2024-2025學年滬科版七年級數學下冊復習題（考試范圍：第6~8章）含答案

期中易錯題壓軸題專項復習【24大題型】

（考試范圍：第6?8章）

【滬科版2024]

A題型梳理

【易錯篇】

【考點1平方根、立方根】

【考點2無理數】

【考點3實數與數軸】

【考點4實數的運算】

【考點5一元一次不等式】

【考點6一元一次不等式組】

【考點7哥的運算】

【考點8單項式乘單項式】

【考點9單項式乘多項式】

【考點10多項式乘多項式】

【考點11完全平方公式】

【考點12平方差公式】

【考點13因式分解】

【壓軸篇】

【考點14無理數的整數與小數部分的計算】

【考點15不等式（組）的整數解問題】

【考點16不等式組的有解或無解問題】

【考點17利用不等式的基本性質求最值】

【考點18方程與不等式（組）的實際應用】

【考點19幕的運算的逆用】

【考點20多項式乘積不含某項求字母的值】

【考點21多項式乘多項式與圖形面積】

試卷第1頁，共24頁

【考點22整式乘法中的規(guī)律性問題】

【考點23整式乘法中的恒成立問題】

【考點24因式分解的應用】

A舉一反三

【易錯篇】

【考點1平方根、立方根】

【例1】（24-25七年級上?黑龍江哈爾濱?期末）

1.下列說法中正確的是（）

A.卜25|有平方根B.-64沒有立方根

C.0.09的平方根是±0.03D.好了的算術平方根是4

【變式1-1]

2.y/16+^27==.

【變式1-2]（24-25八年級上?江蘇揚州?期末）

3.解方程：

（1）2（X+1）2=8；

（2）（X-3）3-27=0.

【變式1-3]（24-25八年級上?湖北十堰?期末）

4.已知x-l的平方根是±3,x+y的立方根是2,求/+/的值.

【考點2無理數】

[例2]（24-25七年級?安徽安慶?期中）

5.滿足-6<x<痂的整數x是.

【變式2-1]（24-25七年級?山東泰安?期末）

6.在實數-3,0,77,工，小瓦，0.1313313331...（每兩個1之間的3依次多1）中，其中無理數

2

的個數是（）

A.2B.3C.4D.5

【變式2-21（24-25七年級?甘肅天水?期末）

試卷第2頁，共24頁

7.因為22<5<3?,可以肯定2〈不<3,也就是逐在2與3之間.依據這一方法，對

2.22<5<2,32,可以肯定2.2（行<2.3,也就是逐在2.2與2.3之間，可以得到行的近似

值.那么質的估算結果中正確的是（）

A.3.15<V10<3.16B.3.16<V10<3.17

C.3.17<V10<3.18D.3.18<V10<3.19

【變式2-3］（24-25七年級?遼寧本溪?期末）

8.解答題，在學習第二章第4節(jié)《估算》后，某數學愛好小組探究"TU的近似值的過程如

下：

???Vioo<Vno<Vni

.-.IO<VHO<H

:面積為no的正方形的邊長是

，設VHU=io+x,其中o<x<i,

畫出示意圖，如圖所示.根據示意圖，可得圖中正方形的面積為

S正方形=10~+2xl0x+x?,

又S正方形4BCD=11°，

「.IO?+2xl0x+x2=110,

當0<x<l時，可忽略得100+201句10,解得XBO.5,

（1）求回至的整數部分;

（2）仿照該數學愛好小組的探究過程，求向的近似值（結果保留1位小數）.（要求：畫出

試卷第3頁，共24頁

示意圖，標注數據，并寫出求解過程）

【考點3實數與數軸】

［例3］（24-25七年級?浙江杭州?期中）

9.實數。在數軸上對應點工的位置如圖所示，若6布|+|2-貝卜

威

不南端彳01曠圈

（1）b的值是.

（2）麗伍+2）的平方根是.

【變式3-1］（24-25七年級?山西長治?期中）

10.數學課上，為了讓同學們更加直觀地理解無理數可以在數軸上表示，張老師作了如圖所

示的演示，把直徑為1個單位長度的圓沿數軸從原點無滑動地順時針滾動一周，到達點A,

此時點A表示的數是.

。，Q,

-0~1A

【變式3-2］（24-25七年級?浙江杭州?期中）

11.數軸上點/表示的數是-2,點瓦C分別位于點工的兩側，且到點/的距離相等.若

點8表示的數是百，則點C表示的數是.

【變式3-31（24-25七年級?廣東江門?期中）

12.實數a、6在數軸上的位置如圖所示.

?1gl?____?」??>

-101x

化簡正-后+/a-b）2=.

