2024-2025學(xué)年人教版八年級數(shù)學(xué)下冊分類訓(xùn)練：矩形【11個】解析版

第07講矩形【11個必考點】

【人教版】

【知識點1矩形的定義及性質(zhì)】.................................................................1

【必考點1利用矩形的性質(zhì)求角度】............................................................2

【必考點2利用矩形的性質(zhì)求線段長度】........................................................6

【必考點3利用矩形的性質(zhì)求面積】...........................................................11

【必考點4利用矩形的性質(zhì)解折疊問題】.......................................................13

【知識點2直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)】.....................................................17

【必考點5直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)】.....................................................18

【知識點3矩形的判定】......................................................................22

【必考點6矩形的判定條件】..................................................................22

【必考點7證明一個四邊形是矩形】...........................................................26

【必考點8矩形的判定解動點問題】...........................................................31

【必考點9矩形的判定與性質(zhì)綜合】...........................................................35

【必考點10矩形中求最值問題】..............................................................41

【必考點11矩形中多結(jié)論問題】..............................................................46

【知識點1矩形的定義及性質(zhì)】

1.矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形.

【注意】

（1）矩形是特殊的平行四邊形,但平行四邊形不一定是矩形.

（2）矩形必須具備兩個條件：①是平行四邊形;②有一個角是直魚.這兩個條件缺一不可.

（3）矩形的定義可以作為判定一個四邊形是矩形的方法.

2.矩形的性質(zhì)：矩形是特殊的平行四邊形，它除了具有平行四邊形的所有性質(zhì)外，還具有自身獨特的性質(zhì)

（見下表）.

性質(zhì)數(shù)學(xué)語言圖形

矩形的四個角都是直???四邊形ZBCZ）是矩形，

角

角/A=/B=/C=/D=90°BC

■

??,四邊形/5CQ是矩形，A產(chǎn)

對角線矩形的對角線相等

：.AC=BDBc

對稱性矩形是軸對稱圖形,它有兩條對稱軸

【注意】

(1)矩形的性質(zhì)可歸結(jié)為三個方面.①邊：矩形的對邊平行且相等，鄰邊互相垂直.②角：矩形的四個角都

是直角.③對角線：矩形的對角線互相平分且相等.

(2)矩形的兩條對稱軸分別是兩對對邊中點連線所在的直線，對稱軸的交點就是對角線的交點.

(3)矩形的兩條對角線將矩形分成兩對全等的等腰三角形，這四個三角形的面積相等.

【必考點1利用矩形的性質(zhì)求角度】

【例1】如圖，延長矩形N2CD的邊至點E,使匹=/C,連接DE,若NBAC=a,則的度數(shù)是()

aaa

A.-B.45°--C.a-45°D.30°+-

11

【分析】連接交4C于點O,由矩形的性質(zhì)得N45C=90°,OA^OC=~AC,OB=OD=《BD,AC=

BD,貝!JQZ=O6,所以NO5/=N54C=a,而BE=AC=BD,則N5Z)￡=NE,所以NCBD=NBDE+NE

a

=2NE=90°-a,則NE=45°-萬，于是得到問題的答案.

【解答】解：連接AD交4C于點O,

???四邊形/SCO是矩形，

11

ZABC=90°,OA=OC=-AC,OB=OD=~BDfAC=BD,

：.OA=OB,

/.AOBA—ABAC—a,

：?NCBD=90°-a,

■;BE=AC=BD,

：.4BDE=Z￡,

???/CBD=/BDE+/E=2/E,

：.2ZE=90°-a,

a

：.Z￡=45°一,，

故選：B.

【變式1】如圖，矩形45CQ中，點E為。。邊的中點，連接4瓦過E作斯，4E交5。于點R連接

)

aa

A.2a-90°B.45°+萬C.45°--D.90°-a

【分析】延長4E,交5C的延長線于點G,根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，ZBAD=ZADC=ZDCB=90°,AD

//BC,可證絲△GCE(/S4),根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得4E=G￡,可知跖垂直平分/G,根

據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得進(jìn)一步可得NG=NE4E,根據(jù)可得ND4E=NG,

可表示出ND4E的度數(shù)，進(jìn)一步可得NFFC的度數(shù)，再根據(jù)NE&C+N跖。=90°,可得NA4b的度數(shù).

