2024-2025學(xué)年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步訓(xùn)練：勾股定理（2個(gè)知識(shí)點(diǎn)+3類熱點(diǎn)題型+習(xí)題鞏固）解析版

第01講勾股定理

'學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

①勾股定理1.掌握勾股定理的內(nèi)容并能夠熟練的應(yīng)用。

②勾股定理的驗(yàn)證2.掌握勾股定理的驗(yàn)證方法，并能夠熟練的進(jìn)行相關(guān)應(yīng)用。

_____

85思維導(dǎo)圖

勾股定理

知識(shí)點(diǎn)〈

勾股定理的驗(yàn)證

利用勾股定理求直角三角形的邊

利用勾股定理求其他線段長(zhǎng)度

勾股定理的驗(yàn)證與相關(guān)求值

知識(shí)清單

知識(shí)點(diǎn)01勾股定理

1.文字描述：

在直角三角形中，兩直角邊的平方的和等于斜邊的平方

2.幾何語(yǔ)言：

如圖。若直角三角形的兩直角邊分別是a,b,斜邊是c,則有：

b=ylc2-a2

【即學(xué)即練1】

1.在△48C中，ZC=90°,/A,ZB,NC的對(duì)邊分別為a,b,c.

(1)已知b=2,c=3,求a的值；

(2)已知a：c=3：5,6=32,求a、c的值.

【分析】(1)根據(jù)題意畫出圖形，直接根據(jù)勾股定理求出。的值即可；

(2)設(shè)。=3x,則c=5x,再根據(jù)勾股定理求出x的值，進(jìn)而得出結(jié)論.

【解答】解：(1)如圖所示：

中，ZC=90°,b=2,c=3,

2222

a=i/c-b=I/9-4=V5；

(2)設(shè)a=3x,則c=5x,

2222

Va+b=c9即(3x)2+32?=(5x),解得x=8,

；?3x=24,5x=40,即a=24,c=40.

【即學(xué)即練2】

2.已知直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為5c機(jī)和12c加，則斜邊上的高為—啦

【分析】根據(jù)直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為5cm和12c加，利用勾股定理可以求得斜邊的長(zhǎng)，然后根據(jù)

等面積法即可求得斜邊上的高.

【解答】解：?.?直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為5c冽和12cm,

斜邊長(zhǎng)為：｛52+122=13cm,

設(shè)斜邊上的高為xcm,

則5X12;⑶

即斜邊上的高為股所

13

故答案為：60

13

知識(shí)點(diǎn)02勾股定理的驗(yàn)證

I.利用等面積法進(jìn)行勾股定理的驗(yàn)證:

驗(yàn)證圖形整體法表示面積部分加和法表示面積驗(yàn)證式子

4b

a

1

S-—[a+Z?)2—oS=4x—ab+c9o

3b一2一

1ba

c2=a2+b2

S=_c^__oS=_4X；Q6+0-a)。_

Co

c

u

(a+.)22

kJ—oS=2x—ab+—co

工~2-—22―

ba

【即學(xué)即練1】

3.下面各圖中，不能證明勾股定理正確性的是（）

A.

【分析】先表示出圖形中各個(gè)部分的面積，再判斷即可.

【解答】解：把斜邊定為c,

.?.整理得：a2+b2=c2,即能證明勾股定理，故本選項(xiàng)不符合題意;

2

B、V4xl-ab+(b-a)=

整理得：。2+y=02,即能證明勾股定理，故本選項(xiàng)不符合題意;

c、根據(jù)圖形不能證明勾股定理，故本選項(xiàng)符合題意;

D、

.?.整理得：a2+b2=c2,即能證明勾股定理，故本選項(xiàng)不符合題意;

故選：C.

