2024-2025學(xué)年人教A版高二數(shù)學(xué)下學(xué)期同步訓(xùn)練之列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)

2024-2025學(xué)年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)人教A版高二同步經(jīng)典題精練之

列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)

一.選擇題（共5小題）

1.（2024秋?宜春校級期末）為研究高中生的性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間的關(guān)系，運(yùn)用2X2列聯(lián)表進(jìn)行

檢驗(yàn)，經(jīng)計算心=8.069,參考下表，則認(rèn)為“性別與喜歡數(shù)學(xué)有關(guān)”犯錯誤的概率不超過（）

P（產(chǎn)》依）0.1000.0500.0250.0100.001

ko2.7063.8415.0246.63510.828

A.0.1%B.1%C.99%D.99.9%

2.（2024春?壽光市期中）某學(xué)校在一次調(diào)查“籃球迷”的活動中，獲得了如下數(shù)據(jù)：以下結(jié)論正確的是

（）

男生女生

籃球迷3015

非籃球迷4510

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

P（1X22七)0.100.050.01

k2.7063.8416.635

A.沒有95%的把握認(rèn)為是否是籃球迷與性別有關(guān)

B.有99%的把握認(rèn)為是否是籃球迷與性別有關(guān)

C.在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下，可以認(rèn)為是否是籃球迷與性別有關(guān)

D.在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，可以認(rèn)為是否是籃球迷與性別有關(guān)

3.（2024秋?船山區(qū)校級月考）下列說法錯誤的是（）

A.某校高一年級共有男女學(xué)生500人，現(xiàn)按性別采用分層抽樣的方法抽取容量為50人的樣本，若樣

本中男生有30人，則該校高一年級女生人數(shù)是200

B.數(shù)據(jù)1,3,4,5,7,9,11,16的第75百分位數(shù)為10

C.在一元線性回歸方程中，若線性相關(guān)系數(shù)r越大，則兩個變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)

D.根據(jù)分類變量X與Y的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得至IJx2=3.937,根據(jù)小概率a=0.05值的獨(dú)立性檢驗(yàn)

（XO.O5=3,841）,可判斷X與￥有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05

4.（2024?濱海新區(qū)模擬）下列說法中正確的是（）

A.一組數(shù)據(jù)3,4,2,8,1,5,8,6,9,9的第60百分位數(shù)為6

B.將一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)加上同一個正數(shù)后，方差變大

C.若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)分別為-0.91和0.89,則甲組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度更強(qiáng)

D.在一個2X2列聯(lián)表中，由計算得x2的值，則x?的值越接近1,判斷兩個變量有關(guān)的把握越大

5.（2023秋?信州區(qū)校級期末）下列關(guān)于獨(dú)立性檢驗(yàn)的說法正確的是（）

A.獨(dú)立性檢驗(yàn)是對兩個變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系的一種檢驗(yàn)

B.獨(dú)立性檢驗(yàn)可以100%確定兩個變量之間是否具有某種關(guān)系

C.利用X2獨(dú)立性檢驗(yàn)推斷吸煙與患肺病的關(guān)聯(lián)中，若有99%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系時，我

們則可以說在100個吸煙的人中，有99人患肺病

D.對于獨(dú)立性檢驗(yàn)，隨機(jī)變量X2的觀測值上值越小，判定“兩變量有關(guān)系”犯錯誤的概率越大

二.多選題（共4小題）

（多選）6.（2024秋?黃島區(qū)期末）已知某地區(qū)成年男士的身高（單位：C7"）服從正態(tài)分布N（175,22）,

體重（單位：kg）服從正態(tài)分布N（70,32）.若從該地區(qū)隨機(jī)選取成年男士100人，得到數(shù)據(jù)如下表，

則（）

身高體重合計

大于73kg小于等于73kg

大于177cmaba+b

小于等于177cmcdc+d

總計q+cb+dn=a+b+c+d

附：若X?N3,。2）,則尸（廠oWXWu+。）心0.6827.

2

=…（鑿溜）（b+d），其中……

a0.100.050.0100.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

A.根據(jù)正態(tài)分布估計a+b=16

B.根據(jù)正態(tài)分布估計6+d=84

C.若。=12,根據(jù)正態(tài)分布估計b,c,d的值，基于上述數(shù)值，根據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn),

分析該地區(qū)成年男士身高超過177。"與體重超過73kg相關(guān)聯(lián)

D.若。=12,根據(jù)正態(tài)分布估計4c,d的值，基于上述數(shù)值，根據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn),

分析該地區(qū)成年男士身高超過177c機(jī)與體重超過73kg相互獨(dú)立

（多選）7.（2025?蘇州模擬）為比較甲、乙兩所學(xué)校學(xué)生的數(shù)學(xué)水平，采取簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取88