【解答】解：延長4￡,交的延長線于點G,如圖所示：

在矩形4509中，ZBAD=ZADC=ZDC5=90°,AD〃BC,

：.ZECG=90°,

???E為。。邊中點,

:?DE=CE,

在和△GCE中,

ZD=乙ECG

DE=CE,

.^AED=Z.GEC

:?4ADE4AGCE(ASA),

：.AE=GE,

'：EF.LAE,

???跖垂直平分ZG,

：.AF=GF,

：./FAE=/G,

■:AD〃BC,

：./DAE=/G,

：.NDAE=NFAE,

90°-/LBAF

：./DAE=---------------,

VZDAE+ZAED=90°,ZAED+ZFEC=90°,

90°-^BAF

：.ZFEC=ZDAE=---------------,

VZFEC+ZEFC=90°,

90°-^BAF

：.ZEFC=9Q°----------------=a,

AZBAF=2a-90°,

故選：A.

【變式2】在矩形45CD中，對角線4C、AD相交于點。過點4作交BD于點M,若NMAD=

5NBAM,則NM4O的度數(shù)為.

【分析】由矩形的性質(zhì)可得。4=。5,NBAD=90°,由NA￡4D=5NA4M可求N54M=15°,再由等

腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，進(jìn)行求解即可.

【解答】解：???四邊形/5C。是矩形，

：.OA=OB,ZBAD=90°,

AZMAD+ZBAM=90°,

*.*/MAD=5/BAM,

5ZBAM+ZBAM=90°,

AZBAM=15°,

'：AM±BD,

:?/BMA=/AMO=90°,

AZABM=90°-ZBAM=75°,

?；OA=OB,

：.ZBAO=ZABM=75°,

AZAOM=1SO°-ZABM-ZBAO=30°,

AZMAO=90°-ZAOM=60°,

故答案為：60°.

【變式3】矩形/5CD的對角線4C,5。相交于點O,點尸在矩形45CD邊上，連接OR若N/05=4O

°,NB0F=3G°,則/4。/=.

【分析】根據(jù)題意畫出圖形，分點/在上和3C上兩種情況討論即可求解.

【解答】解：???四邊形/5CD是矩形，

：.OA=OD,

：./ADO=/OAD,

VZADB=40°,

I.ZADO=ZOAD=40°

：.ZAOB=ZADO+ZOAD=SO°,

如圖所示，當(dāng)尸點在48上時，

VZBOF=30°,

：.ZAOF=ZAOB-ZBOF=SO°-30°=50°

如圖所示，當(dāng)點尸在8C上時，

NBOF=30

AZAOF=ZAOB+ZBOF=SO°+30°=110°,

故答案為：50°或110°.

【必考點2利用矩形的性質(zhì)求線段長度】

【例1】如圖，長方形48CD中，AE平分/BAC,交于點E,￡尸垂直平分NC,分別交/C,ND于點O

和尸，若￡0=2,則長方形/3CO的周長為（）

A.12+4V3B.6+2V3C.18D.19

【分析】先由垂直平分線的性質(zhì)得/E=CE,N4OE=90°,NO4E=NOCE,結(jié)合長方形的性質(zhì)得4D

1

//BC,ZDAB=90°,ZABE=90°,因為/￡平分NB/C,故NBAE=NE4C=5x90。=30。，再運(yùn)用

30度所對的直角邊是斜邊的一半，得EC=/E=4,最后由勾股定理，進(jìn)行列式計算，即可作答.

【解答】解：尸垂直平分NC,

:.AE=CE,ZAOE=90°,

：.NOAE=NOCE,

:四邊形/BCD是長方形，

J.AD//BC,ZDAB=90°,ZABE=90°,

；.NOAF=NOCE,

平分N8/C,ZAOE=90°,ZABE=90°,

：.NOAE=NBAE,BE=EO=2,

1

即NB4E=乙EAC=-x90°=30°,

在RtZXENO中，AE=2EO=4,EC=AE=4,

在Rt/\EAO中，4B=\/AE2-EB2=2百，

AB+BC—2+2+4=+6,

/.長方形ABCD的周長為12+4V3.

故選：A.