【艮口學(xué)即練2】

4.如圖是用4個(gè)全等的直角三角形與1個(gè)小正方形鑲嵌而成的正方形圖案，已知大正方形的面積為49,小

正方形面積為4,若用x,y表示直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)(x>y),下列四個(gè)說(shuō)法:

①無(wú)24T2=49；

②x-y=2；

③為+4=%

④x+y=9,

其中正確的說(shuō)法是()

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

【分析】根據(jù)勾股定理和正方形的性質(zhì)即可得到，+/=/爐=49,即可判定①；根據(jù)圖形可知x-y=

CE=2,即可判斷②；根據(jù)，四個(gè)直角三角形的面積與小正方形的面積之和為大正方形的面積，可得2個(gè)+4

=49,即可判斷③；進(jìn)而得到G+y)占94,即可判斷④.

【解答】解：如圖所示，

,/正方形ABGF的面積為49,

,:4ABC是直角三角形,

???根據(jù)勾股定理得：/+歹2=/32=49,故①正確；

,/正方形CDHE的面積為4,

ACE=CD=EH=DH=2,

■?X-y=CE=2,故②正確；

由圖可知，四個(gè)直角三角形的面積與小正方形的面積之和為大正方形的面積,

列出等式為4Xyxy+4=49>

即2xy+4=49,故③錯(cuò)誤；

由2“y+4=49可得2盯=45,

又?:/■爐=49,

兩式相加得：/+2砂+/=49+45,

整理得：(x+y)2=94,

x+y=履卉9,故④錯(cuò)誤；

故正確的是①②.

故選：A.

【即學(xué)即練3】

5.“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲.如圖所示的“趙爽弦圖

是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為。，較

短直角邊長(zhǎng)為6.若仍=168,大正方形的面積為625,則小正方形的邊長(zhǎng)為()

A.7B.24C.17D.25

【分析】分析題意，首先根據(jù)已知條件易得，中間小正方形的邊長(zhǎng)為：a-6；接下來(lái)根據(jù)勾股定理以及

題目給出的已知數(shù)據(jù)即可求出小正方形的邊長(zhǎng).

【解答】解：由題意可知：中間小正方形的邊長(zhǎng)為：a-b,

?.?每一個(gè)直角三角形的面積為：1^=1x168=84,

22

從圖形中可得，大正方形的面積是4個(gè)直角三角形的面積與中間小正方形的面積之和，

4X—ab+(a-b)2=625,

2

(a-b)2=625-336=289,

"：a-b>0,

*.a-b=17.

故選：C.

R題型精講

題型01利用勾股定理求直角三角形的邊

【典例1】在RtZXZBC中，ZC=90°,a,b,。為其三邊長(zhǎng).

(1)若a=3,b=4,則c=5；(2)若Q=5,C=13,則b=12.

(3)若b=8,c=10,則a=6；(4)若c=20,a：b=4：3,則b=12.

【分析】在直角三角形中，已知三條邊中的兩條邊長(zhǎng)，都可利用公股定理求得第三條邊長(zhǎng).

【解答】解：(1)斜邊。=后彳=5；

(2)直角邊6=^132.52=12；

(3)直角邊a=yjio2_g2=6；

(4)?：a：6=4：3,'.a=^b,;(償b)+b2=20,解得b=12.

【變式1】一個(gè)直角三角形的三邊長(zhǎng)分別是6c加，8cm,xcm,則x的值是()

A.100B.10C.10或2小D.100或28

【分析】根據(jù)勾股定理的內(nèi)容，兩直角邊的平方和等于斜邊的平方，分兩種情況進(jìn)行解答.

【解答】解：分兩種情況進(jìn)行討論：

①兩直角邊分別為6cm,8cm,

由勾股定理得x==(cm),

②一直角邊為6cm,一斜邊為8cm,

由勾股定理得x=在三出=2我(cm)；

故選：C.

【變式2】一直角三角形的斜邊長(zhǎng)比一直角邊長(zhǎng)大2,另一直角邊長(zhǎng)為6,則斜邊長(zhǎng)為()

A.4B.8C.10D.12

【分析】設(shè)斜邊長(zhǎng)為x,則一直角邊長(zhǎng)為x-2,再根據(jù)勾股定理求出x的值即可.

【解答】解：設(shè)斜邊長(zhǎng)為x,則一直角邊長(zhǎng)為x-2,

根據(jù)勾股定理得，62+(x-2)2=/,

解得x=10,

故選：C.