【考點4實數的運算】

【例4】（24-25七年級?河北邯鄲?期中）

13.任意給出一個非零實數小，按如圖所示的程序進行計算.

試卷第4頁，共24頁

輸入機

⑴當加=1時，輸出的結果為

(2)當實數加的一個平方根是-百時，求輸出的結果.

【變式4-1](24-25七年級?重慶云陽?期末)

14.計算：(一1廣'+槨一1卜.

【變式4-2](24-25七年級?湖北十堰?期末)

15.計算：

(l)V25-22+V27

(2)(V2)2+|7r-3|+(-l)10°

【變式4-3](24-25七年級?山東煙臺?期末)

16.(1)若蘇=(-7『，?3=(-3)3,請求出〃?+〃的值;

(2)。是-27的立方根和加的算術平方根的和，6是比竹大且最相鄰的整數，請求出

5a+6的立方根

【考點5—元一次不等式】

【例5】

17.關于X的不等式號-1>如W的解集都是不等式;-1<2的解，則”的取值范圍

4642

是.

【變式5-1]

18.若后-(左+2)/T>0是關于x的一元一次不等式，則該不等式的解集是()

A.x<2B.x—2C.x>—D.x<—

22

【變式5-2]

試卷第5頁，共24頁

19.已知關于x的方程4（x-2）=2（x-〃）+4的解為負數，則〃?的取值范圍是（）

A.m<6B.m>6C.m<-6D.m>-6

【變式5-3]（24-25八年級?山東聊城?期中）

20.若關于x的一元一次不等式域+l>x+a的解集中每一個x的值都能使不等式

-1--三1_5r>29成立，則。的取值范圍是（）

2O5

、4。之-？

B.Q之一a<—D.

33

【考點6一元一次不等式組】

【例6】（24-25八年級?四川眉山?期末）

21.若不等式組/的解集為1。<2,貝IJ加+〃『必的值為（）

\n-x>-4、7

A.-1

【變式6-11（24-25八年級?廣西貴港?期末）

22.對一個實數x按如圖所示的程序進行操作，計算機運行從“輸入一個實數x”到“判

斷結果是否大于190?”為一次操作，如果操作恰好進行兩次操作才停止，那么x的取值范圍

是（）

—‘刖入ax->x3->-2->>190停止

1I否

A.8<x<22B.22<x<64C.22<x<62D.8<x<20

【變式6-2]（24-25八年級?山東聊城?期中）

[2x-l>3（x-2）

23.若關于x的一元一次不等式組I，的解集是x<5,則加的取值范圍是

x<m

A.m>5B.m>5C.m<5D.m<5

【變式6-3]（24-25八年級?浙江紹興?期末）

[2a-x>3

24.關于x的不等式組、。,的解集中每一個值均不在-14XS5的范圍中，則a的取

2x+8>4。

值范圍是（

A.或〃>4.5B.〃01或〃24.5

C.。>4或a<l.5D.或aW1.5

試卷第6頁，共24頁

【考點7幕的運算】

【例7】（24-25七年級?四川資陽?期末）

z.\2024

25.計算x（1.25產，5的值等于（）

A.4B.-4C.5D.-5

【變式7-1]（24-25七年級?吉林白城?階段練習）

26.下列計算正確的是（）

A.a5-a5=a25B.（-5a5/;5）2=-25a1%10

C.x2+x6=x8D.-m7=-m5

【變式7-21（24-25七年級?四川成都?期末）

27.已知4a—36+1=0,貝I]3?+27〃的值為.

【變式7-31（24-25七年級?重慶渝北?期末）

28.若4"=6,8〃=16,a,6為整數，則24"曰=.

【考點8單項式乘單項式】

【例8】（24-25七年級?四川遂寧?期末）

29.設①一、"+”[51y）=//,則的值為（）

A.—B.—C.1D.~

822

【變式8-1]（24-25七年級?四川成都?期末）

30.先化簡，再求值：j2-4b,其中a=2,b=l.

【變式8-2]（24-25七年級?山東聊城?期末）

m+1+2

31.若（ab"）?（一/一斤"）=_//,貝汁m+n的值為.

【變式8-3]（24-25七年級?浙江金華?期中）

32.如圖，在正方形內，將2張①號長方形紙片和3張②號長方形紙片按圖1和圖2兩種

方式放置（放置的紙片間沒有重疊部分），正方形中未被覆蓋的部分（陰影部分）的周長相

等.

試卷第7頁，共24頁

辱霞豳幽

(1)若①號長方形紙片的寬為2厘米，則②號長方形紙片的寬為厘米；

(2)若①號長方形紙片的面積為40平方厘米，則②號長方形紙片的面積是平方

厘米.

