2023-2024學(xué)年福建省莆田市荔城區(qū)某中學(xué)八年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年福建省莆田市荔城區(qū)礪青中學(xué)八年級（下）期中數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題（共有10小題，每題4分，只有唯一答案，共計40分）

1.下列二次根式中，是最簡二次根式的是（）

A.V5B.C.V12D.V50

2.在AABC中，ZC=90°,AC=3,BC=4,則以AB為邊的正方形的周長是（）

A.12B.16C.20D.25

3.下列圖象中，表示y是x的函數(shù)的是（）

4.若二次根式而工E在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則機(jī)取值范圍是（）

A.m=2024B.m>2024

C.m,,2024D.m~2°23>-=>m>2024

22

5.在平面直角坐標(biāo)系中，點P（-4,3）到原點的距離是（）

A.3B.4C.5D.V7

6.如圖，在AABC中，AB=AC,為BC邊上的高，點E為AC的中點，連接。E.若AABC的周長

為20,則ACDE的周長為（）

A.10B.12C.14D.16

7.如圖（1）是兩圓柱形聯(lián)通容器（聯(lián)通外體積忽略不計）.向甲容器勻速注水，甲容器的水面高度/i（cm）

隨時間f（分）之間的函數(shù)關(guān)系如圖（2）所示，根據(jù)提供的圖象信息，若甲的底面半徑為2。“，則乙容器

底面半徑為（）

A.8cmB.4cmC.3cmD.2cm

8.如圖，在AABC中，ZACB=90°,BC=2,AC=1,BC在數(shù)軸上，點2對應(yīng)的數(shù)為1,以點2為圓

心，AB的長為半徑畫弧，交數(shù)軸于點。，則點。表示的數(shù)是（）

A.1-75B.2-V5C.1-V3D.75-1

9.如圖，正方形ABCD的邊長為a,點E在AB邊上，四邊形EPGB也是正方形，它的邊長為b（b<a）,

連接AF、CF、AC.若a=10,則△人■?的面積為（）

A.25B.50C.75D.5b

10.如圖，將一個邊長分別為AB=4,BC=S的矩形紙片ABCD折疊，使點C與A重合，點D翻折到點D'

A.V3B.2GC.V5D.275

二、填空題（本題共有6小題，每小題4分，共計24分）

11.當(dāng)加=時，函數(shù)y=(m+1)例是正比例函數(shù).

12.一個邊長為4厘米的正方形，如果它的邊長增加x(x>0)厘米，則面積隨之增加y平方厘米，那么y關(guān)

于x的函數(shù)解析式為—.

13.四邊形具有不穩(wěn)定性.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為2的正方形ABCD的邊的中點是坐標(biāo)

原點O,固定點A,B,使點。落在y軸正半軸上點。處，則點C的對應(yīng)點C的坐標(biāo)為.

14.已知a、b、C在數(shù)軸上的位置如圖，化簡：泥+J(c_4+6)2-府=.

~ab0c~心

15.如圖，在單位為1的正方形組成的網(wǎng)格圖中標(biāo)有A3、CD、EF、G8四條線段，其中能構(gòu)成一個直

角三角形三邊的線段是

16.在ABCD中，BC=2AB,E為BC的中點，若BC=4,AE+ED=5,貝UABCD的面積=

三、解答題(8*5+10*2+12+14=86分)

17.先化簡，再求值：(1+—一)+其中。=血-1.

a—1a—1

18.計算:

(1)(V50-V3XV6)H-V2；

(2)(2-V2)2X(6+4V2).

19.如圖，在四邊形ABC。中，AB1BC,AB=1,BC=2,CD=3,AD=VS.

(1)求AC的長;

(2)求四邊形ABC。的面積.

20.己知y與x-2成正比例，且它的圖象過點(1,3).

(1)求y與x之間的函數(shù)解析式；

(2)若點P(:w,機(jī)-2)在此函數(shù)圖象上，求點尸的坐標(biāo).

