2024-2025學年滬科版七年級數(shù)學下冊專項復習：因式分解【十大題型】

專題8.4因式分解【十大題型】

【滬科版2024]

A題型梳理

【題型1整式乘法與因式分解的關系】...........................................................3

【題型2利用因式分解求值】....................................................................4

【題型3利用因式分解進行簡便運算】...........................................................6

【題型4利用因式分解解決整除問題】...........................................................8

【題型5利用因式分解確定三角形的形狀】.......................................................11

【題型6因式分解的實際應用】.................................................................13

【題型7利用整體思想進行因式分解】..........................................................17

【題型8因式分解中的新定義問題】............................................................23

【題型9利用添項進行因式分解】..............................................................26

【題型10利用拆項進行因式分解】..............................................................28

?舉一反三

知識點1：因式分解

1-因式分解

定義：把一個多項式化成幾個整式的積的形式，像這樣的式子變形叫做這個多項式的因式分解，也叫做把

這個多項式分解因式.

【注意】

(1)因式分解是針對多項式而言的，一個單項式本身就是數(shù)與字母的積，不需要再分解因式；

(2)因式分解的結果是整式的積的形式，積中幾個相同因式的積要寫成幕的形式；

(3)因式分解必須分解到每一個因式都不能再分解為止；

(4)因式分解與整式乘法是方向相反的變形，二者不是互為逆運算.因式分解是一種恒等變形，而整式乘

法是一種運算.

2.用提公因式法分解因式

(1)公因式的定義：一個多項式各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式.

(2)怎樣確定公因式(五看)：

一看系數(shù)：若各項系數(shù)都是整數(shù)，應提取各項系數(shù)的最大公因數(shù)；

二看字母：公因式的字母是各項相同的字母；

三看字母的指數(shù)：各相同字母的指數(shù)取指數(shù)最低的；

四看整體：如果多項式中含有相同的多項式，應將其看成整體，不要拆開;

五看首項符號：若多項式中首項符號是則公因式的符號一般為負.

(3)提公因式法的定義：

一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提取出來，將多項式寫成公因式與另一個因式

的乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法.

(4)提公因式法分解因式的一般步驟：

①確定公因式：先確定系數(shù)，再確定字母和字母的指數(shù)；

②提公因式并確定另一個因式；

③把多項式寫成這兩個因式的積的形式.

【注意】

(1)多項式的公因式提取要徹底，當一個多項式提取公因式后，剩下的另一個因式中不能再有公因式.

(2)提公因式后括號內(nèi)的項數(shù)應與原多項式的項數(shù)一樣.

(3)若多項式首項系數(shù)為負數(shù)時，通常要提出負因數(shù).

3.用平方差公式分解因式

(1)平方差公式的等號兩邊互換位置，得

t?"-b~=(a+》)(a—6)

語言敘述：兩個數(shù)的平方差，等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積.

(2)特點：①等號左邊是二項式，兩項都能寫成平方的形式，且符號相反；

②等號右邊是兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積.

4.用完全平方公式分解因式

(1)完全平方公式的等號兩邊互換位置，得

a~+2ab+b~=(a+b￥,cr—2ab+b=(a—Z?)2

語言敘述：兩個數(shù)的平方和加上(或減去)這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和(或差)的平方.

(2)特點：①等號左邊是三項式，其中首末兩項分別是兩個數(shù)(或兩個式子)的平方，且這兩項的符號相

同，中間一項是這兩個數(shù)(或兩個式子)的積的2倍，符號正負均可.

②等號右邊是這兩個數(shù)(或兩個式子)的和(或差)的平方.當中間的乘積項與首末兩項符號相同時，是和

的平方；當中間的乘積項與首末兩項的符號相反時，是差的平方.

(3)公式法的定義：

如果把乘法公式的等號兩邊互換位置，就可以得到用于分解因式的公式，用來把某些具有特殊形式的多項

式分解因式，這種分解因式的方法叫做公式法.

【題型1整式乘法與因式分解的關系】

【例1】(23-24八年級?全國?單元測試)已知久+3是k/+%+12的一個因式，則々=.

【答案】-1

【分析】設另一個因式是A%+。,根據(jù)多項式乘多項式法則求出(汽+3)(/cx+a)=kx2+(a+3fc)x+3a=

kx2+x+12,根據(jù)多項式乘多項式得出a+3k=1,3a=12,再求出答案即可.

【詳解】解：設另一個因式是依+a,

則(％+3)(/ex+a),

=kx2+(a+3fc)x+3a

=kx2+%+12,

a+3k=1,3a=12,

解得a=4,k=-1.

故答案為：-1.

【點睛】本題考查了因式分解的定義和整式的乘法，能靈活運用多項式乘多項式法則進行計算是解此題的關

鍵.

【變式1-1](23-24.安徽馬鞍山?八年級期末)若多項式/一2%+2k因式分解后結果是(％+2)(%+外，則々

的值是.

【答案】-4

【分析】本題考查了因式分解的意義，利用整式的乘法與因式分解的關系得出方程組是解題關鍵.

根據(jù)因式分解與整式的乘法互為逆運算，可得答案.

【詳解】解：(%+2)(%+/c)=/+(2+k)x+2k=x2—2x+2k,

2+/c=-2,

解得k=-4.

故答案為：-4.

【變式1-2](23-24八年級.上海長寧?期中)已知多項式一2可分解為兩個整系數(shù)的一次因式的積，

貝必=..

