2024-2025學(xué)年北師版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)專項(xiàng)講義+專項(xiàng)練習(xí)：平行四邊形 章末拔尖卷（解析版）

第6章平行四邊形章末拔尖卷

【北師大版】

參考答案與試題解析

一.選擇題（共10小題，滿分30分，每小題3分）

1.（3分）（2024八年級(jí)下.浙江杭州?期中）如圖，已知四邊形4BCD,對(duì)角線4C和BD相交于。，下面選

項(xiàng)不能得出四邊形4BCD是平行四邊形的是（）

A.ABWCD,S.AB=CDB.AB=CD,乙ABD=Z-CDB

C.AO=CO,Z.DAC=^BCAD.AB\\CD,且4D=BC

【答案】D

【分析】根據(jù)平行四邊形的判定逐個(gè)進(jìn)行判斷即可.

【詳解】解：A、依據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，能推出四邊形48CD是平行四邊形，故本

選項(xiàng)不符合題意；

B、由〃BD=NCDB,得出2BIICD,依據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，能推出四邊形4BCD

是平行四邊形，故本選項(xiàng)不符合題意；

C、Z.DAC=乙BCA,AO=CO,Z,AOD=乙COB,

三△COB（AS*,

BO=DO,

,依據(jù)對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形，能推出四邊形力BCD是平行四邊形，故本選項(xiàng)不符合題意；

D、不能推出四邊形2BCD是平行四邊形，故本選項(xiàng)符合題意，

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定的應(yīng)用，能熟記平行四邊形的判定定理是解此題的關(guān)鍵.

2.（3分）（2024八年級(jí)下?山東威海?期中）如果一個(gè)正多邊形每個(gè)內(nèi)角都為140。，那么該正多邊形的邊

數(shù)是（）

A.六B.七C.八D.九

【答案】D

1

【分析】此題主要考查了多邊形的外角與內(nèi)角.首先根據(jù)求出外角度數(shù)，再利用外角和定理求出邊數(shù).

【詳解】解：???正多邊形的一個(gè)內(nèi)角是140。，

.??它的外角是：180。-140。=40。，

360°+40°=9.

即這個(gè)正多邊形是九邊形.

故選：D.

3.（3分）（2024八年級(jí)下?浙江?期中）如圖，E,F分別是平行四邊形2BCD的邊AB,CD上的點(diǎn)，力F與DE相

交于點(diǎn)P,8F與CE相交于點(diǎn)Q,若SMpo=a,SMQC=b,SBABCD=c,則陰影部分的面積為（）

1

A.a+bB.—c—ci—bC.c—2a—bD.2a+b

2

【答案】B

【分析】本題主要考查平行四邊形的性質(zhì)，三角形的面積，解題的關(guān)鍵在于求出各三角形之間的面積關(guān)系.根

據(jù)平行四邊形的面積與三角形的面積公式可得三角形EDC的面積，連接E、F兩點(diǎn)，由三角形的面積公式我

9

們可以推出S/FQ=S〉BCQ'S^EFD=S“DF，所以=S&BCQ，S^EFP=^LADP因此可以推出四邊形EPFQ

的面積就是Sup。+SLBQC.再根據(jù)面積差可得答案.

【詳解】解：連接E、F兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EM1DC于點(diǎn)M,

SMEC=]DC,EM,S團(tuán)ZBCD=DC，EM=c,

_1

c=C，

?,＜、＞DEC2

???四邊形4BCD是平行四邊形，

???AB||CD,

??.△EFC的“邊上的高與ABCF的FC邊上的高相等,

2

S〉EFC=S^BCF，

S"FQ=S^BCQ，

問(wèn)理：S^EFD=SMO產(chǎn)，

S"FP=S^ADP，

?，S^APD=a，S^BQC=b，

A$四邊形EPFQ=a+b'

故陰影部分的面積為=SADEC—S四邊形EPFQ=—a—b.

故選：B.

4.（3分）（2024八年級(jí)下.全國(guó)?課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)D,E,F分別是△ABC的邊AB,BC,CA的中點(diǎn),

連接DE,EF,FD,則圖中平行四邊形的個(gè)數(shù)為（）

【答案】C

【分析】由已知點(diǎn)￡>、E、B分別是AABC的邊AB、BC、C4的中點(diǎn)，根據(jù)三角形中位線定理，可以推出EF//AB

MEF=AD,EF=DB,DF//BCS.DF=CE,所以得到3個(gè)平行四邊形.

【詳解】已知點(diǎn)。、E、P分別是△A8C的邊A8、BC、C4的中點(diǎn)，

J.EF//AB>EF^-1AB^AD,EF=15B=DB,

22

DF//BC^.DF=CE,

四邊形ADER四邊形2OFE和四邊形CEDE為平行四邊形，

故選C.

【點(diǎn)睛】此題考查的是平行四邊形的判定及三角形中位線定理，關(guān)鍵是有三角形中位線定理得出四邊形的對(duì)

邊平行且相等而判定為平行四邊形.