21.如圖：在菱形ABC。中，AB=5,過點A作AEL8C于點E,交BD于點F,點G為。尸的中點，若

@1=—=Mi

V3+1(73+1)(73-1)2

②1_y/s—Vs_Vs—Vs

MV5+V3(>/5+V3)(V5-V3)-2

③]=S

V7+V5-(V7+A/5)(V7-V5)-2

…回答下列問題:

1

(1)利用你觀察到的規(guī)律，化簡:

5+V23

1111

(2)計算:

1+V3V3+V5Vs+77…3711+7101

23.如圖，在平行四邊形A8CD中，E為線段CD的中點，連接AC,AE,延長AE,BC交于點F,連

接。尸，ZACF=90°.

(1)求證：四邊形ACPI)是矩形；

(2)若CD=13,CF=5,求四邊形4BCE的面積.

折紙是同學(xué)們喜歡的手工活動之一，通過折紙我們既可以得到許多美麗的圖形，同時折紙的過程還蘊含著

豐富的數(shù)學(xué)知識.

(1)折一折、猜想計算:

如圖①：把邊長為8的正方形紙片ABCD對折，使邊與CD重合，展開后得到折痕

如圖②:將正方形紙片ABCD沿經(jīng)過點A的直線折疊，使點D落在EF上的點N處，展開后連接AN,DN,

圖②中，AAND為三角形，線段NF=

(2)折一折、類比探究：如圖③將正方形紙片A3CD折疊，使點。落點尸處，折痕與C。邊交于點

與邊交于點N,展開后連接。

①猜想線段DF與線段MN之間的關(guān)系

②CM=

(3)折一折、探究證明：如圖④：將正方形紙片ABCD沿經(jīng)過點A的直線AM折疊，使點。落在正方形

紙片內(nèi)部的點N處，折痕與CD邊交于點展開后延長MN交BC于點G.

猜想BG與NG的數(shù)量關(guān)系并證明若DM=2則

①②

③④

25.如圖1,四邊形ABC。為菱形，ZABC=60°,A(0,a),B(b,0),C(c,0),且|b+cI+Va-2V3=0.

(1)求AB的長；

(2)點/在8。上運動，△AMN為等邊三角形.

①如圖2,求證：ND=MC,并直接寫出沏的最小值；

②如圖3,在點M從點8運動到點。的過程中，求點N所經(jīng)過的路程長度.

參考答案

一.選擇題（共10小題）

題號12345678910

答案ACADCABABD

一、選擇題（本題共有10小題，每題4分，只有唯一答案，共計40分）

1.下列二次根式中，是最簡二次根式的是（）

A.V5B.C.V12D.V50

【分析】根據(jù)最簡二次根式的定義逐個判斷即可.

解：A.逐是最簡二次根式，故本選項符合題意；

B.4的被開方數(shù)的因數(shù)不是整數(shù)，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意；

c.的被開方數(shù)中的因數(shù)含有能開得盡方的因數(shù)，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意;

D.質(zhì)的被開方數(shù)中的因數(shù)含有能開得盡方的因數(shù)，不是最簡二次根式，故本選項不符合題意;

故選：A.

2.在AABC中，ZC=90°,AC=3,BC4,則以A3為邊的正方形的周長是（）

A.12B.16C.20D.25

【分析】根據(jù)勾股定理即可求解.

解:-ZC=90°,AC=3,BC=4,

AB=VAC2+BC2=J32+4?=5,

二以AB為邊的正方形的周長是4x5=20,

故選：C.

3.下列圖象中，表示y是x的函數(shù)的是（

上

A.B.

【分析】根據(jù)函數(shù)的定義，函數(shù)值與自變量有對應(yīng)的唯一性來判斷即可.

解：當(dāng)X值確定時，B、C、O三選項都是有2個函數(shù)值相對應(yīng)，只有選項A的函數(shù)值是唯一的.

故選：A.

4.若二次根式而與向在實數(shù)范圍內(nèi)有意義，則機(jī)取值范圍是()

A.m=2024B.m>2024

C.m,,2024D.m-2023>-=>m>2024

22

【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負(fù)數(shù)即可得出答案.

解:「二次根式dm-2024在實數(shù)范圍內(nèi)有意義,

x-2024..0,

解得：機(jī).2024.

故選：D.