【答案】±1

【分析】利用十字相乘的方法確定出a的值即可.

【詳解】解：%2+ax—2=(%—1)(%+2)或%2+a%—2=(%+1)(%—2)

所以a=±1

故答案為±1.

【點睛】本題考查了因式分解-十字相乘法，熟練掌握十字相乘法是解本題的關鍵.

【變式1-3](23-24八年級?廣西貴港?期中)在將/+加久+門因式分解時，小剛看錯了根的值，分解得(x—

1)(久+6);小芳看錯了"的值，分解得(X-2)(X+1),那么原式/+nix+n正確分解為.

【答案】Cx+2)(x—3)

【分析】利用多項式乘多項式法則先算乘法，根據(jù)因式分解與乘法的關系及小剛、小明沒有看錯的值確定辦

n,再利用十字相乘法分解整式即可.

【詳解】解：(x-1)(x+6)=X2+5X-6,

???小剛看錯了根的值，

??n~~-6；

(x-2)(x+1)-x-2,

??,小芳看錯了〃的值，

.,.m--1.

.".j^+mx+n

-x-6

—(x-3)(x+2).

故答案為：(x-3)(x+2).

【點睛】本題考查了整式的因式分解，掌握十字相乘法、能根據(jù)乘法與因式分解的關系確定相、〃的值是解

決本題的關鍵.

【題型2利用因式分解求值】

【例2】(23-24八年級?安徽六安?階段練習)已知》2一2比一5=0,d=x4-2x3+x2-12%-6,貝l|d的值

為()

A.9B.14C.19D.24

【答案】D

【分析】先對已知等式進行變形，然后對所求式進行因式分解，最后整體代入計算即可.

【詳解】解：—2x—5=0,

.".x2—2%=5,

.".d=x4—2x3+x2-12x-6=x2(x2—2x)+x2—12%—6,

—5x2+x2-12x—6,

=6(%2—2%)—6,

=6x5—6,

=24,

故選：D.

【點睛】此題考查了因式分解的應用，掌握整體代入思想是解決此題關鍵.

【變式2-1](23-24八年級.廣西貴港?期中)已知a-b=5,b-c=-6,則代數(shù)式M-以；--c)的值

為()

A.-30B.30C.-5D.-6

【答案】C

【分析】本題考查因式分解的應用，將代數(shù)式進行因式分解，再利用整體代入法求值即可.

【詳解】解：：。一b=5,b—c=—6,

??CL—C——1,

/.a2—ac—b{a—c)

=a(a—c)—b(a—c)

=(a—c)(a—b)

=5x(-1)

=—5；

故選C.

【變式2-2](23-24八年級?湖南岳陽?期中)若關于x,y的二元二次式%2+7%y-18y2一5%+my-24可

以分解成兩個一次因式的積，則m的值為.

【答案】43或-78

【分析】本題考查了因式分解的意義，可根據(jù)已知條件設出這兩個一次因式分別是％+ay+3與％+by-8,

相乘后根據(jù)多形式相等可求出a、b的值，從而得到答案.

【詳解】解：設％2+7xy—18y2—5%+my—24=(%+ay+3)(%+by—8),

x2+7xy—18y2—5%+my-24=%2+(a+b)xy+aby2—5%+(—8a+3b)y—24,

解得憶了,或『2

???m=-8a+3b=43或m=-8a+3b=-78.

故答案為：43或-78.

【變式2-3］（23-24八年級?河北邯鄲?階段練習）若652XII-352XII的結果為整數(shù),則整數(shù)〃的值不可能是（）

n

A.44B.55C.66D.77

【答案】D

【分析】將竺出上空出和各選項進行因式分解，依次判斷，即可求解，

n

本題考查了，因式分解的應用，解題的關鍵是：熟練掌握提公因式法和公式法進行因式分解.

［詳解］解652x11—352x11_11X（652-352）_11x（65+35）（65-35）_11X100x30_11X23X3X53

nnnnn

A、44=22x11,是11x23x3x53的因子，可使結果為整數(shù)，不符合題意，

B、55=5x11,是11x23><3x53的因子，可使結果為整數(shù)，不符合題意，

C、66=2X3X11,是11x23x3x53的因子，可使結果為整數(shù)，不符合題意，

D、77=7X11,不是11x23x3x53的因子，不可使結果為整數(shù)，符合題意，

故選：D.

【題型3利用因式分解進行簡便運算】

【例3】（23-24八年級.黑龍江大慶.期末）（1—強）（1—專）……（1—高）（1—就!）=

2001

4000

【分析】先利用平方差公式把每一個因數(shù)化為兩個因數(shù)的積，約分后可得余下的因數(shù)，再計算乘法，從而可

得答案.

【詳解】解：（1一表）（1—京）……（1一康）（1一高）

=（1-1）（1+1）（1—1）（1+》……（1-磊）（1+表）（1-嬴）（1+嬴）

=-1X3-X2-4X-X...X1-9-9-8X-2-0-0-0X-19-9-9-X-2-0-01-

22331999199920002000

:—1X-20-0-1

22000

2001

4000

故答案為：黑

【點睛】本題考查的是有理數(shù)的乘法運算，運用平方差公式對有理數(shù)進行簡便運算，掌握以上知識是解題的

關鍵.

【變式3-1](23-24八年級?全國?課后作業(yè))利用因式分解計算：

(1)76x20.22+43x20.22-19x20.22；

(2)3.14X8.752-3.14X7.752；

(3)50X9.52—100X9.5X7.5+50x7.52.

