2024-2025學(xué)年人教版八年級數(shù)學(xué)下冊 第十七章 勾股定理與幾何輔助線壓軸題30道（解析版）

第十七章勾股定理與幾何輔助線壓軸題精選30道

【人教版】

一.選擇題（共10小題）

1.已知，如圖在三角形48c中，AC=4,ZA=30°,ZABC=15°,延長/C到點(diǎn)。，使得。C=/C,

【分析】先作BE，4D，交/。的延長線于點(diǎn)瓦然后根據(jù)勾股定理可以得到和/E的關(guān)系，再根據(jù)

等腰三角形的性質(zhì)，可以得到CE和3E的關(guān)系，然后計(jì)算出2E和DE的值，最后根據(jù)勾股定理即可求

得8。的長即可.

【解答】解：作交4D的延長線于點(diǎn)E,如圖，

設(shè)BE=x,

VZA=30°,

:.AB=2BE=2x,

：.4E=AB2-BE2=7(2%)2-%2=國，

VZBEC=90°,ZA=30°,/ABC=15°,

；?NBCE=NA+NABC=45°,

:./BCE=NCBE=45°,

：.BE=CE=x,

*：AE=q,AE=AC+CE,AC=CD=4,

V3x=4+x,

解得x=2V3+2,

：.DE=CE-CD=x-4=2百+2-4=2百一2,

:.BD=-JBE2+DE2=J(2百+2)2+(2百-2>=4VL

故選：C.

B

2.四邊形/BCD的邊長如圖所示，對角線NC的長度隨四邊形形狀的改變而變化.當(dāng)ANBC為等腰三角形

時(shí)，△/3C的面積為（）

B.3V7C.3明或球我D.15

【分析】分AC=AB、G4=C2兩種情況討論.

【解答】解：當(dāng)/C=/B=4時(shí),

過/作NE_L5C,交BC于點(diǎn)、E,

：.BE=CE=3,

由勾股定理，AE=AC2-CE2=V7.

1-

SUBC=3XAEXBC=3@,

當(dāng)CA=CB=6時(shí),

'：AC不滿足小于AD+CD,

此種情況不存在,

故選:B.

3.如圖，在△N3C中，AB=AC,￡是邊上一點(diǎn)，連接CE,在8c的左側(cè)作8尸〃NC,1.BF=AE,連

接CF.若NC=26,3c=20,則四邊形班/C的面積為（）

C

F

BEA

A.120B.240C.360D.480

【分析】將四邊形口/C的面積轉(zhuǎn)化為然后進(jìn)行求解.

【解答】W：'：AB=AC,

：./ABC=NACB,

*：BF〃AC,

：.NACB=NCBF,

：./ABC=/CBF,

???BC平分N/BR

過點(diǎn)。作CM_L45,CN2BF,

11

?：SAACE=~^E?CM，SACBF=~^F?CN，BF=AE,

:*SACBF=SUCE，

+=+=

?，?四邊形防"^]ffitR=SAC57^^AC5E'^A^CE^AC5E'^AC5J，

'：AC=26f

：.AB=26,

設(shè)AM=x,貝ljBM=26-x,

由勾股定理，得：CM2=AC2-AM1=BC1-BM2,

A262-X2=202-(26-x)2,

238

解得x=

238、2240

CM=262-(方)=看'

11240

:?S”BC=^AB-CM=-X26X—=240,

四邊形EBFC的面積為240,

故選：B.

4.如圖，△N8C中，ZC=90°,N8的垂直平分線分別交/8、NC于點(diǎn)。、E,若BC=代，AE-.EC=3：

2,則N8的長為（）

A.V41B.V30C.V10D.3

【分析】連接2E,根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到/E=BE,再根據(jù)勾股定理計(jì)算即可.

【解答】解：如圖，連接

,；DE是AB的垂直平分線，

:.AE=BE,

設(shè)AE=BE=3x,

'：AE：EC=3：2,

：.EC=2x,

在中，BE1=BC1+EC1,即（3x）2=（V5）2+（2x）2,

解得：x=l（負(fù)值舍去）,

則/￡=3x=3,EC=2x=2,

：.AC=AE+EC=5,

'-AB=y/BC2+AC2=J52+（V5）2=V30.

故選：B.

A

A

c

5.如圖，在Rta/BC中，斜邊AB=6,以NC為邊向△/8C外作等邊三角形/CD,以2C為腰作等腰RtA

BCE,連結(jié)?！?若NC為a,BC為b,DE為c,則下列關(guān)系式成立的是（）

A.ab+8=c2B.a2+b2=2c2C.a2+c2=3b2D.ab+36=c1

【分析】過點(diǎn)E作EGLDC交。C的延長線于點(diǎn)G,證明/CEG=30°,利用勾股定理即可解決問題.