5.在平面直角坐標(biāo)系中，點尸(-4,3)到原點的距離是()

A.3B.4C.5D.V7

【分析】根據(jù)勾股定理可求點P(-4,3)到原點的距離.

解：點P(-4,3)到原點的距離為"+3?=5,

故選：C.

6.如圖，在AABC中，AB=AC,為BC邊上的高，點E為AC的中點，連接。E.若AABC的周長

為20,則ACDE的周長為()

A.10B.12C.14D.16

【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到2。=DC,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到DE=」AC=AE,根據(jù)三角

2

形的周長公式計算，得到答案.

解：AB=AC,為BC邊上的高，

BD=DC,

AABC的周長為20,

AC+CD=10,

在RtAADC中，點E為AC的中點，

:.DE=-AC=AE,

2

AC￡>E的周長=DE+EC+DC=AE+EC+CD=AC+CD=10,

故選：A.

7.如圖（1）是兩圓柱形聯(lián)通容器（聯(lián)通外體積忽略不計）.向甲容器勻速注水，甲容器的水面高度Mem）

隨時間f（分）之間的函數(shù)關(guān)系如圖（2）所示，根據(jù)提供的圖象信息，若甲的底面半徑為2。“，則乙容器

底面半徑為（）

A.8cmB.4cmC.3cmD.2cm

【分析】由注滿相同高度的水乙容器所需的時間為甲容器的4倍，結(jié)合甲容器的底面半徑即可求出乙容器

的底面半徑，此題得解.

解：觀察函數(shù)圖象可知：注滿相同高度的水，甲容器需要1分鐘，乙容器需要（5-1）分鐘，此時乙容器內(nèi)

水的容積是甲容器的4倍，

，乙容器底面積為甲容器底面積的4倍，

圓的底面積之比等于半徑之比的平方，

，乙容器底面半徑是甲容器底面半徑的2倍，即為20nx2=4cm.

故選：B.

8.如圖，在AABC中，ZACB=90°,BC=2,AC=1,BC在數(shù)軸上，點B對應(yīng)的數(shù)為1,以點2為圓

心，AB的長為半徑畫弧，交數(shù)軸于點。，則點。表示的數(shù)是（）

A

-3-2-10123

A.1-V5B.2-V5C.1-V3D.75-1

【分析】根據(jù)勾股定理求出AB的長，再求出CD,然后根據(jù)數(shù)軸解答即可.

解：在AA8C中，ZACB=90°,BC=2,AC=1,

AB=VAC2+BC2=Jl?+2?=也,

由題意可知，BD=AB=45,

:.CD=BD-BC=45-2,

點2對應(yīng)的數(shù)為1,

二點。表示的數(shù)是一（行-2+1）,即1-右,

故選：A.

9.如圖，正方形ABCD的邊長為°,點￡■在AB邊上，四邊形EFGB也是正方形，它的邊長為仇6＜。）,

連接AE、CF、AC.若a=10,則△人■?的面積為（）

A.25B.50C.75D.5b

【分析】根據(jù)題意，連接8尸，根據(jù)2尸//AC將△ABC的面積轉(zhuǎn)化為△ABC的面積，再結(jié)合“=10即可

解決問題.

解：連接8尸，

ZGBF=ZBCA=45°,

...BF//AC,

,??°qAFC-_0qABC,

又V正方形ABCD的邊長為a,

2

一.QSABC一--萬aG'

2

,.?sAFC—--2aU?

又，a=10,

S=—x10x10=50.

■AFC2

故選：B.

10.如圖，將一個邊長分別為AB=4,BC=8的矩形紙片ABCD折疊，使點C與A重合，點D翻折到點D'

處，則折痕EF的長是()

A.V3B.2A/3C.V5D.2右

【分析】由折疊的性質(zhì)可得OA=OC,AE=CE,證明=△(%>￡得到。E=OF,由勾股定理得到

AC=4^/5,貝iJOA=OC=26，設(shè)AE=EC=x,貝UBE=8-x,由勾股定理得：42+(8-x)2=x2,解方

程得至UCE=5,則OE=j52-(26了=百,<￡F=2OE=275.