【考點9單項式乘多項式】

【例9】(24-25七年級?四川成都?期末)

33.如圖，將7張圖1所示的小長方形紙片按圖2的方式不重疊地放在矩形/5CD內，未

被覆蓋的部分用陰影表示.如果當5c的長變化時，左上角與右下角的陰影部分的面積的差

保持不變，那么R。的值為.

圖1圖2

【變式9-1](24-25七年級?廣東深圳?期中)

34.若x(x+a)+3x-26=/+5x+4恒成立，貝!.

【變式9-2](24-25七年級?湖南邵陽?期末)

35.數學課上，老師講了單項式與多項式相乘：先用單項式乘多項式中的每一項，再把所得

的積相加，小麗在練習時，發(fā)現了這樣一道題："-2/(3x--+1)=-6x3+4x2y-2x2^

么中的一項是.

【變式9-3](24-25七年級?湖南常德?期末)

36.如圖，某校園的學子餐廳Wi-Fi密碼做成了數學題，小亮在餐廳就餐時，思索了會，

輸入密碼，順利的連接到了學子餐廳的網絡.若他輸入的密碼是2842?，最后兩被隱藏了,

那么被隱藏的兩位數是.

試卷第8頁，共24頁

賬號:XueZiCanTing

5十3十2=151025

9十2十4=183654

8十6十3=482472

學子餐廳歡迎你!

7十2十5=143549

【考點10多項式乘多項式】

【例10]（24-25七年級?山西臨汾?期末）

37.有如圖所示的正方形和長方形卡片若干張，若要拼成一個長為2a+6、寬為。+28的長

方形，需要3類卡片（）

a

qb

a4類

bB類"C類|

A.2張B.3張C.4張D.5張

【變式10-1]（24-25七年級?河南省直轄縣級單位?期末）

38.有一塊長為（加+6）米為正數），寬為（加+3）米的長方形土地，若把這塊地的長增加

1米，寬減少1米，則與原來相比，這塊土地的面積（）

A.沒有變化B.變大了C.變小了D.無法確定

【變式10-2]（24-25七年級?四川成都?期末）

39.先化簡，再求值：；6（2a-46）-（2a+?（叱b）-2（仍+1）,且單項式與_3肛“是同

類項.

【變式10-3]（24-25七年級?福建福州?期末）

40.發(fā)現規(guī)律：

我們發(fā)現，（x+p）（x+q）=x2+（p+q）x+pq.這個規(guī)律可以利用多項式的乘法法則推導得

出：(x+p)(^x+q)=x2+px+qx+pq=x2+[^p+q)x+pq.

運用規(guī)律

⑴如果（x+3乂尤-5）=x?+加X+”,那么機的值是,“的值是

(2)如果(x+a)(x+b)=x2+3x-2.

①求（。-3）伍-3）的值;

試卷第9頁，共24頁

②求的值.

【考點11完全平方公式】

【例11】(24-25七年級?甘肅蘭州?期中)

41.已知=2a-46+6c-14,則的值是()

A.4B.-4C.8D.-8

【變式11-1](24-25七年級?上海閔行?期中)

42.如果關于x的整式9x2-(2m-l)x+；是某個整式的平方，那么小的值是

【變式11-2](24-25七年級?福建漳州?期中)

43.若x,y是自然數，且滿足x2+/=4x+2y-4,則x+昨.

【變式11-3](24-25七年級?湖南婁底?期中)

44.已知(x-2023『+(x-20257=24,則(苫一2024『的值是()

A.12B.11C.13D.10

【考點12平方差公式】

【例12】(24-25七年級?河南新鄉(xiāng)?期中)

45.某同學在計算3(4+1)(4?+1)時，把3寫成4-1后，發(fā)現可以連續(xù)運用兩數和乘以這兩數

差公式計算：3(4+1)(42+1)=(4-1)(4+1)(42+1)=(42-1)(42+1)162-1=255,請借鑒該同

學的經驗，計算：具i+￡|+/=一?