名學(xué)生.通過測驗(yàn)得到了如下數(shù)據(jù)：甲校43名學(xué)生中有10名學(xué)生數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀；乙校45名學(xué)生中有

7名學(xué)生數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀.整理數(shù)據(jù)如下表：

學(xué)校數(shù)學(xué)成績合計

不優(yōu)秀優(yōu)秀

甲校331043

乙校38745

合計711788

附.2_____________________

xy—(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

參考數(shù)據(jù)：

P(X22xo)=0.1000.0500.0100.005

a

xo2.7063.8416.6357.879

則下列說法正確的有（）

A.甲校的數(shù)學(xué)抽測成績優(yōu)秀率一定比乙校的數(shù)學(xué)抽測成績優(yōu)秀率高

B.甲校的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率一定比乙校的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率高

C.甲校的數(shù)學(xué)優(yōu)秀人數(shù)可能比乙校的數(shù)學(xué)優(yōu)秀人數(shù)多

D.對于小概率值a=0.1,可以認(rèn)為兩校的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率幾乎沒有差異

（多選）8.（2024秋?唐山期末）下列說法正確的是（）

A.若事件A,8相互獨(dú)立，則尸CAB）=P（A）P（B）

B.殘差均勻分布在以橫軸為對稱軸的帶狀區(qū)域內(nèi)，該區(qū)域越窄，擬合效果越好

C.根據(jù)分類變量X與￥的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到x2=7.881>6.635=尤001,則依據(jù)a=0.01的獨(dú)立

性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為“x與y沒有關(guān)聯(lián)”

D.樣本相關(guān)系數(shù)廠的絕對值越接近1,成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)

（多選）9.（2024秋?四川月考）為了研究某校高三年級學(xué)生的性別和身高是否低于170cH7的關(guān)聯(lián)性，研

究小組從該校高三學(xué)生中獲取容量為500的有放回簡單隨機(jī)樣本，由樣本數(shù)據(jù)整理得到如下列聯(lián)表：

單位：人

性別身高合計

低于170cm不低于170cm

女14060200

男120180300

合計260240500

附：f=E噲粽鋁環(huán)司，其中"=a+"c+d.

a0.10.050.01

Xa2.7063.8416.635

小組成員甲用該列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，小組成員乙將該列聯(lián)表中的所有數(shù)據(jù)都縮小為原來的

工后再進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，則下列說法正確的是（）

10

A.依據(jù)a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，小組成員甲可以認(rèn)為該中學(xué)高三年級學(xué)生的性別與身高有關(guān)聯(lián)

B.依據(jù)a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，小組成員甲不能認(rèn)為該中學(xué)高三年級學(xué)生的性別與身高有關(guān)聯(lián)

C.小組成員甲、乙計算出的值相同，依據(jù)a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，他們得出的結(jié)論也相同

D.小組成員甲、乙計算出的x?值不同，依據(jù)a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，他們得出的結(jié)論也不同

三.填空題（共3小題）

10.（2024秋?南通校級月考）隨著國家對中小學(xué)“雙減”政策的逐步落實(shí)，其中增加中學(xué)生體育鍛煉時間

的政策引發(fā)社會的廣泛關(guān)注.某教育時報為研究“支持增加中學(xué)生體育鍛煉時間的政策是否與性別有關(guān)”,

從某校男女生中各隨機(jī)抽取80名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)（10WmW20,相6N*）

支持不支持

男生70-m10+m

女生50+m30-m

若通過計算得，根據(jù)小概率值a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為支持增加中學(xué)生體育鍛煉時間的政策與性別

有關(guān)，則在這被調(diào)查的80名女生中支持增加中學(xué)生體育鍛煉時間的人數(shù)的最小值為.

附：K2=g+盛篇鬻i,其中”=a+b+c+%

a0.0500.0100.0050.001

xo3.8416.6357.87910.828

11.（2024秋?集美區(qū)校級期中）某學(xué)校高一年級一班48名同學(xué)全部參加語文和英語書面表達(dá)寫作比賽,

根據(jù)作品質(zhì)量評定為優(yōu)秀和合格兩個等級，結(jié)果如表所示：若在兩項比賽中都評定為合格的學(xué)生最多為

10人，則在兩項比賽中都評定為優(yōu)秀的同學(xué)最多為人.

優(yōu)秀合格合計

語文202848

英語301848

12.（2024秋?嘉祥縣校級月考）某傳媒公司針對“社交電商用戶是否存在性別差異”進(jìn)行調(diào)查，共調(diào)查了

40“（”CN*）個人，得到如列聯(lián)表.己知無0.05=3.841,若根據(jù)a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為“社交電商用

.參考公式=e微需前而,其中〃

戶存在性別差異”,則n的最小值為=a+Hc+d.