【變式3】在RtZk4BC中，/4CB=9Q°,且c+a=9,c-a=4,貝！Ib=6.

【分析】先根據(jù)題中已知條件，求出。和C,然后用勾股定理求出6.

【解答】解：由題意得：（c+a=9,

Ic-a=4

解得：（c=6.5,

la=2.5

根據(jù)勾股定理，得：b=-^6.52-2.52=79X4=6-

故答案為：6.

【變式4】已知一直角三角形的木版，三邊的平方和為1800,則斜邊長(zhǎng)為（）

A.80B.30C.90D.120

【分析】設(shè)此直角三角形的斜邊是c,兩直角邊分別為。，6,則*+62+C2=180（）,根據(jù)勾股定理可得2c2

=1800,即可求解.

【解答】解：設(shè)此直角三角形的斜邊是c,兩直角邊分別為a,b,則02+62+,2=1800,

根據(jù)勾股定理得：a2+b2^c2,

所以2c2=1800,

解得c=30或-30（舍去），

即斜邊長(zhǎng)為30.

故選：B.

題型02利用勾股定理求其他線段長(zhǎng)度

【典例1】已知直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為5和12,求斜邊及斜邊上的高.

【分析】設(shè)斜邊的長(zhǎng)為c,斜邊上的高為〃，再根據(jù)勾股定理求出。的值，根據(jù)三角形的面積求出入的值

即可.

【解答】解：設(shè)斜邊的長(zhǎng)為c,斜邊上的高為

?.?直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為5和12,

22=13）

.,.C=^5+12

.,.5X12=13/!,解得3=空..

13

【變式1】等腰三角形的腰長(zhǎng)為17,底長(zhǎng)為16,則其底邊上的高為15.

【分析】在等腰三角形的腰和底邊高線所構(gòu)成的直角三角形中，根據(jù)勾股定理即可求得底邊上高線的長(zhǎng)

度.

【解答】解：如圖：

AB=AC=17,BC=16.

中，AB=AC,ADIBC；

則BD=DC=、BC=8；

2

RtZ\/8Z>中，AB=17,BD=8；

由勾股定理，得：AD=JAB2-BD2=6

故答案為：15.

【變式2】若直角三角形兩直角邊的比是3：4,斜邊長(zhǎng)20c加，則斜邊上的高為9.6c加.

【分析】設(shè)兩個(gè)直角邊為3x和4x,斜邊長(zhǎng)為20,根據(jù)勾股定理可列出方程，求出x,求出兩個(gè)直角邊長(zhǎng)，

根據(jù)面積相等求出斜邊的高.

【解答】解：設(shè)兩個(gè)直角邊為3xc加和4xc加，斜邊上的高為聲加，

(3%)2+(4%)2=202,

x=4.

3x=3X4=12.

4x=4X4=16.

A.v?20=Axi2X16

2-2

y=9.6.

斜邊上的高為9.6cm.

故答案為：9.6cm.

【變式3】如圖，在3義3的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1,點(diǎn)/,B,C都在格點(diǎn)上，若BD是&4BC

的高，貝U5D的長(zhǎng)為—宏亙

【分析】根據(jù)勾股定理計(jì)算/C的長(zhǎng)，利用面積差可得三角形/5C的面積，由三角形的面積公式即可得

到結(jié)論.

22>

【解答】解：由勾股定理得：^C=1/2+3=V13

<S“BC=3X3-lxIX2-yXIX3-yX2X3=3.5，

17

'qAOBD二萬(wàn)，

???V13-BD=7.

7V13

：.BD=

13

故答案為：

13

題型03勾股定理的驗(yàn)證與相關(guān)求值

【典例1】下列選項(xiàng)中（圖中三角形都是直角三角形），不能用來(lái)驗(yàn)證勾股定理的是（）

【分析】利用面積法證明勾股定理即可解決問(wèn)題.

【解答】解：/、中間小正方形的面積。2=Qa+b）2-4x1^；化簡(jiǎn)得°2=02+62,可以證明勾股定理,

2

本選項(xiàng)不符合題意.