解:如圖所示，連接AC交EE于點O,

由折疊可知，斯垂直平分AC,

OA=OC,AE=CE

在矩形紙片ABCZ)中，AD!IBC,

ZOAF=ZOCE,AGFA=ZOEC,

△AOF=△COE(ASA),

OE=OF,

在Rr△ABC中，AB=4,5c=8,

AC=A/AB2+BC2=A/42+82=4后，

OA=OC=2s/5,

設(shè)AE=EC=x,貝ljBE=8-x,

在ABE中，由勾股定理得：42+(8-x)2=x2,

解得：尤=5,

/.CE=5,

在?△AOE中，OE=加?-(26②=加,

EF=2OE=275,

故選：D.

二、填空題(本題共有6小題，每小題4分，共計24分)

11.當(dāng)m=1時，函數(shù)y=(〃?+1)x附是正比例函數(shù).

【分析】根據(jù)正比例函數(shù)的定義，即可求解.

解：,函數(shù)y=尤同是正比例函數(shù)，

/.\m\=1且WJ+IWO,

解得：m—l.

故答案為：1.

12.一個邊長為4厘米的正方形，如果它的邊長增加x(x>0)厘米，則面積隨之增加y平方厘米，那么y關(guān)

于x的函數(shù)解析式為_y=x2+8x_.

【分析】首先表示出原邊長為4厘米的正方形面積，再表示出邊長增加x厘米后正方形的面積，再根據(jù)面

積隨之增加y平方厘米可列出方程.

解:原邊長為4厘米的正方形面積為：4x4=16(平方厘米)，

邊長增加x厘米后邊長變?yōu)椋?x+4),

則面積為：(x+4尸平方厘米，

y=(x+4)~-16=+8元.

故答案為：y=f+8尤.

13.四邊形具有不穩(wěn)定性.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，邊長為2的正方形ABC。的邊的中點是坐標(biāo)

原點O,固定點A,B,使點。落在y軸正半軸上點。處，則點C的對應(yīng)點C的坐標(biāo)為_（2,百）

【分析】由已知條件得到AO=2,AO=~AB=\根據(jù)勾股定理得到OD'=NAD?—ON=6再

2

根據(jù)CD'的長度進(jìn)而即可得出結(jié)論.

解：由題意得：AD'=AD—2,AO=—AB=1,

2

0D'=7AD,2-OA2=V3,

C'D'=2,CD'//AB,

C（2,V3）,

故答案為：（2,6）.

14.已知a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖，化簡:+J(c-〃+bp—yj—__c—2a

Fb0~

【分析】根據(jù)題意可得：a<b<O<c,且|°|>|。|〉|。|,從而可得c-a+b>0,然后根據(jù)二次根式的性質(zhì)

與立方根的意義進(jìn)行化簡計算，即可解答.

解：由題意得：a<b<O<c,且,

:.c-a+b>0,

7?+d（c-a+b）2-VP"

二|〃|+|c—a+Z?|—h

——a+c—a+b—b

=c-2a，

故答案為：c-2a.

15.如圖，在單位為1的正方形組成的網(wǎng)格圖中標(biāo)有AB、CD、EF、四條線段，其中能構(gòu)成一個直

角三角形三邊的線段是AB,EF,GH

【分析】本題應(yīng)先計算出各線長度，再根據(jù)勾股定理逆定理進(jìn)行判斷.

解：AB2=22+22=8,

CD2=42+22=20,

EF2=I2+22=5,

GH2=32+22=13,

^\^AB2+EF2=GH2.

故其中能構(gòu)成一個直角三角形三邊的線段是AB,EF,GH.

故答案為：AB,EF,GH.

16.在ABC。中，BC=2.AB,E為BC的中點，若8C=4,AE+M=5,則ABCD的面積=4.5

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，4。//BC,AB=，得出ZEAD=NAEB,ZCED=ZADE,根據(jù)AB=EB,

EC=DC,推出ZBAE=/EAD,ZADE=ZCDE,^ZADE+ZCDE+ZBAE+ZEAD=180°,得出

ZADE+ZEAD=90°,即NAM=90。，設(shè)AE=x,ED=5-x,根據(jù)勾股定理列式/+（5-尤）？=4?,

5+V75-V7u而卡山°AExED5+b5-V719

，龍之二仁-，從而求出S.AED=-—=x^—x2=4，故

9

sABCD=2SAED=2x-=4.5即可求解?