是社交電商用戶不是社交電商用戶合計

男性8〃12〃20n

女性12〃8〃20n

合計20〃20n40〃

四.解答題（共3小題）

13.（2025?鶴壁一模）疫苗保障著人類的生命安全，但隨著病毒的變異，過去用于防治疾病D的疫苗A

逐漸降低了對病毒的有效率，針對疾病。的特效疫苗8在歷經(jīng)了研發(fā)、試驗(yàn)的階段后開始投入使用,

以下為某次試驗(yàn)時的數(shù)據(jù)（生成抗體意味著疫苗起效）.

疫苗A特效疫苗B

生成抗體人數(shù)130160

未生成抗體人數(shù)7040

（I）可否有99.9%把握認(rèn)為特效疫苗2在防治疾病。方面相對于疫苗A有較大提升?

未接種組感染率-接種組感染率夾而量疫苗的真實(shí)效累.在未接

（II）統(tǒng)計學(xué)上通常用疫苗的有效率n=

未接種組感染率

種組感染率全面投入使用特效疫苗8的試點(diǎn)城市/中，疫苗的接種率達(dá)到了95%,若在一段時間內(nèi)統(tǒng)

計得感染疾病D的人群中接種過疫苗B的比例為60%,試評價疫苗B在投入使用之后的表現(xiàn).

n(ad—bc)2

參考公式及數(shù)據(jù)：x2：其中n^a+b+c+d.P(x2^2.706)=0.1,P(x2^

一(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'

6.635)=0.01,P(x2^10.828)=0.001.

14.（2024秋?青山湖區(qū)校級期末）我國探月工程亦稱“嫦娥工程”，2024年6月3日，嫦娥六號完成了人

類首次月球背面智能采樣工作，并在6月下旬?dāng)y帶月球樣品返回地球，為人類進(jìn)一步研究和利用月球資

源提供了保證.為了解不同性別的學(xué)生對探月工程的關(guān)注程度（“十分關(guān)注”與“比較關(guān)注”），學(xué)校隨

機(jī)抽取男生和女生各50名進(jìn)行調(diào)查，數(shù)據(jù)表明：男生中有90%的同學(xué)“十分關(guān)注”，女生中有70%的

同學(xué)“十分關(guān)注”，其他學(xué)生都是“比較關(guān)注”.

（1）根據(jù)條件，列出2X2列聯(lián)表，并判斷是否有99%的把握認(rèn)為對探月工程的關(guān)注程度與性別有關(guān);

（2）學(xué)校為提升同學(xué)們對探月工程的關(guān)注度，在以上“比較關(guān)注”的學(xué)生中運(yùn)用分層抽樣的方法抽取

8人進(jìn)行科普類培訓(xùn)，再從這8人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行重點(diǎn)培訓(xùn)，求這3人中至少有1名男生的概率.

2

附.y2=--------Mad-bc)------苴中=+]j++d

川(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，八中〃na+D+cc+a.

P(x22xo)0.1000.0500.010

X02.7063.8416.635

15.（2024秋?富平縣期末）為了解學(xué)生的年級段和經(jīng)常做家務(wù)的關(guān)聯(lián)性,某小組調(diào)查了某中學(xué)400名學(xué)生,

得到如下列聯(lián)表的部分?jǐn)?shù)據(jù)（單位：人）：

做家務(wù)情況經(jīng)常做家務(wù)不經(jīng)常做家務(wù)合計

年級段

高中學(xué)生50

初中學(xué)生100

合計150

（/）請將列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)補(bǔ)充完善；

（II）判斷能否有99.9%的把握認(rèn)為學(xué)生經(jīng)常做家務(wù)與年級段有關(guān)?

2

附.y2=--------n(ad-bc)----------其中幾=肝加^+(1

叫.X(a+b)(c+d)(a+c)3+dy丹十“〃十"十c十〃.

a0.050.0100.0050.001

Xa3.8416.6357.87910.828

2024-2025學(xué)年下學(xué)期高中數(shù)學(xué)人教A版（2019）高二同步經(jīng)典題精練之

列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)

參考答案與試題解析

題號12345

答案BACCD

選擇題（共5小題）

1.（2024秋?宜春校級期末）為研究高中生的性別與是否喜歡數(shù)學(xué)課程之間的關(guān)系，運(yùn)用2X2列聯(lián)表進(jìn)行

檢驗(yàn)，經(jīng)計算K2=8.069,參考下表，則認(rèn)為“性別與喜歡數(shù)學(xué)有關(guān)”犯錯誤的概率不超過（）

P(聯(lián)(V)0.1000.0500.0250.0100.001

ko2.7063.8415.0246.63510.828

A.0.1%B.1%C.99%D.99.9%

【考點(diǎn)】獨(dú)立性檢驗(yàn).

【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運(yùn)算求解.

