2]，若對任意x1，x2∈[-2，2]，|h（x1）-h（x2）|≤6恒成立，試求a的取值范圍_________解析：h（x）=f（x）+g（x），x∈[-2，2]，對任意x1，x2∈[-2，2]，|h（x1）-h（x2）|≤6恒成立?h（x1）max-h（x2）min≤6，分a≤-1、-1＜a＜1、a≥1三類討論，即可求得a的取值范圍．∵h(yuǎn)（x）=f（x）+g（x）=x-a+a|x|，x∈[-2，2]，∴當(dāng)-2≤x＜0時，h（x）=（1-a）x-a；當(dāng)0≤x≤2時，h（x）=（1+a）x-a；又對任意x1，x2∈[-2，2]，|h（x1）-h（x2）|≤6恒成立，則h（x1）max-h（x2）min≤6，①當(dāng)a≤-1時，1-a＞0，1+a≤0，h（x）=（1-a）x-a在區(qū)間[-2，0）上單調(diào)遞增；h（x）=（1+a）x-a在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞減（當(dāng)a=-1時，h（x）=-a∴h（x）max=h（0）=-a，又h（-2）=a-2，h（2）=2+a，∴h（x2）min=h（-2）=a-2，∴-a-（a-2）=2-2a≤6，解得a≥-2，綜上，-2≤a≤-1；②當(dāng)-1＜a＜1時，1-a＞0，1-a＞0，∴h（x）=（1-a）x-a在區(qū)間[-2，0）上單調(diào)遞增，且h（x）=（1+a）x-a在區(qū)間[0，2]上也單調(diào)遞增，∴h（x）max=h（2）=2+a，h（x2）min=h（-2）=a-2，由a+2-（a-2）=4≤6恒成立，即-1＜a＜1適合題意；③當(dāng)a≥1時，1-a≤0，1+a＞0，h（x）=（1-a）x-a在區(qū)間[-2，0）上單調(diào)遞減（當(dāng)a=1時，h（x）=-a），h（x）=（1+a）x-a在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞增；∴h（x）min=h（0）=-a；又h（2）=2+a＞a-2=h（-2∴h（x）max=h（2）=2+a，∴2+a-（-a）=2+2a≤6，解得a≤2，又a≥1，∴1≤a≤2；綜上所述，-2≤a≤2．64.設(shè)a∈R，函數(shù)f(x)=xx-a-a，若對任意的x∈[2，3]，f(x)≥0恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是．【解答】1，當(dāng)a≤2時，f(x)=:f:2(2-a)-a≥0,→a≤ax(x-a)-a，對稱軸x=a43 :f(a)=-a≥0→a≤0(舍) 3，當(dāng)a≥3時，f(x)=x(a-x)-a，拋物線開口向下，f(x)min={f(2),f(3)}min49:a≤或者492x≤0，設(shè)函數(shù)g(x)=f(-x)-f(x)+k(k∈在R上恰有兩個不同的零點(diǎn)，則k的值為．解答：令g(x)=0→f(-x)-f(x)+k=0→k=f(x)-f(-x)x=0,f(x)-f(-x)=0:f(x)-f(-x)=x+1-(x+1)2=-x2-x:f(x)-f(-x)=(x-1)2-(-x+1)=x2-x:f(x)-f（-x)={0,x=0:fl-l-x-x,x<0:k:k4若使不等式f(x)<g(x)成立的整數(shù)x恰有1個，則必須滿足〔f{lf66．已知函數(shù)（a，b為常數(shù)）且方程f（x）-x+12＝0有兩個實(shí)根為x1＝3，x2＝4．（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）設(shè)k＞1，解關(guān)于x的不等式；．（2）不等式即為，可化為67．設(shè)函數(shù)f（x）＝|x2-4x-5|．（1）在區(qū)間[-2，6]上畫出函數(shù)f（x）的圖象；（2）設(shè)集合A＝{xf|（x）≥5}，B＝（-∞,-2]∪[0，4]∪[6，+∞).試判斷集合A和B之間的關(guān)系（要寫（3）當(dāng)k＞2時，求證：在區(qū)間[-1，5]上，y＝kx+3k的圖象位于函數(shù)f（x）圖象的上方．