解：四邊形4BC。是平行四邊形，

:.AD//BC,AB=CD,

NEAD=ZAEB,ZCED=ZADE,

BC=2AB,E為BC的中點，

AB=EB,EC=DC,

NBAE=/BEA,ZCED=ZCDE,

ZBAE=ZEAD,ZADE=ZCDE,

泗邊形ABC。是平行四邊形，

AB//CD,

/ADE+ZCDE+ZBAE+ZEAD=180。，

ZADE+AEAD=90°,

NAED=90°

AE+ED=5,

設(shè)AE=x,ED=5-%,

222

iiLAE+ED=ADf

代入數(shù)值可得V+(5-X)2=42,

解答西=言以，％=三立，

。AExED=5+V75-V719

..SA~XX=,

AED22224

c9，-

'''SABCD=2s.AED=2x—=4.5,

則ABCD的面積為4.5.

故答案為：4.5.

三、解答題(8*5+10*2+12+14=86分)

17.先化簡，再求值：(1+，)+——,其中.=血-1.

a-1a-1

【分析】原式括號中兩項通分并利用同分母分式的加法法則計算，同時利用除法法則變形，約分得到最簡

結(jié)果，最后把。的值代入計算即可.

解：(1+——)

a-La-1

=-a-—1-+1--(a-+-1-)(〃---1)

a-\a

=-a---(〃-+-1-)((-2--1)

a-1a

=a+1,

當(dāng)°=0一1時，原式=后一1+1=后.

18.計算：

(1)(V50-V3x76)4-72；

(2)(2-V2)2X(6+4V2).

【分析】(1)先計算括號內(nèi)的乘法和減法，再計算除法，結(jié)果化為最簡形式;

(2)根據(jù)完全平方公式和平方差公式進(jìn)行計算即可.

解：(1)(A/50-V3XV6)-A/2

=(5行-3回十也

=2行+收

二2；

(2)(2-收yx(6+4揚

=(4-472+2)x(6+472)

=(6-4也)x(6+4后)

=36-32

=4.

19.如圖，在四邊形ABC。中，AB1BC,AB=1,BC=2,CD=3,AD=V14.

(1)求AC的長；

(2)求四邊形ABC。的面積.

【分析】(1)利用勾股定理解RtAABC即可;

(2)利用勾股定理的逆定理證明AAC。是直角三角形，則四邊形ABCD的面積等于RtAABC與RtAACD面

積之和.

解：⑴AB1BC,AB=1,BC=2,

AC=y]AB2+BC2=A/12+22=舊;

(2)CD=3,AD=V14,AC=V5,

CD2+AC2=32+(V5)2=14=(V14)2=AD2,

AACO是直角三角形,

S.+S.=-ABBC+-AC.C￡)=-xlx2+-xV5x3=l+—,

ZViDC-ACn22222

q/s

四邊形ABCD的面積為1+包.

2

20.己知y與無-2成正比例，且它的圖象過點(1,3).

(1)求y與x之間的函數(shù)解析式；

(2)若點P(八%-2)在此函數(shù)圖象上，求點尸的坐標(biāo).

【分析】(1)設(shè)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y=%(x-2)(/w0),再將(1,3)代入，得到關(guān)于人的方程，求解

即可；

(2)利用一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可求出機(jī)值，進(jìn)而可得出點尸的坐標(biāo)；

解題的關(guān)鍵是：(1)根據(jù)點的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出一次函數(shù)解析式；(2)利用一次函數(shù)圖象上點的

坐標(biāo)特征求出m值.

解：(1)y與了-2成正比例，且它的圖象過點(1,3),

設(shè)y=k(x-2)(k豐0),

3=k(l—2),

解得：k=一3,

二.y與x之間的函數(shù)解析式為y=-3x+6；

(2)?「點機(jī)-2)在函數(shù)y=-3x+6的圖象上，

m—2=—3m+6,

解得：m=2,

.'.m—2=2—2=0,

點尸的坐標(biāo)為(2,0).