【例2】如圖，在矩形/BCD中，對角線/C、8。相交于點O,AE平分/BAD交8c邊于點￡,點尸是

NE的中點，連接OR若/2=。5=1,則下。的長度為（）

A.亨B.V3-1

【分析】證明△402是等邊三角形，而CD=A8=1,則。4=OC=C￡>=1,所以NC=2,由勾股定理得

BC=y/AC2-AB2=V3）由平分交BC邊于點E,得NA4E=/D/￡=45°，貝iJ/8￡/=NA4E=

45°,所以2E=4B=1,則EC=百一1,由三角形的中位線定理得尸0=/。=—二，于是得到問題

的答案.

【解答】解：???四邊形是矩形，

：.OA=OB,

?；AB=OB=\,

???△405是等邊三角形，

：.OA=OC=\,

：.AC=2,

A^C=V22-l2=V3,

?：AE平分/BAD交BC邊于點E,

1

:.NBAE=NDAE=5NBAD=45°,

:./BEA=/BAE=45°,

:.BE=AB=\,

:?EC=BC-BE=5-',

??,點/是力￡的中點，點。是ZC的中點，

.口CI”——1

..FO=-EC=---,

故選：D.

【變式1】如圖，在矩形4BCD中，48=3,BC=5,過對角線的交點。作斯，NC,交40于點E,交BC

于點F,則AE的長是（

E

AD

B^—7^-----------

ZF

17178

A.3B.-C.-D.-

【分析】連接CE,由矩形的性質(zhì)得出N4DC=90°,CD=AB=3,AD=BC=5,OB=OD,由線段垂直

平分線的性質(zhì)得出設(shè)4￡=x,則DE=5-x,在RtZ\CZ)E中，由勾股定理得出方程，解方程

即可.

【解答】解：連接C￡,如圖所示：

??,四邊形/5CO是矩形，

/.ZADC=90°,CD=AB=3,AD=BC=5,OA=OC,

?；EF2BD,

???斯是/。的垂直平分線，

；.AE=CE,

設(shè)AE=CE=x,貝！5-x,

在RtZiCDE中，由勾股定理得：X2=32+(5-x)2,

17

解得：x=—,

17

即AE=-.

故選：B.

【變式2】如圖，在矩形48CD中，點石在5C上，AE=AD=10,0)=6,作4斤，DE于點G,交CD于

F,則CF的長是(

C.3D.2

【分析】由矩形的性質(zhì)得2C=4D=10,AB=CD=6,NB=NC=90°,則BE=北成二正=8,求得

CE=BC-BE=2,因為/F_LZ)￡,所以N尸垂直平分。E,則尸=6-CH由勾股定理得22+。產(chǎn)=

。8

(6-m2,求得。F=石，于是得到問題的答案.

【解答】解：：四邊形N5CD是矩形，AE=AD=1G,CD=6,

：.BC=AD=10,AB=CD=6,Z5=ZC=90°,

BE='JAE2-AB2=V102-62=8，

：.CE=BC-BE=W-8=2,

凡LDE于點G,交CD于E,

垂直平分DE,

：.EF=DF=6-CF,

\'CE2+CF2=EF2,

：.22+CF2=(6-CF)2,

8

解得CF=1

故選：B.

【變式3】如圖，在矩形/BCD中，N8=8,點尸是邊/。上的一點，且。尸=3,連接8F8尸的垂直平分

線交3c的延長線于點E,交AB于點P,連接即交CD于點77,點〃為邊CD的中點，則的長為

A.8B.7C.4D.3

【分析】根據(jù)線段中點的定義可得然后利用“角邊角”證明修和△CEH全等，根據(jù)全

等三角形對應(yīng)邊相等可得=CE,FH=EH,根據(jù)勾股定理得到跖，再根據(jù)線段垂直平分線上的點到

兩端點的距離相等可得8/=所，從而求出于是得到結(jié)論.

【解答】解：矩形4BCD中，X是CD的中點，AB=8,

1

：.CH=DH=~xS=4,

在ADFH和中，

(Z.D-Z.DCE

\CH=DH,

QDHF=乙CHE

:ADFgACEH(ASA),

：.DF=CE=?>,FH=EH,

在RtZXDE〃中，尸〃=，。產(chǎn)+?！?=5,

：.EF=2FH=10,

：EH垂直平分3凡

：.BE=EF=10,

：.BC=AD=1.

:.AF=AD-DF=4,

故選：C.