【解答】解：如圖，過點(diǎn)E作EGLDC交DC的延長線于點(diǎn)G,

,在Rtz\4BC中，斜邊42=6,

；.//。3=90°,

,:△ACD是等邊三角形，RtaBCE是以BC為腰的等腰直角三角形,

/.ZACD=60°,ZBCE=90°,

.../DCE=360°-60°-90°-90°=120°,

AZ￡CG=180°-120°=60°,

/.ZC￡G=30°,

,:CD=AC=a,CE=BC=b,DE=c,

11

：.CG=~CE=~b,

：.EG=y^CG=^-b,

1

在RtADGE中,DG=DC+CG=a+小

根據(jù)勾股定理得：DG2+EO=DE2,且4c2+8c2=a2+6』/82=36,

(a+56)2+(亨6)2~c2,

化簡得，ab+36=c2,

故選：D.

6.如圖，在△4BC和中，AB=4C=4D,AC1AD,NE_L2c于點(diǎn)￡,4E1的反向延長線與AD交于

點(diǎn)凡連結(jié)CD,則線段3凡DF,CD三者之間的關(guān)系為（）

A.BF-DF=CDB.BF+DF=CD

C.BF2+DF2^CD2D.2BF-2DF=CD

【分析】由題意可得N/C￡?=//OC=45°,由48=/C=4D可得N4BC+/4BD=45°=NCBD,由

AB=AC,N￡_L8C可得NE是8c的垂直平分線，可得BF=CF,根據(jù)勾股定理可求2尸+。產(chǎn)的值.

'JAC^AD,ACLAD,

NNCD=45°=AADC,

\9AB=AC=AD,

：?NABC=NACB,NADB=NABD,

AABC+AACB+ZADB+ZABD+ZACD+ZADC=180°,

；.NCBD=45°,

*：AB=AC,AELBC,

：.AE是線段BC的垂直平分線，

：.BF=CF,

：.ZCBD=ZBCF=45°,即/C陽=90°,

BF2+DF2=CD2=AC2+AD2.

故選：c.

7.如圖，ZX/BC與△NCZ）均為直角三角形，且//C8=/C4O=90°,AD=2BC=12,AB：BC=5：3,

點(diǎn)E是AD的中點(diǎn)，則/￡的長為()

A.3B.5C.4D.6

【分析】延長/￡交5c的延長線于點(diǎn)尸，先證明也△昉E(44S),得出8尸=/。=12,AE=FE,

則CF=6,再在RtA^5C中利用勾股定理求出AC的長，然后在RtA^CF中利用勾股定理求出AF的長,

即可得出結(jié)論.

【解答】解：如圖，延長/￡交8C的延長線于點(diǎn)尸，

J.AD//BF,

：.ZDAE=NF,

；點(diǎn)、E是BD的中點(diǎn)，

:.DE=BE,

在ADAE和ABFE中，

(Z-DAE=乙F

\/-DEA=Z.BEF,

WE=BE

:?ADAE咨LBFE(AAS),

：.BF=AD=\2,AE=FE,

'：AD=2BC=12,

：.BC=6f

：.CF=BF-BC=U-6=6,

?：AB：BC=5：3,

：.AB=10f

VZACB=90°,

-'-AC=^AB2-BC2=V102-62=8,ZACF=90°,

在RtZ\4C/中，由勾股定理得：AF=^AC2+CF2=V82+62=10,

1

：.AE=FE=-AF=5,

故選：B.

8.如圖，四邊形45CD中，對角線AC,AD,點(diǎn)尸為CD上一點(diǎn)，連接4廠交AD于點(diǎn)E,AFLAB,DE=

DF,NBAG=NABC=45°,BC+AG=20VLAE=2EF,則4/=()

入A:

BC

A.12B.8V2C.10D.

【分析】延長4RBC,交于點(diǎn)“，先證明為等腰直角三角形，再判定△MG絲△期C(ASA),

然后在等腰直角△/AHr中，由勾股定理得48與/〃的值，設(shè)歷=*，則/E=2x,判定△/GE之尸

(44S),從而FH=4E=2x,解得x的值，最后根據(jù)/尸=4E+EF,可得答案.