8、不能證明勾股定理，本選項(xiàng)符合題意.

C、利用4中結(jié)論，本選項(xiàng)不符合題意.

D、中間小正方形的面積（b-a）2=c2_4X』心化簡(jiǎn)得02+乂=°2,可以證明勾股定理，本選項(xiàng)不符

2

合題意，

故選:B.

A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)

【分析】利用面積法證明勾股定理即可解決問(wèn)題.

【解答】解：第一個(gè)圖形：中間小正方形的面積c2=（a+6）2-4X2a6；化簡(jiǎn)得°2=*+62,可以證明

2

勾股定理.

第二個(gè)圖形：中間小正方形的面積（6-。）2=c2-4X」a6；化簡(jiǎn)得02+y=c2,可以證明勾股定理.

2

2

第三個(gè)圖形：梯形的面積=工（a+6）（a+6）=2xlxab+^c,化簡(jiǎn)得。2+接=02；可以證明勾股定理.

222

第四個(gè)圖形：由圖形可知割補(bǔ)前后的兩個(gè)小直角三角形全等，則正方形的面積=兩個(gè)直角三角形的面積

的和，即（6-上二生）（.+互W）=Xab+lc.Ac,化簡(jiǎn)得那+房=。2；可以證明勾股定理，

22222

...能夠驗(yàn)證勾股定理的有4個(gè).

故選：A.

【典例2】如圖，“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成大正方形，若小正方形的

邊長(zhǎng)為3,大正方形邊長(zhǎng)為15,則一個(gè)直角三角形的周長(zhǎng)是（）

A.45B.36C.25D.18

【分析】設(shè)直角三角形兩條直角邊長(zhǎng)分別為。和6,根據(jù)大正方形的面積等于4個(gè)直角三角形的面積加

上小正方形的面積可得，2仍=216,再根據(jù)完全平方公式求出a+6的值，進(jìn)而可得一個(gè)直角三角形的周

長(zhǎng).

【解答】解：設(shè)直角三角形兩條直角邊長(zhǎng)分別為。和6,

由題意可知：中間小正方形的邊長(zhǎng)為：a-6=3,

根據(jù)大正方形的面積等于4個(gè)直角三角形的面積加上小正方形的面積可知：

225=4xLb+9,

2

所以2a6=216,

根據(jù)勾股定理，得。2+y=152,

所以（。+6）2=a2+b2+2ab=225+216=441,

因?yàn)閍+b>0,

所以a+b=2\,

所以21+15=36.

所以一個(gè)直角三角形的周長(zhǎng)是36.

故選：B.

【變式1】如圖1是我國(guó)古代著名的“趙爽弦圖”的示意圖，它是由四個(gè)全等的直角三角形圍成的.若NC

=6,BC=5,將四個(gè)直角三角形中邊長(zhǎng)為6的直角邊分別向外延長(zhǎng)一倍，得到如圖2所示的“數(shù)學(xué)風(fēng)

車”，則這個(gè)風(fēng)車的外圍周長(zhǎng)是()

【分析】由題意N/C8為直角，利用勾股定理求得外圍中一條邊，又由/C延伸一倍，從而求得風(fēng)車的

一個(gè)輪子，進(jìn)一步求得四個(gè).

【解答】解：依題意，設(shè)“數(shù)學(xué)風(fēng)車”中的四個(gè)直角三角形的斜邊長(zhǎng)為x,則

/=122+52=169,

所以尤=13,

所以這個(gè)風(fēng)車的外圍周長(zhǎng)是：(13+6)X4=76.

故選：B.

【變式2】“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲，如圖所示的“趙

爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)

為a,較短直角邊長(zhǎng)為6,若(a+b)2=21,大正方形的面積為13,則小正方形的面積為()

【分析】根據(jù)大正方形的面積和勾股定理推出/+62=13,然后結(jié)合完全平方公式的變形得出(a-b)2=

5,最后由小正方形的面積為瓦日=(a-b)2,即可得出結(jié)論.