5.（3分）（2024八年級(jí)下?福建廈門?期中）如圖，在平行四邊形4BCD中，連接BD,且BD=CD,過(guò)點(diǎn)2作

AM18D于點(diǎn)M,過(guò)點(diǎn)。作DN148于點(diǎn)N,且。N=4,在DB的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)P,滿足乙48。=^.MAP+

3

Z.PAB,貝MP=()

A.4B.4V2C.4V3D.5

【答案】B

【分析】根據(jù)2。=CD,AB=CD,可得8。=BA,再根據(jù)AM1BD,DNLAB,即可得到AM=DN=4,

依據(jù)NABD=^MAP+APAB,/LABD=NP+/.BAP,即可得到4APM是等腰直角三角形，即可得到4P的

值.

【詳解】解：???四邊形力BCD是平行四邊形，BD=CD,

：.AB=CD,

：.BD=BA,

又DNLAB,DN=4,

11

：.S^ABD=\BD-AM=\AB-DN,

：.AM=DN=4,

；4ABD=^MAP+^PAB,^ABD=zP+4BAP,

：.LP=/.PAM,

...△4PM是等腰直角三角形，

:.PM=a”=4,

：.AP=y/PM2+AM2=7畢+42=4夜.

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形外角的性質(zhì)，三角

形的面積等知識(shí)點(diǎn).證明△4PM為等腰直角三角形是解題的關(guān)鍵.

6.（3分）（2024八年級(jí)下?海南?？?期中）如圖，在RtAABC中，ZC=90°,AC=6,BC=8,D,E

分別是BC,AC的中點(diǎn)，連接DE.以點(diǎn)A為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)度為半徑作弧，分別交AC,4B于點(diǎn)M,N-,以點(diǎn)

。為圓心，4M長(zhǎng)為半徑作弧交DE于點(diǎn)P；以點(diǎn)尸為圓心，MN長(zhǎng)為半徑作弧，交前面的弧于點(diǎn)Q；作射線DQ

交4B于點(diǎn)F.貝MF的長(zhǎng)為（）

4

c

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】首先根據(jù)勾股定理求出4B,根據(jù)三角形中位線的性質(zhì)得出DEII4B,=根據(jù)作圖可得44=

乙EDF,進(jìn)而證明四邊形4EDF是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形對(duì)邊相等，可得4F=DE=5.

【詳解】解：??,在RtAABC中，NC=90。，AC=6,BC=8,

???AB=>JAC2+BC2=V62+82=10,

???D,E分別是BC,4C的中點(diǎn)，

???DEWAB,DE=^AB=5,

???乙4+乙AED=180°,

由作圖知，4A=4EDF,

.-.乙EDF+/.AED=180°,

AEWDF,

???四邊形4EDF是平行四邊形，

.--4尸=OE=5,

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理、三角形的中位線定理、基本尺規(guī)作圖-作角等于已知角，平行四邊形的性質(zhì)和

判定，解題關(guān)鍵是根據(jù)中位線定理得出0EI3B,DE=飆

7.（3分）（2024八年級(jí)下.湖南岳陽(yáng)?期中）某廣場(chǎng)上一個(gè)形狀是平行四邊形的花壇，分別種有紅、黃、

藍(lán)、綠、橙、紫6種顏色的花，如果有4BIIEFIIDC,BCWGHWAD,那么下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）

A.紅花、綠花種植面積一定相等B.紫花、橙花種植面積一定相等

C.紅花、藍(lán)花種植面積一定相等D.藍(lán)花、黃花種植面積一定相等

5

【答案】c

【分析】由題意得出四邊形4BCD、四邊形DE。"、四邊形BGOF、四邊形4G0E、四邊形C”O(jiān)F是平行四邊形,

得出的面積=△C8D的面積，△￡?。5的面積=4。?！钡拿娣e，△8。6的面積=48。尸的面積，得出四

邊形力GOE的面積=四邊形CHOF的面積，即可得出結(jié)論.

【詳解】解：如圖所示：

VAB\\EF\\DC,BCWGHWAD,

???四邊形4BCD、四邊形DEOH、四邊形BGOF、四邊形4G0E、四邊形CHOF是平行四邊形，

??.△4BD的面積=ACBD的面積，△。。石的面積=4。?！钡拿娣e，△BOG的面積=△8。尸的面積，故A,D選

項(xiàng)正確

二四邊形4G0E的面積=四邊形CHOF的面積，故B選項(xiàng)正確

；.A、B、D正確，C不正確；

故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查平行四邊形的性質(zhì)，利用平行四邊形性質(zhì)比較三角形面積大小，結(jié)合圖形解題較為簡(jiǎn)便.

8.（3分）（2024八年級(jí)下?江蘇無(wú)錫?期中）如圖，在AABC中，ZA=70°,AC=BC,以點(diǎn)B為旋轉(zhuǎn)中心

把A4BC按順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，得到△48L,點(diǎn)4恰好落在4C上，連接CC',則乙4CC'度數(shù)為（）

A.110°B.100°C.90°D.70°

【答案】A

【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，可得證明四邊形力是平行四邊形，進(jìn)而可得結(jié)

果.