【解答】解：延長4F、BC,交于點(diǎn)區(qū)如圖：

A

丁5

BC

'CAFLAB,ZABC=45°,

；?NBAH=90°,ZAHB=90°-45°=45°,

???AABH為等腰直角三角形，

：?AH=AB,

VZBAH=90°,N氏4G=45°,/AHB=45°,

AZGAE=ZBAG=ZAHB=45°,

'CACLBD,

：.ZABC+ZBAC=90°，

VZBAC+ZHAC=ZBAH=90°，

???ZABG=ZHACf

在和△/中，

(Z-ABG=乙HAC

\AB=AH,

i^LBAG=乙AHC

：./\ABG^AHAC(ASA),

：.AG=HC,

：.BH=BC+CH=BC^AG=20vL

在等腰直角△48"中，AH=AB,ZBAH=90°,由勾股定理得：AB2+AH1=BH1,

.??AB=AH=20,

?：AE=2EF,

???設(shè)斯=x,則4E=2x,

?:DE=DF,

：.ZDEF=/DFE,

：.NAEG=/HFC,

VZAHB=ZGAE=45°,

/.ZAGE=135°-ZHFC=ZFCHf

在△4G￡和△HC廠中，

(^AEG=乙HFC

\^AGE=^FCH,

VAG=HC

：.AAGE^AHCF(AAS),

：.FH=AE=2x,

：.AH=AE+EF+FH=5x=20,

解得：x=4,

：.AF=AE+EF=3x=12,

故選：A.

9.如圖，在△45C中，4D_L8C于點(diǎn)。，BF平分NABC交4D與點(diǎn)E,交4C于點(diǎn)R4C=13,AD=12f

BC=14,則。E的長等于（）

A.-B.5C.-D.7

【分析】利用勾股定理可得CD和45的長，進(jìn)而由角平分線性質(zhì)得EG=瓦)，再證明也RtA

BGE(HL),得BG=BD=9,設(shè)4￡=x,則瓦)=12r,然后根據(jù)勾股定理列方程可得結(jié)論.

【解答】解：???40,5。，

；?/ADC=NADB=90°,

CD=yjAC2-AD2=V132-122=5，

：.BD=BC-0)=14-5=9,

'-AB=JAD2-^BD2=V122+92=15,

過點(diǎn)E作于點(diǎn)G,

尸平分/4BC,ADLBC,

:,EG=ED,

在RtdBDE和RdBGE中,

[BE=BE

{ED=EG9

：.RtABDE^RtABGEQHL),

:?BG=BD=9,

：.AG=AB-BG=15-9=6,

設(shè)則瓦)=12-x,

：.EG=n-x,

RtZ\4GE中，由勾股定理得：AG1+EG1=AE1,

即62+(12-x)

15

解得：x=—,

15

^?AE=~,

159

：.DE=AD-AE=12——="

故選：A.

10.如圖，△/BC中，ZC=90°,AC=BC=五,將△/2C繞點(diǎn)/順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°到△/9。的位置,

連接CB,則CB的長為（）

B'

A.2—V2C.V3—1

【分析】連接82',延長2C'交AB'于點(diǎn)證明△4BC'四△"BC',得到=NMBA=

30°；求出BM、CM的長，即可解決問題.

【解答】解：如圖，連接8夕，延長8C'交4B'于點(diǎn)M；

B'

由題意得：/BAB'=60°,BA—B'A,

：.AABB'為等邊三角形,

AABB'=60°,AB=B'By

在△/BC'與BC'中,

AC'=B'C

AB=B'B,

BC=BC

.,.△ABC'gAB'BCCSSS),

：.ZMBB'=ZMBA=30°,

J.BMLAB',^.AM=B'M；

由題意得：AB2=4,

：.AB'=AB=2,AM=\,

1

：.CM=-AB'=1；

由勾股定理得：BM=^AB2-AM2=V22-l2=百，

：.C5=V3-1，

故選：C.

二.填空題(共10小題)

II.如圖，在△/3C中，AB=AC,點(diǎn)。在邊/C上，AAD=BD,過點(diǎn)/作交8。的延長線于

「25

點(diǎn)E,若/￡=6,BC=2V10,則AD的長為—.

-4-

【分析】過2作于得到NE=N2/">=90°,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到3H=/E=6,DE

=CH,根據(jù)勾股定理得到CH=NBC2-BH2=2,求得/〃=NC-2,根據(jù)勾股定理得到/〃=8,再根據(jù)

勾股定理得到結(jié)論.

【解答】解：過8作于，，

:./E=NBHD=90°,

在A4DE與ABDH中,

(ZE=乙BHD

\AADE=^BDH,

VAD=BD

：./XADE^ABDH(AAS),

：.BH=AE=6,

,:BC=2國,

/.CH=>JBC2-BH2=2,

：.AH=AC-2,

,：AH2+BH2=AB2,AB=AC,

：.(AC-2)2+62=AC2,

：.AC=W,

:.AH=8,

\"BD2=BH2+DH2,

：.BD2^62+(8-BD)2,

故答案為：—.

q

12.如圖，在△NBC中，AD_L4C,點(diǎn)E是48的中點(diǎn)，BD于CE交于F點(diǎn),且FB=FC,/C=￡C=10時(shí),

則BC的長是6VS.