【變式12-1](24-25七年級?甘肅蘭州?期中)

46.下列各式中能用平方差公式計算的是()

A.(x+y)(x+y)2B.(x+y)(y-x)

C.(x+y)(-x-y)D.(-x+y)(y-x)

【變式12-2](24-25七年級?福建泉州?期中)

47.為了美化校園，學校把一個邊長為am(a>4)的正方形跳遠沙池的一組對邊各增加1m,

另一組對邊各減少1m,改造成長方形的跳遠沙池.如果這樣，你覺得沙池的面積會()

A.變小B.變大C.沒有變化D.無法確定

【變式12-3](24-25七年級?山西臨汾?期中)

試卷第10頁，共24頁

48.霍州鼓樓位于山西霍州市城內中心，明萬歷十一年(1583年)建，又稱文昌閣.其結

構外表是明二假三層，它的間架結構復雜新穎、巧妙結合，采用了我國古建筑中的一種凹凸

結合的連接方式一榨卯(sunmao)結構，精密謹嚴天衣無縫，行家里手驚佩它是工藝精

湛超群絕倫.如圖①是一個樣卯結構的零部件，圖②是其截面圖，整體是一個長為

(2“+b)cm,寬為(2。-6)cm的長方形，中間鑿掉一個邊長為acm的正方形，且該零件的高

為acm.求這個零部件體積.

圖1

【考點13因式分解】

【例13】(24-25八年級上?河南南陽?期末)

49.把下列多項式分解因式

⑴盯2；

(2)9尤2(加-2)+/(2-機)；

(3)x3—4x2+4x；

(4)xy+x+y+l.

【變式13-1](24-25八年級上?福建泉州?期末)

50.若a-6=2,貝!J/一/-46的值為.

【變式13-2](24-25八年級上?河南開封?期末)

51.下列因式分解正確的是()

A.--+/=(x+y)(x->)B.a3+2a2b+ab2=a(^a+b)2

C.x2-2x+4=(x-l)2+3D.ax2-9=a(x+3)(x-3)

【變式13-3](24-25八年級上?湖北荊州?期末)

52.計算『_2?+3?-4?+5?-6+……+992-1002的值為.

【壓軸篇】

【考點14無理數的整數與小數部分的計算】

試卷第11頁，共24頁

【例14]（24-25七年級?浙江寧波?期中）

53.19-莊的整數部分為。，小數部分為6,則2a-6=.

【變式14-1]（24-25七年級?江蘇蘇州?階段練習）

54.如圖1,把兩個面積為Idn?的小正方形沿對角線剪開，拼成一個面積為2dmz的大正方

形，所得到的面積為2dm2的大正方形的邊長就是原先面積為Idn?的小正方形的對角線長，

因此，可得小正方形的對角線長為血.

（1）某同學把長為2,寬為1的兩個長方形沿對角線剪開裁剪，拼成如圖2所示的一個大正方

形?仿照上面的探究方法求空白部分正方形的面積及其邊長x的值；

（2）若c為（1）中x的整數部分，求c的平方根.

【變式14-2]（24-25七年級?甘肅蘭州?期中）

55.大家知道應是無理數，而無理數是無限不循環(huán)小數，因此血的小數部分我們不能全

部地寫出來，于是小平用血-1來表示近的小數部分，你同意小平的表示方法嗎？事實上

小平的表示方法是有道理的，因為血的整數部分是1,用這個數減去其整數部分，差就是

小數部分.請解答：若尼的整數部分為。，小數部分為從

⑴求a,b的值；

（2）求/+6—而的值.

【變式14-3]（24-25七年級?浙江杭州?期中）

56.以下是小明與老師之間的對話：

小明：張老師，我們知道指是無理數，無理數就是無限不循環(huán)小數，那該如何表示出它的

試卷第12頁，共24頁

小數部分呢？

老師：小明，因為遙的整數部分是2,所以將這個數減去其整數部分，差就是小數部分，

即痛-2.

根據上述對話內容，解答下面的問題：

已知7+VH=x+y,其中x是整數，且0<y<l.

（1/=；y=；

⑵求3X+VH-7的值.

【考點15不等式（組）的整數解問題】

【例15]（22-23八年級?重慶北倍?期中）

-2（x-2）-x<2

57.若關于x的不等式組k-x1最多有2個整數解，且關于y的一元一次方程

------->-----Fx

I22

3（y-1）-2（〉-左）=7的解為非正數，則符合條件的所有整數左的和為（）

A.13B.18C.21D.26

【變式15-11

f2x+m<0

58.已知關于x的不等式組/八的所有整數解的和為一5,則用的取值范圍

[x+4>0

為.

【變式15-2]（20-21八年級?上海虹口?期中）

\x-a>1

59.已知關于x的不等式組c的整數解共有5個，且關于了的不等式即-IV-y的

解集為y2-----7，則a的取值范圍_______.

Q+1

【變式15-3]（23-24八年級?北京?期中）

60.（1）關于％的不等式-2<工<3有個整數解；

[x—k<4k+2

（2）若關于x的不等式組（左為常數，且為整數）恰有5個整數解，則后的

[x<2x-3k

取值為;

（3）若關于x的不等式"<x<g+3）左（左和。為常數，且為整數）恰有6個整數解，則

試卷第13頁，共24頁

共有組滿足題意的人和。.

