2024-2025學年北師大版高二數(shù)學選擇性必修第二冊綜合模擬測評卷

綜合模擬測評卷

（時間:120分鐘滿分:150分）

一、選擇題（本大題共8小題,每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中,只有一

項是符合題目要求的）

1.某物體做直線運動，其運動規(guī)律是5=好+和的單位是秒,S的單位是米），則它在4秒末的

瞬時速度為（）.

A.竺^米星^米阮^C.8米兆^D.竺米

16164

2.已知數(shù)列｛m｝,ai=1,42=2,或+1=2麗+z-i（〃N2,〃@N+）,用數(shù)學歸納法證明a4a能被4整除

時，假設(shè)wG?N+）能被4整除，應證（）.

A.a秋+1能被4整除B.m+2能被4整除

CQ斤+3能被4整除D.a女+4能被4整除

3.大衍數(shù)列,來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之數(shù)五十”的推論.主要用于解釋中國傳統(tǒng)

文化中的太極衍生原理.數(shù)列中的每一項，都代表太極衍生過程中曾經(jīng)經(jīng)歷過的兩儀數(shù)量

總和.該數(shù)列是中華傳統(tǒng)文化中隱藏著的世界數(shù)學史上第一道數(shù)列題.其前10項依次是

0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,則此數(shù)列的第20項為（）.

A.180B.200C.128D.162

4.已知非常數(shù)列｛麗｝滿足（即2-?！保?-4（即2-酸+1）（。"+1-前=0（〃￡^）舟為數(shù)列｛詞的前n項

和.若52=2016,52016=2,貝|52018=（）.

A.2018B.-2018C.-2017D.2017

5.已知函數(shù)於）=/+3sinx/（x）為函數(shù)於）的導函數(shù)，則人2020）+/（-2020）"（2019）/（-2

019）=（）.

A.2019B.2018C.4D.2

6.在下列四個圖象中，其中一個圖象是函數(shù)於）=孑3一加+（4-4）x+8（存0）的導函數(shù)y=f（x）

的圖象，則汽-2）=（）.

（第6題）

AA-8B-lTD尋

3

7.已知數(shù)列｛詞的前n項和為S”,前n項積為若□”=（四產(chǎn)”+D,則S5=（）.

A.120B.366C.126D.363

8.設(shè)Sa為正項數(shù)列｛aQ的前n項和,或=3,乎1——：則（225=（）.

Sn2Sn+1+n-4Sn

A.3x223B.3x224C.223D.224

二、選擇題（本大題共4小題,每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合

題目栗求.全部選對的得5分,部分選對的得2分，有選錯的得0分）

9.設(shè)數(shù)列｛外｝是等差數(shù)列$是其前〃項和,0>0,且$6=$9,則（）.

A.d<0B.<28=0

C.S5>56D.S1或S8為Sn的最大值

10.已知等比數(shù)列｛期｝的公比q=-|,等差數(shù)列｛瓦｝的首項歷=12,若。9>為且00>40,則以下

說法正確的有（）.

A.〃9Q10<0B.Q9>Q10C.Z?10>0D.Z?9>Z?10

11.若S〃為數(shù)列｛斯｝的前n項和，且S〃=2z+1（〃￡N+）,則下列說法正確的是（）

A.Q5=-16

B.S5=-63

C.數(shù)列｛所｝是等比數(shù)列

D.數(shù)列｛S”+l｝是等比數(shù)列

12.設(shè)函數(shù)人》)=今，則下列說法正確的是().

A.於)的定義域是(0,1)U(l,+a))

B.xe(0,l)時的圖象位于x軸下方

C./U)存在單調(diào)遞增區(qū)間

D<x)有且僅有兩個極值點

三'填空題(本大題共4小題,每小題5分，共20分.把答案寫在題中的橫線上)

13.若曲線y=2x4在橫坐標為一1的點處的切線為/,則圓03)2+0-2)2=1上任意一點到直

線I的距離的最小值為.