21.如圖：在菱形A3CD中，AB=5,過點A作于點E,交3。于點尸，點G為。尸的中點，若

【分析】由菱形的性質(zhì)得AO//BC,AB=AD9再證AELAO,進(jìn)而由直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得

AG=-DF=DG,貝l|NGAZ)=NGZM,ZAGB=2ZADB,然后證NABG=30。，即可解決問題.

2

解：四邊形4BC。為菱形,

/.ADIIBC,ABAD,

ZABD=ZADB,

AELBC,

AELAD,

ZDAF=90°,

?.,點G為。尸的中點,

...AG=-DF=DG,

2

ZGAD=ZADB,

NAGB=ZGAD+NGDA=2ZADB,

ZBAG=90°,

ZAGB+ZABG=2/ADB+ZABG=3ZABG=90°,

ZABG=30°,

.“包A5百

..AG——AB------9

33

即AG的長為坐■.

3

22.觀察下列等式：

①1鳳16T

V3+1(V3+1)(73-1)2，

②]=[-6=

V5+V3-(A/5+73)(75-V3)-2

③]=小-非=4-加

V7+6一(V7+石)(5-6)-2

…回答下列問題:

1

（1）利用你觀察到的規(guī)律，化簡:

5+V23

]]]]

（2）計算:

1+V3V3+V5V5+V7sVH+Vioi

【分析】（1）根據(jù)觀察，可發(fā)現(xiàn)規(guī)律：,_1根據(jù)規(guī)律，可得答案;

>Jn+2+>Jn2

（2）根據(jù)二次根式的性質(zhì)，分子分母都乘以分母兩個數(shù)的差，可分母有理化.

5--應(yīng)5-卮

解:(1)原式=

(5+V23)(5-V23)-2

(2)原式二6-1?非-6?布-非??VHH-3vH

八-(1+V3)(V3-1)(V5+A/3)(A/5-A/3)(S+也)(S-也)(VwT+3Vn)(Vwi-3A/11)

=1(Vioi-i).

23.如圖，在平行四邊形ABC。中，E為線段CD的中點，連接AC,AE,延長AE,BC交于點尸，連

接。/，ZACF=90°.

(1)求證：四邊形ACFD是矩形；

(2)若CD=13,CF=5,求四邊形A8CE的面積.

C

【分析】(1)證明AADE=APCE(AAS),得AE=FE,所以四邊形AC尸。是平行四邊形，再根據(jù)有一個角

是直角的平行四邊形是矩形即可解決問題；

(2)根據(jù)矩形的性質(zhì)和勾股定理求出。尸的值，由AAOE=AFCE,可得四邊形ABCE的面積=平行四邊

形ABCA-ACEF的面積，進(jìn)而可以解決問題.

【解答】(1)證明：四邊形A2CD是平行四邊形，

AD//BC,

ZADE=ZFCE,ADAE=ZCFE,

E為線段CD的中點，

DE=CE,

\ADE=\FCE{AAS),

AE=FE,

二.四邊形ACED是平行四邊形，

ZACF=90°,

二四邊形ACKD是矩形；

(2)解:四邊形ACTO是矩形，

NCFD=90°,AC=DF,

CO=13,CF=5,

DF=4CD2-CF2=V132-52=12,

AADE=\FCE,

\CEF的面積=」AACF的面積='X!X5X12=15,

222

平行四邊形ABC。的面積=8C-AC=5xl2=60,

四邊形ABCE的面積=平行四邊形ABCD的面積-ACEF的面積=60-15=45.

24.綜合與實踐

折紙是同學(xué)們喜歡的手工活動之一，通過折紙我們既可以得到許多美麗的圖形，同時折紙的過程還蘊含著

豐富的數(shù)學(xué)知識.