【考點16不等式組的有解或無解問題】

【例16】（2021?湖北襄陽?一模）

3x+a<2x,

61.已知不等式組15.有解但沒有整數解，則。的取值范圍為.

[33

【變式16-1]

[x>afx>3-a

62.若不等式組/人無解，則不等式組,人的解集是（）

[x<b

A.x>3-aB.x<3-bC.3-a<x<3-bD.無解

【變式16-2】

x-2（x-l）<3

63.關于x的方程左-2x=3（左-2）的解為非負數，且關于工的不等式組2左+有解,

-------->x

[3

則符合條件的整數后的值的和為.

【變式16-3]

64.從一2,-1,0,1,2,3,5這七個數中，隨機抽取一個數記為m,若數m使關于x的不等

fx>m+2

式組c，、”1無解，且使關于X的一元一次方程（m—2）x=3有整數解，那么這六

[-2x-1>4m+1

個數所有滿足條件的m的個數有（）

A.1B.2C.3D.4

【考點17利用不等式的基本性質求最值】

【例17]（20-21八年級?江西景德鎮(zhèn)?期中）

65.已知非負數X,y,z滿足.芋=平=9.，設W=3x-2y+z,則W的最大值

與最小值的和為（）

A.-2B.-4C.-6D.-8

【變式177]（23-24八年級?江蘇南通?期末）

66.已知非負數a,b,c滿足條件3a+26+c=4,2a+6+3c=5,設s=5a+46+7c的最大

值是加，最小值是小貝!!"?+"的值為.

【變式17-2]（20-21八年級?湖北黃石?期末）

67.已知實數“，b,滿足lVa+6V4,OWa-bW1且2b有最大值，則8。+20216的值

試卷第14頁，共24頁

是.

【變式17-3](23-24八年級?北京?期末)

68.已知，X2,%3，*4，”5為正整數，且玉</<*3<“4<“5，右

x1+x2+x3+x4+x5=2024,貝ijM+工2+工3的最大值為.

【考點18方程與不等式(組)的實際應用】

【例18】(22-23八年級?重慶九龍坡?階段練習)

69.某家具店經銷/、8兩種品牌的兒童床，已知/品牌兒童床的售價為4200元，利潤率

為20%,B品牌兒童床的成本價為4200元，而每張2品牌兒童床的售價在成本的基礎上增

長了！.

(1)該店銷售記錄顯示，四月份銷售48兩種兒童床共20張，且銷售/品牌兒童床的總利潤

與2品牌兒童床總利潤相同，求該店四月份售出48兩種品牌的兒童床的數量；

(2)根據市場調研，該店五月份計劃購進這兩種兒童床共30張，要求購進8品牌兒童床張數

不低于/品牌兒童床張數的70%,而用于購買這兩種兒童床的資金不超過115000元，請通

過計算設計所有可能的進貨方案：

(3)在(2)的條件下，該店打算將五月份按計劃購進的30張兒童床全部售出后，所獲得利

潤的10%用于購買甲、乙兩款教學儀器捐贈給某希望小學.已知購買甲款儀器每臺300元,

購買乙款儀器每臺130元，且所捐的錢恰好用完，求該店捐贈甲，乙兩款儀器的數量.

【變式18-1](23-24八年級?廣東韶關?期末)

70.快遞公司為提高快遞分揀的速度，決定購買機器人來代替人工分揀.已知購買甲型機器

人1臺，乙型機器人2臺，共需7萬元；購買甲型機器人2臺，乙型機器人3臺，共需12萬

元.

(1)甲，乙兩種型號機器人的單價各為多少萬元？

(2)已知1臺甲型和1臺乙型機器人每小時分揀快遞的數量分別是1400件和1200件，該公司計

劃最多用16萬元購買6臺這兩種型號的機器人，且至少購買甲型機器人3臺，請問有哪幾種

購買方案?哪種方案能使每小時的分揀量最大？

【變式18-2]

71.某手機經銷商計劃同時購進一批甲、乙兩種型號的手機，若購進2部甲型號手機和1部

乙型號手機，共需要資金2800元；若購進3部甲型號手機和2部乙型號手機，共需要資金

4600元.