6

【詳解】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，AA'BC=AABC,A'B=AB,A'C=AC,BC=BC,

：.^A=^BA'A,

VAC=BC,

：.AA=AABC,AC=BC,

."ABC'=^BA'A,

：.AC||BC,

四邊形4BC，C是平行四邊形，

：.^ACC+Z.A=180°,解得44s=110°,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，平行四邊形的判定與性質(zhì)等知識(shí).解題的關(guān)鍵在于對(duì)知識(shí)的

熟練掌握與靈活運(yùn)用.

9.（2024八年級(jí)下?山東淄博?期中）如圖，在12ABe。中，力B=10,BC=16,點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)廠是團(tuán)4BCD

內(nèi)一點(diǎn)，且NBFC是90。，連接AF并延長(zhǎng)，交CD于點(diǎn)G.若EFII4B,貝|DG的長(zhǎng)為（）

【答案】B

【分析】延長(zhǎng)BF交CD的延長(zhǎng)線于“，可證EF是△BCH的中位線，由中垂線的性質(zhì)可得BC=CH=16,可求

DH=6,由“ASA”可證AABF三△GFH,可得48=GH=10,根據(jù)線段的和差可求解.

【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于

,/四邊形4BCD是平行四邊形,

：.AB=CD=10,ABWCD,

:.乙H=/.ABF,

7

'：EF\\AB,

：.EF\\CD,

是邊BC的中點(diǎn)，

.?.EF是△BC”的中位線，

：.BF=FH,

".'Z-BFC=90°,

CF1BF,

：.CF是的中垂線，

：.BC=CH=16,

：.DH=CH-CD=6,

在△439和4GHF中，

?乙ABH=4H

BF=FH,

/AFB=AGFH

：.AABF=△GFH（ASA）,

：.AB=GH=10,

：.DG=GH-DH=4,

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，線段垂直平分

線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是本題的關(guān)鍵.

10.（3分）（2024八年級(jí)下?北京海淀?期中）如圖，分別在四邊形力BCD的各邊上取中點(diǎn)E,F,G,H,連

接EG,在EG上取一點(diǎn)M,連接過(guò)產(chǎn)作FN||HM,交EG于N,將四邊形力BCD中的四邊形①和②移動(dòng)后

按圖中方式擺放，得到四邊形和aFWE,延長(zhǎng)MC,NF相交于點(diǎn)K,得到四邊形MM'K".下列

說(shuō)法中正確的是（）

①FN=HM

②4K=Z-C

③S四邊形MM'KN'='四邊形4BCD

④四邊形MATK”是平行四邊形

8

A.①②③B.①③④C.①②④D.②③④

【答案】B

【分析】順次連接EFGH,連接交EG于點(diǎn)。，得回EFGH,于是。H=。尸，證明AN。尸三AMOH,即可判

斷①；由對(duì)稱性可得：4M'=4HMG,則由N，F(xiàn)'||NF||即可判定四邊形MATKN，是平行

四邊形，即可判斷④；四邊形MM'KN'是平行四邊形，則NK=NHMN,無(wú)法證明NK==NC,即可

判斷②；四邊形CGNF三四邊形SG'KF',四邊形AEN'F'三四邊形BFNE,四邊形GDHM三四邊形G'AHM',

SS,

^^mHl^CGNF~maimAG：KFr則5四邊形MVKN，=$四邊形謝。，即可判斷③,

【詳解】解：如圖，

順次連接EFGH,連接BD,連接HF交EG于點(diǎn)。，

:分別在四邊形4BCD的各邊上取中點(diǎn)E,F,G,H,

：.EH||BD,EH=^BD,FG||BD.FG=\BD,

：.EH||FG,EH=FG,

四邊形EFGH是平行四邊形，

：.OH=OF,

Z.NOF=乙MOH,

9

,:FN||HM,

:.乙ONF=^0MH,

：￡NOFmAMOH,

：.FN=HM,

故①正確；

由對(duì)稱性可得：乙M'=KHMG,

：.MN'||KM',

???N'F'||NF||HM,

四邊形MM'KN'是平行四邊形，

故④正確；

?.?四邊形MM'KN’是平行四邊形，

???4K=乙HMN,

無(wú)法證明4K=4HMN=ZC,

故②不正確；

依題意，四邊形ZEN'F'三四邊形BENF,四邊形GDHM三四邊形G'AHM',

由題意得，四邊形GNHAT是由GDHM移動(dòng)得到的，

"：AH=HD,

.??四邊形G'AHM，可以看成是四邊形G2HM，以點(diǎn)H為旋轉(zhuǎn)中心，逆（順）時(shí)針旋轉(zhuǎn)180。得到的,

=乙MHD,

即H、M在同一條直線上，4G'AH=AD,乙G'M'H=KHMG,AG'=DG,

：.AG'||DG,GM||G'M',

又?.?四邊形4ENF是由四邊形BENF移動(dòng)后得到的，

：.N'F'||NF,BF||AF',N'F'=NF,BF=AF',

,:NF||N'F',GM||G'M',

：.^G'KF'=NGNF,

同理可得，乙CGN=LAG'K,/.CFN=Z.AF'K,CF=BF=AF',CG=DG=4G',

?:乙CGN=LAG'K,乙CFN=UF'K,乙G'KF'=4GNF,

：.四邊形CGNF三四邊形AG'KF',

S四邊形CGNF=S四邊形AG，KF，'