【答案】⑴2022

(2)51.81

(3)200

【分析】(1)提公因式后再進行計算即可；

(2)提公因式后，再用平方差公式計算即可；、

(3)提公因式后，再用完全平方公式進行計算即可.

【詳解】(1)解：76x20.22+43x20.22-19x20.22

=20.22x(76+43-19)

=20.22X100

=2022；

(2)3.14x8.752-3.14x7.752

=3.14x(8.752-7.752)

=3.14x(8.75+7.75)x(8.75-7.75)

=3.14x16.5X1

=51.81；

(3)50x9.52-100x9.5x7.5+50x7.52

=50x(9.52-2x9.5x7.54-7.52)

=50X(9.5-7.5產(chǎn)

=50x4

=200.

【點睛】此題主要考查了因式分解的應用，熟練掌握利用因式分解進行計算是解題的關鍵.

【變式3-2](23-24八年級?重慶沙坪壩?期末)計算：IO?一92+82一72+…+22—12=

【答案】55

【分析】運用因式分解得原式=(10+9)(10-9)+(8+7)(8-7)4-…+(2+1)(2-1).

【詳解】102-92+82-72+---+22-12

=(10+9)(10-9)+(8+7)(8-7)+-+(2+1)(2-1)

=19+15+11+7+3

=55

故答案為：55

【點睛】考核知識點：因式分解應用.利用因式分解將式子進行變形是關鍵.

【變式3-3](23-24八年級?全國?課后作業(yè))利用因式分解簡便計算：

(1)23.7x0.125+76.3X：

(2)49X19.99+52X19.99-19.99.

【答案】⑴12.5

(2)1999

【分析】(1)利用因式分解簡便計算，即可求解；

(2)利用因式分解簡便計算，即可求解.

【詳解】(1)W：23.7x0.125+76.3xi

8

=0.125x(23.7+76.3)

=0.125x100

=12.5

(2)解：49x19.99+52x19.99-19.99

=19.99x(49+52-1)

=19.99x100

=1999

【點睛】本題考查了利用因式分解簡便計算，熟練掌握和運用利用因式分解簡便計算是解決本題的關鍵.

【題型4利用因式分解解決整除問題】

【例4】(23-24八年級?浙江寧波?期末)小磊和小軒在課外練習中碰到了一個問題，需要對多項式式3—2/—

7x+2進行因式分解.小磊認為該整式一定有一個因式x+2,小軒認為必有因式是久-2,兩人找到老師尋

求幫助.老師提供了一個方法：因式分解是整式乘法的逆運算.若整式A能被整式8整除，則8必為4的

一個因式.老師給出了演算方法：

2

X+2X-4X+1

—4x2—7x+2

—4/—8%

%+2

%+2

0

久-2,-7

(1)觀察老師的演算后，你認為同學的想法是對的；

(2)已知多項式產(chǎn)―6/+7久+6的其中一個因式為x-3,請試著根據(jù)老師的方法列出演算過程，并將多項

式/一6/+7久+6進行因式分解；

(3)若多項式/—3久2+mx+71能因式分解成X+1與另一個完全平方式，求TH與n的值.

【答案】(1)小磊

(2)(x-3)(x2-3x-2)

(3)m=0,n=4

【分析】本題主要考查了因式分解的應用，解題的關鍵是理解題意，掌握題目提供的方法.

(1)根據(jù)題目中提供的信息進行解答即可；

(2)根據(jù)老師提供的方法進行解答即可；

2

(3)根據(jù)題意列出豎式，得出％3—3/+mx+n=(%+l)(x—4x+m+4),n-m+4,根據(jù)多項式爐—

3/+mx+72能因式分解成x+1與另一個完全平方式，得出m+4=4,求出Mt、w的值.

【詳解】(1)解：根據(jù)題意可得：(/-2萬2-7%+2)+(x+2)=/-4x+1,

(x3—2x2—7x+2)-?(%—2)=x2—7......12,

.?.該整式一定有一個因式x+2,沒有因式是2,

.??小磊同學的想法是對的；

(2)解：根據(jù)題意得：

2

%_3x-3%-2

.??將多項式/一6/+7久+6進行因式分解為：

X3—6x2+7x+6=(x—3)(/—3%—2).

(3)解：根據(jù)題意得：

x_|_—4%+m+4

0

.".%3—3x2+mx+n=(x+l)(x2—4x+m+4),n=m+4,

多項式/-3%2+mx+ri能因式分解成x+1與另一個完全平方式，

.'.X2—4x+m+4是一個完全平方式，

?*.m+4=4,

.".m—0,n—4.

【變式4-1](23-24八年級?全國?課后作業(yè))若w為任意整數(shù)，如果5+2)2的值總能被4整除，則整

數(shù)上不能取()

A.-3B.1C.2D.5

【答案】C

【分析】本題考查了因式分解的應用，先利用完全平方公式計算，再將代數(shù)式分組為一定被4整除的一組和

需要確定范圍的一組，找到能被整除的數(shù)即可得答案.

【詳解】解：(n+2)2-kn2

=n2+4n+4—kn2

=(1—k)n2+4(n+1).

V(n+2尸—k"的值總能被4整除，w為任意整數(shù)，

；.(1一k)總能被4整除.