【解答】解：如圖所示，由題意，ED=a,AE=b,

A

???大正方形的面積為13,

；.必=13,

'：AD2=AE2+ED2=a2+b2,

a2+b2=13,

(a+6)2=21,

("6)2=2(a2+Z>2)-56)2=2X13-21=5,

"：EF=ED-EF=a-b,

二小正方形的面積為成。2=(a-b)2=5,

故選:B.

【變式3】如圖是由“趙爽弦圖”變化得到的，它由八個(gè)全等的直角三角形拼接而成，記圖中正方形

ABCD、正方形EFGH、正方形四區(qū)7的面積分別為目、的、叢若&+$2+$3=18,則$2的值是()

1915

A.三B.6C.5D.皿

54

【分析】先設(shè)每個(gè)直角三角形的長(zhǎng)直角邊為。，短直角邊為6,然后根據(jù)圖形和SI+S2+S3=18,可以寫出

關(guān)于。、6的方程，然后整理化簡(jiǎn)，即可求得S2的值.

【解答】解：設(shè)每個(gè)直角三角形的長(zhǎng)直角邊為。，短直角邊為6,

,.,51+52+53=18,

(a+6)2+(a2+b2)+(a-b)2=18,

a2+2ab+b2+a2+b2+a2-2ab+b2^18,

二3(a2+b2)=18,

ai+b2=6,

.'.S2=a2+b2=6,

故選：B.

Vo________

iW強(qiáng)化訓(xùn)練

1.在中，已知其兩邊長(zhǎng)分別為a,b,且滿足（a-3）2+|6-4|=0,則該直角三角形的斜邊長(zhǎng)為

（）

A.5B.V?C.5或WD.5或4

【分析】根據(jù)題意求出。=3,6=4,分類討論6是斜邊，a,6是直角邊兩種情況即可求解.

【解答】解：由（a-3）2+也-4|=0得，a=3,6=4；

①若a,6是直角邊，則斜邊長(zhǎng)為存彳=5,

（2）,：b>a,

...若6是斜邊，則斜邊長(zhǎng)為4.

綜上，該直角三角形的斜邊長(zhǎng)為5或4.

故選：D.

2.勾股定理是歷史上第一個(gè)把數(shù)與形聯(lián)系起來(lái)的定理，其證明是論證幾何的發(fā)端，下面四幅圖中不能證明

勾股定理的是（）

【分析】先用不同方法表示出圖形中各個(gè)部分的面積，利用面積不變得到等式，變形再判斷即可.

【解答】解：A.大正方形的面積等于四個(gè)矩形的面積的和，

（a+6）2=a2+2ab+b2,

以上公式為完全平方公式，

：.A選項(xiàng)不能說(shuō)明勾股定理；

B.由圖可知三個(gè)三角形的面積的和等于梯形的面積，

=1（a+方）（a+6）,

2222

整理得a2+b2=c1,

.??2選項(xiàng)可以證明勾股定理；

C.大正方形的面積等于四個(gè)三角形的面積加小正方形的面積，

/.4X^Lab+c2=（a+6）2,

2

整理得a1+b1=c2,

.??C選項(xiàng)可以證明勾股定理；

D.整個(gè)圖形的面積等于邊長(zhǎng)為6的正方形的面積+邊長(zhǎng)為“的正方形面積+2個(gè)直角三角形的面積，也等

于邊長(zhǎng)為c的正方形面積+2個(gè)直角三角形的面積，

b2+a2+2義工ab=c2+2XLb,

22

整理得片+62=02,

選項(xiàng)可以證明勾股定理，

故選：A.

3.直角三角形的兩邊長(zhǎng)分別是3和4,斜邊上的高為（）

A.空B.-C.5若或平

54

【分析】分4是直角邊長(zhǎng)與斜邊長(zhǎng)兩種情況分別求解.

【解答】解：當(dāng)4是直角邊長(zhǎng)時(shí)，則斜邊長(zhǎng)=值7/=5，

根據(jù)三角形的面積公式可得，斜邊上的高為：1X4=12；

55

當(dāng)4是斜邊長(zhǎng)時(shí)，則另一直角邊長(zhǎng)=值，=4，

根據(jù)三角形的面積公式可得，斜邊上的高為：絲巨且巨，

44

故選：D.