10

??S四邊形MM'KN'=S四邊形4BCD

故③正確;

故答案為：B.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，中心對(duì)稱及其性質(zhì)，全等形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解決問(wèn)題

的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì).

填空題（共6小題，滿分18分，每小題3分）

11.（3分）（2024八年級(jí)下?山西運(yùn)城?期中）在平行四邊形48CD中，對(duì)角線AC,相交于點(diǎn)。，過(guò)。的

兩條直線分別交邊48,CD,AD,BC于點(diǎn)E、F,G,H.且AB=3,AD=5,BE=DF=1,當(dāng)4G=,

使直線EF,GH把四邊形力BCD的面積四等分.

【答案】|

【分析】過(guò)。作KL14B于點(diǎn)K,交CD于點(diǎn)L,過(guò)點(diǎn)。作PQ14。于點(diǎn)。，交8c于點(diǎn)P,則KL=2OK,PQ=

2OQ,由平行四邊形的面積求出需=|,再證SABOE=SMOG，然后由三角形面積得意=4G=|,即可得出

結(jié)論.本題考查了平行四邊形的性質(zhì)以及三角形、四邊形的面積問(wèn)題，熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，證明

S^BOE=S-oG是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：如圖，過(guò)。作KL14B于點(diǎn)K,交CD于點(diǎn)L過(guò)點(diǎn)。作PQ12D于點(diǎn)Q,交BC于點(diǎn)尸,

由平行四邊形是中心對(duì)稱圖形可知，KL=2OK,PQ=2OQ,

,=AB-KL=AD-PQ,

：.3X2OK=5X2OQ,

?OK5

??--=一，

OQ3

11

?S^AOB=[S平行四邊形718co'S四邊形ZEOG=[S平行四邊形工BCD'

?"△AOB=S四邊形4E0G，

??S^BOE=S^AOG，

???SABOE=；BE.OK=*XOK,SXAOG=\AG-OG,

：.-x1xOK=-AG-OG,

22

：.—=AG=-,

OQ3

?：BE=DF=1,

.?.當(dāng)4G=CH=|時(shí)，直線EF,GH把四邊形2BCD的面積四等分，

故答案為：|.

12.（3分）（2024?河南平頂山?模擬預(yù)測(cè)）如圖，團(tuán)4BCD中，4B=3,BC=4,BE平分乙48。，交4。于

點(diǎn)E,CF平分N8CD,交4。于點(diǎn)F,交BE于點(diǎn)O,點(diǎn)G,X分別是。尸和OE的中點(diǎn)，則GH的長(zhǎng)為.

【答案】1

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得出AB=CO=3,BC=AD=4,AD||BC,結(jié)合平行線的性質(zhì)和角平分

線的定義可證N4BE=N4EB,乙DCF=ADFC,得出4B=4E=3,DC=DF=3,從而可求出EF=2,最

后根據(jù)三角形中位線定理求解即可.

【詳解】解：回ABCD中，AB=3,BC=4,

：.AB=CD=3,BC=AD=4,AD||BC,

C./.AEB=/.CBE,乙DFC=KBCF.

平分乙4BC,CF平分48CD,

...乙ABE=4CBE,乙BCF=KDCF,

：./-ABE=/.AEB,乙DCF=LDFC,

：.AB=AE=3,DC=DF=3.

\"AE+DF^AD+EF,即3+3=4+EF

12

：.EF=2.

,點(diǎn)G,〃分別是。F和OE的中點(diǎn)，

?*.GH是AOEF的中位線，

：.GH=-EF=1.

2

故答案為：1.

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形

中位線定理等知識(shí).證明出48=2E=3,DC=DF=3,并掌握三角形中位線定理是解題關(guān)鍵.

13.（3分）（2024八年級(jí)下?廣東湛江?期中）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都為1,點(diǎn)4、

8、C在網(wǎng)格中的位置如圖所示,建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，使點(diǎn)A、8、C的坐標(biāo)分別為（1,1）、（4,3）、

（6,-2）,在平面直角坐標(biāo)系中找一點(diǎn)。，使以A、B、C、。四點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，請(qǐng)寫

出所有符合條件的點(diǎn)。的坐標(biāo)：

?B

衣

【答案】（9,0）或（—1,6）或（3,-4）

【分析】此題主要考查平行四邊形的判定，分三種情形，可以以4B、47或BC為一條對(duì)角線，畫出平行四邊

形即可.