整數(shù)人為-3、1、5均滿足條件，故選項A、B、D不符合題意，

整數(shù)人為2,1—k=—1,不能滿足”為任意整數(shù)時(n+2)2—k/的值總能被4整除，

故選：C.

【變式4-2](23-24八年級?全國?競賽)已知：4a—b是11的倍數(shù)，其中a,6是整數(shù)，求證：40a2+2ab-3b2

能被121整除.

【答案】證明見解析

【分析】本題考查了因式分解，整數(shù)的整除性，熟練掌握因式分解是解答本題的關鍵.設4a-b=lln,則

b-4a-lln,先將代數(shù)式40a2+2ab-36?因式分解，再將b的值代入并化簡得121n(2a-3n),即能證

明結論.

【詳解】設4a—b=lln,則b=4a—lln,

40a2+2ab—3b2

—(4a—b)(10a+3b)

=lln[10a+3(4a—lln)]

=121n(2a—3n).

故40a2+2ab-3b2能被121整除.

【變式4-3](23-24八年級?上海?假期作業(yè))試說明：一個三位數(shù)字，百位數(shù)字與個位數(shù)字交換位置后，則

得到的新數(shù)與原數(shù)之差能被11整除.

【答案】證明見解析

【分析】根據(jù)題意，分兩種情況：①個位數(shù)字為0;②個位數(shù)字不為0,根據(jù)不同情況，利用提公因式法因式

分解結合整除的概念列式求解即可得到答案.

【詳解】解：,??這個數(shù)是三位數(shù)，

???百位數(shù)字不能為0,故分兩種情況：①個位數(shù)字為0；②個位數(shù)字不為0；

①當個位數(shù)字為0時，設這個三位數(shù)為100a+10b,b為0—9之間的整數(shù)，

???交換百位數(shù)字與個位數(shù)字后可得新三位字為10b+a,

???(10b+a)-(100a+10/J)=-99a=11X(-9a),

9a是整數(shù)，

/.llx(—9a)能被11整除；

②當個位數(shù)字不為0時，設這個三位數(shù)為100a+10b+c,b為0—9之間的整數(shù)，

???交換百位數(shù)字與個位數(shù)字后可得新三位字為100c+10b+a,

100c+10b+a—100a—10b—c=99c-99a=11(9c—9a),

：9c—9a是整數(shù)，

；.ll(9c-9a)能被11整除.

【點睛】本題考查利用提取公因式法分解因式，用整式表示三位數(shù)是解題的關鍵.

【題型5利用因式分解確定三角形的形狀】

【例5】(23-24八年級?全國?課后作業(yè))已知等腰三角形4BC的三邊長a、b、c均為整數(shù)，且滿足a+6c+b+

ca=24,則這樣的三角形共有個.

【答案】3

【分析】先將a+bc+b+ca=24可以化為(a+b)(c+1)=24,然后根據(jù)24分解為大于等于2的兩個正整數(shù)的

乘積有幾種組合，討論是否符合題意即可得出答案.

【詳解】解：,；a+bc+b+ca=24,

(a+b)+fbc+ca)=24,

(c+1)(6+a)=24,

?.?等腰△ABC的三邊長a、b、c均為整數(shù)，

；.a+b,c+1為大于或等于2的正整數(shù)，

那么24分解為大于等于2的兩個正整數(shù)的乘積有幾種組合2x12,3x8,4x6,6x4,8x3,12x2,

①a+b=2,c+l=12時，c=ll,a+b=2,無法得到滿足等腰三角形的整數(shù)解；

②a+b=3,c+l=8時，c=7,a+b=3,無法得到滿足等腰三角形的整數(shù)解；

③a+b=4,c+l=6時，c=5,a+b=4,無法得到滿足等腰三角形的整數(shù)解；

④a+b=6,c+l=4時，c=3,a+b=6,可以得到a=b=c=3,可以組成等腰三角形；

⑤a+b=8,c+l=3時，c=2,a+b=8,可得a=b=4,c=2,可以組成等腰三角形；

@a+b=12,c+l=2時，可得a=b=6,c=l,可以組成等腰三角形.

???一共有3個這樣的三角形.

故答案是：3.

【點睛】本題考查因式分解的應用及等腰三角形的知識，難度一般，在解答本題時將原式化為因式相乘的形

式及將24分解為大于等于2的兩個正整數(shù)的乘積有幾種組合是關鍵.

【變式5-1](23-24八年級?全國?單元測試)a,b,c為三角形三邊長，a2+ac-b2-be=0,則該三角形形

狀為.

【答案】等腰三角形

【分析】把等式左邊的多項式因式分解，可知a-b=O,進而，可得到答案.

【詳解】?..a2+ac——兒=0,

.,.a2—b2+ac-be=0,即(a—b)(a+6)+(a—b)c=0,

(a—b)(a+b+c)=0,

a+b+c力0

.".a—b—0,即a=b,

,該三角形是等腰三角形.

故答案是：等腰三角形.

【點睛】本題主要考查利用因式分解，判斷三角形的形狀，把等式左邊的多項式利用分組分解法分解因式，

是解題的關鍵.

【變式5-2](23-24八年級?貴州黔西?期中)若三角形的三邊長分別為a、b、c,滿足a2b-a2c+b2c-b3=0,

則這個三角形是()

A.直角三角形B.等邊三角形C.銳角三角形D.等腰三角形

【答案】D

【分析】首先將原式變形為(b-c)(a-b)(a+b)-0,可以得到6-c-0或a-b=0或a+b-0,進而得

到人=<;或￡1=》.從而得出△ABC的形狀.