A

【分析】過C作于根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得NECM為//的余角，AM=EM,再根據(jù)

BDLAC,可得//8D也是的余角，所以這兩個(gè)角相等，再根據(jù)8尸=。/，可得/FBC和/尸C8相

等，所以N/5C和NMC3相等，均為45°,設(shè)⑷/=EM=x,則可以用x表示出2跖在△/CM中用勾

股定理求出x的值，進(jìn)而求解3c的長即可.

【解答】解：過C作CM_LN8于"，如圖：

A

:?AM=EM,/ACM=/ECM=90°-ZA,

*：BDLAC,

：.ZABD=90°-ZA,

：.NABD=/ECM,

?：BF=CF,

：.ZFBC=NFCB,

：.ZMBC=ZMCB=45°,

：.BM=CM,

設(shè)AM=EM=x,則AE=2x,

?：E是AB的中點(diǎn)，

.\BE=AE=2x,

.'.BM=CM=3x,

在中，X2+9X2=100,

*'?x=V10，

.\BM=3x=3y/10,

：.BC=V2BM=6^5-

故答案為：6V5.

13.如圖，四邊形48CQ中，ZABC=ZADC=60°,/BAD>90°,ACLBC,若45=2,AD=五,則

【分析】過點(diǎn)/作4ELCD于點(diǎn)￡,過點(diǎn)。作“交5C的延長線于點(diǎn)R在RtZXZDE中，求出

DE,AE,在中，求出BC,AC,可知得到N4CZ)=45°,ZDCF=45°,再在RtA

CD尸中，求出。尸，CF,最后在RtzXAD尸中，可求出AD.

【解答】解：過點(diǎn)/作于點(diǎn)E,過點(diǎn)。作。尸_L8C交BC的延長線于點(diǎn)R

VZADC=60°,ao=VL

■'-DE=-AD=冬AE=>JAD2-DE2=J（V2）2-（q）?=堂，

在RtZUBC中，

VZABC=60°,AB=2,

]_______________

：.BC=^AB=l,AC=yjAB2-BC2722-l2=V3>

在RtA^CE中，

CE=yjAC2-AE2=J（百）2-（乎）2=手，

CE=AE=—,CD=CE+DE=—+—=逐+逅,

2222

AZACD=45°,

.,./DC尸=180°-N4CB-N4CD=180°-90°-45°=45°,

在RtZ\CD/中，

CF=DF』CD=?的巫=2

2222

：.BF=BC+CF=^^=^,

22

在/中，

BD=VBF2+DF2=+（2^tl）2=1+b.

故答案為：i+V§\

1

14.如圖，在△45C中，ZB=90°，點(diǎn)。在線段5C上，點(diǎn)E在線段4D上，ZBAC=ZDEC=~ZADB,

CD=6,AB=12也則線段5。的長為6.

【分析】如圖，延長C5到T,使得BT=CB.證明。E=。。=6,設(shè)則。T=2x+6,再證明4。

。7=2x+6,根據(jù)勾股定理構(gòu)建方程求解即可.

【解答】解：如圖，延長C5到T,使得5T=C5.

VZABC=90°,

：.AB±CT,

■:BT=BC,

：.AT=AC,

:.ZBAT=ZBAC,

1

ZDEC=-AADB,/ADB=NDEC+/DCE,

：.ZDEC=NDCE,

:?DE=CD=6,

設(shè)則5T=5C=x+6,DT=2x=6,

'：ZBAC=/DEC,

：.ZBAD+ZDAC=ZDAC+ZACE,

：.NBAD=NACE,

■:AT-AC,

：.NT=AACD=ZDCE+ZACE=/BAC+/BAD=/BAT+/BAD=/DAT,

??Z)T=/Z)=2x+6,

在RtZWD中，AD2=AB2+BD2,

：.(2x+6)2=(12V2)2+x2,

解得x=6(負(fù)根已經(jīng)舍去).

：.BD=6.

故答案為：6.

15.如圖，RtzX48C中，N/C3=90°,AC=BC,2c上有一點(diǎn)。，連接40,^AELAD,且/E=4D,

連接BE交/C于點(diǎn)尸，使EF=V^CF,當(dāng)CD=6時(shí)，則CF=2.

【分析】設(shè)CF=x,作EG_L/C于點(diǎn)G,證明△￡MC名ZUEG(AAS),推出/G=CD=6,AC=EG,

再證明△CFS咨Z\G/芭(44S),求得/G=CF=x,得到EG=/C=6+2x,在RtAEFG中，利用勾股定

理列式計(jì)算即可求解.