【詳解】解：根據(jù)題意得，建立如圖直角坐標(biāo)系.

當(dāng)4BIICD,4C||BD時(shí)，心(9,0)；

當(dāng)4。IIBC,4C||BD時(shí)，D2(-l,6)；

13

當(dāng)AB||CD,AD||BC時(shí)，Z)3(3,-4).

故答案為：(9,0)或(-1,6)或(3,-4).

14.(3分)(2024八年級(jí)下?河南平頂山.期中)如圖，乙4+AB+NC+ND+NE+NF+Z_G=n-90。,

貝［jn=.

【答案】6

【分析】連接力B,由三角形內(nèi)角和，以及對(duì)頂角相等，可將N4+NB+NC+AD+NE+NF+NG,轉(zhuǎn)化為

五邊形內(nèi)角和，即可列式求解，本題考查了三角形內(nèi)角和，多邊形內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是：找到已知角的

等角，作出輔助線.

【詳解】解：連接48,設(shè)4。與BG交于點(diǎn)。，

Z~BOA=Z~DOG,(ABO+乙BAO+Z-BOA=/?O+z_G+z.￡)OG=180°,

乙ABO+Z-BAO—4D+乙G,

???N4+NB+NC+ND+NE+NF+NG=n?90°=五邊形力BCEF內(nèi)角和，

由多邊形內(nèi)角和公式可得：入90。=(5—2)x180。，

解得：n=6,

故答案為：6.

15.(3分)(2024八年級(jí)下?湖北武漢?期中)如圖，在平行四邊形2BCD中，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)。,

AB=OB,點(diǎn)E,尸分別是04。。的中點(diǎn)，連接EF,EM1BC于點(diǎn)M,EM交BD于點(diǎn)、N,若NCEF=

45°,FN=5,則線段BC的長(zhǎng)為.

14

AD

【答案】4V5

【分析】設(shè)EF=無(wú)，根據(jù)三角形的中位線定理表示2。=2%,AD||EF,可得NCAD=乙CEF=45。,證明△EMC

是等腰直角三角形，貝I]NCEM=45。，證明AENF三△MNB,貝UEN=MN=|x,BN=FN=5,最后利用

勾股定理計(jì)算x的值，可得BC的長(zhǎng).

【詳解】解：設(shè)EF=x,

?.?點(diǎn)E,歹分別是。4。。的中點(diǎn)，，

.?田產(chǎn)是4。40的中位線，

：.AD=2x,AD||EF

：.^.CAD=Z.CEF=45°,

?；四邊形2BCD是平行四邊形，

：.AD||BC,AD=BC=2x,

J./.ACB=/.CAD=45°,

'：EM1BC,

J.Z.EMC=90°,

?,.AEMC是等腰直角三角形，

."CEM=45°,

連接BE,

AD

9：AB=OB,AE=OE

：.BELAO

：./-BEM=45°,

：.BM=EM=MC=x,

15

：.BM=FE,

易得八ENF三AMNB,

i

：.EN=MN=-x,BN=FN=5,

2

RtABNM中，由勾股定理得：BN2=BM2+MN2,

即52=x2+G%)

解得光=2V5

：.BC=2%=4V5

故答案為：4V5

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定

理；解決問(wèn)題的關(guān)鍵是設(shè)未知數(shù)，利用方程思想解決問(wèn)題.

16.(3分)(2024八年級(jí)下?浙江金華?期中)圖1是四連桿開(kāi)平窗錢鏈，其示意圖如圖2所示，MN為滑

軌，AB.CE、PC、PD為固定長(zhǎng)度的連桿.支點(diǎn)A固定在MN上，支點(diǎn)B固定在連桿CE上，支點(diǎn)。固定在

連桿力B上.支點(diǎn)P可以在MN上滑動(dòng)，點(diǎn)P的滑動(dòng)帶動(dòng)點(diǎn)B、C、D、E的運(yùn)動(dòng).已知MN=30cm,4M=1cm,

AD=15cm,PC=BD=5cm,PD=BC=BE=9cm.窗戶在關(guān)閉狀態(tài)下，點(diǎn)B、C、。、E都在滑軌MN

上.當(dāng)窗戶開(kāi)到最大時(shí)，BC1MN.

(1)若NABC=90。，則支點(diǎn)尸與支點(diǎn)A的距離為cm；

(2)窗戶從關(guān)閉狀態(tài)到開(kāi)到最大的過(guò)程中，支點(diǎn)P移動(dòng)的距離為cm.

圖1圖2

【答案】3聞12

【分析】(1)先證四邊形CBDP是平行四邊形，推出Z4DP=N4BC=90°,再根據(jù)勾股定理解Rt△4DP即

可；

(2)當(dāng)窗戶開(kāi)到最大時(shí)，DP1MN,根據(jù)勾股定理解RtAADP求出力P；當(dāng)關(guān)閉狀態(tài)下，P4=PD+4。=9+

15=24cm,由此可解.