【詳解】a2b—a2c+b2c—b3=0,

a2(h—c)+b2(c—b)—0,

(b—c)(a2—Z?2)=0,

即(b—c)(a—b)(a+b)=0,

.,.b—c-0或a-b=?；騛+b—0(舍去)，

?.b=C1￡^a=b,

：.AABC是等腰三角形.

故選：D.

【點睛】本題考查了因式分解一提公因式法、平方差公式法在實際問題中的運用，注意掌握因式分解的步驟,

分解要徹底.

【變式5-3](23-24八年級.全國?課后作業(yè))若AABC的三邊a、6、c滿足—c?++2帥一26c=0,則這

個三角形是.

【答案】等腰三角形

【分析】對等式前兩項利用平方差公式進行因式分解，而后兩項提出公因式，然后再進一步因式分解觀察即

可.

【詳解】V—c2+a2+2ab-2bc=0,

(a+c)(a—c)+2b(a—c)=0.

(a—c)(a+c+2b)—0.

：a、b、c是AABC的三條邊，

.,.a+2b+c>0,

.'.a-c—0,即a=c,

.?.△ABC為等腰三角形.

故答案為：等腰三角形.

【點睛】本題主要考查了因式分解的運用，熟練掌握相關方法是解題關鍵.

【題型6因式分解的實際應用】

【例6】(23-24八年級?浙江寧波?期末)學校舉行運動會，由若干名同學組成一個長方形隊列.如果原隊列

中增加54人，就能組成一個正方形隊列；如果原隊列中減少74人，也能組成一個正方形隊列.問原長方

形隊列有多少名同學？

【答案】原隊列有1035人或270人或90人

【分析】本題考查的是因式分解的應用，二元一次方程組的解法；設原隊列有，"人，增加54人后組成axa的

正方形隊列，減少74人后組成bxb的正方形隊列.可得：=巾+54受，再利用因式分解的結果建立方

（b2=m-74（2）

程組解題即可；

【詳解】解：設原隊列有機人,

增加54人后組成axa的正方形隊列，減少74人后組成bxb的正方形隊列.

a2—m+54①

根據(jù)題意得:

b2=m-74②

①一②：a2-b2=128=(a+b)(a-b)=64X2=32x4=16X8

{M譽，解仁

m1—1035；

[a+b=32解得m

Ia—b=4

m2—270；

(a+b=16解得卷［2

〔a—b=8

/.m3=90；

綜上所述，原隊列有1035人或270人或90人

【變式6-1］（23-24八年級?廣西玉林?期末）如圖，要用木板為一幅正方形油畫裝裱邊框，其中油畫的邊長

為4cm,邊框每條邊的寬度為acm,則制作邊框的面積是（）（不計接縫）

A.(4a2+16a)cm2B.16acm2

C.4a2cm2D.(a2+8a)cm2

【答案】A

【分析】本題考查列代數(shù)式，代數(shù)式加減，因式分解的應用，油畫的邊長已知，加框后邊長增加2a,加框后

的面積減去畫的面積就是邊框所需木板面積.解題的關鍵要熟練運用平方差公式化簡所列出的代數(shù)式.

【詳解】解：；(4+2a)2—42

=(4+2a+4)(4+2a-4)

=2a(2a+8)

=(4a2+16a)(cm2),

,制作邊框的面積是(4(J2+16a)cm2.

故選：A.

【變式6-2](23-24?浙江湖州?八年級期末)龍龍設計了一個翻牌游戲：現(xiàn)有對應著編號為1-150的150張

數(shù)字牌，牌分為“正面，，和“反面”兩種狀態(tài)，每翻一次改變相對應數(shù)字牌的狀態(tài)，所有牌的初始狀態(tài)為“反

面”.第1次把所有編號是1的整數(shù)倍的數(shù)字牌翻一次，第2次把所有編號是2的整數(shù)倍的數(shù)字牌翻一次，

第3次把所有編號是3的整數(shù)倍的數(shù)字牌翻一次，……，第150次把所有編號是150的整數(shù)倍的數(shù)字牌翻一

次.問最終狀態(tài)為“正面”的數(shù)字牌共有()

A.9張B.10張C.11張D.12張

【答案】D

【分析】本題考查因數(shù)分解，完全平方數(shù)，理解因數(shù)的意義，完全平方數(shù)的概念是解題的關鍵.所有牌的初

始狀態(tài)為“反面”，翻奇數(shù)次，則狀態(tài)為“正面”，翻偶數(shù)次，則狀態(tài)為“反面”，再根據(jù)因數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)的自

然數(shù)只有完全平方數(shù)，即可求解.

【詳解】解：所有牌的初始狀態(tài)為“反面”，翻奇數(shù)次，則狀態(tài)為“正面”，翻偶數(shù)次，則狀態(tài)為“反面”；

因數(shù)的個數(shù)為奇數(shù)的自然數(shù)只有完全平方數(shù)，1一150中，完全平方數(shù)為1,4,9,16,25,36,49,64,

81,100,121,144；有12個數(shù)，故有12張牌被翻奇數(shù)次，為“正面”的狀態(tài)；

故選：D.

【變式6-3](23-24八年級?浙江金華?期末)根據(jù)素材，完成任務.