【解答】解：設(shè)CF=x,作EGL/C于點(diǎn)G,

"JAELAD,N/CB=90°,

：.ZDAE=90°=ZEGA,

：.ZDAC=90°-ZGAE=ZAEG,

,JAE^AD,

:.ADAC<AAEG(AAS),

：.AC=EG,AG=CD=6,

,:AC=BC,

：.EG=AC=BC,

VZACB=90°,EG.LAC,

：.ZFCB=ZFGE=90°,

■:/CFB=/GFE,

：.ACFB^/\GFE(AAS),

：.FG=CF=x,

：.EG=AC=6+2xf

2

222

在RtZ\E尸G中，EF=FG+EG,即(衣晟)=X2+(6+2X)2,

整理得7x2_8x72=0,

6

解得Xl=2,%2=-'(舍去)，

故答案為：2.

16.如圖，在四邊形/BCD中和，AB=BC=6,/4BC=60°,/4DC=90°.對角線NC與AD相交于點(diǎn)

E,若BE=3DE,則￡。=_3返

【分析】過點(diǎn)8作于點(diǎn)過點(diǎn)。作DNL5/于點(diǎn)N,連接并延長到〃，使得

1

MD,連接NX,先證明.?.△48C為等邊三角形，得到/C=Z2=6,再由三線合一定理得到CM=4M=5

AC=3.則由勾股定理可得BM=JBC2_CM2=3百;證明g△COM(S/S),得到N〃=CD,

1BE

ZMAH=ZMCD,再證明△4DH且△D4C,得到。8=/C,貝l|DM=74C=3；由2E=3DE,得到/77=

ZDD

33ME3

則布彘77^7=不據(jù)此得到=7=下設(shè)九化=3方DN=4x,BE=3y,8D=4y在RtABME中，由勾

4—DM-LfiN4Ul\4

2

222

股定理得BE-ME=BM,可推出/-X2=3,

在RtZ\ACW中，由勾股定理得8N2=16y2-16/=48,則BN=4Vi，MN=心利用勾股定理得到

DN=Y/DM2-MN2=V6-則BD=JBN?+DN2=3標(biāo).

【解答】解：過點(diǎn)8作于點(diǎn)M,過點(diǎn)。作ZWL8河于點(diǎn)N,連接?！安⒀娱L到“，使得MH

MD,連接ZH,

?；4B=BC=6,ZABC=60°,

???△45C為等邊三角形，

:?AC=AB=6,

'：BM±AC,

1

：.CM=AM=~AC=3,

:.BM=JBC?-CM?=3百；

在LAHM和△CDM中.

(AM=CM

\^LAMH=/-CMD,

(HM=DM

MAHMq/\CDM(S/S),

:./MAH=/MCD,AH=CD,

VZADC=90°,

AZACD+ZCAD=90°,

：.ZCAD+ZCAH=90°,

：.DAH=90°=ZADCf

在△ZDH和△ZMC中，

(AH=CD

\￡.DAH=Z.ADC,

VAD=DA

：.AADH^ADAC(SAS),

：.DH=AC,

1

：.DM=-AC=3；

?:BE=3DE,

.BE3

?,訪=7

.S^BDMBE3

,,s4BMEBD4'

-BM-ME3

?2____________

"-BM-DN~4'

2

.ME3

?,麗=T

設(shè)BE=3y,BD=4y,ME=3x,DN=4x,

,：BE2-ME2=BM2,

：.9y2-9/=27,

.".y2-X2=3,

'：BN1=BD2-DN2,

.".^=16y2-16/=48,

；.BN=4百，

:.MN=6.

/.DN=JDM2-MN2=V6.

?*-BD=VBN2+DN2=V48+6=V§4=3后

故答案為：3任.

17.如圖，在△48C中，8。是/C邊上的中線，4E是中8。邊上的中線，若/CBD=60°,ZAEB

【分析】延長交8c于點(diǎn)尸，延長BO,^BD=DG,連接NG,根據(jù)題意可得尸=30°,NBFE

1「

=90°,進(jìn)而可求出BF=,BE=1,根據(jù)勾股定理求出EF=Vi，證明△ADC之△GD4得到NG=N

CBD=60°,推出8C〃NG,得到，根據(jù)勾股定理求出4E;在RtZ\/8尸中，由勾

股定理即可求解.