4.在△48C中，4B=4C=5,BC=6,則△/2C的面積為（）

A.4B.12C.16D.24

【分析】過(guò)工作40,2c于點(diǎn)。，由等腰三角形的性質(zhì)得AD=CD=3,再由勾股定理求出40=4,然

后由三角形面積公式列式計(jì)算即可.

【解答】解：如圖，過(guò)/作40,8c于點(diǎn)。，

:.BD=CD=LBC=3,

2

2222=4,

在Rt^/AD中，由勾股定理得：^=7AB-BD=VB-3

，4ABC的面積=工8。?/。=工義6義4=12,

22

故選:B.

5.如圖，在△NBC中，ZC=90°,AC=8,BC=6,以N8為一條邊向三角形外部作正方形，則正方形的

A.100B.80C.48D.24

【分析】根據(jù)勾股定理和正方形的面積公式即可得到結(jié)論.

【解答】解：在△4BC中，ZC=90°,NC=8,BC=6,

：.AB2=AC1+BC1=82+62=100,

正方形的面積=482=100,

故選：A.

6.如圖，圖1是北京國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)的會(huì)標(biāo)，它取材于我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的“弦圖”，是由四個(gè)全等的

直角三角形拼成.若圖1中大正方形的面積為24,小正方形的面積為4,現(xiàn)將這四個(gè)直角三角形拼成圖

2,則圖2中大正方形的面積為（）

【分析】根據(jù)正方形和三角形的面積公式即可得到結(jié)論.

【解答】解：如圖，直角三角形的兩直角邊為。，b,斜邊為c,

.圖1中大正方形的面積是24,

a2+b2=c2=24,

???小正方形的面積是4,

(a-b)2=a2+b2-2ab=4,

.\ab=10,

.?.圖2中最大的正方形的面積為=c2+4X』°6=24+2X10=44；

2

故選：D.

7.如圖，在△N2C中，ZC=90°,/B=30°,4D平分/A4C,DELAB,垂足為￡,AD=2,則2c的

長(zhǎng)為()

【分析】證明/氏4。=/8,從而得/。=瓦）=2,在RtZXNCD中，由/。4。=30°,求出CD的長(zhǎng)度即

可求出5c的長(zhǎng)度.

【解答】解：在△N3C中，

VZC=90°,N8=30°,

：.ZBAC=lS0°-ZC-ZB=60°,

,：AD平分NB4C,

：.ZCAD=ZBAD=30°,

:ZBAD=ZB,

：.AD=BD=2,

在RtZkNCD中，

?；/CAD=30°,

；.CD^—AD=1,

2

；*BC=CD+BD=3.

故選：B.

8.如圖，“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.如果直角三角形

A.16B.8C.4D.2

【分析】由題意可知：中間小正方形的邊長(zhǎng)為：a-6,根據(jù)勾股定理以及題目給出的已知數(shù)據(jù)即可求出

小正方形的邊長(zhǎng).

【解答】解：由題意可知：中間小正方形的邊長(zhǎng)為：a-b,

???每一個(gè)直角三角形的面積為：yab=yX7-1

9

4X—ab+(a-b)=30,

???(a-b)2=3074=16,

?*ci~b=4,

故選：C.

9.如圖是用4個(gè)全等的直角三角形與1個(gè)小正方形拼成的正方形圖案，已知大正方形的面積為49,小正方

形的面積為4,若用x,y表示直角三角形的兩條直角邊長(zhǎng)（x>y）,下列四個(gè)說(shuō)法：①x+y=9；（2）y-x

=2；③2盯+4=49；④x2力2=49.其中正確的是（）

A.①②B.②④C.③④D.①②③④

【分析】根據(jù)勾股定理和正方形的性質(zhì)即可得到/+廿=482=49,即可判定④；根據(jù)圖形可知x-y=

CE=2,即可判斷②；根據(jù)四個(gè)直角三角形的面積與小正方形的面積之和為大正方形的面積，可得2封+4

=49,即可判斷③；進(jìn)而得到（x+y）2=94,即可判斷①.