14.若數(shù)列｛服｝是正項數(shù)列，且+日?+…+J^i=722+3"(〃GN+)Wan=；y+

江+…+區(qū)=

3?1+1

15.對于數(shù)列｛麗｝,定義數(shù)列｛或+卜2斯｝為數(shù)列｛麗｝的“2倍差數(shù)列”.若m=2,數(shù)列｛麗｝的“2

倍差數(shù)列”的通項為2/1,則數(shù)列｛斯｝的前n項和Sn=.

16.已知定義在R上的奇函數(shù)/(x)滿足:當xNO時;/(x)=x-sinx.若不等式/(-4f)>/(2"z+/nP)

對任意實數(shù),恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是.

四'解答題(本大題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟)

17.(10分)求曲線產(chǎn)工在點”(2,-1)處的切線方程.(應用導數(shù)定義求解)

a-x

18.(12分)已知八〃)=1+：+[+…+*〃￡N+,求證:〃+式1)+…+式〃-1)=研〃)(〃22,且〃￡N+).

19.（12分）在①。5=》4+266，②。3+a5=4（Z?l+Z?4）,?2s4=5。2加這三個條件中任選一個,補充在

下面的問題中，并解答.

設(shè)｛劣｝是公比大于0的等比數(shù)歹U,其前附項和為S,｛瓦｝是等差數(shù)歹U.已知0=15-

52=。2+2。1,。4=》3+b5,.

（1）求他”｝和｛況｝的通項公式；

（2）設(shè)Tn=aibi+aibi+<23teH--卜。疝"，求Tn.

20.（12分）為了保護環(huán)境，某工廠在政府部門的鼓勵下進行技術(shù)改進，把二氧化碳轉(zhuǎn)化為

某種化工產(chǎn)品，經(jīng)測算，處理成本y（單位:萬元）與處理量式單位:噸）之間的函數(shù)關(guān)系近似

'―x3+640F1030）

地滿足y=25'L’〃當處理量為多少噸時，每噸的平均處理成本J。）

x2-40x+1600,[30,50].

最少?

21.(12分)設(shè)左為正整數(shù)，若數(shù)列｛飆｝滿足刃=1,且(或+is)2=(〃+l汽則稱數(shù)列｛劣｝為喋次

方數(shù)列”.

(1)設(shè)數(shù)列｛詼｝為“2次方數(shù)列”，且數(shù)歹U｛多｝為等差數(shù)歹U,求數(shù)列｛劣｝的通項公式；

(2)設(shè)數(shù)列｛所｝為“4次方數(shù)列”，且存在正整數(shù)機滿足加=15,求m的最小值.

22.(12分)已知函數(shù)f(x)=xeax-ex.

⑴當a=l時，討論兀r)的單調(diào)性；

⑵當x>0時<求實數(shù)a的取值范圍；

⑶設(shè)“GN+,求證—F+???+r=J_^>ln(77+1).

\7Vl2+1V22+2Vn2+n、7

參考答案

一'選擇題

1.答案B

-3At

(4+AtV+島-16卷—皿/+8At+島-|_卬)2+8比+：

解析..As正還=A/+8--一

?At△t△tAt16+4At

媽合8亮=箸，故選B.

2.答案D

鯉L在數(shù)列｛頌｝中，相鄰兩項下標差為4,所以a4k后一項為a4k+4.故選D.

3.答案B

解析由0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…，可得偶數(shù)項的通項公式為。2〃=2層,貝|此數(shù)列的第

20項為2x102=200,故選B.

4.|答案B

I角星左斤-I?(<7n+2-tZn)--4(<2n+2-tZn+l)(tZn+l_<7n)=0,

??[(<7"+2-4/〃+1)+(。〃+1-<7")]~-4(<2〃+2-<7=+1)(。"+1-4/")=01匕聞彳于[(<7"+2-<2"+1)-(?！?1-。")]~=0,??

an+2+an=2an+i,.**數(shù)女]{a”}為等差數(shù)歹(

又又=2016,52016=2,

/.Si016-S2=a3+a4+,,,+a2oi6=1007(^3+6/2oi6)=-2014,/.^3+a2oi6=ai+^2ois=-2,

???S2018=2018。+。2。18)=2018.