【答案】B

【分析】利用K2的值與臨界值比較即可.

【解答】解：因?yàn)镵2=8.069,M6.635<8.069<10.828,

所以認(rèn)為“性別與喜歡數(shù)學(xué)有關(guān)”犯錯誤的概率不超過1%.

故選：B.

【點(diǎn)評】本題主要考了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

2.（2024春?壽光市期中）某學(xué)校在一次調(diào)查“籃球迷”的活動中，獲得了如下數(shù)據(jù)：以下結(jié)論正確的是

（）

男生女生

籃球迷3015

非籃球迷4510

2_n(ad—bc)2

X~(a+b)(c+d)(a+c)Q+d)，

P（乂22左）0.100.050.01

k2.7063.8416.635

A.沒有95%的把握認(rèn)為是否是籃球迷與性別有關(guān)

B.有99%的把握認(rèn)為是否是籃球迷與性別有關(guān)

C.在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下，可以認(rèn)為是否是籃球迷與性別有關(guān)

D.在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，可以認(rèn)為是否是籃球迷與性別有關(guān)

【考點(diǎn)】獨(dú)立性檢驗(yàn).

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運(yùn)算求解.

【答案】A

【分析】根據(jù)列聯(lián)表運(yùn)用公式x2=(a+b)普瑟?：)(b+d)求出乂2值，同臨界值表進(jìn)行比較，得到假

設(shè)不合理的程度.

【解答】解：根據(jù)題目中的列聯(lián)表數(shù)據(jù)，

男生女生合計

籃球迷301545

非籃球迷451055

合計7525100

77

彳曰至lln(ad—bc)_100x(30x10—45x15)

侍為X2-(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)—75x25x45x55■=3.030<3.841

所以，沒有95%的把握認(rèn)為是否是籃球迷與性別有關(guān).

故選：A.

【點(diǎn)評】本題是一個獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們可以利用臨界值的大小來決定是否拒絕原來的統(tǒng)計假設(shè)，若值較

大就拒絕假設(shè)，即拒絕兩個事件無關(guān)，是中檔題.

3.(2024秋?船山區(qū)校級月考)下列說法錯誤的是()

A.某校高一年級共有男女學(xué)生500人，現(xiàn)按性別采用分層抽樣的方法抽取容量為50人的樣本，若樣

本中男生有30人，則該校高一年級女生人數(shù)是200

B.數(shù)據(jù)1,3,4,5,7,9,11,16的第75百分位數(shù)為10

C.在一元線性回歸方程中，若線性相關(guān)系數(shù)r越大，則兩個變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)

D.根據(jù)分類變量X與￥的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到X2=3.937,根據(jù)小概率a=0.05值的獨(dú)立性檢驗(yàn)

■0.05=3,841),可判斷X與V有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05

【考點(diǎn)】獨(dú)立性檢驗(yàn)；分層隨機(jī)抽樣的比例分配與各層個體數(shù)及抽取樣本量；百分位數(shù)；樣本相關(guān)系數(shù).

【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運(yùn)算求解.

【答案】c

【分析】利用分層抽樣計算判斷A;求出第75百分位數(shù)判斷&利用線性相關(guān)系數(shù)的意義判斷C；利

用獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想判斷D.

50-30

【解答】解：對于A,該校高一年級女生人數(shù)是1-=200,故4正確；

500

9+11

對于2,由8X75%=6,得第75百分位數(shù)為-----=10,故3正確；

2

對于C,線性回歸方程中，線性相關(guān)系數(shù)r絕對值越大，兩個變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，故C錯誤；

對于。，由X2=3.937>3.841=XO.O5,可判斷x與y有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05,故。正

確.

故選：C.

【點(diǎn)評】本題主要考查了分層隨機(jī)抽樣的定義，考查了百分位數(shù)的定義，以及獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，屬于

基礎(chǔ)題.

4.（2024?濱海新區(qū)模擬）下列說法中正確的是（）

A.一組數(shù)據(jù)3,4,2,8,1,5,8,6,9,9的第60百分位數(shù)為6

B.將一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)加上同一個正數(shù)后，方差變大

C.若甲、乙兩組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)分別為-0.91和0.89,則甲組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度更強(qiáng)

D.在一個2X2列聯(lián)表中，由計算得x2的值，則x?的值越接近1,判斷兩個變量有關(guān)的把握越大

【考點(diǎn)】獨(dú)立性檢驗(yàn)；用樣本估計總體的離散程度參數(shù)；變量間的相關(guān)關(guān)系.

【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運(yùn)算求解.

【答案】C

【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義可判斷4根據(jù)方差的性質(zhì)可判斷8,根據(jù)相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)可判斷C,根

據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的性質(zhì)可判斷D.