：（（2）方程f（x5的解分別是2-頁,0,4∴BCA．）＝g（xk（x+3）-（-x2+4x+5x2+（k-4）x+（3k-5）=,取，g（x）min=.）＞因此，在區(qū)間[-1，5]上，y＝k（x+3）的圖象位于函數(shù)f（x）圖象的上方．68．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）滿足f（f（x）-x2+xf（x）-x2+x．（I）若f（2）＝3，求f（1）；又若f（0）＝a，求f（a）；(Ⅱ)設(shè)有且僅有一個實(shí)數(shù)x0，使得f（x0x0，求函數(shù)f（x）的解析表達(dá)式．解I）因?yàn)閷θ我鈞∈R，有f（f（x）-x2+xf（x）-x2+x所以f（f（2）-22+2f（2）-22+2又由f（23，得f（3-22+23-22+2，即f（11若f（0a，則f（a-02+0a-02+0，即f（aa．（II）因?yàn)閷θ我鈞∈R，有f（f（x）-x2+xf（x）-x2+x．又因?yàn)橛星抑挥幸粋€實(shí)數(shù)x0，使得f（x0x0所以對任意x∈R，有f（x）-x2+x＝x0在上式中令x＝x0，有f（x0）-x02+x0＝x0又因?yàn)閒（x0）＝x0，所以x0-x02＝0，故x0＝0或x0＝1若x0＝0，則f（x）-x2+x＝0，即f（xx2-x但方程x2-x＝x有兩個不相同實(shí)根，與題設(shè)條件矛盾．故x0≠0若x0＝1，則有f（x）-x2+x＝1，即f（xx2-x+1，此時f（xx有且僅有一個實(shí)數(shù)1．綜上，所求函數(shù)為f（xx2-x+1（x∈R）69．已知函數(shù)．(Ⅱ)證明：對于任意不小于3的自然數(shù)n，都有f（n）＞．【解答】(Ⅰ)證明：設(shè)x1，x2為任意兩個實(shí)數(shù)，且x1＜x2，f（x2）-f（x1）==, 由指數(shù)函數(shù)性質(zhì)知00，∴f（x2）-f（x1）＞0，(Ⅱ)要證f（n）＞（n∈N，n≥3），即要證1-，）．現(xiàn)用數(shù)學(xué)歸納法證明①式．∴左邊＞右邊，因而當(dāng)n＝3時①式成立．（2）假設(shè)當(dāng)n＝k（k≥3）時①式成立，即有2k-1＞2k，那么）．這就是說，當(dāng)n＝k+1時①式成立．根據(jù)（12）可知，①式對于任意不小于3的自然數(shù)n都成立．由此有f（nn≥3，n∈N70．提高過江大橋的車輛通行能力可改善整個城市的交通狀況，在一般情況下，大橋上的車流速度v（單位：千米/小時）是車流密度x（單位：輛/千米）的函數(shù)，當(dāng)橋上的車流密度達(dá)到200輛/千米時，造成堵塞，此時車流速度為0；當(dāng)車流密度不超過20輛/千米時，車流速度為60千米/小時，研究表明：當(dāng)20≤x≤200時，車流速度v是車流密度x的一次函數(shù)．(Ⅰ)當(dāng)0≤x≤200時，求函數(shù)v（x）的表達(dá)式；(Ⅱ)當(dāng)車流密度x為多大時，車流量（單位時間內(nèi)通過橋上某觀測點(diǎn)的車輛數(shù)，單位：輛/小時）f（x）＝x?v（x）可以達(dá)到最大，并求出最大值精確到1輛/時解：(Ⅰ)由題意：當(dāng)0≤x≤20時，v（x60；當(dāng)20＜x≤200時，設(shè)v（xax+b再由已知得，解得故函數(shù)v（x）的表達(dá)式為．(Ⅱ)依題并由(Ⅰ)可得當(dāng)0≤x＜20時，f（x）為增函數(shù)，故當(dāng)x＝20時，其最大值為60×20＝1200當(dāng)20≤x≤200時，當(dāng)且僅當(dāng)x＝200-x，即x＝100時，等號成立．所以，當(dāng)x＝100時，f（x）在區(qū)間（20，200]上取得最大值．綜上所述，當(dāng)x＝100時，f（x）在區(qū)間[0，200]上取得最大值為，即當(dāng)車流密度為100輛/千米時，車流量可以達(dá)到最大值，最大值約為3333輛/小時．