【變式4】如圖，矩形/BCD的對角線NC,3。相交于點O,點尸是ND邊上的一個動點，過點P分別作

PE_L4C于點E,PFLBD于點、F.若"5=6,BC=8,則PE+尸尸的值為()

A.10B.9.6C.4.8D.2.4

【分析】首先連接。P由矩形/BCD的兩邊N8=6,BC=8,可求得CM=OD=5,然后由SA71s=$△

AOP+S/\DOP求得答案.

【解答】解：連接OP,

;矩形4BCD的兩邊48=6,3c=8,

:?S矩形48cz)=Z5?5C=48,OA—OC,OB=OD,AC—BD,AC=JAB2+BC2=10,

1

.,.14O。=R矩形/BCQ=12，OA=OD=5,

1111

:?SAAOD=SAAOP+SADOP=《OA?PE+《OD?PF=《OA(PE+PF)=~x5X(PE+PF)=12,

24

：.PE+PF=—=4.8.

【必考點3利用矩形的性質(zhì)求面積】

【例1】如圖，在矩形45CD中，對角線4C,5。相交于點O,過點。的直線環(huán)分別交45,CD于點E,

F,若矩形面積為12,則陰影部分的面積為（）

A.3B.4C.6D.8

【分析】首先結(jié)合矩形的性質(zhì)證明歹（4"）,得至!JS/UOE=&COQ從而S陰影=S”^，

進(jìn)而即可解答.

【解答】解：???四邊形是矩形，

：.CD=AB,OA=OC,AD//BC,

：./AEO=/CFO,

在△4OE和月中,

^AEO=乙CFO

OA=OC,

Z.AOE=乙COF

：.AAOE^ACOF(ASA),

?,^AAOE-S^COF，

?1

??S陰影=S4COF+S^BOE=S^BOE+S^AOE=^AAOB=0矩形ZBCO'

..,矩形面積為12,

1

，S陰影="12=3.

故選：A.

【變式1】如圖，點尸是矩形/2CD的對角線ZC上一點，過點尸作所〃5C,分別交48,CD于E、F,

連接必、PD.若AE=2,PF=6,則圖中陰影部分的面積為（）

A.10B.12C.16D.18

【分析】由矩形的性質(zhì)可證明S"EB=S"FD，即可求解.

【解答】解：作尸ML/。于交BC于N.

則有四邊形四邊形。四邊形CEPN,四邊形3EPN都是矩形,

??.S"DC=S“BC，S^AMP=SMEP，S?BE=S&PBN，SAPFD=S&PDM，S"FC=SMCN，

'：MP=AE=2

1

:?S&DFP=S&PBE=5X2X6=6,

陰=6+6=12,

故選：B.

【變式2】如圖所示，矩形/BCD的對角線NC和AD相交于點。，過點。的直線分別交/。和2C于點E、

F,48=3,BC=5,則圖中陰影部分的面積為.

【分析】首先結(jié)合矩形的性質(zhì)證明△/OE0ZXCOR得△//、△C。尸的面積相等，從而將陰影部分的

面積轉(zhuǎn)化為△8CO的面積.

【解答】解：??,四邊形/5CD為矩形,

：.OA=OC,

NCM￡=NOW（兩直線平行內(nèi)錯角相等），

在與△口?/中，

（/-OAE=Z-OCF

]OA=OC

（乙40E=2LC0F

:?△AOEQXCOF（ASA）

:?S叢AOE=SACOF

1115

S陰影=^ABCD=2^^CD=—x5X3=—.

15

故答案為：

【變式3】已知：如圖，在矩形內(nèi)一些相交線把它分成8個部分，其中的3個部分面積分別為13,35,49,

【分析】如圖，由于（35+%+49）+（13+歹）=長方形面積的一半=x+S陰影+y,從而求解.

【解答】解：如圖，由于（35+x+49）+（13+y）=長方形面積的一半，

又?.?5X長方形的面積=%+S陰影+y,

JS陰影=35+49+13=97.

故答案為：97.

【必考點4利用矩形的性質(zhì)解折疊問題】

【例1】數(shù)學(xué)老師要求學(xué)生用一張長方形的紙片折出一個45°的角，甲、乙兩人的折法如下，下列

說法正確的是（）

甲：如圖1,將紙片沿折痕/E折疊，使點」

落在上的點8處，/胡。即為所求.

乙：如圖2,將紙片沿折痕/尸折疊，

使8,。兩點分別落在點8,。處，且48,

與工。在同一直線上，/E4尸即為所求.