【解答】解：對于A,數(shù)據(jù)從小到大排列為1,2,3,4,5,6,8,8,9,9,

因?yàn)?0X60%=6,所以第60百分位數(shù)為等=7,故A錯誤；

對于8,將一組數(shù)據(jù)中的每一個數(shù)據(jù)加上同一個正數(shù)后，方差不變，故B錯誤；

對于C,由相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)可知，相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1,數(shù)據(jù)的相關(guān)性越強(qiáng)，

因?yàn)閨-0.91|>|0.89|,所以甲組數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度更強(qiáng)，故C正確；

對于。，在一個2X2列聯(lián)表中，由計算得x?的值，則x2的值越大，判斷兩個變量有關(guān)的把握越大,

故。錯誤.

故選：c.

【點(diǎn)評】本題主要考查了百分位數(shù)的定義，考查了方差和相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)，以及獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，屬

于中檔題.

5.（2023秋?信州區(qū)校級期末）下列關(guān)于獨(dú)立性檢驗(yàn)的說法正確的是（）

A.獨(dú)立性檢驗(yàn)是對兩個變量是否具有線性相關(guān)關(guān)系的一種檢驗(yàn)

B.獨(dú)立性檢驗(yàn)可以100%確定兩個變量之間是否具有某種關(guān)系

C.利用x2獨(dú)立性檢驗(yàn)推斷吸煙與患肺病的關(guān)聯(lián)中，若有99%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系時，我

們則可以說在100個吸煙的人中，有99人患肺病

D.對于獨(dú)立性檢驗(yàn)，隨機(jī)變量X2的觀測值左值越小，判定“兩變量有關(guān)系”犯錯誤的概率越大

【考點(diǎn)】獨(dú)立性檢驗(yàn)；變量間的相關(guān)關(guān)系.

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；概率與統(tǒng)計；運(yùn)算求解.

【答案】D

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合獨(dú)立性檢驗(yàn)的定義，即可求解.

【解答】解：對于A,獨(dú)立性檢驗(yàn)是對兩個變量之間是否具有某種關(guān)系的分析，并且可以分析這兩個變

量在多大程度上具有這種關(guān)系，但不能完全肯定這種關(guān)系，故A錯誤，

對于8,獨(dú)立性檢驗(yàn)依據(jù)的是小概率原理，不能100%確定兩個變量之間是否具有某種關(guān)系，故B錯誤，

對于C,從獨(dú)立性檢驗(yàn)可知，有99%的把握認(rèn)為吸煙與患肺病有關(guān)系時，即有99%的把握認(rèn)為這個推理

是正確的，有1%的可能性認(rèn)為推理出現(xiàn)錯誤，故C錯誤，

對于對于獨(dú)立性檢驗(yàn)，隨機(jī)變量x2的觀測值上值越大，則兩變量有關(guān)系的程度越大，即左越大，

判定“兩變量有關(guān)系”犯錯誤的概率越低，故人越小，判定“兩變量有關(guān)系”犯錯誤的概率越大，故。

正確.

故選：D.

【點(diǎn)評】本題主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

二.多選題（共4小題）

（多選）6.（2024秋?黃島區(qū)期末）已知某地區(qū)成年男士的身高（單位：cm）服從正態(tài)分布N（175,22）,

體重（單位：kg）服從正態(tài)分布N（70,32）.若從該地區(qū)隨機(jī)選取成年男士100人，得到數(shù)據(jù)如下表，

則（）

身高體重合計

大于73kg小于等于73kg

大于177cmaba+b

小于等于177cmCdc+d

總計a+cb+dn=a+b+c+d

附：若X?N3,。2),則尸(內(nèi)oWXWu+。)-0.6827.

2_或明一阻苴中,,

_(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，縣中n-a+b+c+d.

a0.100.050.0100.0050.001

Xa2.7063.8416.6357.87910.828

A.根據(jù)正態(tài)分布估計a+b=16

B.根據(jù)正態(tài)分布估計6+d=84

C.若a=12,根據(jù)正態(tài)分布估計b,c,d的值，基于上述數(shù)值，根據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，

分析該地區(qū)成年男士身高超過ITlcm與體重超過73kg相關(guān)聯(lián)

D.若a=12,根據(jù)正態(tài)分布估計6,c,d的值，基于上述數(shù)值，根據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，

分析該地區(qū)成年男士身高超過177c機(jī)與體重超過73kg相互獨(dú)立

【考點(diǎn)】獨(dú)立性檢驗(yàn).

【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運(yùn)算求解.

【答案】ABC

【分析】根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性可判斷A3,根據(jù)題意得到列聯(lián)表，計算乂2的值，與臨界值比較即

可.