【解答】解：如圖所示，

,/正方形ABGF的面積為49,

是直角三角形，

根據(jù)勾股定理得：，+廿=4#=49,故④正確；

?.,正方形CDHE的面積為4,

CE=CD=EH=DH=2,

：.x-y=CE^2,故②錯(cuò)誤；

由圖可知，四個(gè)直角三角形的面積與小正方形的面積之和為大正方形的面積,

列出等式為4X*xy+4=49，

即2xj?4=49,故③正確；

由2盯+4=49可得2肛=45,

又???一星=49,

兩式相加得：N+2盯+/=49+45,

整理得：(%+y)2=94,

x+y=履產(chǎn)9,故①錯(cuò)誤；

故正確的是③④.

故選：C.

10.如圖，△N5C中，AB=llcm,AC^lOcm,以2C所在的直線為x軸，2C邊上的高/。所在的直線為y

軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，以1c機(jī)作為坐標(biāo)系的單位長(zhǎng)度，點(diǎn)8的坐標(biāo)是(-15,0),則點(diǎn)C

的坐標(biāo)是()

A.(4.5,0)B.(5,0)C.(5.5,0)D.(6,0)

【分析】由勾股定理求出O4=8cm,再由勾股定理求出OC=6cm,即可得出結(jié)論.

【解答】解：：點(diǎn)3的坐標(biāo)是(-15,0),

二。8=15,

在中，由勾股定理得：OA=-7AB2-OB2=V172-152=8(cm)，

在RtZUOC中，由勾股定理得：OC={AC2_0A2={]02_g2=6(cm),

.,.點(diǎn)C的坐標(biāo)是(6,0),

故選：D.

11.已知直角三角形兩邊的長(zhǎng)分別為3cm,4cm，則以第三邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積為7c』或25c機(jī)2.

【分析】分兩種情況考慮：當(dāng)4CM為直角三角形的斜邊時(shí)，利用勾股定理求出第三邊的平方，即為以第

三邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積；當(dāng)?shù)谌厼橹苯侨切蔚男边厱r(shí)，利用勾股定理求出第三邊的平方，即為

以第三邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積.

【解答】解：若4c機(jī)為直角三角形的斜邊，此時(shí)以第三邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積為42-32=16-9=

7cm2；

若x為直角三角形的斜邊，根據(jù)勾股定理得：X2=32+42=9+16=25,

此時(shí)以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積為/=25,

綜上，以第三邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積為7c/或25c混.

故答案為：7cm2或25cm2.

12.如圖，在RtZkZSC中，ZC=90°,平分NA4C,交BC于點(diǎn)D,S.DA=DB.若8=4,貝U5C=

12.

【分析】根據(jù)4。平分N24C,得出NZM8=NDZC,根據(jù)得出NZX48=N5,從而得出NZUC

=NDAB=/B,根據(jù)NC=90°,得出/。4。=/945=/8=30°,根據(jù)含30°角的直角三角形的性

質(zhì)，得出40=。。=8,即可得出答案.

【解答】解：?.?/。平分/5/C,

J/DAB=NDAC,

?:DA=DB,

：./DAB=/B,

：.ZDAC=ZDAB=/B,

VZC=90°,

/.ZDAC+ZDAB+ZB^90°,

/.ZDAC=ZDAB=Z5=30°,

VDC=4,

：.AD=DC=Sf

:?DB=DA=8,

：.BC=DB+DC=U.

故答案為：12.

13.如圖△4BC中，4D_L5C于點(diǎn)D,若/。=3,AC=5,BC=6,則48=_百^_.

【分析】根據(jù)勾股定理求出8,即可求出AD,再利用勾股定理即可求出/R

【解答】解：于點(diǎn)。，40=3,4c=5,

CD=7AC2-AD2=4-

"：BC=6,

：.BD=AC-CD=2,

?*-AB=VAD2+BD2=V13'

故答案為：713.

14.如圖，N8_L8c于點(diǎn)8,OC_LBC于點(diǎn)C,￡是8c上一點(diǎn)，ZBAE=ZDEC=60°,AB=6,C￡=8,

則AD=20.