【解答】解：如圖，延長/E交3c于點(diǎn)尸，延長AD,使BD=DG,連接NG,

B

G

VZAEB=150°,

Z5￡F=180°-ZAEB=30°,

*：ZCBD=60°,

；?NBFE=180。-ZCBD-ZBEF=90°,

?；BD=4,4E是△45。中5。邊上的中線,

1

：.DE=BE=~BD=2,

1

.\BF=~BE=1,

在RtZ\5E廠中，由勾股定理得：EF=>JBE2-BF2=V22-l2=V3，

???8。是4C邊上的中線，

:.AD=CD,

在△ADC和△GD4中，

(BD=GD

\Z-BDC=^GDA,

VAD=CD

：./\BDC^/\GDA(SAS),

：.ZG=ZCBD=60°,

：.BC//AG,

：.ZGAE=ZBFE=90°,

GE=DE+GD=2+4=6,

1

.?.ZG=]GE=3,

在Rt^/GE中，由勾股定理得：<GE2-AG2==3百,

.\AF=AE+EF=3V3+V3—4V3,

在RtZ\4B/中，由勾股定理得：AB=VAF2+BF2=J(4^3)2+I2=7,

故答案為：7.

18.如圖，△/BC中，BC=8,AC-4B=3,。是△48C外一點(diǎn)，且N/CD+N/AD=180°,CD=BD.若

ADLCD,則△BCD的面積是6.

【分析】延長CD至E,使得連接BE,AE,過點(diǎn)2作2尸，CD于點(diǎn)R證明進(jìn)而可

得BE=3,然后根勾股定理求得C￡,等面積法求得8凡進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式，即可求解.

【解答】解：延長CD至E,使得DE=CD,連接BE,AE,過點(diǎn)8作8尸1.CD于點(diǎn)R

:.NDCB=/DBC,/DBE=/E,

又：NDCB+NDBC+/DBE+NE=l80°,

ZCBE=ZCBD+ZDBE=90°,

設(shè)2DCB=/DBC=d,

5L'：AD±CD,AB±BC,

：.ZADC=ZABC=90°,

：.ZDCB=ZDAB=a,ZADC=ZADE=90°,

ZDAB+ZE=90°,

.?.點(diǎn)8在4E1上,

ZACD+ZABD=ZDBE+ZABD=180°,

N4CD=ZDBE,

：.ZACD=ZE,

：.AE=AC,

U：AC-AB=3,

:?BE=3,

：?CE=VBC2+BE2=V73,

1V73

???CD=DE=DB=-CE=--,

，2

*：BFLCE,BC.LAB,

11

CBxBE=—CExBF

BCxBE8x324

:皿一^=尋=后

11V7324

,^ABCD=]CDXBF=—X-y-X6,

故答案為：6.

19.如圖，在等腰△NBC中，/2=/C=10,2c=12,為△/8C的中線，也垂直平分48交/。于點(diǎn)

【分析】連接BG,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到8。=58c=6,ADLBC,根據(jù)勾股定理得到/。=8,最

后根據(jù)勾股定理即可得到結(jié)論.

【解答】解：連接3G,

:FE是4B的垂直平分線,

：.AG=BG,

"：AB=AC=10,BC=\2,40為△45C的中線,

1

：.BD=~BC=6,ADLBC,

：.ZADB^9Q0,

-'-AD=JAB2-BD2=V102-62=8,

設(shè)。G=x,則5G=/G=8-無,

由勾股定理得：BG2=BD2+DG2,

(8-x)2=X2+62,

7

7

：.DG=~.

4

7

故答案為：T.

q

20.如圖，在△/3C中,&B=4C,BC=\2打,CD=20,^ADB=30°,NC4D=3/84。,貝！|8。的長為_4

V7_.

【分析】設(shè)/A4D=a，根據(jù)導(dǎo)角得出NCAD=60°+a,以45為邊向右作等邊△AP/,以3c為邊作等

邊△8C。，連接N0,PC,得出3E〃0c進(jìn)而可得N3CE=30°,進(jìn)而根據(jù)含30度角的直角三角形的性

質(zhì)，勾股定理，即可求解.

【解答】解：,:4B=AC,NCAD=3NBAD,

1

設(shè)/8/Z)=a,則/C/O=3a,LBAC=4a,AACB=^ABC=-(180°-zBXC)=90°-2a,

\</AFB=ZFAC+ZFCA^ZFBD+ZBFD,

.,.3a+90°-2a=ZCBD+300,

：.ZCBD=60°+a,

以N2為邊向右作等邊△BPN,以5c為邊作等邊△BCQ,連接/Q,PC,

DE

,:AB=AC,BQ=CQ,AQ^AQ,

：.AABQ^AACQCSSS),

1

：.^AQB=乙AQC=-(360°-60°)=150°,

ZABQ=180°-150°-2a=30°-2a,

ZPBC=ZABC-60°=90°-2a-60°=30°-2a,

又'：AB=BP,BQ=BC,

:.AABQ咨APBCCSAS),

:.NBCP=NBQA=150°,ZBPC=ZBAQ=2a,

?；AC=AB=4P,

：.ZAPC=ZACP=60°+ZBPC=600+2a,

又?.?/ZCQ=N/8Q=30°-a,

AZQCP^ZQCA+ZACP^90°,

過點(diǎn)B作BELDC于點(diǎn)E,則BE//QC,

則NC2E=NZC5=60°,

；.NBCE=30°,

1_________

；.BE=yC=6西，EC=1BC2_BE2=18,

；.DE=DC-EC=2,

在Rt/XBDE中，BD=7BE2+DE2=J22+(6V3)2=40,

故答案為：4a.