16

【詳解】解：（1）???PC=BD=5cm,PD=BC=9cm,

???四邊形CBDP是平行四邊形，

???BCWDP,

??.Z.ADP=/.ABC=90°,

vAD=15cm,PD=9cm,

???PA=y/AD2+PD2=V152+92=3V34cm.

故答案為：3V34;

（2）?.?當(dāng)窗戶開(kāi)到最大時(shí)，BC工MN,BCWDP,

??.DPJ.MN,

???乙DPA=90°,

???AD=15cm,PD=9cm,

???PA=y/AD2-DP2=5/152—92=12cm；

當(dāng)關(guān)閉狀態(tài)下，PA=PD+AD=9+15=24cm,

.??窗戶從關(guān)閉狀態(tài)到開(kāi)到最大的過(guò)程中，支點(diǎn)尸移動(dòng)的距離為24-12=12cm,

故答案為：12.

【點(diǎn)睛】本題考查平行四邊形的實(shí)際應(yīng)用、勾股定理等，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的性質(zhì)，從根據(jù)實(shí)際

情況構(gòu)建數(shù)學(xué)模型.

三.解答題（共7小題，滿分52分）

17.（6分）（2024八年級(jí)下?湖北武漢.階段練習(xí)）如圖，在平行四邊形4BCD中，點(diǎn)G,以分別是48,CD的中

點(diǎn)，點(diǎn)E、尸在對(duì)角線力C上，且力E=CF.

AD

（1）求證：四邊形EGFH是平行四邊形；

（2）連接8。交4C于點(diǎn)。，若BD=14,AE+CF=EF,求EG的長(zhǎng).

【答案】（1）見(jiàn)解析；

【分析】(1)證A4GE三△CHF(SAS),得GE=HF,/.AEG=/.CFH,貝!j/GEF=得GE||HF,即

17

可得出結(jié)論；

(2)先由平行四邊形的性質(zhì)得出。8=。。=7,再證出ZE=OE,可得EG是△ZB。的中位線，然后利用中

位線定理可得EG的長(zhǎng)度.

【詳解】(1)證明：???四邊形4BCD是平行四邊形，

：.AB\\CDfAB=CD,

J.Z-GAE=乙HCF,

??,點(diǎn)G,H分別是43,CO的中點(diǎn)，

：.AG=CH,

在△AGE和△CHF中，

AG=CH

^GAE=乙HCF,

、AE=CF

:?△4GE三△CHF(SAS),

乙

AGE=HFfZ-AEG=CFH,

:?乙GEF=乙HFE,

：.GE\\HFf

又,：GE=HF,

???四邊形EGFH是平行四邊形；

(2)解：連接8。交/C于點(diǎn)O,

如圖：

???四邊形4BCD是平行四邊形,

A0A=OC,OB=OD,

?:BD=14,

：.0B=0D=7,

*：AE=CF,OA=OC,

：.0E=OF,

18

9：AE+CF=EF,AE=CF,

：.2AE=EF=SOE,

：.AE=OE,

又丁點(diǎn)G是的中點(diǎn)，

???EG是△48。的中位線，

17

：.EG=-0B=

22

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及三角形的中位線定理等知識(shí)點(diǎn)，

熟練掌握平行四邊形判定與的性質(zhì)及三角形中位線定理是解題的關(guān)鍵.

18.(6分)(2024八年級(jí)下?吉林長(zhǎng)春?期中)圖①、圖②、圖③均是7X5的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的

頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，小正方形的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)4B均在格點(diǎn)上.只用沒(méi)有刻度的直尺按下列要求畫圖，所畫圖

形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，不要求寫畫法，保留必要的作圖痕跡.

(1)在圖①中以4、B為頂點(diǎn)畫一個(gè)面積為3的平行四邊形.

(2)在圖②中以4、B為頂點(diǎn)畫一個(gè)面積為4的平行四邊形.

(3)在圖③中以4B為頂點(diǎn)畫一個(gè)面積為10的平行四邊形(正方形除外).

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

(3)見(jiàn)解析

【分析】本題考查作圖-應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖.

(1)畫一個(gè)平行四邊形底為1,高為3即可；

(2)畫兩個(gè)同底的三角形，使底都為4,高都為1即可；

(3)以2B為直角邊，畫兩個(gè)等腰直角三角形組成一個(gè)不是正方形的平行四邊形即可.

【詳解】(1)解：如圖：

19

BC

12aBe。即為所求（答案不唯一）；

EMBCD即為所求（答案不唯一）；

13aBe。即為所求.

19.（8分）（2024八年級(jí)下?山東濟(jì)南?期中）如圖1,小紅沿一個(gè)五邊形廣場(chǎng)周圍的小路，按逆時(shí)針?lè)较?/p>

跑步，小紅每從一條小路轉(zhuǎn)到下一條小路時(shí)，跑步的方向改變一定的角度.