【分析】根據(jù)直角三角形兩個(gè)銳角互余求出N/E8=30°,NCDE=30°,根據(jù)30°所對(duì)的直角邊是斜邊

的一半得出/￡=12,￡>￡=16,再由勾股定理得出/D

【解答】解：'：ABLBC,DCLBC,

：.ZABE=ZC=90°,

〈NBAE=/DEC=60°,

：.ZAEB=ZCDE=90°-60°=30°,

???30。所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，

.?./E=2A8=2><6=12,OE=2CE=2X8=16,

VZAEB=30°,NDEC=60°,

AZAED=1800-ZAEB-Z￡）￡,C=180°-30°-60°=90°,

?-AD=VAE2+DE2=V122+162=20-

故答案為：20.

15.我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅“弦圖”（圖1）,后人稱其為“趙爽弦圖”.由

圖1變化得到圖2,它是用八個(gè)全等的直角三角形拼接而成的，記圖中正方形N8CD,正方形EFGH,正

方形的政VKT的面積分別為邑，的，邑.若必=6,則S+a的值為12.

【分析】根據(jù)面積加減關(guān)系求解減即可得到答案.

【解答】解：圖中正方形N8CO,正方形EFGH,正方形的肱％7的面積分別為反，S2,邑，S2=6,設(shè)

這八個(gè)全等的直角三角形的面積都是麋，

.'.Si-4SA=53+4SA=S2=6,

：.Sr+S=(Si-=6+6=12,

34SA)+(53+45A)

故答案為：12.

16.一個(gè)三角形三邊長(zhǎng)分別為3,4,c.

（1）c的取值范圍是l<c<7.

（2）若這個(gè)三角形是直角三角形，求c的值.

【分析】（1）由三角形的三邊關(guān)系即可得出結(jié)論；

（2）分兩種情況，根據(jù)勾股定理分別計(jì)算即可.

【解答】解：（1）由三角形的三邊關(guān)系得：4-3<c<4+3,

.?.l<c<7,

故答案為：l<c<7；

（2）當(dāng)4的邊長(zhǎng)為直角邊時(shí)，c=五/1=5；

當(dāng)4的邊長(zhǎng)為斜邊時(shí)，C="_32=V7；

綜上所述，c的值為5或

17.如圖，在△N8C中，AB=AC,AB=\1,8c=30.求：

（1）8c邊上的中線的長(zhǎng).

（2）△N8C的面積.

【分析】（1）求出3。=15,由勾股定理可求出答案；

（2）由三角形面積可得出答案.

【解答】解：（1）在△NBC中，AB=AC,是△4BC的中線，

：.AD±BC,

:.BD=CD=LBC=工義30=15,

22

在RtZk/此中，AB=17,AD1+BD1=AB~,

22

'-AD=7AB-BD=V172-152=8；

（2）：3。=30,AD=S,

：.AABC的面積=」8c?/D=-lx30X8=120.

22

18.中國(guó)新能源汽車為全球應(yīng)對(duì)氣候變化和綠色低碳轉(zhuǎn)型作出了巨大貢獻(xiàn)，為滿足新能源汽車的充電需求,

某小區(qū)增設(shè)了充電站，如圖是矩形PQ0N充電站的平面示意圖，矩形N8CD是其中一個(gè)停車位，經(jīng)測(cè)量，

/EBC=30°,AB=5Am,CE=1.6m,BCLCD,8c是一個(gè)車位的寬，所有車位的長(zhǎng)寬相同，按圖示并

列劃定.求其中一個(gè)停車位矩形/BCD的周長(zhǎng).（結(jié)果精確到0.1m.參考數(shù)據(jù)我g1.73）

【分析】先根據(jù)矩形性質(zhì)得N8=CD=5.4m,CB=AD,NDCB=90°,結(jié)合/￡8C=30°,BCA.CD,

得出NECB=90°,BE=2CE=32m,再根據(jù)勾股定理列式計(jì)算，即可作答.

【解答】解：：停車位/BCD是矩形，