2

故選B.

5.答案D

---------"7D

解析因為/x)=--+3sinx,所以/(x)=x,2+3COSX

-------------ex+l(ex+l)

7p-XnpX

所以八-x)=GW+3cos(-x)=/g+3cosx=f(x),

所以八x)為偶函數(shù)，

所以八2019)=f(-2019).

22ex

又於x)=w+3sin(-x)=K-3sinx,

o2「工

所以#x)tA-x)=3+3sinx+M-3sinx=2,所以人2020)+/(-2020)47(2019)/(-2019)=2.

故選D.

6.|答案B

|解析］=x2-2ax+(a2-4),

，導函數(shù)/(x)的圖象開口向上.

又分0,.\f(x)不是偶函數(shù)，其圖象不關(guān)于y軸對稱，故其圖象必為圖象③

由圖象特征知八0)=0,且對稱軸x=a>09

.?.a=2,貝U汽-2)=-*8+8=T.故選B.

7」答案D

解析|因為善=薛U=3%〃>2),

-------------Hn-1(V3)v

n

所以an=3(n^2).

又tzi=IIi=(V3)2=3符合上式，所以〃〃二3〃,即數(shù)列｛〃〃｝是以3為首項,3為公比的等比數(shù)列,

則55=出"=蟲=363.

1-32

8」答案A

解析|由學=——--，得S〃+i(2S"+i+“-4SQ=2〃S〃^(S"+i-2S")(2S"+i+〃)=0.

Sn2Sn+1+n-4Sn

因為數(shù)列｛斯｝為正項數(shù)列，所以2s/1+〃>0,可得S”+i=2S〃,則數(shù)列｛S"｝是公比為2的等比

數(shù)列，又G2=S2-S1=S1=3,所以的=3x2〃」,所以O(shè)25=S25-S24=3x223,故選A.

二'選擇題

9」答案ABD

I解析卜艮據(jù)題意可得。7+。8+。9=0,即3a8=0,即48=0,故B正確；

因為數(shù)列｛所｝是等差數(shù)列⑷>0,所以公差d<0,所以數(shù)次)｛服｝是單調(diào)遞減數(shù)列，故A正確；

對于C,由。6>0,得S5<S6,故C不正確；

對于D,由08=0,得S7=S8,又數(shù)列為遞減數(shù)列惻S7或S8為的的最大值，故D正確.故選

ABD.

10.[答案]AD

解析等比數(shù)列｛為｝的公比q=-|,故。9和mo異號，故。900<0,故A正確;但不能確定ag

和410的大小關(guān)系，故B不正確；

?「Q9和410異號，且〃9>》9且〃10>510,「?69和610中至少有一，個數(shù)是負數(shù)「?1=12>0,:.等

差數(shù)列｛瓦｝的公差d<O,???b9>bio,故D正確;???60一定是負數(shù)，即加<0,故C不正確.故選

AD.

nJ答案Ac

解析因為為數(shù)列｛〃〃｝的前〃項和，且S〃=2斯+1(〃￡N+),所以SI=2QI+1,因此

當時,0〃=5〃-5〃-1=2〃〃-2斯-1,即斯=2斯-1,所以數(shù)列｛〃“｝是以-1為首項,2為公比的等比

數(shù)列，故C正確；

因此G5=-lx24=-16,故A正確;

又S〃=2z+l=-2"+l,所以S5=3+1=-31,故B錯誤；

因為S1+1=O,所以數(shù)列｛8+1｝不是等比數(shù)列，故D錯誤.故選AC.