（1）該五邊形廣場(chǎng)ABCDE的內(nèi)角和是一度；

（2）她跑完一圈，跑步方向改變的角度的和是一度；

（3）如圖2,小紅參力口“全民健身，共筑健康中國(guó)”活動(dòng)，從點(diǎn)A起跑，繞湖周圍的小路跑至終點(diǎn)E,若MAIIEN,

且+N2=200。，求行程中小紅身體轉(zhuǎn)過(guò)的角度的和（圖N3+N4+Z.5的值）.

【答案】⑴540

20

(2)360

(3)160°

【分析】(1)根據(jù)五邊形內(nèi)角和求解即可；

(2)跑步方向改變的角度的和即為五邊形的外角和；

(3)延長(zhǎng)NE交于點(diǎn)F,再在五邊形FBCDE中計(jì)算即可.

【詳解】(1)五邊形廣場(chǎng)ABCDE的內(nèi)角和(5-2)X180。=540。,

故答案為：540；

(2)?..跑步方向改變的角度的和即為五邊形的外角和，

二跑步方向改變的角度的和是360度，

故答案為:360；

/.z.1=Z.6

VZ1+Z2=200°

???46+42=200°

???在五邊形FBCDE中46+乙3+44+乙5+42=360°

AZ.3+Z4+Z5=160°

【點(diǎn)睛】考查了多邊形內(nèi)角與外角，關(guān)鍵是熟練掌握多邊形的外角和等于360度的知識(shí)點(diǎn).

20.(8分)(2024八年級(jí)下?浙江?期中)在平行四邊形中，AB=a,BC=b,ZBAD=120°.

21

AD

圖1圖2

(1)若a=b—2,貝=；

(2)如圖1,求對(duì)角線BD的長(zhǎng)(用含a,b的式子表示)；

(3)如圖2,四邊形BCEF也是平行四邊形，連結(jié)4F并延長(zhǎng)交BE于點(diǎn)G,若AG_LBE,AB=3,BC=2,AF=1,

求BE的長(zhǎng).

【答案］⑴2近

(2)對(duì)角線8D的長(zhǎng)為J(手了+(b+3)2

(3)BE的長(zhǎng)為3a

【分析】(1)延長(zhǎng)BC,過(guò)點(diǎn)。作。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,根據(jù)勾股定理和直角三角形的性質(zhì)得出CE及DE的

長(zhǎng)，根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論；

(2)延長(zhǎng)BC,過(guò)點(diǎn)。作DE1BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,根據(jù)NBCD=120。得出ADCE=60°,再由DC=a得出CE=

la,DE=^a,故BE=6+根據(jù)勾股定理即可得出結(jié)論；

(3)過(guò)點(diǎn)。作DH1BC,交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,連接BD、DE,先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出NDCH=60。,

DC=3,在RtADCH中求出CH和DH,再用勾股定理求出BD,然后利用平行四邊形的性質(zhì)求出DE=1且

DE1BE,然后用勾股定理求BE即可.

【詳解】(1)解：如圖1,延長(zhǎng)BC,過(guò)點(diǎn)D作DE1BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,

圖1

???四邊形4BCD是平行四邊形,

???/.BAD=/.ACD=120°,

22

???乙DCE=60°,

vDC=a=2,

CE=-CD=1,DE=—CD=V3.

22

???BC=2,

BE=3,

BD=y/DE2+BE2=J(V3)2+32=2>/3.

故答案為：2A/3；

(2)解：如圖1,延長(zhǎng)BC,過(guò)點(diǎn)。作DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,

???(BCD=120°,

???乙DCE=60°.

???DC=a,

CE=±,DE=

22

BC=b,

：.BE=b+~,

2

BD=VDE2+BE2=J(苧j+；

(3)解：過(guò)點(diǎn)。作交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H,連接80、DE,如圖所示:

???四邊形ZBCO是平行四邊形，AB=3,2LADC=60°,

??.CD=AB=3,乙DCH=乙ABC=^ADC=60°,

???CH1BC,

???乙DHC=90°,

在RtZkDCH中，

23

CH=-CD=-,DH=巫,

222

BD2=BH2+DH2=（2+|）2+符j=19,

???四邊形BCEF是平行四邊形，

???AD=BC=EF,ADWEF,

.??四邊形4DEF是平行四邊形，

：.AF\\DE,AF=DE=1,

AF1BE,

???DE1BE,

：.BE2=BD2-OF2=19-1=18,

BE=3V2.

【點(diǎn)睛】本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理，直角三角形的性質(zhì)，二次根式的混合運(yùn)算.根據(jù)題意

作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形，利用勾股定理求解是解答此題的關(guān)鍵.

21.（8分）（2024八年級(jí)下.貴州黔東南.期中）小紅根據(jù)學(xué)習(xí)平行四邊形的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)平行四邊形進(jìn)行了拓

展探究.