試卷第15頁，共24頁

（1）求甲、乙型號手機每部進價為多少元？

（2）該店計劃購進甲、乙兩種型號的手機銷售，預計用不多于1.8萬元且不少于1.74萬元的

資金購進這兩種型號的手機共20臺，請問有幾種進貨方案？

（3）售出一部甲種型號手機，利潤率為40%,乙型號手機的售價為1280元.為了促銷，公司

決定每售出一臺乙型號手機，返還顧客現金加元，而甲型號手機售價不變，要使（2）中所

有方案獲利相同，求機的值.

【變式18-3］（23-24八年級?江蘇南通?期中）

72.【綜合與實踐】根據以下信息1?3,探索完成設計購買方案的任務1?3.

信息1：某校初一舉辦了科技比賽，學校為獲獎的40名同學每人購買一份獎品，獎品分為

A,B,C三類.

信息2：若購買2份/獎品和3份8獎品共需220元；購買3份/獎品和2份8獎品共需

230元.單獨購買一份C獎品需要15元.

信息3：計劃獲N獎品的人數要少于獲8獎品的人數.購買時有優(yōu)惠活動：每購買1份/

獎品就贈送一份C獎品.

任務1：求/獎品和2獎品的單價；

任務2：若獲“獎品的人數等于獲C獎品的人數，且獲得/獎品的人數超過10人，求此次

購買/獎品有幾種方案；

任務3：若購買獎品的總預算不超過1150元，要讓獲/獎品的人數盡量多，請你直接寫出

符合條件的購買方案.

【考點19哥的運算的逆用】

【例19］（24-25七年級?湖北武漢?階段練習）

73.若。加=20,加=20,ab=20,貝！|--=.

mn

【變式19-1］（24-25七年級?四川巴中?期中）

74.已知2*+2.3,+2=36、T,則》=.

【變式19-2］（24-25七年級,安徽滁州?期中）

75.已知X=28+2L

（1）若》=機2,則自然數機=；

（2）若x+2"是一個完全平方數，則自然數"=.

【變式19-3］（24-25七年級?浙江溫州?期中）

試卷第16頁，共24頁

76.已知整數。、b、c、d滿足a<b<c<"且2"3"4°5"=10000,貝!|4a+36+2c+d的值為.

【考點20多項式乘積不含某項求字母的值】

【例20］（24-25七年級?湖北武漢?期中）

77.如圖，一個長方形被分成四塊：兩個小長方形，面積分別為Sj,S2,兩個小正方形，

面積分別為S3,S4,若2S1—S2的值與AB的長度無關，則邑與S4之間的關系是.

【變式20-1］（24-25七年級?福建泉州?期末）

78.對于多項式x-a,x-b,x-c,x-d（a,b,c,d是常數）,若x-a與x-6的積減

去x-c與x-d的積，其差為常數，則0,b,c,d應滿足的關系是（）

A.a+6=-c—dB.a-b—c—d

C.a+b=c+dD.ab=cd

【變式20-21（24-25七年級?四川巴中?期中）

79.若（x2+"x+3）（—-3x+M的展開式中不含X?和x'項，貝！|加+”=.

【變式20-3］（24-25七年級?安徽淮北?期中）

80.［知識回顧］

有這樣一類題：

代數式ax-y+6+3x-5y-l的值與x的取值無關，求a的值；

通常的解題方法；

把x,V看作字母，?？醋飨禂岛喜⑼愴棧驗榇鷶凳降闹蹬cx的取值無關，所以含無項的

系數為0,即原式=（"+3）x—6y+5,所以“+3=0,即a=-3.

A

b

-D

圖1圖2

試卷第17頁，共24頁

［理解應用］

（1）若關于x的多項式（2加-3）x+2加2-3m的值與x的取值無關，求m的值;

（2）已知3［（2x+l）（x-l）-x（l-3力］+6（—2+初一1）的值與x無關，求夕的值;

（3）（能力提升）如圖1,小長方形紙片的長為.、寬為6,有7張圖1中的紙片按照圖2方

式不重疊地放在大長方形內，大長方形中有兩個部分（圖中陰影部分）未被覆蓋，

設右上角的面積為H，左下角的面積為邑，當N2的長變化時，百-$2的值始終保持不變,

求。與6的等量關系.

【考點21多項式乘多項式與圖形面積】

【例21】（24-25七年級?云南迪慶?期中）

（1）【知識探究】如圖1,是用長為2a,寬為2b的長方形，沿圖中虛線均分成四個小長方形,

然后按照圖2拼成一個正方形，可以得到（。-6）2、（。+6）2、湖三者之間的等量關系式：

（2）【知識遷移】類似的，用兩種不同的方法計算同一個幾何體的體積，也可以得到一個等

式，如圖3,觀察大正方體分割，寫出可以得到的等式；若“+6=6,

ab=1,求a'+J的值;

（3）【拓展探究】如圖4,兩個正方形/88、CKFG的邊長分別為x,y（x>y）若這兩個正

方形的面積之和為34,且3￡=8,求圖中陰影部分的面積.