12」答案ABC

解析卜寸A選項，要使加)喂有意義，需滿足{需I"解得%>0且”段)=總的定義域

為(0,1)U(l,+00),故A正確.

對B選項，由人為=高，當》@(0,1)時,lnx<05Ax)<0{x)在(0,1)上的圖象都在x軸的下方，故

B正確.

對C選項『(x)=；p"，令g(x)=lnX—,g'(x)=-+—>0,...gQ)在(0,+oo)上單調(diào)遞增.

Vg(2)=ln2-|>0,.*.x>2時,g(x)>0/(x)>0..\Ax)存在單調(diào)遞增區(qū)間，故C正確.

對D選項,g(x)在(0,+8)上單調(diào)遞增，且g(l)=lnl-1=-l<0,g(2)=ln2怖>0,存在唯一的xo?

(1,2),使g(xo)=O,即/(xo)=O,當x￡(O,xo)時,g(x)<0/(x)<0<x)單調(diào)遞減，當xe(xo,+oo)

時,gCOXVVOXVCx)單調(diào)遞增，故人乃只有一個極小值點，故D錯誤.

三'填空題

13」答案蜉-1

14」答案—|4(〃+1)22n2+6n

解析令得V^7=4,「.QI=16.

當兒22時,…+，^7=(〃-1)2+3(〃-1),則/^=(〃2+3〃)-[(〃-1)2+3(〃-1)]=2〃+2,

.?.〃九=4(〃+1)2,當n-\時也滿足，

an=4(〃+1)2(〃￡N+),「?=4〃+4,

+—+???+-^-=4(1+2+,,,+n)+4n=2n2+6n.

23n+i'7

15.|答案|(〃-l)?2〃+i+2

解析|由題意，可得加+i-2a〃=2"+i,且m=2,則辭-上1,所以數(shù)列圖是首項為1,公差

為1的等差數(shù)列.

所以|^=1+(〃-1)義1=〃,所以?！ǘ?2",則5n=1X21+2x22+3x23+,?,+(n-l)x2n-

[+"><2〃,25〃=1*22+2*23+3乂24+???+(/1)乂2〃+〃乂2/1,兩式相減可得4〃=2+22+23+-??+2〃-

n-2n+1=^-^-n-2n+l,

解得S〃=S-l)2，+i+2.

16.答案(-cc,-&)

解析|由題意得，當x>0時/(x)=l-cosxNO,則危)在區(qū)間(0,+oo)上單調(diào)遞增，可求得當

x<0時<x)=x-sinx,故火幻在R上單調(diào)遞增，那么由人-旬^^加+加丹可得-今四加+機於在

R上恒成立.

(方法一^即m/2+4z+2m<0在R上恒成立.

當加20時，不等式在R上不恒成立，所以加<0,此時只需/=16-8加2<0,所以m<-V2.

(方法二)分離參數(shù)得加〈-士：：2.

令g⑺求導可得，且")=震冷令g'⑺>°，則(/或/>VX令g⑺<0,則-/</<四,

廿+2&+2)

所以g⑺在區(qū)間(-00,-四)上單調(diào)遞增，在區(qū)間(-VX迎)上單調(diào)遞減，在區(qū)間(VI+00)上單調(diào)

遞增，

又當f趨于-00時,g⑺趨于?！?&)=-夜，

所以g(r)min=g(V2)=-V2,

所以m<-y/2.

四、解答題

17懈I將點航(2,-1)的坐標代入>=」■,得47=1,

所以產(chǎn)七?

所以產(chǎn)lim—=lim""fi"

J△A”x一.or?A4xvdA-Xr一.r0?bAx-v

△x->0[l-(x+Ax)](l-x)Ax

=lim---------------=-^—2,

△工―0[l-(x+Ax)](l-x)(1-x)

所以曲線在點M處的切線斜率為義=1.

(1-2)

故曲線在點M處的切線方程為y-(-l)=x-2,即x-y-3=0.