答：(Ⅰ)函數(shù)v（x）的表達(dá)式(Ⅱ)當(dāng)車流密度為100輛/千米時，車流量可以達(dá)到最大值，最大值約為3333輛/小時．71．已知函數(shù)f（xx2+（x≠0，常數(shù)a∈R（1）討論函數(shù)f（x）的奇偶性，并說明理由；（2）若函數(shù)f（x）在[2，+∞)上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．解1）當(dāng)a＝0時，f（xx2，）＝（），∴f（x）為偶函數(shù)．當(dāng)a≠0時，f（x）＝x2+（x≠0，常數(shù)a∈R），取x=±1，得f（-1）+f（1）＝2≠0，f（-1）-f（1）＝-2a≠0，∴函數(shù)f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．（2）設(shè)2≤x1＜x2，f（x1）-f（x2）＝＝[x1x2（x1+x2）-a]，要使函數(shù)f（x）在x∈[2，+∞)上為增函數(shù)，必須f（x1）-f（x20恒成立．即a＜x1x2（x1+x2）恒成立．又∵x1+x2＞4，∴x1x2（x1+x216，72．設(shè)函數(shù)f（x）在（-∞,+∞)上滿足f（2-x）＝f（2+x），f（7-x）＝f（7+x），且在閉區(qū)間[0，7]上，只有f（1）＝f（3）＝0．(Ⅰ)試判斷函數(shù)y＝f（x）的奇偶性；(Ⅱ)試求方程f（x）＝0在閉區(qū)間[-2005，2005]上的根的個數(shù)，并證明你的結(jié)論．解：由→→f（4-x）＝f（14-x）→f（x）＝f（x+10），又f（3）＝0，而f（7）≠0，→f（-3）＝f（7）≠0→f（-3）≠f（3），f（-3）≠-f（3）故函數(shù)y＝f（x）是非奇非偶函數(shù)；又f（3）＝f（1）＝0→f（11）＝f（13）＝f（-7）＝f（-9）＝0因?yàn)樵陂]區(qū)間[0，7]上，只有f（1）＝f（3）＝0，故在[4，7]上無零點(diǎn)，又f（7-x）＝f（7+x），故在[4，10]上無零點(diǎn)，故在[0，10]上僅有兩個解故f（x）在[0，10]和[-10，0]上均有有兩個解，從而可知函數(shù)y＝f（x）在[0，2005]上有402個解，在[-2005.0]上有400個解，所以函數(shù)y＝f（x）在[-2005，2005]上有802個解．73．設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）＝x2+|x-a|+1，xεR（1）討論f（x）的奇偶性；（2）求f（x）的最小值．解1）當(dāng)a＝0時，函數(shù)f（-x-x）2+|-x|+1＝f（x）此時，f（x）為偶函數(shù)當(dāng)a≠0時，f（a）＝a2+1，f（-a）＝a2+2|a|+1，f（a）≠f（-a），f（a）≠-f（-a）此時f（x）既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)（2）①當(dāng)x≤a時，當(dāng)，則函數(shù)f（x）在（-∞,a]上單調(diào)遞減，從而函數(shù)f（x）在（-∞,a]上的最小值為f（a）＝a2+1．若，則函數(shù)f（x）在（-∞,a]上的最小值為，且．②當(dāng)x≥a時，函數(shù)若，則函數(shù)f（x）在[a，+∞)上的最小值為；若，則函數(shù)f（x）在[a，+∞)上單調(diào)遞增，從而函數(shù)f（x）在[a，+∞)上的最小值為f（a）＝a2+1．綜上，當(dāng)時，函數(shù)f（x）的最小值為當(dāng)時，函數(shù)f（x）的最小值為a2+1當(dāng)時，函數(shù)f（x）的最小值為．74．設(shè)函數(shù)f（x）＝x2+ax+b（a，bεR）．(Ⅰ)當(dāng)b＝+1時，求函數(shù)f（x）在[-1，1]上的最小值g（a）的表達(dá)式．(Ⅱ)已知函數(shù)f（x）在[-1，1]上存在零點(diǎn)，0≤b-2a≤1，求b的取值范圍．