三.解答題（共10小題）

21.在△4BC和中，點(diǎn)。在BC邊上，NBAC=NDAE=CL,AD=AE.

z）如圖1,當(dāng)a=90°時(shí),連接￡C,猜想并求線段DC,DE之間的數(shù)量關(guān)系;

"）如圖2,當(dāng)a=60°時(shí),過點(diǎn)/作DE的垂線，交8C邊于點(diǎn)尸，若3c=8,BD=2,求線段CF的長;

（2）如圖3,已知a=90°,過點(diǎn)/作DE的垂線，交2C邊于點(diǎn)尸，若48=4而，AC=2近,當(dāng)CF

I時(shí)，則線段50的長為5.6

【分析】（1）力根據(jù)題意可證注△/CE,△（?￡見是直角三角形，根據(jù)勾股定理即可求解；花）連

接EF,CE,過點(diǎn)E作EG_LBC延長線于點(diǎn)G,可得/尸是?！甑拇怪逼椒志€，設(shè)CF=x,在Rt^EFG

中根據(jù)勾股定理即可求解;

（2）如圖所示，延長NC到N,使得2。=%。=2訴，連接及V,延長8C交EN于點(diǎn)初，可證△/皿絲

△ANE,BD=EN,可得△0河是直角三角形，可求出的值，由ii）的證明可得。尸=￡尸，在RtA

EFM中，可求出DREAf的值，根據(jù)EN=EA什MV即可求解.