（1）折一折、猜想計算：

如圖①：把邊長為8的正方形紙片ABCD對折，使邊與C。重合，展開后得到折痕

如圖②:將正方形紙片ABCD沿經(jīng)過點A的直線折疊，使點。落在EF上的點N處，展開后連接AN,DN,

圖②中，AAN。為等邊三角形,線段NF=；

（2）折一折、類比探究：如圖③將正方形紙片A3CD折疊，使點。落點尸處，折痕與邊交于點

與AB邊交于點N,展開后連接OF.

①猜想線段。尸與線段MN之間的關(guān)系―；

②CM=；

（3）折一折、探究證明：如圖④：將正方形紙片ABCD沿經(jīng)過點A的直線AM折疊，使點。落在正方形

紙片48CD內(nèi)部的點N處，折痕與CD邊交于點展開后延長MN交BC于點G.

猜想BG與NG的數(shù)量關(guān)系并證明；若DM=2,則

①②

S&CMG④

【分析】(1)由第一次折疊可知所垂直平分A。，由線段垂直平分線的性質(zhì)得AD=M,由第二次折疊

可知AD=AN,進(jìn)而可得AD=AN=DN,則AAN。為等邊三角形，利用含30度角的直角三角形性質(zhì)得

NE=V3AE=4A/3,進(jìn)而可求出線段的長；

(2)①過點N作于點H,記跖V交。下于點O,易得CD=NH,折疊可知MN垂直平分。P,

由同角加等角相等可得NCFZ)=N/fMN,于是可通過AAS證明△CAPMAHMW,得到。尸=加，以此即

可求解；

②由折疊可知。CF=BF=4,設(shè)DM=FM=x,貝|CM=8-x,在RtACFM中，利用勾股定

理建立方程，求解即可；

(3)連接AG,由折疊可知NADM=NAMW=90。，AD=AN,進(jìn)而可得AN=AB,因此可根據(jù)HL證明

RtAANG=RtAABG,得至ljNG=BG；DM=2,則MN=2,CM=6,設(shè)BG=NG=a,則CG=8—a,

于是GM=NG+MN=a+2,在RtACMG中，利用勾股定理建立方程，解得。=二，則CG=8-a=^,

55

由三角形面積公式得“CMG=；CG-CM，代入計算即可求解.

解：(1)由第一次折疊可知，EF垂直平分A。，

AN=DN,

由第二次折疊可知，AD=AN,

AD=AN=DN,

??.AAND為等邊三角形，/AND=60。，

EF垂直平分AD,AB=AD=8f

二.四邊形ABbE為矩形，AE=DE=4,NDNE=NANE=3U。,

EF=AB=8,

在RtAAEN中，NE=&E=46

:.NF=EF-NE=8-4S5；

故答案為：等邊，8-4^3；

(2)①如圖，過點N作NHLCD于點H,記MN交DF于點O,

則四邊形ADHN為矩形，ZNHM=ZDCF=90°,

AD=NH,

AD=CD,

CD=NH,

由折疊可知，MN垂直平分。尸，

ADON=/DOM=90°,

ZODM+ZOMD=90°,

ZODM+ZCFD=90°,

z.ZCFD=ZOMD,BPZCFD=ZHMN,

在\CDF和AHNM中，

ZCFD=ZHMN

<ZDCF=ZNHM,

CD=NH

ACDF=AHNM(AAS),

DF=MN

故答案為：DF=MN且DF1MN；

②由折疊可知，DM=FM,CF=BF=4,

設(shè)DM=FM=x,貝UCM=8-%,

在RtACFM中，CF1+CM1=FM2,

42+(8-x)2=x2,

解得：％=5,

CM=8—x=3；

故答案為：3；

(3)NG=BG,證明如下：

如圖，連接AG,

由折疊可知，ZADM=ZANM=90°,AD=AN,

:.NANC=90。,

AD=AB,

AN=AB,

在RtAANG和RtAABG中，

jAN=AB

[AG=AG'

RtAANG二RtAABG(HL),

/.NG=BG；

若。M=2,貝ljMN=2,CM=6,

設(shè)BG=NG=a,則CG=8-〃，

:.GM=NG+MN=a+2,

在RtACMG中，CG2+CM2=GM2,

(8-?)2+62=((7+2)2,

角星得：4=V,

，CG=8—〃=——

5

01-116.48

SbCMG=]CG