圖1圖2

A.甲和乙的折法都正確

B.只有甲的折法正確

C.只有乙的折法正確

D.甲和乙的折法都不正確

【分析】折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，根據(jù)對應(yīng)角相等即可

得出結(jié)論.

1

【解答】解：甲：將紙片沿折痕4E折疊，使8點落在AD上的⑶點，得到=；

1

乙：將紙片沿折痕NE,//折疊，使3,D兩點落在NC上的點夕，D,,得到

1

(NDAC+/BAC)=-x90°=45°；

故選：A.

【變式1】如圖，把長方形紙片O/8C放入平面直角坐標(biāo)系中，使。1,。。分別落在x軸、y軸上，連接

AC,將紙片048C沿/C折疊，使點8落在點。的位置，40與y軸交于點R若8(2,4),貝U0E的

長為.

【分析】由四邊形。/5C是矩形與折疊的性質(zhì)，易證得△4￡C是等腰三角形，然后在RtZ\4￡O中，利

用勾股定理求得/E,OE的長.

【解答】解：???四邊形。45c是矩形，

JOC//AB,

:.NECA=/CAB,

根據(jù)題意得：NCAB=NCAD,ZCDA=ZB=90°,

???ZECA=ZEAC,

：.EC=EA,

,:B(2,4),

：.AD=AB=4,

設(shè)貝lj4￡=￡C=OC-OE=4-x,

在Rt△力中，AE1=OE1+OA1,

即(4-x)2=/+%

3

解得：x=-,

3

OE=―,

3

故答案為：2'

【變式2】如圖所示，把一張長方形紙片N8CD沿CE折疊，得到線段3'E,折痕EC與8。相交于點

若"E//BD,/ADB=36°,則NEA?=

BC

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)和翻折的性質(zhì)可得：NBEC=/B，EC=63°,然后利用平行線的性質(zhì)即可解

決問題.

【解答】解：,??四邊形/BCD是矩形，

AZA=90°,

:./ABD=90°-36°=54°,

■:B'E//BD,

：.AAEB'=ZABD=54°,

11

由翻折可知：ZBEC^ZB'EC=~(180°-ZAEB')=-(180°-54°)=63°,

■:B'E//BD,

.\ZB'EC+ZEMD=l?,0o,

AZEMD=lS00-63°=117°,

故答案為：117°.

【變式3】如圖，矩形N5CL?中，/。=18,/8=24.點E為邊DC上的一個動點，￡與關(guān)于

直線/E對稱，當(dāng)△CD'E為直角三角形時，DE的長為.

【分析】分兩種情況分別求解，(1)當(dāng)NCE。'=90°時，如圖1,根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得//￡￡>=//￡￡>

'=45°,得。E=/O=18；(2)當(dāng)NE。'/=90°時，如圖2,根據(jù)軸對稱的性質(zhì)得N4D'E=ND,

AD'=AD,DE=D'E,得/、D、C在同一直線上，根據(jù)勾股定理得ZC=30,設(shè)DE=。E=x,

則EC=CD-O￡=24-x,根據(jù)勾股定理得，D'E2+D'C2=EC2,代入相關(guān)的值，計算即可.

\'ZCED'=90°,E與△/￡)￡1關(guān)于直線/￡1對稱,

1

J./.AED=/.AED'=-x90°=45°,

VZD=90°,

AADE是等腰直角三角形,

"E=4D=18；

V,△/￡>'E與△/￡>￡1關(guān)于直線/E對稱，

AAD'E=ND=90°,AD'=AD,DE=D'E,

?：ACD'E為直角三角形，

即NC。'E=90°,

:.NAD'E+ZCD'￡'=180°,

：.A,D'、C在同一直線上，

22

：.AC=y/AD+CD=^0>

：.CD'=30-18=12,

設(shè)DE=D'E=x,貝UECuCD-OEuZd-M

\'D'E2+D'C2=EC2,

即/+144=(24-x)2,

解得x=9,

即DE=9；

綜上所述：DE的長為9或18；

故答案為：9或18.

【知識點2直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)】

性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。即如圖，在RtaABC中，ZABC=90°,D為AC的中

點，貝UBD[AC=AD=DC.

【拓展】該性質(zhì)的逆命題“如果一個三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個三角形是直角三角形”

仍然成立，它可以用來判斷一個三角形是否為直角三角形.