利用現(xiàn)有木板制作長方體木箱問題

素

如圖長方體木箱的長、寬、高分別是3a厘米、2a厘米、b厘米.I/---4

材

13a

現(xiàn)有甲、乙、丙三塊木板，甲塊木板鋸成兩塊剛好能做箱底和一個長側面，乙木板鋸

素I|長則|國用面

成兩塊剛好能做一個長側面和一個短側面，丙塊木板鋸成兩塊剛好能做成箱蓋和剩下

卜

材2L^Jj

的一個短側面(厚度忽略不計).

問題解決

任

請用含a,b的代數(shù)式表示這三塊木板的面積.

務1

任若長方體長側面周長和短側面周長差為3厘米，長側面周長和短側面周長之和為23厘米，則甲、乙、

務2丙三塊木板的面積和是多少？

任

若甲木板面積是乙木板面積的3倍，求箱子側面積與表面積的比值.

務3

【答案】任務一：甲木板面積：(3ab+6a2)平方厘米，乙木板面積：5ab平方厘米，丙木板面積：(6a2+2ab)

平方厘米；任務二：57cm2；任務三：5

17

【分析】任務一：根據(jù)題意結合長方形的面積公式列式整理即可；

任務二：由長方體長側面周長和短側面周長差為3厘米，長側面周長和短側面周長之和為23厘米，再建立

方程組求解a,b的值，再列式計算即可.

任務三：由題意可得：6a2+3ab=3x5ab,可得a=2b,再列式計算比值即可；

【詳解】任務一：

解：由題意得：甲木板面積：3a(6+2a)=(3ab+6a2)平方厘米，

乙木板面積：b(3a+2a)=5a6平方厘米，

丙木板面積：2a(3a+b)=(6a2+2ab)平方厘米；

任務二：由題意可得：

(2(3a+b)-2(2a+b)=3

l2(3a+b)+2(2a+b)=23'

解得：

???甲、乙、丙三塊木板的面積和為

6a2+3ab+5ab+6a2+2ab

=12a2+lOab

93

=12x-+10x-x2

42

=27+30

=57(cm2)；

任務三：由題意可得：6。2+3ab=3x5ab,

整理得：6a2—12ab=0,

/.6a(a—2b)=0,

aW0,

/.a—2b=0,

a=2b；

箱子側面積為:2(3ab+2ab)=lOab,

箱子表面積為：lOab+2x6a2=lOab+12a2；

???箱子側面積與表面積的比值為

10ab_20b2_20b2_5

10ab+12a2~20b2+48b2~68b2~17’

【點睛】本題考查了整式混合運算的實際應用，因式分解的應用，二元一次方程組的應用，根據(jù)題意列出甲、

乙、丙三塊木板面積的式子是解題的關鍵.

【題型7利用整體思想進行因式分解】

【例7】(23-24八年級?江西九江?期末)先閱讀材料，再回答問題：

分解因式：(a—b)2—2(a—6)+1.

解：將“a—b”看成整體，令a—b=M,則原式=-2M+1=(M-11，再將a-b=M還原，得到：

原式=(a-b—I)2.

上述解題過程中用到了“整體思想”，它是數(shù)學中常用的一種思想.請你用整體思想解決下列問題：

(1)因式分解:9+6(%+y)+(%+y)2=.

(2)因式分解：x2-2xy+y2-z2=.

(3)若n為正整數(shù)，貝U5+1)5+4)(1+5切+4的值為某一個正整數(shù)的平方.請說明理由.

【答案】(l)(3+x+y)2

(2)(x-y+z)(x-y-z)

(3)理由見解析

【分析】本題考查了因式分解的應用，解題的關鍵是仔細讀題，理解題意，掌握整體思想解決問題的方法.

(1)把(x+y)看作一個整體，直接利用完全平方公式因式分解即可；

(2)原式變形為0-丫尸-z2,再用平方差公式因式分解即可；

(3)將原式轉化為("+5幾+4)(/+5冗)+4,令4+5幾=M,則原式=M(M+4)+4,=(M+2)2=

(〃+571+2)2,根據(jù)n為正整數(shù)得到4+5幾+2也為正整數(shù)，從而說明原式是整數(shù)的平方.

【詳解】(1)9+6(%+y)+(%+y)2

=(3+%+y)2,

故答案為：(3+%+y)2；

(2)x2—2xy+y2—z2,

=(x—y)2—z2,

=(<x—y+z)(x—y—z),

故答案為：(%-y+z)(x-y-z)；

(3)(n+l)(n+4)(n2+5n)+4

=(n2+5n+4)(n2+5n)+4

令n2+5幾=M,

則原式=M(M+4)+4,

=M2+4M+4,

=(M+2)2,

原式=(n2+5n+2)2.

???幾為正整數(shù)，

.??九2+5九+2也為正整數(shù)，

.,?代數(shù)式(九+l)(n+4)(n2+5n)+4的值一定是某一個正整數(shù)的平方.

【變式7-1](23-24八年級.山東荷澤?期末)閱讀材料4利用完全平方公式(a±b)2=小±2必+爐，可

以解決很多的數(shù)學問題.

例如：若a+b=3,ab=1,求小+匕2的值.

解：:a+b=3,ab=1,

(a+Z?)2=a2+b2+2ab=9,

即：a2+62+2=9.：.a2+b2=7.