【變式21-1］（24-25七年級?北京?期中）

82.長方形窗戶ABCD（如圖1）,是由上下兩個長方形（長方形NEED和長方形￡23）

的小窗戶組成，在這兩個小窗戶上各安裝了一個可以朝水平方向拉伸的遮陽簾，這兩個遮陽

簾的高度分別是。和2b（即。尸=a,BE=2b）,其中a>6>0.當遮陽簾沒有拉伸時（如

圖1）,若窗框的面積不計，則窗戶的透光面積就是整個長方形窗戶（即長方形的

試卷第18頁，共24頁

面積.如圖2,上面窗戶的遮陽簾水平向右拉伸2a至G”.當下面窗戶

的遮陽簾水平向左拉伸2b時，恰好與GE■在同一直線上（即點G、H、P在同一直線上）.

圖I圖2圖3

⑴求長方形窗戶N8C。的總面積；（用含。、6的代數式表示）

22

⑵如果上面窗戶的遮陽簾拉伸至=下面窗戶的遮陽簾拉伸至。處時，窗

戶的透光面積恰好為長方形窗戶/BCD面積的一半，求：.

b

【變式21-2]（24-25七年級?福建福州?期中）

83.我國著名數學家華羅庚先生曾經說過：“數缺形時少直觀，形少數時難入微；數形結合

百般好，隔離分家萬事休.”可見，數形結合思想在解決數學問題，理解數學本質上發(fā)揮著

重要的作用.在一節(jié)數學活動課上，老師帶領同學們在拼圖活動中探尋整式的乘法的奧秘.

情境一如下圖，甲同學將4塊完全相同的等腰梯形木片拼成如下兩個圖形，請你用含“、b

的式子分別表示圖1和圖2中陰影部分的面積，并說明由此可以得到什么樣的乘法公式；

情境一

田1

情境二乙同學用1塊A木片、4塊8木片和若干塊。木片拼成了一個正方形，請直接寫出所

拼正方形的邊長（用含b的式子表示），并求所用C木片的數量；

情境二

情境三丙同學聲稱自己用以上的A,B,C三種木片拼出了一個面積為21+7a6+4〃的長

試卷第19頁，共24頁

方形；丁同學認為丙同學的說法有誤，需要從中去掉一塊木片才能拼出長方形.

你贊同哪位同學的說法，請求出該情況下所拼長方形的長和寬，并畫出相應的圖形.(要求:

所畫圖形的長、寬與圖樣一致，并標注每一小塊的長與寬).

【變式21-3](24-25七年級?黑龍江哈爾濱?期中)

84.八年級數學老師在集體備課中，發(fā)現利用“面積法”說明整式的乘法有助于學生的理解,

為此老師們用硬紙卡制作了如下的學具(外。的正方形6x6的正方形5,的長方

形C),

(1)在一節(jié)課的探究中，小高老師利用1張/和1張C拼出如圖1所示的長方形，利用“面積

法”可以得出的整式乘法關系式為

(2)在隨后的探究中，小高老師在上課時則給同學們發(fā)了很多硬紙片(ax”的正方形bxb

的正方形3,4x6的長方形C),并要求同學們用2張1張2和3張C拼成一個長方形,

請你在框1中畫出對應的示意圖，并將利用面積法得出的整式乘法關系式補充完整；

()()=2a2+3ab+b2

(3)小朱老師在設計本單元的階梯作業(yè)時，給出如圖2所示的示意圖，請結合圖例，在橫線

上添加適當的式子，使等式成立；

試卷第20頁，共24頁

+=2a2+2b2

(4)小威老師在培優(yōu)群中布置了一道思考題：已知(。+耳+(。-6)2=40,求24+6的最大值,

請認真思考，并完成解答.

【考點22整式乘法中的規(guī)律性問題】

【例22】(24-25七年級?四川眉山?期中)

85.觀察下列各式：

(x-l)(x+l)=X2-1;

(X_l)(x2+x+l)=x3-1;

(x-l)(x3+x2+x+l)=x4-1;

根據規(guī)律計算：22022—22021+22儂一2沏9+……++2?-2的值是()

22023—2

A.-——-B.22023-1C.-22023

3

【變式22-1](24-25七年級?廣西南寧?期中)

86.閱讀：在計算+...+X+1)的過程中，我們可以先從簡單的、特殊的

情形入手，再到復雜的、一般的問題，通過觀察、歸納、總結，形成解決一類問題的一般方

法，數學中把這樣的過程叫做特殊到一般.如下所示：

⑴【觀察】①(x-l)(x+l)=；

②(x-l乂X。+x+l)=；

(3)(x-1)+x~+x+l)=；.......