【必考點5直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)】

【例1】如圖，在中，ZACB=90°，CD_L/8于點。，ZACD=3ZBCD,￡是斜邊的中點,

A.35°B.30°C.45°D.50°

【分析】根據(jù)題意先求出//CD=67.5°,ZBCD=22.5°,利用直角三角形兩銳角互余求得NB=67.5

°,再根據(jù)直角三角形斜邊上中線性質(zhì)得到3E=CE,求得/3CE的度數(shù)，進(jìn)而得到答案.

【解答】解：VZACD=3ZBCD,ZACB=90°,

：.ZACD=61.5°,ZBCD=22.5°,

CDLAB,

：.ZS=90°-NBCD=90°-22.5°=67.5°,

又是斜邊48的中點，

：.BE=CE,

:.NBCE=NB=675°,

：.ZECD=ZBCE-ZBCD=67.5°-22.5°=45°.

故選：C.

【例2】如圖，在△/3C中，/5=/C=16,BC=12,4FU2C于點尸，BELAC于點E,。為N2的中點，M

為￡尸的中點，則DM的長為（)

A

C.V55D.V73

【分析】連接DRDE,由等腰三角形的性質(zhì)推出廠是8C中點，由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得到￡尸

11111

=-SC=-x12=6,同理即=亍48=8,DE=~AB,由等腰三角形的性質(zhì)推出。FM=~EF=

3,由勾股定理即可求出尸一FM2=782-32=屈.

【解答】解：連接。RDE,

'：AB=ACfAFLBC,

???）是5C中點,

'：BE±AC,

:?/BEC=90°,

11

：.EF=-BC=-X12=6,

111

同理：FD=^AB=-x16=8,DE=^AB,

:.DF=DE,

???M為跖的中點，

1

：.DMLEF,FM=~EF=3,

?'?DM=JDF2-FM2=V82-32=V55.

故選：C.

【變式1】如圖，D,E分別是三角形4■的邊45和4方的中點，點。是上的一點，N4c5=90°,

1

A.6B.7C.8D.10

【分析】根據(jù)直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半得出CO=3,根據(jù)已知條件得出CE=1,即可

得出?！?4,進(jìn)而根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)，即可求解.

【解答】解：???N/C5=90°,。是45的中點，AB=6,

1

I.CD=~AB=3,

1

,??CE=-CD,

1

CE=~x3=1,

：.DE=CD+CE=3+\=4,

又,：D,E分別是三角形N8尸的邊和N尸的中點，

：.BF=2DE=2X4=8.

故選：C.

【變式2】如圖，△N8C中，是邊3c上的高，C尸是邊上的中線，DC=8「點E是C尸的中點.

(1)求證：DE±CF；

(2)求證：ZB=2ZBCF.

1

【分析】(1)連接。凡根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到。尸=/8=8/，進(jìn)而證明DC=D尸，根據(jù)等腰三

角形的三線合一證明結(jié)論；

（2）根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得到/ED8=2N/mC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)證明結(jié)論.

【解答】證明：（1）連接。尸，

9?AD是邊BC上的IWJ,

AZADB=90°,

???點廠是45的中點,

1

:.DF=^AB=BF,

■:DC=BF,

:?DC=DF,

???點七是W的中點.

：.DE±CF；

（2）?:DC=DF,

：.NDFC=NDCF,

：.ZFDB=ZDFC+ZDCF=2ZDFC,

■;DF=BF,

：./FDB=/B,

【變式3】如圖，ZABC=ZADC=90°，M、N分別是4C、8。的中點.求證：MN±BD.

【分析】連接皿公。河，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可得皿/=ZM/=]4C,再根據(jù)等

腰三角形三線合一的性質(zhì)證明即可.

【解答】證明：如圖，連接卸公DM,

VZABC=ZADC=90°,河是NC的中點,

1

：.BM^DM=~AC,

■:點N是BD的中點,

C.MNLBD.

【知識點3矩形的判定】

判定方法數(shù)學(xué)語百圖形

在uABCD中,

有一個角是直魚的平行四

???N/5C=90。，A_____D

邊形是矩形（定義）

s.uABCD是矩形.

角

在四邊形N8CD中，

有三個角是直魚的四邊形

???NA=/B=NC=90°,OBC

是矩形

，四邊形N2C。是矩形.