【解答】解：因?yàn)槟惺康纳砀?單位：cm)服從正態(tài)分布N(175,22),

1

所以身高大于177c機(jī)的概率尸=/(1-0.6827)=0.15865,

因?yàn)?00X0.15865^16,

所以根據(jù)正態(tài)分布估計a+6=16,故A正確；

因?yàn)轶w重(單位：kg)服從正態(tài)分布N(70,32),

1

所以體重小于等于73kg的概率為尸=0.5+1x0.6827=0.84135,

因?yàn)?00X0.84135心84,

所以b+d的估計值為84,故8正確；

若a=12,則根據(jù)正態(tài)分布估計6=4,1=84-4=80,c=100-12-4-80=4,

所以列聯(lián)表如下：

身高體重合計

大于73kg小于等于73kg

大于177cm12416

小于等于177cm48084

總計1684100

零假設(shè)Ho：該地區(qū)成年男士身高超過177cm與體重超過73kg無關(guān)，

則X、叱覽Z%）m3-

根據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷刑不成立，即認(rèn)為該地區(qū)成年男士身高超過177cm與

體重超過73依相關(guān)聯(lián)，故C正確，D錯誤.

故選：ABC.

【點(diǎn)評】本題主要考查了正態(tài)分布曲線的對稱性，考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，屬于中檔題.

（多選）7.（2025?蘇州模擬）為比較甲、乙兩所學(xué)校學(xué)生的數(shù)學(xué)水平，采取簡單隨機(jī)抽樣的方法抽取88

名學(xué)生.通過測驗(yàn)得到了如下數(shù)據(jù)：甲校43名學(xué)生中有10名學(xué)生數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀；乙校45名學(xué)生中有

7名學(xué)生數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀.整理數(shù)據(jù)如下表：

學(xué)校數(shù)學(xué)成績合計

不優(yōu)秀優(yōu)秀

甲校331043

乙校38745

合計711788

2

附._____Mad_bc)______

叫?X一(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'n=a+b+c+d

參考數(shù)據(jù)：

P(X22xo)=0.1000.0500.0100.005

a

xo2.7063.8416.6357.879

則下列說法正確的有（)

A.甲校的數(shù)學(xué)抽測成績優(yōu)秀率一定比乙校的數(shù)學(xué)抽測成績優(yōu)秀率高

B.甲校的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率一定比乙校的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率高

C.甲校的數(shù)學(xué)優(yōu)秀人數(shù)可能比乙校的數(shù)學(xué)優(yōu)秀人數(shù)多

D.對于小概率值a=0.1,可以認(rèn)為兩校的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率幾乎沒有差異

【考點(diǎn)】獨(dú)立性檢驗(yàn).

【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運(yùn)算求解.

【答案】ACD

【分析】根據(jù)表格數(shù)據(jù)可判斷ABC,計算x2的值，與臨界值比較可判斷D

107

【解答】解：對于A,甲校的數(shù)學(xué)抽測成績優(yōu)秀率為元，乙校的數(shù)學(xué)抽測成績優(yōu)秀率為二，

4345

所以甲校的數(shù)學(xué)抽測成績優(yōu)秀率一定比乙校的數(shù)學(xué)抽測成績優(yōu)秀率高，故A正確；

對于2,樣本數(shù)據(jù)不能直接推斷總體情況，不能說甲校的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率一定比乙校的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率

高，故B錯誤;

對于C,甲校的數(shù)學(xué)優(yōu)秀人數(shù)可能比乙校的數(shù)學(xué)優(yōu)秀人數(shù)多，故C正確;

對于D，零假設(shè)H0：兩校的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率幾乎沒有差異,

2_88x(33x7—10x38)2

x=-71x17x43x45~?0.837<2.706,

對于小概率值a=0.1,我們推斷Ho成立，即可以認(rèn)為兩校的數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀率幾乎沒有差異，故。正確.

故選：ACD.

【點(diǎn)評】本題主要考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

(多選)8.(2024秋?唐山期末)下列說法正確的是()

A.若事件A,B相互獨(dú)立，則尸CAB)=P(A)P(B)

B.殘差均勻分布在以橫軸為對稱軸的帶狀區(qū)域內(nèi)，該區(qū)域越窄，擬合效果越好

C.根據(jù)分類變量X與￥的成對樣本數(shù)據(jù)，計算得到X2=7.881>6.635=XOQI,則依據(jù)a=0.01的獨(dú)立

性檢驗(yàn)，可以認(rèn)為“X與￥沒有關(guān)聯(lián)”

D.樣本相關(guān)系數(shù)廠的絕對值越接近1,成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)

【考點(diǎn)】獨(dú)立性檢驗(yàn)；相互獨(dú)立事件和相互獨(dú)立事件的概率乘法公式；樣本相關(guān)系數(shù).

【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；概率與統(tǒng)計；運(yùn)算求解.