⑵【猜想】由此可得：(x-i)(y,+x,,-1+x"-2+...+x+i)=；

(3)【應用】請運用上面的結論,解決下列問題:計算：52024+52023+52022+52()2I+...+5+lW

值.

【變式22-2](24-25七年級?廣東湛江?期末)

87.觀察并驗證下列等式：

13+23=(1+2)2=9,

試卷第21頁，共24頁

13+23+33=(1+2+3)2=36,

l3+23+33+43=(l+2+3+4)2=100,

(1)續(xù)寫等式：F+r+33+甲+5'=；(寫出最后結果)

⑵我們已經知道1+2+3+…+"=根據上述等式中所體現的規(guī)律，猜想結論：

I3+23+3?H-----—1)+723=;(結果用因式乘積表示)

(3)利用(2)中得到的結論計算：

33+63+93+---+573+603；

【變式22-3](24-25七年級?河南商丘?期末)

88.日歷與人們日常生活密切相關，日歷中蘊含著豐富的數學問題.如圖，在2025年1月份

的日歷中，兩個長方形中四個角上的數字交叉相乘，再相減，例如7x20-6x21=

11x16-9x18=,不難發(fā)現，結果都是.

2025年1月

日二三四五六

1234

567891011

12131415161718

19202122232425

262728293031

(1)完成上面的填空.

(2)請你再選擇兩個類似的長方形框試一試，看看是否符合這個規(guī)律.

(3)若設每個方框的左上角數字設為"，請你利用整式的運算對以上的規(guī)律加以證明.

【考點23整式乘法中的恒成立問題】

【例23](24-25七年級?上海?期中)

89.m、〃為正整數，如果(-1)”=-優(yōu)"'成立，那么()

A.加必為奇數B.”必為奇數

C.加、"必同為奇數D.加、〃必同為偶數

【變式23-1](24-25七年級?安徽安慶?階段練習)

90.等式x(2x+a)+4x-3b=2x~+5x+6成立，貝|a=,b=.

試卷第22頁，共24頁

【變式23-2](24-25七年級?福建泉州?期中)

91.若規(guī)定°、6兩數之間滿足一種運算：記作即：若貝ij(a,b)=c.我們叫

這樣的數對稱為''一青一對".例如:因為3。=9,所以(3,9)=2.

(1)計算(4,2)+(4,3)=()；

(2)在正整數指數基的范圍內，若(42>4,5m)2(4,5)恒成立，且x只有兩個正整數解，則發(fā)

的取值范圍是.

【變式23-3](24-25七年級?浙江寧波?期末)

92.對X/定義一種新運算產，規(guī)定：F(x,y)=(mx+ny)(3x-y)(其中機,“均為非零常

數).例如：F(l,l)=2m+2n,F(-l,0)=3m.當>(1,-1)=一8,尸(1,2)=13,則

尸(尤/)=;當/彳/時，尸(x,y)=F(y,x)對任意有理數xj都成立，則加,〃滿足

的關系式是.

【考點24因式分解的應用】

【例24]

93.解答下列各題：

(1)分角星因式：qb+a+6+1；

(2)若a,b(Q>6)都是正整數且滿足仍-。-6-4=0,求a+b的值；

(3)若〃，6為實數且滿足。6-。一6-5=0,S=2a2+3ab+b2+5a-b,求S的最小值.

【變式24-11(24-25八年級上?陜西延安?期末)

94.在學習完“因式分解”后，為了開拓學生的思維，宋老師在黑板上寫了題目：

因式分解：x2-xy+6x-6y.下面是甜甜的解法：

解：x2-xy+6x-6y

=^x2-xy^+^6x-6y^(分組)

=x(x-y)+6(x-y)(提公因式)

=(x-y)(x+6).

請利用上述方法，解答下列各題：

(1)因式分解：m2—2m+2n—mn;

試卷第23頁，共24頁

⑵己知的三邊凡仇。滿足-ac+6c=0,判斷△4BC的形狀，并說明理由.

【變式24-21（24-25八年級上?江蘇南通?期末）

95.若一個關于x的二次三項式能分解成。（x-m）（x-〃）（其中。為實數，m,"為正整數）

的形式，則稱這個多項式關于》=歲對稱.例如：2X2-8X+6=2（X-1）（X-3）,則

1+3

2x2-8x+6關于x=---=2對稱.

2

（1）