f（x）＝（x+）2+1，對稱軸為x＝-，當(dāng)a≤-2時，函數(shù)f（x）在[-1，1]上遞減，則g（a）＝f（1）＝+a+2；）＝）＝當(dāng)a＞2時，函數(shù)f（x）在[-1，1]上遞增，則g（a）＝f（-1）＝-a+2．綜上可得，g（a）=;）＝），當(dāng)0≤t≤1時，≤st≤,由于-2≤<0和-3≤<0，所以-3≤b＜0，75．已知函數(shù)f（x）＝x2+ax+b（a，bεR），記M（a，b）是f|（x）|在區(qū)間[-1，1]上的最大值．（1）證明：當(dāng)|a|≥2時，M（a，b）≥2；（2）當(dāng)a，b滿足M（a，b）≤2時，求|a|+|b|的最大值．解：（1）由已知可得f（1）＝1+a+b，f（-1）＝1-a+b，對稱軸為x＝-，因?yàn)閨a|≥2，所以或≥1，所以函數(shù)f（x）在[-1，1]上單調(diào)，所以M（a，b）＝max{f|（1），f|（-1）|}＝max{|1+a+b|，|1-a+b|}，所以M（a，b）≥（|1+a+b|+|1-a+b|）≥|（1+a+b）-（1-a+b）|≥|（2）當(dāng)a＝b＝0時，|a|+|b|＝0又|a|+|b|≥0，所以0為最小值，符合題意；又對任意xε[-1，1]．有-2≤x2+ax+b≤2，所以|a|+|b|的最大值為3．76．設(shè)f（x）＝3ax2+2bx+c．若a+b+c＝0，f（0）＞0，f（1）＞0，求證：(Ⅱ)方程f（x）＝0在（0，1）內(nèi)有兩個實(shí)根．解：證明I）因?yàn)閒（00，f（10，所以c＞0，3a+2b+c＞0．由條件a+b+c＝0，消去b，得a＞c＞0；由條件a+b+c＝0，消去c，得a+b＜0，2a+b＞0．（II）拋物線f（x）＝3ax2+2bx+c的頂點(diǎn)坐標(biāo)為，在的兩邊乘以，得．又因?yàn)閒（00，f（10，而，所以方程f（x）＝0在區(qū)間與內(nèi)分別有一實(shí)根．故方程f（x）＝0在（0，1）內(nèi)有兩個實(shí)根．77．設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）＝a++的最大值為g（a）．(Ⅰ)設(shè)t=√預(yù)+，求t的取值范圍，并把f（x）表示為t的函數(shù)m（t）．(Ⅲ)試求滿足g（a）＝g（）的所有實(shí)數(shù)a．解I）要使有t意義，必須1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1，t的取值范圍是[區(qū),2]．∴m（ta+t=（II）由題意知g（a）即為函數(shù)的最大值．注意到直線是拋物線的對稱軸，分以下幾種情況討論．（1）當(dāng)a＞0時，函數(shù)y＝m（t的圖象是開口向上的拋物線的一段，由＜0知m（t）在iz,2．上單調(diào)遞增，∴g（a）＝m（2）＝a+2（2）當(dāng)a＝0時，m（tt）＝（3）當(dāng)a＜0時，函數(shù)y＝m（t的圖象是開口向下的拋物線的一段，若，即則若，即則若，即則g（a）＝m（2）＝a+2綜上有此時，此時，解得，與矛盾．此時所以，情形4：當(dāng)時此時解得矛盾．情形5：當(dāng)時此時g（a）＝a+2，由解得矛盾．情形6：當(dāng)a＞0時此時g（a）＝a+2，綜上知，滿足的所有實(shí)數(shù)a為：，或a＝178．設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f（x）＝2x2+（x-a）|x-a|．（1）若f（0）≥1，求a的取值范圍；（2）求f（x）的最小值；（3）設(shè)函數(shù)h（x）＝f（x），xε（a，+∞),求不等式h（x）≥1的解集．解1）若f（0）≥1，則-a|a|≥1，（2）當(dāng)x≥a時，f（x）＝3x2-2ax+a2，∴如圖所示：當(dāng)x≤a時，f（x）＝x2+2ax-a2，∴綜上所述：（3）xε（a，+∞)時，h（x）≥1，）＝當(dāng)-＜a＜時，△>0，得：進(jìn)而分2類討論：當(dāng)-＜a＜-時，a<,此時不等式組的解集為（a，]∪[，+∞);當(dāng)-≤x≤時a<;此時不等式組的解集為[，+∞).