閱讀材料&在因式分解中，把多項式中某些部分看作一個整體，用一個新的字母代替(即換元法)，不僅

可以簡化要分解的多項式的結構，而且能使式子的特點更加明顯，便于觀察如何進行因式分解，我們把這

種因式分解的方法稱為“換元法”.下面是小明同學用換元法對多項式(%2-2%-1)(/_2%+3)+4進行因

式分解的過程.

解：令％2—2%=y,

原式=(y—i)(y+3)+4(第一步)

=y2+2y+1(第二步)

=(y+1T(第三步)

=(%2—2%+I)2(第四步)

⑴請根據(jù)材料A,解答問題：若％-y=4,%2+y2=40,求盯的值；

⑵請根據(jù)材料3,解答問題：

①在材料5中，老師說，小明同學因式分解的結果不徹底，請你寫出該因式分解的最后結果:

②因式分解：(%+y)2+2(x+y)+1.

(3)綜合運用：

2

若實數(shù)x滿足(2023-x)+(%-2024)2=50,求(2023-%)(%-2024)的值.

【答案】⑴孫=12

(2)①(久一1)3②(％+y+i)2

【分析】本題主要考查了分解因式及其應用，解題關鍵是熟練掌握利用完全平方公式分解因式和換元法分解

因式.

(1)根據(jù)已知條件，利用完全平方公式求出孫即可；

(2)①設久2—2%=y,把含有工的多項式換元成含有y的多項式，然后利用完全平方公式分解因式即可；

②把汽+y當作一個整體，利用完全平方公式分解因式即可；

(3)設2023—x=a,x—2024=b,先求出a,b,根據(jù)已知條件求出小+廬，然后利用(a+6)2=a24-h2+

2ab,求出ab即可.

【詳解】(1)解：—y=4,x2+y2=40,

???(x-y)2=42,

x2+y2—2xy=16,

40—2xy=16,

2xy=24,

xy=12；

(2)①設/—2x=y,

原式=(y-i)(y+3)+4

=y2+2y+1

=(y+l)2

=(%2—2x+l)2

=[(x-l)2]2

=(%-l)4,

故答案為：(X-l)4；

②(x+y)2+2(x+y)+1=(x+y+l)2；

(3)設2023-x=a,x-2024=b,

a+b=2023—%+x—2024=-1,

??,實數(shù)%滿足(2023-x)2+(%—2024)2=50,

.?.層+爐=50,

v(a+b)2=(-1)2,

???a2+62+2ab=1,

50+2ab—It

2ab=-49,

ab,=---4-9-,

2

49

.-.(2023-x)(x-2024)=-y.

【變式7-2](23-24八年級?四川成都?階段練習)小福同學在課后探究學習中遇到題目：分解因式：%(x+1)(%+

2)(x+3)+1.小福同學經(jīng)過幾次嘗試后發(fā)現(xiàn)如下做法：

因式分解：%(%+1)(%+2)(%+3)+1

解:原式=民(久+3)][(久+l)(x+2)]+l

=(x2+3%)(%2+3%+2)+1

設/+3x=M

.?.原式=M(M+2)+1

=M2+2,M+1

=(M+I)2

=(%2+3久+I)2

小福和組內(nèi)同學分享學習心得時總結：

當有四個一次式連續(xù)相乘時，我選擇了每兩個一次式分別乘積；經(jīng)過我多次嘗試，我發(fā)現(xiàn)選擇哪兩個一次

式相乘也很重要，我最后選擇了“常數(shù)之和相等”的分組相乘方式，之后在乘積中有整體出現(xiàn)，選擇了換元完

成分解.

另外，我發(fā)現(xiàn)在劃橫線那個步驟時，有時也會選擇“常數(shù)乘積相等”的分組相乘方式.

小福同學分享了解題方法和學習心得之后很多同學有了自己的思考和理解，紛紛躍躍欲試

請你結合自己的思考和理解完成下列變式訓練：

(1)分解因式：(x-l)(x+1)(%+2)(%+4)+9；

(2)分解因式：(%-6)(%-2)(%+1)(%+3)+9x2.

【答案】⑴(/+3%-1)2

(2)(/-2x-6)2

【分析】(1)根據(jù)常數(shù)之和相等進行分組相乘，然后換元計算即可.

(2)根據(jù)常數(shù)乘積相等進行分組相乘，然后換元計算即可.

【詳解】(1)(x-1)(%+1)(%+2)(%+4)+9

=[(%—1)(%+4)][(x+1)(%+2)]+9

=(x2+3x-4)(%2+3x+2)+9

設/+3x-M,

.,.原式=(M-4)(M+2)+9

=M2-2M-8+9

=M2-2M+1

=(M-l)2

=(%2+3x—l)2；

(2)(x—6)(x—2)(x+l)(x+3)+9x2

=[(x-6)(x+l)][(x—2)(x+3)]+9x2

=(%2—5%—6)(%2+%—6)+9x2

設產(chǎn)一6=M,

原式=(M-5x)("+x)+9x2

—M2—5x2—4Mx+9x2

=M2-4Mx+4x2

=(M-2x)2

=(x2—6—2x)2

=(%2—2%—6)2.

【點睛】本題考查了因式分解的十字相乘法和換元法.看懂和理解題例是解決本題的關鍵.

【變式7-3](23-24八年級.河南洛陽?期中)整體思想是數(shù)學解題中常見的一種思想方法.下面是對多項式

3+2a)(a2+2a+2)+1進行因式分解的解題思路：將“a?+2a”看成一個整體，令a?+2a=x,則原式

=x(x+2)+1=/+2%+1=Q+1)2.再將“無”還原為“a?+2a”即可.解題過程如下：

解：設a?+2a=x,則原式=x(x+2)+1(第一步)

=x2+2x+1(第二步)

=(%+I)2(第三步)

=(a2+2a+I)2(第四步).