18」證明|⑴當n=2時，左邊=2M1)=3,右邊=42)=3,等式成立.

(2)假設(shè)當〃=網(wǎng)上>2,左?N+)時，左/1)+…夕伏).

當n=k+l時，左+1療1)+…次上1)七/因=1+八左)+相左)=(左+1才因+1=(左+1>

=(/:+1)>+1).

即n=k+l時，命題成立.

根據(jù)(1)和(2),可知結(jié)論正確.

19.廨[1)選條件①:設(shè)等比數(shù)列｛m｝的公比為q,

,；ai=l,S3-S2=a2+2ai,.，.q2-q-2=0,解得q=2或q=-l.

ni

q>0,q=2,1.an=2.

設(shè)等差數(shù)列｛瓦｝的公差為d,

*.*tZ4=b3+b5,<25=t>4+2Z?6,

.12瓦+6d—8,

??(3瓦+13d=16,

解喏二

nA

/.bn=n.：?an=2,bn=n.

選條件②:設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的公比為q,

Vai=l,S3-S2=ai+2〃i,

.,.q2-q-2=0,解得q=2或q=-l.

*/q>0,?\q=2,JQ〃=2"-I.

設(shè)等差數(shù)列｛瓦｝的公差為d.

*/〃4=加+^5,03+〃5=4(61+64),

.(2b1+6d=8,

?,血1+3d=5,

解喏二

nA

/.bn=n.：?an=2,bn=n.

選條件③設(shè)等比數(shù)列｛z｝的公比為q,

???〃i=l,S3-S2=a2+2〃i,???/-q-2=0,解得q-2或q--1.

設(shè)等差數(shù)列｛瓦｝的公差為d,?:04=b3+85力2s4=5aib3,

bi=1,

解得

d=1,

n1

bn=n.an=2',bn=n.

(2)由(1)知"〃二2"」力〃=4

Tk=〃ibi+〃2~2+,?,x20+2x21+??,+(〃-1)X2"-2+〃X2"-\①

A27^=lx21+2x22+???+(〃-1)x2〃」+〃x21②

①-②，得-A=l+2i+22+-??+2〃/-〃x2〃=j-〃x2〃=2〃-l-〃x2「???4=(〃-l)x2〃+L

(—x2+—%E[1030)

20.見由題意，可知二氧化碳每噸的平均處理成本P(%)q=『51600、‘''

①當代口。四時/⑴或占叫所以2。)=如罷=2(啜曹。),當xe(10,20)

時,P'(x)<0,P(x)單調(diào)遞減;當xG(20,30)時,P'(x)>0,P(x)單調(diào)遞增,所以當x=20時,P(x)取得

最小值P(20)=(+詈=48.

②當xG[30,50]時,P(x)=x+詈-4022?詈-40=40,當且僅當產(chǎn)詈，即%=40時,P(x)

取得最小值P(40)=40.

因為48>40,所以當處理量為40噸時,每噸的平均處理成本最少.

21.廨口(1)因為數(shù)列｛m｝為“2次方數(shù)列”，

所以S+is)2=(〃+l)2,于是a2-a\=±2.

又ai=l,故ai--\或4/2=3.

當〃2=3時,由數(shù)列｛詈｝為等差數(shù)列，得數(shù)列圖的首項為1,公差為y斤以攀=1+(〃4嚀=

去〃+1),所以為=3層+〃),經(jīng)檢驗,滿足題意；

當公二-1時,由數(shù)列｛智為等差數(shù)列,得數(shù)列｛智的首項為1,公差為-點所以孽

|〃+|,所以斯二-|層+)經(jīng)檢驗，不滿足題意，舍去.

綜上所述，數(shù)列｛〃〃｝的通項公式為a?=j(n2+n).

(2)因為數(shù)列｛詞為“4次方數(shù)列“，所以外+15=壬(〃+1)2,即an=\士嬰土？土…土足?

因為。加=15,當mW3