綜上可得，當(dāng)aε[-，]時，不等式組的解集為[，+∞).79．設(shè)f（x）＝3ax2+2bx+c，若a+b+c＝0，f（0）f（1）＞0，求證：）＝(Ⅲ)設(shè)x1，x2是方程f（x）＝0的兩個實(shí)根，則≤|x1-x2|<.f（0）f（1）＝c（3a+2b+c）＝-c2≤0，與已知矛盾，所以a≠0．方程3ax2+2bx+c＝0的判別式△=4（b2-3ac），由條件a+b+c＝0，消去b，得△=4（a2+c2-ac）=故方程f（x）＝0有實(shí)根．所以（x1-x2）2x1+x2）2-4x1x2=.所以80．已知f（x）＝|x2-1|+x2+kx．）＝(Ⅱ)若關(guān)于x的方程f（x）＝0在（0，2）上有兩個解x1，x2，求k的取值范圍，并證明．解得，因?yàn)?，故舍去，所以．@當(dāng)x2-1＜0時，-1＜x＜1時，方程化為2x+1＝0解得由①@得當(dāng)k＝2時，方程f（x）＝0的解所以或．（II）解：不妨設(shè)0＜x1＜x2＜2，ω的值為4.所以f（x）在（0，1]是單調(diào)函數(shù)，故f（x）＝0在（0，1]上至多一個解，若1＜x1＜x2＜2，則x1x20，故不符題意，因此0＜x1≤1＜x2＜2．由f（x1）＝0得，所以k≤-1；由f（x2）＝0得，所以；故當(dāng)時，方程f（x0在（0，2）上有兩個解．即，因?yàn)閤2＜2，所以．81.已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則φ的值是－.解析：由題意得k∈Z，所以 ωx+π、82．設(shè)函數(shù)y＝sin、3s(0<x<π)，當(dāng)且僅當(dāng)時，y取得最大值，則正數(shù)ω的值為2.解析：當(dāng)時又2T>π,所以ω<4，則正數(shù)ω=2.83．已知A，B分別是函數(shù)3sinωx在y軸右側(cè)圖象上的第一個最高點(diǎn)和第一個最低點(diǎn)，且則該函數(shù)的周期為4.解析：由題意知T=ω,則A2ω,B、2ω解析：由題意知T=ω,則A2ω,B、2ω,而OA⊥OB，則2ω·2ω-3＝0，即ω=2，故T=ω=4.84．若函數(shù)f(x)＝Asin(ωx+φ)(A＞0，ω>0)的圖象與直線y＝m的三個相鄰交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別是則實(shí)數(shù)解析：由題意可知函數(shù)f(x)的兩條相鄰對稱軸是所以所以ω=4.85．把函數(shù)y＝sin(ωx+φ)ω>0，|φ|<的圖象向左平移個單位，所得曲線的一部分如圖，則ω,φ的值分別為2，解析：y＝sin(ωx+φ)的圖象向左平移個單位，得函數(shù)解析式為由題知得ω=2，函數(shù)的圖象過點(diǎn)得86．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)y＝sin(ωx+φ)(ω>0,0<φ<π)的圖象與x軸的交點(diǎn)A，B，C滿足OA+OC＝2OB，則解析：設(shè)A(x1,0)，B(x2,0)，C(x3,0)，由OA＋OC＝2OB及AC＝AB，所以x1＋x3＝2x2，x3－x1＝x1－x2，又x3－x1=,所以x3x1所以f＝f(3x1)＝f＝sin+φ=-1，π3287．已知函數(shù)f(x)＝Asinωx+π(A＞0，ω>0)圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離為π,且經(jīng)過點(diǎn)3，3.π32(1)求函數(shù)f(x)的解析式；若角α滿足求角α的值．答案：或解析：(1)由條件，周期T＝2π,即＝2π,所以ω=1，即π2所以π2fα-πα+π23(2)由f(α)＋3＝1，得sinfα-πα+π23α+πα+πα+πsin=1,33-sin=1,33 α+ππ 3-1所以2sin＝1，即sinα=3-12因?yàn)棣痢?0，π)，所以α=或.EQ\*jc3\*hps20\o\al(\s\up6(x),3)(1)將f(x)寫成Asin(ωx+φ)＋b的形式，并求其圖象對稱中心的橫坐標(biāo)；(2)如果△ABC的三邊a，b，c滿足b2＝ac，且邊b所對的角為x，試求x的范圍及此時函數(shù)f(x)的值域．