問題：

(1)①該同學完成因式分解了嗎？如果沒完成，請你直接寫出最后的結果；

②請你模仿以上方法嘗試對多項式(a2-4a)(a2-4a+8)+16進行因式分解；

(2)請你模仿以上方法嘗試計算：

(1-2-3----2023)x(2+3+…+2024)-(1-2-3----2024)x(2+3+…+2023).

【答案】(1)①該同學沒有完成因式分解；最后的結果為(a+1)3②(a-2>

(2)2024

【分析】本題考查公式法分解因式，理解整體思想是解決問題的前提，掌握完全平方公式的結構特征和必要

的恒等變形是正確解答的關鍵.

(1)①根據(jù)因式分解的意義進行判斷，再利用完全平方公式分解因式即可；

②利用換元法進行因式分解即可；

(2)設a=l-2-3----2023,x=2+3+…+2024,則原式=ax-(a-2024)(x-2024),整體代入

計算即可.

【詳解】(1)①該同學沒有完成因式分解；

設a2+2a=x,則原式=+2)+1(第一步)

=x2+2x+1(第二步)

=(久+1)2(第三步)

=(a2+2a+I)2(第四步)

=[(a+l)2]2

=(a+I)4.

.?.最后的結果為(a+1)4.

②設a?-4a=%,

原式=x(x+8)+16

—x2+8x+16.

=(x+4)2

=(a2-4a+4)2

=(a-2>；

(2)設a=1-2-3--------2023,x=2+3+???+2024,

貝Ul-2-3--------2023-2024=a-2024,2+3+???+2023=x-2024,

a+x=1+2024=2025,

原式=ax-(a-2024)(%-2024)

—ax—ax+2024(a+x)—20242

=2024x2025-20242

=2024x(2024+1)-20242

=20242+2024-20242

=2024.

【題型8因式分解中的新定義問題】

[例8](23-24八年級?浙江衢州?階段練習)對于正整數(shù)?n,若m=pq(p>q>0,且p,q為整數(shù))，當p-q

最小時，則稱pq為ni的“最佳分解”，并規(guī)定/(小)=：如：12的分解有12x1,6x2,4x3,其中4x3,為

12的最佳分解，貝，(12)=].若關于正整數(shù)n的代數(shù)式/(n2+3n)也有同樣的最佳分解，則下列結果不可能

的是()

A112

-C--

B.24D.3

【答案】c

【分析】本題主要考查了因式分解，根據(jù)題意，分別找到n=1,3,6時，根據(jù)新定義逐項分析判斷，即可求解.

【詳解】A、當幾=1時，n2+3n=4=2x2,/(n2+3n)=|=1,故該選項不符合題意；

B、當九=3時，招+=9+9=18=3X6,f(n2+3n)=-=故該選項不符合題意；

C、f(n2+3n)H%故該選項符合題意；

D、當ri=6時，兀2+3幾=54=6X9,f(n2+3n)=~=p故該選項不符合題意；

故選：C.

【變式8-1](23-24八年級.四川成都.期末)定義：任意兩個數(shù)〃，b,按規(guī)則c=a+b-ab擴充得到一個新

數(shù)。，稱所得的新數(shù)c為“鴻蒙數(shù)”，若〃=2,b=/—2%+2,比較瓦。的大小：bc.

【答案】>

【分析】此題考查了整式運算和因式分解的應用能力，關鍵是能準確根據(jù)題意列式、計算、變形.先按照題

意表示出c,再運用作差法比較b與c的大小即可.

【詳解】解：由題意得，當。=2,b=%2-2%+2時，

c=a+b—ab

=2+(%2—2x+2)—2(%2—2x+2)

=2+x2—2x+2—2x2+4%—4

=—x2+2x,

b—c=(%2—2%+2)—(—%2+2%)

=/—2%+2+——2%

=2x2—4%+2

=2(x2—2%+1)

=2(%->0,

b>c,

故答案為：>.

【變式8-2](23-24八年級?河南周口?期末)設加、〃是實數(shù)，定義一種新運算：m0n=(m-n)2.下面

四個推斷正確的是()

A.m?n=n?mB.(m0n)2=m20n2

C.(m?n)?p=m?(n0p)D.m0(n—p)=(m0n)—(m0p)

【答案】A

【分析】各式利用題中的新定義判斷即可.

【詳解】解：根據(jù)題中的新定義得:

A.m0n—(m—n)2,n?m=(n—ni)2,故推斷正確；

B.(m0n)2=[(m—n)2]2=(m—n)4,m20n2=(m2—n2)2=[(m+n)(m—n)]2=(m+n)2(m—n)2,

故推斷不正確；

C.(m0n)0p—(m—n)2鉉)p=[(m—n)2—p]2,m0(n0p)—m0(n—p)2—[m—(n—p)2]2,故

推斷不正確；

D.m0(n—p)=[m—(n—p)]2=(m—n+p)2,(mn)—(m0p)=(m—n)2—(m—p)2=

[(m—n)+(m—p)][(m———p)]=(2m—n—p)(p—n),故推斷不正確.

故選：A.

【點睛】此題考查了整式的運算和因式分解，弄清題中的新