【問(wèn)題探究】

如圖1,在邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的網(wǎng)格中，AABC的三個(gè)頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，請(qǐng)按要求完成下列各題:

（1）在網(wǎng)格中找一點(diǎn)。，畫線段CDIIB4且使CD=B4連接2D；

（2）在括號(hào)內(nèi)填寫根據(jù)：

VCDWBAS.CD=BA,

???四邊形力BCD是平行四邊形（）

【拓展延伸】

（3）如圖2,在四邊形4BCD中，ADWBC,BC=8厘米，2。=9厘米，點(diǎn)尸、。分別從點(diǎn)A、C同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)

P以2厘米/秒的速度由點(diǎn)A向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)。以1厘米/秒的速度由點(diǎn)C向點(diǎn)8運(yùn)動(dòng).當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終

點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng).請(qǐng)問(wèn)：經(jīng)過(guò)幾秒，直線PQ將四邊形4BCD截出一個(gè)平行四邊形？

24

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形

(3)經(jīng)過(guò)1秒或g秒或3秒，直線尸。將四邊形28CD截出一個(gè)平行四邊形48CD

【分析】(1)根據(jù)相關(guān)要求作圖即可；

(2)直接運(yùn)用平行線四邊形的判定性質(zhì)即可解答；

(3)經(jīng)過(guò)x秒，直線PQ將四邊形4BCD截出一個(gè)平行四邊形平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的判定分情況分析

求解即可.

【詳解】(1)解：如圖所示;

(2)解：由平行四邊形的判定定理可得判定四邊形4BCD是平行四邊形的依據(jù)是：一組對(duì)邊平行且相等的四

邊形是平行四邊形.

(3)解：經(jīng)過(guò)尤秒，直線PQ將四邊形4BCD截出一個(gè)平行四邊形平行四邊形，貝人

AP=2x米，。。=(9一2￡)米，CQ=x米，BQ=(8—x)米，

,：AD\\BC,

.,.只需4P=8Q或4P=CQ或P。=8Q或P0=CQ,即得四邊形是平行四邊形.

①由力P=BQ,得：2x=8-x,解得：％=*

②由4P=CQ,得：2x=x,解得：%=0,不合題意，舍去；

③由PD=BQ,得：9-2%=8-%,解得：%=1；

④由PD=CQ,得：9-2%=%,解得：%=3.

答:經(jīng)過(guò)1秒或弓秒或3秒，直線PQ將四邊形ABCD截出一個(gè)平行四邊形.

25

【點(diǎn)睛】本題主要考查了作平行四邊形、平行四邊形的判定等知識(shí)點(diǎn)，掌握平行四邊形的判定定理是解答本

題的關(guān)鍵.

22.(8分)(2024八年級(jí)下?山東濰坊?期中)八年級(jí)我們學(xué)習(xí)了三角形中位線定理：三角形的中位線平行

于第三邊，并且等于第三邊的一半.

【問(wèn)題背景】

已知RtAABC,RtACEF均是等腰三角形，且有公共頂點(diǎn)C,N2BC=NCEF=90。，連接4尸，M是4F的中

點(diǎn)，連接MB,ME.

圖1圖2

(1)【思路探究】

如圖1,當(dāng)CB與CE在同一直線上時(shí)，延長(zhǎng)力B交CF于點(diǎn)D,求證：MBWCF；

(2)【遷移應(yīng)用】

如圖2,當(dāng)N8CE=45。時(shí)，延長(zhǎng)FE,CB交于點(diǎn)G,連接4G,求證：BM=ME.

【答案】(1)見(jiàn)解析

(2)見(jiàn)解析

【分析】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形中位線的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正確作出輔

助線是解題的關(guān)鍵.

(1)先證△BCD為等腰直角三角形，推出AB=8C=BD,進(jìn)而可證為AADF的中位線，根據(jù)中位線的

性質(zhì)可得MB||CF；

(2)延長(zhǎng)48交CE于點(diǎn)D,連接DF,可得△力BC,ABCD,△CEG均為等腰直角三角形，根據(jù)三角形中位線

的性質(zhì)可證ME|XG,再證△4CG三△DCF(ASA),推出DF=4G,即可證明BM=ME.

【詳解】(1)證明：???△ABC,ACEF為等腰直角三角形，

???LBCD=乙BDC=45°,

.?.△BCD為等腰直角三角形，

AB=BC=BD,

26

.??點(diǎn)B為線段4D的中點(diǎn)，

又???點(diǎn)M為線段4尸的中點(diǎn),

為△4DF的中位線，

???MBWCF.

(2)證明：延長(zhǎng)4B交CE于點(diǎn)D,連接DF,則易知△4BC與△BCD均為等腰直角三角形,

AB=BC=BD,AC=CD,

二點(diǎn)B為2D中點(diǎn)，又點(diǎn)M為4F中點(diǎn)，

1

BM^-DF.

2

CEF為等腰直角三角形，Z.BCE=45°,

ACEG為等腰直角三角形，

CE=EF=EG,CF=CG,

.?.點(diǎn)E為FG中點(diǎn)，

又??,點(diǎn)M為4F中點(diǎn)，