x+答案：(1)f(x)＝x+解析 2x+π、 2x+π、 2x+π、 2x+π、解得k∈Z，所以對稱中心的橫坐標(biāo)為π(k∈Z)．(2)由b2＝ac及余弦定理，得cosx==所以v3<f(x)≤1+,函數(shù)f(x)的值域?yàn)棣?v3-α189．已知sin、6＋cosα=-α+v3-α1 α+πα+6-α3-=cos 2=解析：由展開化簡可得sinα+=-,所以cos6-α3-=cos 2=、、+30°)cos30°-cos(θ+30°)sin30°=×-×=. ＝－、4+、4+ +cos= +cos=2=×=-.=×=-.-55所以94．已知sinα=3sinα+αα+=2·\－4.α+α+所以95．已知向量m＝(\cosx1)，n＝(sinx，cos2x)．答案：，－6\=2x--16\=2x--12332362x-所以cos62x-所以cos 3 ,所以-≤2x-≤,+2x-+則cos2則cos2x＝cosπ2 解法1(1)由m⊥n得，2cosα-sinα=0，sinα=2cosα,代入cos2α+sin2α=1,5cos2α=1，且α∈2，\、則cosα=,sinα=,則cos2α=2cos2α-1＝2×l5J2－1.\、2\3\\\\2\3\\\\解法2(1)由m⊥n得，2cosα-sinα=0，tanα=2，故cos2α=cos2α-sin2α===222297．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知C＝60°,b＝解析：由正弦定理可得結(jié)合b<c，可得B＝45°,則A＝180°-B－C＝75°.98．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若2bcosB＝acosC＋ccosA，則解析：由正弦定理可得2sinBcosB＝sinAcosC＋sinCcosA＝sinB，在△ABC中，sinB≠0，可得在△ABC中，可得99．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.若△ABC的面積為則解析：∵△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.△ABC的面積為100．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知△ABC的面積為3則解析：因?yàn)?＜A<π,所以又S△所以bc＝24，解方程組得b＝6，c＝4，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA＝62＋42－2×6×4×-=64，所以a＝8.101．在△ABC中，B＝120°,AB＝的平分線AD＝V3，則A解析：如圖所示， 即由于AD是∠BAC的平分線，故∠BAC＝2∠BAD＝.在△ABC中，∠B＝120°,∠BAC=30°,易得∠ACB＝30°.在△ABC中，由正弦定理得即所以AC＝.102.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，∠ABC＝120°,∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，且BD＝1，則4a＋c的最小值為9.解析：由題意得acsin120°=asin60°+csin60°,即ac＝a＋c，得1，得4a＋c＝(4即c＝2a時，取等號．103．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c.設(shè)向量m＝(a，c)，n＝(cosC，cosA)．(1)若m∥n，c＝v3a，求角A；(2)若m·n＝3bsinB，cosA求cosC的值．解析：(1)∵m∥n，∴acosA＝ccosC.由正弦定理，得sinAcosA＝sinCcosC.化簡得sin2A＝sin2C.∵A，C∈(0，π)，∴2A＝2C或2A＋2C=π,從而A＝C(舍去)或A＋C=,∴B＝.