在uABCD中,AD

對角線相等的平行四邊形

對角線??,AC=BD,

是矩形

:.口ABCD是矩形區(qū)

BC

【必考點6矩形的判定條件】

【例1】如圖，在口/BCD中，對角線NC與8。交于點0,添加下列條件不能判定口/BCD為矩形的只有

A.AC=BDB.AB^6,BC=8,NC=10

C.ACLBDD.Z1=Z2

【分析】根據(jù)矩形的判定方法即可一一判斷.

【解答】解：/、正確.對角線相等的平行四邊形是矩形.

B、正確.'：AB=6,BC=8,AC=10,

：.AB2+BC2=62+82=102,

：.ZABC=90°,

.??平行四邊形/BCD為矩形.

C、錯誤.對角線垂直的平行四邊形是菱形，

D、正確，VZ1=Z2,

：.AO=BO,

:.AC=BD,

.??平行四邊形/BCD是矩形.

故選：C.

【變式1】在四邊形/BCD中，AD//BC,下列選項中，不能判定四邊形48co為矩形的是（）

A.4D=BC且4C=BDB.AD=BCS.ZA=ZB

C.4B=CD且N/=NCD.AB〃CD且AC=BD

【分析】由/O〃3C,/O=5C可得四邊形N8CD是平行四邊形，再由可得平行四邊形N8CO

是矩形，故選項/不符合題意；

由4D〃8C,/O=8C推出四邊形/BCD是平行四邊形，進(jìn)而推出N/=N8=90°,可證得平行四邊形

/BCD是矩形，故選項8不符合題意；

由40〃8c推出//+/2=/。+/。=180°,進(jìn)而推出N3=N。，得到四邊形/BCD是平行四邊形，

推出/8=CD,不能判定四邊形N8CD為矩形，故選項C符合題意；

由/3〃CD推出四邊形N3CD是平行四邊形，再由NC=3。，四邊形/BCD是矩形，故選項。

不符合題意

【解答】解：/.,CAD//BC,AD=BC,

四邊形ABCD是平行四邊形，

,:AC=BD,

平行四邊形N8CD是矩形，故選項/不符合題意;

B.'JAD//BC,AD=BC,

四邊形/BCD是平行四邊形，

：.ZA+ZB^180°,

,?NA=NB,

：.ZA=ZB=90°,

平行四邊形/BCD是矩形，故選項3不符合題意；

C.,CAD//BC,

：.ZA+AB=ZC+ZZ>=180°,

N4=NC,

：.ZB=ZD,

四邊形/BCD是平行四邊形，

:.AB=CD,

.??不能判定四邊形為矩形，故選項C符合題意；

D、'JAD//BC,AB//CD,

四邊形/BCD是平行四邊形，

,:AC=BD,

四邊形/BCD是矩形，故選項。不符合題意；

故選：C.

【變式2】如圖，四邊形/BCD是平行四邊形，下列條件①NC=5D,②NCLLAD,（3）AB±BC,@ZABD

=ZCBD,⑤NOZ）C=NOCD中能判定四邊形/BCD是矩形的是.

【分析】根據(jù)給定的條件加上平行四邊形條件，對每個選項進(jìn)行分析證明，從而可得答案.

【解答】解：：四邊形/BCD是平行四邊形，AC=BD,

四邊形/BCD是矩形，故①符合題意；

?四邊形/BCD是平行四邊形，ACLBD,

四邊形/BCD是菱形，故②不符合題意；

:四邊形/BCD是平行四邊形，ABLBC,

???四邊形45CZ）是矩形，故③符合題意；

???四邊形ABCD是平行四邊形，

：.AB//CD,

：./ABD=/CDB,

/ABD=NCBD,

:?NCDB=NCBD,

:?BC=CD,

???四邊形/SCO是菱形，故④不符合題意；

?：NODC=/OCD,

：?OD=OC,

???四邊形/BCD是平行四邊形，

：.OA=OC,OB=OD,

：.OA=OB=OC=OD,AC=BD,

???四邊形45CD是矩形，故⑤符合題意；

故答案為：①③⑤.

【變式3】如圖，線段4S的端點5在直線上，過線段上的一點。作的平行線，分別交/4員0

和的平分線于點C,D,連接4GAD.添加一個適當(dāng)?shù)臈l件：當(dāng)時，四邊形4c為

矩形.

【分析】證NOC5=NO5C,貝iJOC=O5,同理00=05,再由04=08,證出四邊形4C5D是平行四

邊形，然后證45=8,即可得出結(jié)論.