【解答】解：(1)z)NBAC=NDAE=cc=9Q°,AD=AE,AB=AC,

：.ZB=ZACB=ZADE=ZAED=45°,

VZBAD+ZDAC=ZDAC+ZCAE^90°,

ZBAD=ZCAE,

在△NAD,中,

AB=AC

乙BAD=Z.CAE,

AD=AE

:AABD出LACECSAS),

：.BD=CE,ZB=ZACE=45°,

AZACB+ZACE^45a+45°=90°,

...△COE是直角三角形,

：.DE2=DC2+CE2,且CE=DB,

:.DB2+DC2^DE2；

z7)AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=a=60°,

.,.△ABC,Zx/OE是等邊三角形，

:.AB=BC=4C=8,貝!ICD=BC-BD=8-2=6,

如圖所示，連接CE,EF,過點(diǎn)E作EGL8C延長線于點(diǎn)G,

由上述證明可得，△48。絲△4CE,

：.BD=CE=2,ZB=ZACE=60°,

：.ZACB+ZACE^60°+60°=120°,則NECG=180°-NECB=6Q°,

在中，ZECG=60°,CE=2,

1

：.CG=~CE=1,EG=V^CG=百，

「△NDE是等邊三角形，AFLDE,

：.AF是DE的垂直平分線，

：.DF=EF,

設(shè)CF=x,貝?。軩F=EF=BC-CF=6-x,FG=CF+CG=x+\,

在RtAEFG中，EF2^FG2+EG2,

2

/.(6-X)2=(X+1)2+(V3)，

16

解得，x-—,

16

的長為萬~；

(2)解：如圖所示，延長NC到N,使得2C=NC=2而，連接EN,延長8C交硒于點(diǎn)河，過點(diǎn)/作

/尸，8c于點(diǎn)尸，

A

N

：.AN=AC+CN=4V5=AB,

■:NBAC=/DAE=a=90°,AD=AE,

：.ZBAD+ZDAC=ZDAC+ZNAE=90°，

：.NBAD=/NAE,

在44BD,△N4E中,

AB=AN

^BAD=乙NAE,

AD=AE

:AABDmANAE(SAS')，

:?/B=/N,BD=NE,

■:/ACB=/NCM,ZB+ZACB=90°，

：.ZNCM+ZN=90°,

：.ZCMN=90°,BPCM±MN,ZkCW是直角三角形,

在RtZXZBC中，AB=4V5，AC=2后

22

:.BC=〃爐+"2=J(4Vs)+(2V5)=10，

U：AP±BC,

11

：?S^ABC=2AC,AB=2BC，APi

AC-AB2V5X4V5

：.AP=4,

BC10

■:/CMN=/APC=90°,/ACP=/MCN,AC=NC,

:?△APCQANMC(AAS)，

；?MN=AP=4,

在Rt/XCW中，CM1+MN1=CN1,

解得，CM=2,MN=4,

VCF=1,

：.FM^FC+CM=1+2=3,

設(shè)DF=y,貝UBD=EN=BC-DF-CF=10-y-1=9-y,DM=DF+FM=y+3,

:.EM=EN-MN=9-y-4=5-y,

是等邊三角形，AFLDE,

尸是。E的垂直平分線，

:.DF=EF=y,

在RtaEFM中，EF1=FM2+EM1,

.?.廿=32+(5-y)2,

解得，y=3.4,

：.EM=5-y=5-3.4=1.6,則EN=EM+MN=1.6+4=5.6,

：.BD=5.6,

故答案為：5.6.

22.已知A/BC是等腰直角三角形，NACB=90；

(1)如圖1,點(diǎn)M在斜邊N8上，且NC=1+百，MA=近,則線段兒必=_返_,MC=2.

(2)如圖2,點(diǎn)初在△48C外，M4=2,MC=5,ZAMC^45°,求MB；

(3)如圖3,點(diǎn)初在△NBC外，M4=3,MB=3?MC=6,求/C.

M

圖3

【分析】(1)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出/無過點(diǎn)C作CDL/8于點(diǎn)。，然后根據(jù)勾股定理即可

解決問題；

(2)過點(diǎn)。作CNLCM,交跖4的延長線于點(diǎn)N,連接BN,得是等腰直角三角形，得MC=NC

=5,MN=5五,證明4/0/g/\8。雙(山5),得BN=MA=2,ZAMC=ZBNC=45°,證明

90°,然后利用勾股定理即可解決問題；

(3)C作CO_LCA/且CD=CAf,連接3。、MD,延長NM,DB交于點(diǎn)、E,證明△/CMg/XBCD

(SAS),得BD=MA=3,ZAMC=ZBDC,然后證明/E=90°,設(shè)8￡=x,再根據(jù)勾股定理列出方

程求出x的值，進(jìn)而可以解決問題.

【解答】解：(1);△/Be是等腰直角三角形，/4C3=90°,

：.BC=AC=l+百，

:.AB=?AC=V2+V6>

圖1

1/AABC是等腰直角三角形,

垂直平分48,

1V2+V6

：.AD=CD=BD=-AB=,

■:MA=五,

V2+V6r-V6-V2

.,MD=AD-MA------V2=，

MC=y/MD2+CD2=J（叱勺2+（竺卷/=74=2,

V6-V2

MB=MD+BD

2

故答案為：V6>2；

(2)過點(diǎn)C作CNLCN,交的延長線于點(diǎn)N,連接8N,

M

：.ZACVC=45°,

ACMN是等腰直角三角形，

:.MC=NC=5,

:.MN=^MC=5小

AABC是等腰直角三角形，

：.CA=CB,NACB=9Q°,

ZMCN-ZACN=ZACB-ZACN,

：.ZACM=ZBCN,

：.AACM^ABCN(.SAS),

:.BN=MA=2,/AMC=NBNC=45°,

:./MNB=90°,

在RtZ\M7VB中，根據(jù)勾股定理得：MB=JMN2+BN2=.(5V2)2+22=V54=3V6：

(3)如圖3,C作CD_LCM且CD=CM,連接8。、MD,延長/M,DB交于點(diǎn)、E,

圖3

：.ZMCD=90°,MD=>/2MC=6y/2,

是等腰直角三角形，ZACB=90°，

：.AC=BC,

：.ZMCD-ZMCB=ZACB-/MCB,

：./ACM=NBCD,

:?△ACM^XBCD(MS),

:?BD=MA=3,ZAMC=ZBDC,

VZAMC+ZCME=1SO°,

AZBDC+ZCME=180°,

VZMCD=90°,

AZE=360°-(ZMCD+ZBDC+ZCME)=90°,

在RtAMEB和RtAMED中，根據(jù)勾股定理得：

ME2=BM2-BE1=DM1-DE1,

設(shè)BE=x,

■:DB=3,MB=3?MD=6,

.\DE=x+3,

(3V5)2-x2=62-(x+3)2,

.'.x=3,

ME=JBM2-BE2=J(3向)2—32=6,

：.AE=AM+ME=3+6=9,

?"B=y/AE2+BE2=V92+32=3V10>

V2廠

：.AC=-AB^3VS.

23.已知△NBC中，ZBAC^90°,AB^AC.

(1)如圖1,當(dāng)B、C、M、N在同一直線上，且NM4N=45°,