【答案】ABD

【分析】根據(jù)相互獨(dú)立的概念可知選項A正確；根據(jù)殘差等于觀測值減去預(yù)測值可知選項8正確；根

據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的原理可知選項C錯誤；根據(jù)樣本相關(guān)系數(shù)的概念可知選項D正確.

【解答】解：若事件A,8相互獨(dú)立，則尸(AS)=P(A)P(B),故A正確.

殘差均勻分布在以橫軸為對稱軸的帶狀區(qū)域內(nèi)，

則殘差的散點(diǎn)圖分布的區(qū)域越窄，說明預(yù)測值與觀測值的偏離越小，擬合效果越好，故8正確.

零假設(shè)為Ho：X與y相互獨(dú)立，即X與y沒有關(guān)聯(lián)，由X2=7.881>6.635=XO.OI可知依據(jù)a=O.Ol的

獨(dú)立性檢驗(yàn)，沒有充分證據(jù)推斷“0不成立，可以認(rèn)為“x與y有關(guān)聯(lián)”，故c錯誤.

當(dāng)IH越接近1時，成對樣本數(shù)據(jù)的線性相關(guān)程度越強(qiáng)，故O正確.

故選：ABD.

【點(diǎn)評】本題主要考查概率與統(tǒng)計的知識，屬于基礎(chǔ)題.

（多選）9.（2024秋?四川月考）為了研究某校高三年級學(xué)生的性別和身高是否低于17OC7W的關(guān)聯(lián)性，研

究小組從該校高三學(xué)生中獲取容量為500的有放回簡單隨機(jī)樣本，由樣本數(shù)據(jù)整理得到如下列聯(lián)表：

單位：人

性別身高合計

低于170cm不低于170cm

女14060200

男120180300

合計260240500

2

附.y2=--------n(axi-bc)------其中幾="加^+61

叫.X(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)'八十”〃十。十c十〃.

a0.10.050.01

Xa2.7063.8416.635

小組成員甲用該列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，小組成員乙將該列聯(lián)表中的所有數(shù)據(jù)都縮小為原來的

工后再進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，則下列說法正確的是（）

10

A.依據(jù)a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，小組成員甲可以認(rèn)為該中學(xué)高三年級學(xué)生的性別與身高有關(guān)聯(lián)

B.依據(jù)a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，小組成員甲不能認(rèn)為該中學(xué)高三年級學(xué)生的性別與身高有關(guān)聯(lián)

C.小組成員甲、乙計算出的x2值相同，依據(jù)a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，他們得出的結(jié)論也相同

D.小組成員甲、乙計算出的值不同，依據(jù)a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，他們得出的結(jié)論也不同

【考點(diǎn)】獨(dú)立性檢驗(yàn).

【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運(yùn)算求解.

【答案】AD

【分析】根據(jù)列聯(lián)表及卡方公式求對應(yīng)卡方值，結(jié)合獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想得到結(jié)論，即可得答案.

【解答】解：由題設(shè)，零假設(shè)刑：該中學(xué)高三年級學(xué)生的性別與身高沒有關(guān)聯(lián)，

2

對于成員乙有f=5。霆慧2G寓6）?4.327<6.635,

7

對于成員甲有*2=5。。第告愣武舞。-43.269>6635,

依據(jù)a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，小組成員乙不能認(rèn)為該中學(xué)高三年級學(xué)生的性別與身高有關(guān)聯(lián);

依據(jù)a=0.01的獨(dú)立性檢驗(yàn)，小組成員甲可認(rèn)為該中學(xué)高三年級學(xué)生的性別與身高有關(guān)聯(lián);

小組成員甲、乙計算出的x2值不同，他們得出的結(jié)論也不同.

故選：AD.

【點(diǎn)評】本題主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想的應(yīng)用，考查計算能力，屬于中檔題.

三.填空題（共3小題）

10.（2024秋?南通校級月考）隨著國家對中小學(xué)“雙減”政策的逐步落實(shí)，其中增加中學(xué)生體育鍛煉時間

的政策引發(fā)社會的廣泛關(guān)注.某教育時報為研究“支持增加中學(xué)生體育鍛煉時間的政策是否與性別有關(guān)”,

從某校男女生中各隨機(jī)抽取80名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)查，得到如下數(shù)據(jù)（10WmW20,加CN*）

支持不支持

男生70-m10+m

女生50+m30-m

若通過計算得，根據(jù)小概率值a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為支持增加中學(xué)生體育鍛煉時間的政策與性別

有關(guān)，則在這被調(diào)查的80名女生中支持增加中學(xué)生體育鍛煉時間的人數(shù)的最小值為66.

2

附：K2=（a+b）圖濡器+d），其中〃

a0.0500.0100.0050.001

xo3.8416.6357.87910.828

【考點(diǎn)】獨(dú)立性檢驗(yàn).