【解答】解：添加條件為：。是45的中點，理由如下：

■:CD〃MN,

：./OCB=/CBM,

?；BC平分/ABM,

：?/OBC=/CBM,

：?/OCB=/OBC,

：.OC=OB,

同理可證：OB=OD,

：.OB=OC=OD,

是的中點，

：.OA=OB,

四邊形ZC8D是平行四邊形,

'：CD=OC+OD,AB=OA+OB,

：.AB=CD,

，平行四邊形是矩形，

故答案為：。是的中點.

【必考點7證明一個四邊形是矩形】

【例1】如圖，在口4BCD中，點。是2E的中點.

(1)求證：四邊形/CED是平行四邊形；

(2)當(dāng)△N5E滿足時，四邊形NCE。是矩形，并說明理由.

【分析】(1)利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形進(jìn)行判定即可;

(2)利用對角線相等的平行四邊形是矩形進(jìn)行判定即可.

【解答】(1)證明：???四邊形/BCD是平行四邊形，

C.AD//BC,且

:點C是3E的中點，

：.BC=CE,

：.AD=CE,

'JAD//CE,

四邊形ZCED是平行四邊形；

(2)解：當(dāng)△/BE滿足時，四邊形/CED是矩形，理由如下：

?.?四邊形/8C。是平行四邊形,

：.AB=DC,

;AB=AE,

:.DC=AE,

由（1）可知，四邊形4CE。是平行四邊形，

平行四邊形NCE。是矩形.

【變式1】已知：如圖，在△N8C中，點E、尸分別是邊2C、NC的中點，過點N作2C的平行線，交射線

EF于點、D.

（1）求證：四邊形/BED是平行四邊形；

（2）如果聯(lián)結(jié)/￡、CD,求證：四邊形NECD為矩形.

【分析】（1）證明M是△NBC的中位線，得EF〃4B,再由平行四邊形的判定即可得出結(jié)論；

（2）由平行四邊形的性質(zhì)得/。=2品進(jìn)而得/O=CE,再證明四邊形NECD是平行四邊形，然后由等

腰三角形的性質(zhì)得“EL8C,貝U/4EC=90°,即可得出結(jié)論.

【解答】證明：（1）,:點E、E分別是邊8C、NC的中點，

：.EF是A4BC的中位線，

：.EF//AB,

'：AD//BC,

...四邊形ABED是平行四邊形；

（2）如圖，由（1）可知，AD//BC,四邊形N8EZ）是平行四邊形，

：.AD=BE,

:點￡是8c的中點，

：.BE=CE,

：.AD=CE,

四邊形/ECD是平行四邊形，

'：AB^AC,

J.AELBC,

：.ZAEC=90°,

???平行四邊形4￡CD為矩形.

AD

二

BEC

【變式2】如圖，將口/BCD的邊N8延長至點E,使BE=AB,連接DE,EC,BD,DE交BC于點O.

(1)求證：△/AD四△BEC；

(2)若NBOD=2/A,求證：四邊形是矩形.

E

【分析】(1)根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)得到四邊形2ECD為平行四邊形，然后由SSS推出兩三角

形全等即可；

(2)欲證明四邊形BECD是矩形，只需推知8C=ED.

【解答】證明：(1)在平行四邊形/BCD中，AD=BC,AB=CD,AB//CD,則3E〃CD.

又,：AB=BE,

:.BE=DC,

/.四邊形BECD為平行四邊形,

：.BD=EC.

在△4BD與△AE'C中，

AB=BE

BD=EC,

.AD=BC

:AABD沿ABEC(SSS)；

(2)由(1)知，四邊形8ECD為平行四邊形，則OD=OE,OC=OB.

?.?四邊形/BCD為平行四邊形，

：.ZA=ZBCD,

即//=NOCD

又ZBOD=2ZA,ZBOD=ZOCD+ZODC,

：.ZOCD=ZODC,

：.OC=OD,

：.OC+OB=OD+OE,

即BC=ED,

.??平行四邊形8ECD為矩形.

【變式3】如圖，在△N8C中，。是邊上的一點，E是ND的中點，過N點作3C的平行線交CE的延

長線于點尸，連接AF.

(1)求證：AF-CD-,

(2)若AF=BD,當(dāng)△/BC滿足什么條件時，