在Rt△ABC中，tanAA＝.(2)∵m·n＝3bsinB，∴acosC＋ccosA＝3bsinB.由正弦定理，得sinAcosC＋sinCcosA＝3sin2B，從而sin(A＋C)=3sin2B.∵A＋B＋C=π,∵sinA＞sinB，∴a＞b，從而A＞B，B為銳角，cosB＝.∴cosCcos(A＋B)cosAcosB＋sinAsinB=-×+×=.104.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且cosAtan(B－A)＝.(1)求tanB的值；答案：(1)3；(2)78.解析在△ABC中，由得A為銳角，所以所以所以tanB＝tan[(B－A)＋A](2)在三角形ABC中，由tanB＝3，所以由sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB=,由正弦定理得所以△ABC的面積S＝bcsinA=×15×13×=78.105．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，a＝7，c＝3且∠A＝.則△ABC的面積是6·.解析：在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccosA，可得49＝b2＋9－2b×3×,解得b＝8，所以△ABC的面積為S△106．在△ABC中，AB＝AC＝4，BC＝2.點(diǎn)D為AB延長線上一點(diǎn)，BD＝2，連結(jié)CD，則△BDC的面積解法1取BC中點(diǎn)E，DC中點(diǎn)F，由題意得：AE⊥BC，BF⊥CD，在△ABE中，由余弦定理可得，所以所以S△107.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c.已知b>c，a＝6，b＝5，△ABC的面積為9.則sinB的值解析：因?yàn)椤鰽BC的面積S＝absinC，所以×6×5sinC＝9，因?yàn)閎>c，所以cosC＝.在△ABC中，由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcosC＝13，所以c＝v13.又因?yàn)閎＝5，sinC所以在△ABC中，由正弦定理得313108．如圖，在△ABC中，已知AC＝7，∠B＝45°,D是邊AB上的一點(diǎn)，AD＝3，∠ADC＝120°.則△ABC的面積解析：在△ACD中，由余弦定理得AC2＝AD2＋CD2－2AD·CDcos∠ADC,72＝32＋CD2－2×3×CD×cos120°,解在△BCD中，由正弦定理得解得所以S△ABC＝S△ACD＋S△BCD＝AD·CDsin∠ADC＋CD·BDsin∠BDC=×3×5sin120°+109.我國南宋時期數(shù)學(xué)家秦九韶的著作《數(shù)書九章》中記載了求三角形面積的“三斜求積”方法，相當(dāng)于如下公式：現(xiàn)已知△ABC的周長為42，面積為84，且則邊AC的長為15.解析：由得由S△得ac＝182，又a＋b＋c＝42，所以a＋c＝42－b，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac－2accosB＝(42－b)2－504，解得b＝15.110．如圖，等腰△ABC腰上的中線BD為定長3，當(dāng)頂角α變化時，則△ABC面積的最大值為6.解析：在△ABD中，設(shè)AB＝AC＝x，由余弦定理有·\－9x4＋360x2－16×81=111．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知B＝60°,c＝8.(1)若點(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)求b的值；答案：(1)8；(2)24v2＋8v3.解析：(1)因?yàn)辄c(diǎn)M是線段BC的中點(diǎn)設(shè)BM＝x，則又B＝60°,c＝8，在△ABM中，由余弦定理得3x2＝64＋x2－2×8xcos60°,解得x＝4(負(fù)值舍去)，則BM＝4，BC＝8.所以△ABC中為正三角形