【專題】整體思想；綜合法；概率與統(tǒng)計；運(yùn)算求解.

【答案】66.

【分析】根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)公式列出不等式，進(jìn)而求解即可.

【解答】解：因?yàn)橛?5%以上的把握認(rèn)為“支持增加中學(xué)生體育鍛煉時間的政策與性別有關(guān)”,

160x[(70-m)(30-m)-(10+m)(50+m)]2

所以>3,841,

80X80X120X40

即(m-10)2-28.8075,

因?yàn)楹瘮?shù)、=(機(jī)70)2在10WmW20時單調(diào)遞增，

且7W6N*,(15-10)2<28.8075,(16-10)2^28.8075,

所以m的最小值為16,

所以在這被調(diào)查的80名女生中支持增加中學(xué)生體育鍛煉時間的人數(shù)的最小值為50+16=66.

故答案為：66.

【點(diǎn)評】本題主要考查了獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

11.（2024秋?集美區(qū)校級期中）某學(xué)校高一年級一班48名同學(xué)全部參加語文和英語書面表達(dá)寫作比賽，

根據(jù)作品質(zhì)量評定為優(yōu)秀和合格兩個等級，結(jié)果如表所示：若在兩項比賽中都評定為合格的學(xué)生最多為

10人，則在兩項比賽中都評定為優(yōu)秀的同學(xué)最多為人.

優(yōu)秀合格合計

語文202848

英語301848

【考點(diǎn)】獨(dú)立性檢驗(yàn).

【專題】計算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；集合；運(yùn)算求解.

【答案】12.

【分析】用集合A表示語文合格，用集合8表示英語合格，則C"dA=28,CardB=18,再利用容斥原

理求解即可.

【解答】解：全班共48名同學(xué)，用集合A表示語文合格，用集合B表示英語合格，

全班共48人

當(dāng)Card（AnB）=10時，48-18-10-8=12人，

所以兩項比賽中都評定為優(yōu)秀的同學(xué)最多為12人.

故答案為：12.

【點(diǎn)評】本題主要考查場的圖表達(dá)集合的關(guān)系，考查了容斥原理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

12.（2024秋?嘉祥縣校級月考）某傳媒公司針對“社交電商用戶是否存在性別差異”進(jìn)行調(diào)查，共調(diào)查了

40〃（”6N*）個人，得到如列聯(lián)表.己知無0.05=3.841,若根據(jù)a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)認(rèn)為“社交電商用

2

戶存在性別差異”,則n的最小值為3.參考公式=皿芯就?c）（b+dy其中"=a+6+c+d-

是社交電商用戶不是社交電商用戶合計

男性8〃12〃2Qn

女性12〃8〃20〃

合計20〃20及40〃

【考點(diǎn)】獨(dú)立性檢驗(yàn).

【專題】應(yīng)用題；轉(zhuǎn)化思想；數(shù)學(xué)模型法；概率與統(tǒng)計；運(yùn)算求解.

【答案】3.

【分析】根據(jù)題意計算x2,列不等式求解即可.

2

2_40nx(8nx8n—12nx12n)8n

【解答】解:根據(jù)題意得X

-20nx20nx20nx20n號'

a

令.3.841,解得“>3.84IX產(chǎn)401,

根據(jù)a=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，認(rèn)為“社交電商用戶存在性別差異”，則正整數(shù)〃的最小值為3.

故答案為：3.

【點(diǎn)評】本題考查了列聯(lián)表與獨(dú)立性檢驗(yàn)問題，是基礎(chǔ)題.

四.解答題(共3小題)

13.(2025?鶴壁一模)疫苗保障著人類的生命安全，但隨著病毒的變異，過去用于防治疾病D的疫苗A

逐漸降低了對病毒的有效率，針對疾病。的特效疫苗B在歷經(jīng)了研發(fā)、試驗(yàn)的階段后開始投入使用，

以下為某次試驗(yàn)時的數(shù)據(jù)(生成抗體意味著疫苗起效).

疫苗A特效疫苗B

生成抗體人數(shù)130160

未生成抗體人數(shù)7040

(I)可否有99.9%把握認(rèn)為特效疫苗B在防治疾病。方面相對于疫苗A有較大提升？

(II)統(tǒng)計學(xué)上通常用疫苗的有效率n=未接種組心慧二號既感染率來所量疫苴的真實(shí)效果.在未接

未接種組感染率

種組感染率全面投入使用特效疫苗8的試點(diǎn)城市M中，疫苗的接種率達(dá)到了95%,若在一段時間內(nèi)統(tǒng)

計得感染疾病D的人群中接種過疫苗B的比例為60%,試評價疫苗2在投入使用之后的表現(xiàn).

2

參考公式及數(shù)據(jù)：、2=g+b)